7.1.1 角的推广-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 掌握用 “旋转” 定义角， 理解并掌握 “正角” “负角” “象限角” “终边相同的 角” 的定义 . ２. 掌握所有与角 α 终边相同的角 （包括 角 α ） 的表示方法 . ３. 体会运动变化的观点， 深刻理解推广 后的角的概念， 了解角的概念的推广是为了 满足解决现实生活和生产中实际问题的需 要， 学会用数学的观点分析、 解决实际问 题， 通过训练各种角的表示法提高分析、 抽 象、 概括的能力 . 要 点 精 析 要点 1 角的概念的理解 角的概念 （ １ ） 角： 一条射线绕其端点旋转到另一 条射线所形成的图形称为角， 这两条射线分 别称为角的始边和终边 . 由于是旋转生成的， 也称为转角 . （ ２ ） 角的分类： 按旋转方向可将角分为如下三类： 思考 角的取值范围？ 例 １ 钟表的分针在一个半小时内转了 （ ） Ａ. １８０° Ｂ. -１８０° Ｃ. ５４０° Ｄ. -５４０° 解析： 钟表的分针是顺时针转动的， 每 转一周， 转过 -３６０° ， 当分针转过一个半小 时时， 它转了 -５４０°. 故选 Ｄ. 变式训练 1 将时钟拨快 ２０ 分钟， 则分针转过的度 数为 （ ） Ａ. １２０° Ｂ. １００° Ｃ. -１００° Ｄ. -１２０° 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转而形成 的角 负角 按顺时针方向旋转而形成 的角 零角 一条射线没有作任何旋转， 称它形成了一个零角 1 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 旋转角与角的求和 角的加减法运算 引入正角、 负角的概念以后， 角的减法 运算可以转化为角的加法运算， 即 α-β 可以 化为 α＋ （ -β ） . 这就是说， 各角和的旋转量等 于各角旋转量的和 . 例 ２ 求和并作图表示： （ １ ） ６０°＋９０° ； （ ２ ） ９０°-３０° ； （ ３ ） -６０° -４５°. 解： （ １ ） ６０°＋９０°＝１５０° ； （ ２ ） ９０°-３０°＝６０° ； （ ３ ） -６０°-４５°＝-１０５°. 作图， 如图所示 . 变式训练 2 如图所示， 射线 ＯＡ 绕端点 Ｏ 逆时针旋 转 １５° 到 ＯＢ 位置， 接着顺时针旋转 ７５° 到 ＯＣ 位置， 然后逆时针旋转 １００° 到 ＯＤ 位置， 最后顺时针旋转 ８５° 到 ＯＥ 位置， 求 ∠ＡＯＥ 的度数 . 要点 3 象限角 象限角 （ １ ） 使角的顶点与坐标原点重合， 角的 始边落在 ｘ 轴的正半轴上， 角的终边在第几 象限， 把这个角称为第几象限角 . 如果终边在坐标轴上， 就认为这个角不 属于任何象限 . （ ２ ） ① 象限角的集合 第一象限角的集合 ｛ α｜ｋ · ３６０°＜α＜９０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α ｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ０°＜β＜９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第二象限角的集合 ｛ α ｜９０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ １８０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ９０°＜ β＜１８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第三象限角的集合 ｛ α｜１８０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ ２７０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， １８０°＜ β＜２７０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第四象限角的集合 ｛ α｜２７０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ ３６０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ２７０°＜ β＜３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . ② 终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 ｘ 轴正半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｘ 轴负半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋１８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｘ 轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · １８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴正半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴负半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋２７０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · （ 1 ） （2 ） （ 3 ） 图 7-1-1 图 7-1-2 2 第七章 三角函数 学 １８０°＋９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在坐标轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ ｋ · ９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 例 ３ 已知角的顶点与坐标系的原点重 合， 始边落在 ｘ 轴的非负半轴上， 作出下列 各角， 判断它们在第几象限， 并指出在 ０°～ ３６０° 范围内与其终边相同的角 . （ １ ） ４２０° ； （ ２ ） -７５° ； （ ３ ） ８５５° ； （ ４ ） -５１０°. 解： 如图所示 . 由图可知： （ １ ） ４２０° 角在第一象限， 在 ０°～３６０° 范 围内与 ６０° 角终边相同 . （ ２ ） -７５° 角在第四象限， 在 ０°～３６０° 范 围内与 ２８５° 角终边相同 . （ ３ ） ８５５° 角在第二象限， 在 ０°～３６０° 范 围内与 １３５° 角终边相同 . （ ４ ） -５１０° 角在第三象限， 在 ０°～３６０° 范 围内与 ２１０° 角终边相同 . 反思感悟 利用图象判断角所在的象限时， 依据 的是终边相同的角的关系 . 将正角或负角利 用公式转化到 ０°～３６０° 范围内 . 因为在 ０°～ ３６０° 之间， 没有两个角的终边是相同的 . 变式训练 3 已知角的顶点与原点重合， 始边与 ｘ 轴 的非负半轴重合， 作出下列各角， 并指出它 们是第几象限角： （ １ ） ２２５° ； （ ２ ） -３００° ； （ ３ ） -４５０°. 要点 4 终边相同的角 终边相同的角 （ １ ） 终边相同的角： 所有与角 α 终边相 同的角， 连同角 α 在内， 集合表示为 Ｓ＝ ｛ β｜ β＝α＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . （ ２ ） 特殊角的集合 （表示不唯一） ① 终边在一条射线上时， 其角的集合为 ｛ α｜α＝θ＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝； ② 终边在一条直线上时， 其角的集合为 ｛ α｜α＝θ＋ｋ · １８０° ， ｋ∈Ｚ ｝； ③ 终边在两条相互垂直的直线上时， 其 角的集合为 ｛ α｜α＝θ＋ｋ · ９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 其中 θ 表示终边落在该直线 （射线） 上 的任意角 . （ ３ ） 区域角的集合 如第一象限角： ｛ α ｜ｋ · ３６０°＜α＜ｋ · ３６０°＋ ９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 思考 如何理解终边相同的角？ （ 1 ） （2 ） （ 3 ） （ 4 ） 图 7-1-3 3 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 例 ４ 在与角 １０ ０３０° 终边相同的角中， 求满足下列条件的角 . （ １ ） 最大的负角； （ ２ ） 最小的正角 ； （ ３ ） ３６０°～７２０° 内的角 . 解： 与 １０ ０３０° 终边相同的角的一般形 式为 β＝ｋ · ３６０°＋１０ ０３０° （ ｋ∈Ｚ ） . （ １ ） 由 -３６０°＜ｋ · ３６０°＋１０ ０３０°＜０° ， 得 -１０ ３９０°＜ｋ · ３６０°＜-１０ ０３０° ， 解得 ｋ＝-２８ ， 故 所求的最大负角为 β＝-５０°. （ ２ ） 由 ０° ＜ｋ · ３６０° ＋１０ ０３０° ＜３６０° ， 得 -１０ ０３０°＜ｋ · ３６０°＜-９ ６７０° ， 解得 ｋ＝-２７ ， 故 所求的最小正角为 β＝３１０°. （ ３ ） 由 ３６０°＜ｋ · ３６０°＋１０ ０３０°＜７２０° ， 得 -９ ６７０°＜ｋ · ３６０°＜-９ ３１０° ， 解得 ｋ＝-２６. 故所 求的角为 β＝６７０°. 反思感悟 所有与角 α 终边相同的角， 连同角 α 在内可以用式子 ｋ · ３６０°＋α （ ｋ∈Ｚ ） 表示， 在运用时需注意以下四点： （ １ ） ｋ 是整数， 这个条件不能漏掉 . （ ２ ） α 是任意角 . （ ３ ） ｋ · ３６０° 与 α 之间用 “ ＋ ” 连接 . （ ４ ） 终边相同的角不一定相等， 但相 等的角终边一定相同， 终边相同的角有无 数个， 它们相差周角的整数倍 . 变式训练 4 写出与 α＝-１ ９１０° 终边相同的角的集合， 并把集合中适合不等式 -７２０°≤β＜３６０° 的元 素 β 写出来 . 要点 5 角的对称问题 例 ５ 若角 α ， β 的终边互为反向延长 线， 则 α 与 β 之间的关系一定是 （ ） Ａ. α＝-β Ｂ. α＝１８０°＋β Ｃ. α＝ｋ · ３６０°＋β （ ｋ∈Ｚ ） Ｄ. α＝ｋ · ３６０°＋１８０°＋β （ ｋ∈Ｚ ） 解析 ： 如图所示 ， 以角 β 的终边的反向延 长线为终边的角有一个 为 １８０°＋β ， ∴α＝ｋ · ３６０°＋ １８０°＋β （ ｋ∈Ｚ ） . 故选 Ｄ. 反思感悟 常见对称性的两角有 （ １ ） α 与 β 的终边关于 ｘ 轴对称， 则 α＋β＝ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ； （ ２ ） α 与 β 的终边关于 ｙ 轴对称， 则 α＋β＝ （ ２ｋ＋１ ）· １８０° ， ｋ∈Ｚ ； （ ３ ） α 与 β 的终边关于原点对称， 则 α-β＝ （ ２ｋ＋１ ）· １８０° ， ｋ∈Ｚ ； （ ４ ） α 与 β 的终边在一条直线上， 则 α-β＝ｋ · １８０° ， ｋ∈Ｚ. 变式训练 5 已知角 α 的终边与 -１２０° 角的终边关于 ｙ 轴对称， 求 α 的度数 . 图 7-1-4 4 第七章 三角函数 学 要点 6 区域角的表示 例 ６ 如图， 分别写出 适合下列条件的角的集合： （ １ ） 终 边 落 在 射 线 ＯＭ 上； （ ２ ） 终 边 落 在 直 线 ＯＭ 上； （ ３ ） 终边落在阴影区域内 （含边界） . 解： （ １ ） 终边落在射线 ＯＭ 上的角的 集合为 Ａ＝ ｛ α｜α＝４５°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . （ ２ ） 终边落在射线 ＯＭ 反向延长线上的 角的集合为 Ｂ＝ ｛ α ｜α＝２２５°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝， 则终边落在直线 ＯＭ 上的角的集合为 Ａ∪Ｂ＝ ｛ α ｜α＝４５°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ∪ ｛ α ｜α＝２２５°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α ｜α＝４５°＋２ｋ · １８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ∪ ｛ α｜α＝４５°＋ （ ２ｋ＋１ ）· １８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝４５°＋ｎ · １８０° ， ｎ∈Ｚ ｝ . （ ３ ） 同理， 终边落在直线 ＯＮ 上的角的 集合为 ｛ β｜β＝６０°＋ｎ · １８０° ， ｎ∈Ｚ ｝， 故终边落 在阴影区域内 （含边界） 的角的集合为 ｛ α｜ ４５°＋ｎ · １８０°≤α≤６０°＋ｎ · １８０° ， ｎ∈Ｚ ｝ . 反思感悟 区域角是指终边落在坐标系的某个区 域内的角 . 其写法可分为三步： （ １ ） 先按逆时针的方向找到区域的起 始和终止边界； （ ２ ） 按由小到大分别标出起始和终止 边界对应的 ０°～３６０° 范围内的角 α 和 β ， 写 出最简区间 ｛ ｘ｜α＜ｘ＜β ｝； （ ３ ） 起始、 终止边界对应角 α ， β 再加 上 ３６０° 的整数倍， 即得区间角集合 . 变式训练 6 （ １ ） 写出终边在射线 ＯＡ ， ＯＢ 上的角的 集合； （ ２ ） 写出终边在阴影部分 （包括边界） 的角的集合 . 要点 7 角 琢 与 2琢 、 琢 2 、 琢 3 所在象限 关系问题 例 ７ 若 θ 为第三象限角， 求 θ 2 ， θ 3 角 所在象限， 并在该象限表示出来 . 解： 由已知得， ｋ · ３６０°＋１８０°＜θ＜ｋ · ３６０°＋ ２７０° ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｋ · １８０°＋９０°＜ θ 2 ＜ｋ · １８０°＋１３５° ， ｋ∈Ｚ ， 当 ｋ 为偶数时， θ 2 在第二象限； 当 ｋ 为奇数时， θ 2 在第四象限； 如图 １ ， θ 2 在第 二、 四象限的阴影区域内 （不含边界） . 图 7-1-5 图 7-1-6 图 2 图 1 图 7-1-7 5 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 又 ∵ｋ · １２０°＋６０°＜ 兹 3 ＜ｋ · １２０°＋９０° ， ｋ∈Ｚ ， 当 ｋ＝３ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， 兹 3 在第一象限； 当 ｋ＝３ｎ＋１ （ ｎ∈Ｚ ） 时， 兹 3 在第三象限； 当 ｋ＝３ｎ＋２ （ ｎ∈Ｚ ） 时， 兹 3 在第四象限 . 如图 ２ ， 兹 3 在第一、 三、 四象限的阴影 区域内 （不含边界） . 反思感悟 对于 琢 2 ， 琢 3 的判定 还有另一种方法——— 八卦图法 . ① 琢 2 所在象限的判 断方法： 第一步： 画出平面直角坐标系 . 如 图 １ ， 将每一象限两等分； 第二步： 标号 . 从靠近 ｘ 轴正半轴的第一象限内区域开始， 按 逆 时 针 方 向 ， 在 图 中 依 次 标 上 １ ， ２ ， ３ ， ４ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ； 第三步： 选号 . 因为 琢 为第一象限角， 在图中将数字 １ 的 范围画出， 可用阴影表示； 第四步： 定象 限 . 阴影部分在哪一象限， 则 琢 2 的终边就 落在哪一象限 . 由以上步骤可知， 若 琢 为第一象限角， 则 琢 2 为第一、 三象限角 . ② 琢 3 所在象限的判 断方法： 第一步： 画出 平面直角坐标系 . 如图 ２ ， 将每一象限三等分； 第二步： 标号 . 从靠近 ｘ 轴正半轴的第一象 限内区域开始， 按逆时针方向， 在图中依 次 标 上 １ ， ２ ， ３ ， ４ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ； 第三步： 选号 . 因为 琢 为第一象限角， 在图中将数字 １ 所在的区 域用阴影画出； 第四步： 定象限 . 阴影部分 在哪一象限， 则 琢 3 的终边就落在哪一象限 . 由以上步骤可知， 当 琢 为第一象限角 时， 则 琢 3 为第一、 二、 三象限角 . 变式训练 7 已知 琢 为第二象限角， 问 ２琢 ， 琢 2 分别 是第几象限角 . 图 1 图 2 6 第七章 三角函数 学 变式训练 8 如图 1 是杭州 2022 年第 19 届亚运会会 徽， 名为 “潮涌”， 形象象征着新时代中国 特色社会主义大潮的涌动和发展 . 如图 2 是 会徽的几何图形， 设弧 AD 长度是 l 1 ， 弧 BC 长度是 l 2 ， 几何图形 ABCD 面积为 S 1 ， 扇形 BOC 面积为 S 2 ， 若 l 1 l 2 =2 ， 则 S 1 S 2 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式训练 9 沈括的 《梦溪笔谈》 是中国古代科技史上的 杰作 ， 其中收录了计算 圆弧长度的 “会圆术 ”， 如图 ， A A B 是以 O 为圆 心 ， OA 为半径的圆弧 ， C 是 AB 的中点， D 在 A A B 上， CD⊥AB． “会 圆术” 给出 A A B 的弧长的近似值 s 的计算公 式： s=AB+ CD 2 OA ． 当 OA=2 ， ∠AOB=60° 时， s= （ ） A． １１-３ ３ 姨 2 B． １１-４ ３ 姨 2 C． 9-３ ３ 姨 2 D． 9-４ ３ 姨 2 数 学 文 化 例 中国传统扇 文化有着深厚的底蕴， 一般情况下 ， 折扇可 以看作是从一个圆形 中剪下的扇形制作而成的， 当折扇所在扇形 的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为 5 姨 -1 2 时， 折扇的外观看上去是比较美观 的， 则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数 为 （ ） Ａ. 5 姨 ＋１ Ｂ. 5 姨 +1 2 Ｃ. 5 姨 -1 4 Ｄ. 5 姨 -１ 解析： 设扇形的弧长为 ｌ ， 半径为 ｒ ， 圆 心角的弧度数为 α ， 由题意得 l 2r+l ＝ 5 姨 -1 2 ， 变形可得 l r ＝ 2 （ 5 姨 -1 ） 3- 5 姨 ＝ 5 姨 ＋１ ， ∵ｌ＝αｒ ， ∴ 折扇所在扇形的圆心角的弧度数为 5 姨 ＋ １. 故选 Ａ. 图 7-1-10 A D B C O 图 1 图 2 图 7-1-8 A B C D O 图 7-1-9 7 参 考 答 案 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 将时钟拨快时， 分针是顺时针转动， 且转 动角度为周角的三分之一， 故选 D. 变式训练 2 解 ： 由 题 意知 ∠ＡＯＢ＝15° ， ∠ＢＯＣ ＝-75° ， ∠ＣＯＤ ＝ 100° ， ∠ＤＯＥ＝-85° ， 因此 ∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＤ＋ ∠ＤＯＥ＝15°-75°＋100°-85°＝-45°. 变式训练 3 解： 以原点为顶点、 ｘ 轴的非负半轴为始边分别作出 225° ， -300° ， -450° ， 如图所示 . 观察角的终边所在位置， 知 225° ， -300° 分别是第三象 限角和第一象限角， -450° 的终边在 ｙ 轴负半轴上， 不属于 任何象限 . 变式训练 4 解： 由终边相同的角的表示知， 与角 α＝-1 910° 终边相 同的角的集合为 {β｜β＝ｋ · 360°-1 910° ， ｋ∈Ｚ} . ∵-720°≤β＜ 360°. 由 -720°≤ｋ · 360°-1 910°＜360° ， 3 11 36 ≤ｋ＜6 11 36 ， 故取 ｋ＝4 ， 5 ， 6. 当 ｋ＝4 时 ， β＝4×360°-1 910°＝-470° ； 当 ｋ＝5 时， β＝5×360°-1 910°＝-110° ； 当 ｋ＝6 时， β＝6×360°-1 910° ＝250°. 变式训练 5 解： ∵ 角 ［ 180°- （ -120° ）］ 与 -120° 角的终边关于 ｙ 轴 对称， ∴ 角 α 的终边与 300° 角的终边重合 . 故角 α 的集合 是 Ｓ＝{α｜α＝ｋ · 360°＋300° ， ｋ∈Ｚ} . 变式训练 6 解： （ 1 ） 终边在射线 ＯＡ 上的角的集合是 {α｜α＝210°＋ ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； 终边在射线 ＯＢ 上的角的集合是 {α ｜α＝300°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . （ 2 ） 终边在阴影部分 （含边界） 的角的集合是 {α｜210°＋ ｋ · 360°≤α≤300°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 变式训练 7 解： ∵α 是第二象限角， ∴90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∴180°＋2ｋ · 360°＜2α＜360°＋2ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∴2α 是第 三或第四象限角， 或是终边落在 ｙ 轴的非正半轴上的角 . 又 ∵45°＋ k 2 · 360°＜ α 2 ＜90°＋ k 2 · 360° ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ 为偶 数时， 令 ｋ＝2ｎ ， ｎ∈Ｚ ， 则 45°＋ｎ · 360°＜ α 2 ＜90°＋ｎ · 360° ， 此 时， α 2 为第一象限角； 当 ｋ 为奇数时， 令 ｋ＝2ｎ＋1 ， ｎ∈Ｚ ， 则 225°＋ｎ · 360°＜ α 2 ＜270°＋ｎ · 360° ， 此时， α 2 为第三象限角 . ∴ α 2 为第一或第三象限角 . 变式训练 8 C 【解析】 设 ∠BOC=α ， 由 l 1 l 2 =2 ， 得 ｜OA｜ · α ｜OB｜ · α = ｜OA｜ ｜OB｜ =2 ， 即 ｜OA ｜=2 ｜OB ｜ ， ∴ S 1 S 2 = 1 2 α · ｜OA｜ 2 - 1 2 α · ｜OB｜ 2 1 2 α · ｜OB｜ 2 = ｜OA｜ 2 -｜OB｜ 2 ｜OB｜ 2 = 4｜OB｜ 2 -｜OB｜ 2 ｜OB｜ 2 =3. 故选 C. 变式训练 9 B 【解析 】 如图 ， 连接 OC ， ∵C 是 AB 的中点 ， ∴OC⊥AB. 又 CD⊥ AB ， ∴O ， C ， D 三点共线 ， 即 OD= OA=OB=2. 又 ∠AOB=60° ， ∴AB=OA= OB =2 ， 则 OC = 3 姨 ， 故 CD =2 - 3 姨 ， ∴s=AB+ CD 2 OA =2+ （ 2- 3 姨 ） 2 2 = 11-4 3 姨 2 . 故选 B. 随堂练习 1. Ｃ 2. Ｄ 3. Ｃ 4. ｋ · 360° （ ｋ∈Ｚ ） 5. 解： （ 1 ） 与 -120° 终边相同的角的集合为 Ｍ＝{β｜β＝ -120°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 当 ｋ＝1 时， β＝-120°＋1×360°＝240° ， ∴ 在 0° 到 360° 范围 内， 与 -120° 终边相同的角是 240° ， 它是第三象限的角 . （ 2 ） 与 640° 终边相同的角的集合为 Ｍ＝{β ｜β＝640°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 当 ｋ＝-1 时 ， β＝640°-360°＝280° ， ∴ 在 0° 到 360° 范围 内， 与 640° 终边相同的角为 280° ， 它是第四象限的角 . 练习手册 效果评价 1. Ｄ 【解析 】 由题意 ， 得 -1 120°＝-4×360°＋320° ， 而 参 考 答 案 变式训练 3 答图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 第七章 三角函数 变式训练 9 答图 D C B A O 21 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 320° 在第四象限， ∴-1 120° 角也在第四象限 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析 】 终边在第二象限的角的集合可表示为 {α｜90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， 而选项 Ｄ 是从顺时 针方向来看的， 故选 Ｄ. 3. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 与角 γ＋45° 的终边相同， 故 α＝γ＋ 45°＋ｋ · 360° ， 其中 ｋ∈Ｚ ， 同理 β＝γ-45°＋ｋ 1 · 360° ， 其中 ｋ 1 ∈ Ｚ ， 故 α-β＝90°＋ｎ · 360° ， 其中 ｎ∈Ｚ. 当 ｎ＝0 或 ｎ＝1 时， α- β＝90° 或 α-β＝450° ， 故 Ａ 、 Ｃ 正确 . 令 360°＝90°＋ｎ · 360° ， 此 方程无整数解 ｎ ； 令 2 330°＝90°＋ｎ · 360° ， 即 56＝9ｎ ， 此方 程无整数解 ｎ ； 故 Ｂ 、 Ｄ 错误 . 故选 ＡＣ. 4. Ｃ 【解析 】 当 ｋ＝4ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ｎ · 360° ； 当 ｋ＝ 4ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝90°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋2 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝180°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋3 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝270°＋ｎ · 360°. ∴ 集合 Ｍ 中各角的终边都在 ｘ 轴或 ｙ 轴上 . 故选 Ｃ. 5. Ａ 【解析】 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝2ｎ · 180°＋45°＝ｎ · 360°＋45° ， α 为第一象限角 ； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ （ 2ｎ＋1 ）· 180°＋45°＝ｎ · 360°＋225° ， α 为第三象限角， ∴α 为第 一或第三象限角 . 故选 Ａ. 6. ＡＢＣ 【解析】 依题意知 0＜α＜90° ， ∴0°＜2α＜180° ， 故 Ａ 正确； 180°＜180°＋α＜270° ， ∴180°＋α 是第三象限角， 故 Ｂ 正确 ； 0＜ α 2 ＜45° ， ∴ α 2 是锐角， 故 Ｃ 正确 ； 0°＜2α＜180° ， 当 2α＝90° 时 ， 不是第一或第二象限角 ， 故 Ｄ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 7. 1 110° 【解析】 按逆时针方向旋转得到的角是正角， 旋转三周则得 30°＋3×360°＝1 110°. 8. -5 -60 【解析】 将钟表拨快 10 分钟， 则时针按顺 时针方向转了 10× 360° 12×60 ＝5° ， 所转成的角度是 -5° ； 分针按 顺时针方向转了 10× 360° 60 ＝60° ， 所转成的角度是 -60°. 9. 214° -146° 【解析】 ∵2 014°＝5×360°＋214° ， ∴ 与角 α 终边相同的角的集合为 {α｜α＝214°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 最 小正角是 214° ， 最大负角是 -146°. 10. 解： 先写出边界角， 再按逆时针顺序写出区域角 . （ 1 ） {α｜30°＋ｋ · 360°≤α≤150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； （ 2 ） {α｜150°＋ｋ · 360°≤α≤390°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 由题意知 ｋ · 360°＜2α＜180°＋ｋ · 360° （ ｋ∈ Ｚ ）， 故 ｋ · 180°＜α＜90°＋ｋ · 180° （ ｋ∈Ｚ ）， 按照 ｋ 的奇偶性进 行讨论 . 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， ｎ · 360°＜α＜90°＋ｎ · 360° （ ｎ∈ Ｚ ）， ∴α 在第一象限； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， 180°＋ｎ · 360° ＜α＜270°＋ｎ · 360° （ ｎ∈Ｚ ）， ∴α 在第三象限 . 故 α 在第一或 第三象限 . 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 α 的终边和 60° 的终边相同， β 的终边与 120° 的终边相同 ， ∵180°-120°＝60° ， ∴ 角 α 与 β 的终边的 位置关系是关于 ｙ 轴对称 . 故选 Ｄ. 13. 150° ＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ 【解 析】 ∵30° 与 150° 的终边关于 ｙ 轴对 称 ， ∴β 的终边与 150° 角的终边相 同 . ∴β＝150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. 14. {β ｜β＝60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} 【解析 】 如图， 直线 ｙ＝ 3 姨 ｘ 过原 点 ， 倾斜角为 60° ， 在 0°～360° 范围内 ， 终边落在射线 ＯＡ 上的角是 60° ， 终边落在射线 ＯＢ 上的角是 240° ， ∴ 以射线 ＯＡ ， ＯＢ 为终边的角的集合为 Ｓ 1 ＝{β｜β＝60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， Ｓ 2 ＝{β｜β＝240°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 角 β 的集合 Ｓ＝Ｓ 1 ∪Ｓ 2 ＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}∪{β ｜β＝60°＋180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}＝{β ｜β＝ 60°＋2ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ}∪{β｜β＝60°＋ （ 2ｋ＋1 ）· 180° ， ｋ∈Ｚ}＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} . 15. 解： 由题意可知 ： α＋β＝-280°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴0°＜α＋β＜180°. 取 ｋ＝1 ， 得 α＋β＝80° ， ① α-β＝670°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴-90°＜α-β＜90°. 取 ｋ＝-2 ， 得 α-β＝-50° ， ② 由 ①② 得， α＝15° ， β＝65°. 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 学习手册 变式训练 1 Ｄ 【解析】 半圆所对圆心角 α＝ πr r ＝π ， 故 Ａ 正确； 周角 α＝ 2πr r ＝2π ， 故 Ｂ 正确； 由 1 ｒａｄ 角的定义知 Ｃ 选项正确， Ｄ 选项错误， 故选 Ｄ. 变式训练 2 解： （ 1 ） 112°30′＝ 225 2 2 & ° ＝ 225 2 × π 180 ＝ 5π 8 . （ 2 ） - 5π 12 ＝- 5π 12 × 180 π 2 & ° ＝-75°. 变式训练 3 解： 题图 1 中， 以 ＯＢ 为终边的 330° 角与 -30° 角的终 边相同， -30°＝- π 6 ， 而 75°＝75× π 180 ＝ 5π 12 ， 阴影部分 （不 包括边界 ） 位于 - π 6 与 5π 12 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边 在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角 的 集 合 为 α- π 6 ＋2ｋπ π ＜α＜ 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 题图 2 中， 以 ＯＢ 为终边的 225° 角与 -135° 角的终边相 同， -135°＝-135× π 180 ＝- 3π 4 ， 而 135°＝ 3π 4 ， 阴影部分 （不 包括边界） 位于 - 3π 4 与 3π 4 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角的 集合 为 α- 3π 4 ＋2ｋπ π ＜α＜ 3π 4 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 变式训练 4 解 ： （ 1 ） 设该弧所对的圆心角为 α ， 则 α＝ l r ＝ 18 12 ＝ 3 2 ， 该扇形面积为 Ｓ＝ 1 2 lr＝ 1 2 ×18×12＝108 （ ｃｍ 2 ） . （ 2 ） 设该扇形的圆心角为 α ， 半径为 ｒ ， 周长为 Ｐ ， 依 题意知 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ＝1 ， Ｐ＝ｌ＋2ｒ＝4 π ， 解得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 π ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 该扇形 ＯＡＢ 的圆心角 ∠ＡＯＢ 的弧度数为 2 ｒａｄ. 第 14 题答图 22