5.1.3 数据的直观表示-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

参 考 答 案 ∴ 全班同学成绩的方差是 s 2 = 1 45 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -45×78 2 ］ = 1 45 × ［（ 121 545+ 155 700 ） -273 780 ］ =77. （ 3 ） 能 . 若后 30 名中有人不及格， 设该同学为 b 30 ， 则 b 30 ≤59 ， 该同学比平均分低至少 13 分， 那么其他同 学比平均分高出的分数至少有 13 分， ∴ （ b 1 -72 ） 2 + … + （ b 30 -72 ） 2 ≥13+169=182 ， 而 （ b 1 -72 ） 2 + （ b 2 -72 ） 2 + … + （ b 30 - 72 ） 2 =180 ， 182>180 ， 矛盾， ∴ 必定全部及格 . 5.1.3 数据的直观表示 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95+104 2 = 99.5 ， 故 A 错误； 这 12 天中， 空气质量为 “优良” 的 有 95 ， 85 ， 77 ， 67 ， 72 ， 92 共 6 天， 故 B 错误； 从 4 日到 9 日， 空气质量越来越好， 故 C 正确； 这 12 天的 AQI 的平均值为 110 ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 3 【解析】 由茎叶图知， 甲、 乙两组共 24 名同学中， 成绩不及格的有 12 人， 分层抽样的抽取比例为 6 24 = 1 4 ， ∴ 不及格的分数应抽取 1 4 ×１２=3 （个） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 样本容量是 100. （ 2 ） ①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示 . （ 3 ） 设旅客平均购票用时为 t min ， 则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 100 ≤t< 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 100 ， 即 15≤t<20 ， ∴ 旅客购票用时的平均数可能落在第 四组 . 随堂练习 1. B 【解析】 由题意知去掉一个最高分和一个最低 分以后， 两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲 和乙的平均分为 a 1 = 1+4+5×3 5 +80=84 ， a 2 = 7+6+4×3 5 +80= 85 ， 故有 a 2 >a 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意 ， 初中部女教师人数为 110× 70%=77 （人）， 高中部女教师人数为 150×40%=60 （人）， 总共有 77+60=137 （人） . 故选 C. 3. C 【解析】 由频率分布直方图得， 第一组、 第二 组的频率为 5×0.02+5×0.04=0.3 ， 第三组的频率为 5× 0.08=0.4 ， ∴ 中位数落在第三组并设为 x ， 则有 （ x-20 ） × 0.08=0.2 ， 解得 x=22.5. 故选 C. 4. n m x 【解析】 由图可得 n=5 ， m=5.5 ， x>5.5 ， ∴n<m<x. 5. A 【解析 】 成绩落在小于 17 s 的频率为 0.34+ 0.36+0.18+0.02=0.90 ， ∴x=0.9 ； 成绩落在大于等于 15 s 且小于 17 s 的频率为 0.34+0.36=0.70 ， ∴ 对应的人数为 50×0.70=35. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 在 ① 中， 1 月至 8 月空气质量合格天数 超过 20 天的月份有 1 月、 2 月、 6 月、 7 月、 8 月， 共 5 个， 故 ① 正确； 在 ② 中， 第一季度合格天数的比重为 22+26+19 31+29+31 ≈0.736 3 ； 第 二 季 度 合 格 天 数 的 比 重 为 19+13+25 30+31+30 ≈0.626 4 ， ∴ 第二季度与第一季度相比， 空气 合格天数的比重下降了， ∴② 是正确的； 在 ③ 中， 8 月空 气质量合格天数达到 30 天， 是空气质量最好的一个月， ∴③ 是正确的； 在 ④ 中， 5 月空气质量合格天数只有 13 天， 5 月的空气质量最差， ∴④ 是错误的 . 故选 A. 2. D 【解析 】 易得他们健身前后 ， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占比均为 40% ， 故 A 正确； 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 50％- ３０％＝２0％ ， 即 ２0×20%=4 （人）， 故 B 正确； 因为健身后 体重在区间 ［ 80 kg ， 90 kg ） 内的人数占 30% ， ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占 40% ， 故中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） ， 故 C 正 确 ； 易 举 出 反 例 ， 若 原 体 重 在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者重量为 110 kg ， 减肥后为 109 kg 依然满足， 故 D 错误 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意可知， 成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内 的人数为 1 000×10× （ 0.020+0.010 ） =300 （人） . 故选 B. 4. D 【解析】 设 2020 年该校参加高考的人数为 S ， 则 2023 年该校参加高考的人数为 1.5S. 2020 年一本达线 人数为 0.28S ， 2023 年一本达线人数为 0.24×1.5S=0.36S ， 可见一本达线人数增加了， 故 A 错误； 2020 年二本达线 人数为 0.32S ， 2023 年二本达线人数为 0.4×1.5S=0.6S ， 变式训练 3 答图 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 O 55 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 显然 2023 年二本达线人数不是增加了 0.5 倍， 故 B 错 误； 2020 年和 2023 年， 艺体达线率没变， 但是人数是 不相同的 ， 故 C 错误 ； 2020 年不上线人数为 0.32S ， 2023 年不上线人数为 0.28×1.5S=0.42S ， 不达线人数有所 增加， 故 D 正确 . 故选 D. 5. 1 234 【解析】 由需求率柱形图， 可求得需求面积 在 100~140 的需求率为 49.5%+12.2%=61.7%. ∴ 所求客 户数 n=2 000×61.7%=1 234. 6. ③ 【解 析 】 由 柱 形 图 易 知 甲 的 平 均 数 x 甲 = 4+5+6+7+8 5 =6 ， 中位数为 ６ ， 方差 s 2 甲 = （ -2 ） 2 + （ -1 ） 2 +0 2 +1 2 +2 2 5 =2 ， 极差为 8-4=4 ； 乙的平均数 x 乙 = 3×5+6+9 5 = 30 5 =6 ， 中位数为 5 ， 方差 s 2 乙 = 3× （ 6-5 ） 2 + （ 6-6 ） 2 + （ 6-9 ） 2 5 = 3+0+9 5 >2 ， 极差为 9-5=4 ， 故 x 甲 =x 乙 ， 甲、 乙成绩的中位数不 相等且 s 2 乙 >s 2 甲 ， 甲、 乙成绩的极差相等 . 7. 14 不合理 【解析】 由直方图可知： 这一天上网 学习时间在 100~119 min 之间的学生人数的频率为 0.35 ， 则人数为 40×0.35=14 （人）； “ 40 名学生” 这个样本相 对于 “该校高一年级全体学生” 这个总体数据太小， 不 具有代表性， ∴ 如果只用这 40 名学生这一天上网学习时 间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天上网学习 时间， 这样的推断是不合理的 . 8. 0.82 【解析】 先考虑进行换算前 36 分以上 （含 36 分） 的学生的频率， 该频率为 1-0.015×12=0.82 ， 换算 后， 原来 36 分以上 （含 36 分） 的学生都算及格， 故这 次测试的及格率将变为 0.82. 9. 解： （ 1 ） 依图可得 （ 2a+3a+7a+6a+2a ） ×10=1 ， 解 得 a=0.005. （ 2 ） 根据题意得 （ 55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95× 2a ） ×10=76.5. （ 3 ） 由图可知， ［ 50 ， 60 ）， ［ 60 ， 70 ）， ［ 70 ， 80 ）， ［ 80 ， 90 ）， ［ 90 ， 100 ］ 对应频率分别为 0.1 ， 0.15 ， 0.35 ， 0.3 ， 0.1 ， 前两组频率之和恰为 0.25 ， 故第一四分位数为 70.0. 前三组频率之和为 0.6 ， 前四组频率之和为 0.9 ， ∴ 第 80 百分位数在第四组 . 设第 80 百分位数为 x ， 则 0.6+ （ x-80 ） ×10×0.03=0.8 ， 解得 x≈86.7. 提升练习 10. BC 【解析】 样本中支出在 ［ 50 ， 60 ） 元的频率 为 1- （ 0.01+0.024+0.036 ） ×10=0.3 ， 故 A 错误； 样本中支出不少于 40 元的人数为 0.036 0.03 ×60+60=132 ， 故 B 正确； n= 60 0.3 =200 ， 故 C 正确； 若该校有 2 000 名学生， 则可能有 0.3×2 000=600 人 支出在 ［ 50 ， 60 ） 元， 故 D 错误 . 故选 BC. 11. ABC 【解析】 甲成绩的平均数 x 甲 = 1 9 × （ 68+74+ 77+83+83+89+84+92+93 ） = 743 9 ， 乙成绩的平均数 x 乙 = 1 9 × （ 64+66+74+76+85+87+98+ 98+95 ） = 743 9 ， 故 A 正确； 由茎叶图知甲成绩的中位数 是 83 ， 乙成绩的中位数是 85 ， 故 B 正确； 由茎叶图知 甲的数据相对集中， 乙的数据相对分散， 故甲的各科成 绩比乙的各科成绩稳定， 故 C 正确； 甲成绩的众数是 83 ， 乙成绩的众数是 98 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. 解： （ 1 ） ∵ 各小组的频率之和为 1.00 ， 第一、 三、 四、 五小组的频率分别是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， ∴ 第二小组的频率为 1.00- （ 0.30+0.15+0.10+0.05 ） = 0.40 ， ∴ 落在 59.5~69.5 的第二小组的小长方形的高 = 频率 组距 = 0.40 10 =0.04 ， 则补全的频率分布直方图如图所示 . （ 2 ） 设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人， ∵ 第 二小组的频数为 40 人， 频率为 0.40 ， ∴ 40 x =0.40 ， 解得 x=100 ， ∴ 这两个班参赛的学生人数为 100 人 . （ 3 ） ∵0.3×100=30 ， 0.4×100=40 ， 0.15×100=15 ， 0.10 ×100=10 ， 0.05×100=5 ， 即第一、 二、 三、 四、 五小组的 频数分别为 30 ， 40 ， 15 ， 10 ， 5 ， ∴ 九年级两个班参赛 学生的成绩的中位数应落在第二小组内 . 13. AC 【解析】 从折线图能看出世界人口的变化情 况， 故 A 正确； 从柱形图中可得到， 2050 年非洲人口 大约将达到 17 亿， 故 B 错误； 从扇形图中能够明显地 得到结论： 2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要 多， 故 C 正确； 由题中三幅图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢 ， 故 D 错误 ． 故选 AC. 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 分数 0 第 12 题答图 56 参 考 答 案 * 14. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图得， 一刀宣纸有正 牌 100×0.1×4=40 （张）， 有副牌 100×0.05×4×2=40 （张）， 有废品 100×0.025×4×2=20 （张）， ∴ 该公司一刀宣纸的 利润的估计值为 40×15+40×8-20×20=520 （元）， ∴ 估计 该公司的年利润为 520 万元 . （ 2 ） 由频率分布直方图得， x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58× 0.025×4=50. 根据表中数据， 这种机器生产的一刀宣纸中有正牌 的张数估计为 100×0.682 7=68.27 （张）， 废品的张数估计为 100× （ 1-0.954 5 ） ＝4.55 （张）， 副牌的张数为 100× （ 0.954 5-0.682 7 ） =27.18 （张）， ∴ 一刀宣纸的利润为 68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14 （元）， ∴ 改进后该公司的年利润为 864.14-100= 764.14 （万元）， ∵764.14>520 ， ∴ 建议该公司购买这种 机器 . 5.1.4 用样本估计总体 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 根据频率分布直方图得 （ 0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016 ） ×10=1 ， 解得 a=0.020. （ 2 ） 由众数的概念可知， 众数是出现次数最多的数， ∴ 众数为 70+80 2 =75. ∵0.004×10+0.006×10+0.020×10=0.3 ， ∴ 前三个小矩形的面积的和为 0.3 ， 而第四个小矩形的 面积为 0.030×10=0.3 ， 0.3+0.3=0.6>0.5 ， ∴ 中位数应位于 ［ 70 ， 80 ） 内， 中位数 =70+ 0.5-0.3 0.3 ×10= 230 3 ≈76.7. 平均数为 45× （ 0.004×10 ） +55× （ 0.006×10 ） +65× （ 0.020× 10 ） +75 × （ 0.030 ×10 ） +85 × （ 0.024 ×10 ） +95 × （ 0.016 ×10 ） = 76.2. （ 3 ） 前 5 个小组的频率之和是 （ 0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024 ） ×10=0.84 ， ∴ 第 90 百分位数在第五小组 ［ 90 ， 100 ］ 内， 为 90+ 0.90-0.84 1-0.84 ×10= 375 4 =93.75. 变式训练 2 解： 把专业人士打分样本记为 x 1 ， x 2 ， …， x 8 ， 其平 均数记为 x ， 方差记为 s 2 x ； 把观众代表打分样本记为 y 1 ， y 2 ， …， y 12 ， 其平均数为 y ， 方差记为 s 2 y ； 把总体数据的 平均数记为 z ， 方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z= 8 20 ×47.4+ 12 20 ×56.2=52.68 （分）， 总样本方差为： s 2 = 1 20 8 i=1 移 （ x i -z ） 2 + 12 j=1 移 （ y j -z ） ） $ 2 = 1 20 {8 ［ s 2 x + （ x-z ） 2 ］ +12 ［ s 2 y + （ y-z ） 2 ］ } = 1 20 ×{８× ［ 3.7 2 + （ 47.4-52.68 ） 2 ］ +12× ［ 11.8 2 + （ 56.2-52.68 ） 2 ］ } =107.6 ， 总样本标准差 s≈10.37. ∴ 这名选手得分的平均数为 52.68 分， 标准差约为 10.37. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题中数据可得， 频率分布表如下： （ 2 ） 频率分布直方图如图： （ 3 ） 该月水电费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的 百分比为 0.13+0.07=0.2=20%. 随堂练习 1. B 【解析 】 根据频率分布直方图中每组的高为 频率 组距 ， 可知 m |a-b| =h ， ∴|a-b|= m h . 故选 B. 2. A 【解析】 根据题中统计图， 可知有 4 人成绩在 ［ 0 ， 20 ） 之间， 其考试分数之和为 4×10=40 ； 有 8 人成 绩在 ［ 20 ， 40 ） 之间， 其考试分数之和为 8×30=240 ； 有 10 人成绩在 ［ 40 ， 60 ） 之间 ， 其考试分数之和为 10× 50=500 ； 有 6 人成绩在 ［ 60 ， 80 ） 之间， 其考试分数之 和为 6×70=420 ； 有 2 人成绩在 ［ 80 ， 100 ） 之间， 其考 试分数之和为 2×90=180. 由此可知， 考生总人数为 4+8+ 10+6+2=30 ， 考试总成绩为 40+240+500+420+180=1 380 ， 平均数为 1 380 30 =46. 故选 A. 3. B 【解析】 在频率分布直方图中， 长方形的面积 表示其频率 . 根据所给数据， 估计该校高一年级期末数 分组 频数 频率 ［ 320 ， 380 ） 6 0.20 ［ 380 ， 440 ） 18 0.60 ［ 440 ， 500 ） 4 0.13 ［ 500 ， 560 ］ 2 0.07 合计 30 1.00 频率 组距 月水电费用 / 元 320 380 440 500 560 0.01 0.003 3 0.002 2 0.001 2 变式训练 3 答图 57 日期： 班级： 姓名： 1. 某校开展 “爱我母校 ， 爱 我家乡 ” 摄影比赛 ， 七位 评委为甲 、 乙两名选手的 作品打出的分数的茎叶图 如图所示 （其中 m 为数字 0~9 中的一个）， 去掉一个最高 分和一个最低分后， 甲、 乙两名选手得分的平均数分别为 a 1 ， a 2 ， 则一定有 （ ） A. a 1 >a 2 B. a 2 >a 1 C. a 1 =a 2 D. a 1 ， a 2 的大小与 m 的值有关 2. 某中学初中部共有 110 名教 师， 高中部共有 150 名教师， 其性别比例如图所示， 则该 校女教师的人数为 （ ） A. 93 B. 123 C. 137 D. 167 3. 某工厂对一批新产品 的长度 （单位 ： mm ） 进行检测， 检测结果 的频率分布直方图如 5.1.3 数据的直观表示 甲 乙 0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3 第 1 题图 70% 女 男 初中部 男 女 60% 高中部 第 2 题图 频率 组距 长度 /mm 10 15 20 25 30 35 0.08 0.04 0.03 0.02 0 第 3 题图 27 图所示， 据此估计这批产品的中位数为 （ ） A. 20 B. 25 C. 22.5 D. 22.75 4. 为了普及环保知识 ， 增强环保意识， 某高 中随机抽取 30 名学 生参加环保知识测 试 ， 得分 （十分制 ） 如图所示， 假设得分 值的中位数为 m ， 众数为 n ， 平均数为 x ， 则这三个数的 大小关系为 < < . 5. 某班 50 名学生在一次百米测 试中， 成绩全部介于 13 s 与 19 s 之间， 将测试结果按如 下方式分成六组 ： 第一组 ， 成绩大于等于 13 s 且小于 14 s ； 第二组， 成绩大于等于 14 s 且小于 15 s ； … ； 第六组 ， 成绩大于等于 18 s 且小于等 于 19 s. 右图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图 . 设成绩小于 17 s 的学生人数占全 班总人数的百分比为 x ， 成绩大于等于 15 s 且小于 17 s 的 学生人数为 y ， 则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别 为 （ ） A. 0.9 ， 35 B. 0.9 ， 45 C. 0.1 ， 35 D. 0.1 ， 45 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 得分 10 8 6 4 2 0 2 3 6 10 2 2 3 2 第 4 题图 频率 组距 13 14 15 16 17 18 19 成绩 /s 0.36 0.34 0.06 0.04 0.02 0.18 0 第 5 题图 28