5.1.2 数据的数字特征-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 16 位参加百米半决赛同学的成绩各不相同， 按成绩取前 8 位进入决赛 . 如果小刘知道了自己的成绩后， 要判断能否进 入决赛， 其他 15 位同学成绩的下列数据中， 能使他得出结 论的是 （ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 方差 2. 一次数学测试中， 高一 （ 1 ） 班 1 小组 12 名学生的成绩分 别是 58 分、 67 分、 73 分、 74 分、 76 分、 82 分、 82 分、 87 分、 90 分、 92 分、 93 分、 98 分， 则这次测试该小组 12 名学生成绩的众数、 平均数、 75% 分位数分别是 （ ） A. 82 ， 82 ， 90 B. 82 ， 81 ， 92 C. 82 ， 80 ， 91 D. 82 ， 81 ， 91 3. （多选题） 若某同学连续三次考试的名次 （第一名为 1 ， 第 二名为 2 ， 以此类推且可以有名次并列的情况） 均不超过 3 ， 则称该同学为班级的尖子生 . 根据甲、 乙、 丙、 丁四位 同学过去连续三次考试的名次数据， 推断一定是尖子生的 有 （ ） A. 甲同学： 平均数为 2 ， 中位数为 2 B. 乙同学： 平均数为 2 ， 方差小于 1 5.1.2 数据的数字特征 25 C. 丙同学： 中位数为 2 ， 众数为 2 D. 丁同学： 众数为 2 ， 方差大于 1 4. 从甲、 乙、 丙三个厂家生产的同一种产品中分别抽取 8 件 产品， 对其使用寿命 （单位： 年） 进行追踪调查的结果 如下： 甲： 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 8 ， 8 ， 10 ； 乙： 4 ， 6 ， 6 ， 6 ， 8 ， 9 ， 12 ， 13 ； 丙： 3 ， 3 ， 4 ， 7 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是 8 年， 请根据结 果判断厂家在广告中分别运用了平均数、 众数、 中位数中 的哪一种集中趋势的特征数 . 甲： ， 乙： ， 丙： . 5. 某工厂甲、 乙两名工人参加操作技能培训， 他们在培训期 间参加的 8 次测试成绩记录如下： 甲： 95 82 88 81 93 79 84 78 乙： 83 92 80 95 90 80 85 75 试比较哪个工人的成绩较好 . 26 参 考 答 案 ② 按照样本容量的比例， 随机抽取各乡镇应抽取的 样本： 300× 3 15 =60 （人 ）， 300× 2 15 =40 （人 ）， 300× 5 15 = 100 （人）， 300× 2 15 =40 （人）， 300× 3 15 =60 （人）； ③ 将 300 人组到一起就得到一个样本 . 5.1.2 数据的数字特征 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 输入的数据比实际数据小 90 ， 90 30 =3 ， ∴ 求出的平均数比实际的平均数小 3 ， 即求出的平均数减 去实际的平均数等于 -3. 故选 B. 变式训练 2 4 5 【解析】 平均每人植树 20×3+15×4+10×5+5×6 20+15+10+5 = 4 （棵）， ∵50×75%=37.5 ， ∴ 这 50 名学生每人植树数的 75% 分位数是 5. 变式训练 3 解： x 甲 = 1 6 × （ 99+100+98+100+100+103 ） =100 ， x 乙 = 1 6 × （ 99+100+102+99+100+100 ） =100. s 2 甲 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 98-100 ） 2 + （ 100- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 103-100 ） 2 ］ = 7 3 ， s 2 乙 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 102-100 ） 2 + （ 99- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 ］ =1. 变式训练 4 ①②③ 【解析 】 根据众数 、 平均数 、 中位数概念 得， 5 年后， 众数、 平均数、 中位数相应增加 5 ， 而标 准差不变 . ∴ 这七人年龄的众数变为 40 ， 平均数变为 49 ， 中 位数变为 60 ， 标准差不变， 为 19. 即正确的有 ①②③. 随堂练习 1. C 【解析】 判断能否进入决赛， 只要判断是不是 前 8 名即可， 所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是 不是有 8 位高于他， 也就是把其他 15 位同学的成绩排 列后看第 8 位的成绩即可， 其成绩高于这个成绩就能进 入决赛， 低于这个成绩就不能进入决赛， 这个第 8 位同 学的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数 . 故选 C. 2. D 【解析】 这组数据中 82 出现的次数最多， 故众数 为 82. 平均数为 58+67+73+74+76+82+82+87+90+92+93+98 12 = 81. ∵12×75%=9 ， ∴ 这组数据的 75% 分位数为 90+92 2 =91. 故选 D. 3. AB 【解析】 甲同学名次数据的平均数为 2 ， 说明 名次之和为 6 ， 又中位数为 2 ， 得出三次考试名次均不 超过 3 ， 断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为 2 ， 说明名次之和为 6 ， 又方差小于 1 ， 得出三次考试名 次均不超过 3 ， 断定乙是尖子生； 丙同学名次数据的中 位数为 2 ， 众数为 2 ， 说明其三次考试中至少有两次名 次为 2 ， 而另一次考试的名次可能超过 3 ， 也可能不超 过 3 ， 故丙可能是尖子生， 也可能不是尖子生； 丁同学 名次数据的众数为 2 ， 方差大于 1 ， 说明其某两次名次 为 2 ， 设另一次名次为 x ， 经验证， 当 x=1 ， 2 ， 3 时， 方 差均小于 1 ， 故 x>3 ， 断定丁一定不是尖子生 . 故选 AB. 4. 众数 平均数 中位数 【解析】 对甲分析： 8 出 现的次数最多， 故运用了众数； 对乙分析： 8 既不是众数， 也不是中位数， 求平均 数可得， 平均数 = 1 8 × （ 4+6+6+6+8+9+12+13 ） =8 ， 故运用 了平均数； 对丙分析： 共 8 个数据， 最中间的是 7 和 9 ， 故其 中位数是 8 ， 即运用了中位数 . 5. 解： x 甲 = 1 8 × （ 78+79+81+82+84+88+93+95 ） =85 ， x 乙 = 1 8 × （ 75+80+80+83+85+90+92+95 ） =85. s 2 甲 = 1 8 × ［（ 78-85 ） 2 + （ 79-85 ） 2 + （ 81-85 ） 2 + （ 82-85 ） 2 + （ 84-85 ） 2 + （ 88-85 ） 2 + （ 93-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =35.5 ， s 2 乙 = 1 8 × ［（ 75-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 83-85 ） 2 + （ 85-85 ） 2 + （ 90-85 ） 2 + （ 92-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =41. ∵x 甲 =x 乙 ， s 2 甲 <s 2 乙 ， ∴ 甲的成绩较稳定 . 综上可知， 甲的成绩较好 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 3x 1 +2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的平均数是 3x+2 ， 由 于 数据 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的方 差 为 s 2 ， ∴3x 1 + 2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的方差为 9s 2 . 故选 C. 2. D 【解析 】 由小到大排列的结果 ： 6 ， 7 ， 15 ， 36 ， 39 ， 40 ， 41 ， 42 ， 43 ， 47 ， 49 ， 一共 11 项 . 第一四 分位数即第 25 百分位数， 由 11×25%=2.75 ， 得第一四分 位数是第 3 项数据 15. 故选 D. 3. C 【解析 】 由题意得该组数据的中位数为 1 2 （ x +2 ） =1+ x 2 ， 众数为 2 ， ∴1+ x 2 =2× 3 2 =3 ， ∴x=4. ∴ 该组数 据的平均数为 x= 1 6 × （ 1+2+2+4+5+10 ） =4 ， ∴ 该组数据的 53 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 方差为 s 2 = 1 6 × ［（ 1-4 ） 2 + （ 2-4 ） 2 + （ 2-4 ） 2 + （ 4-4 ） 2 + （ 5-4 ） 2 + （ 10-4 ） 2 ］ =9 ， ∴ 该组数据的标准差为 3. 故选 C. 4. C 【解析】 若 10 天内数据为 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 10 ， 满足均值为 3 ， 中位数为 4 ， 存在超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 A 错误； 若 10 天内数据 为 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 10 ， 满足均值为 1 ， 方 差大于 0 ， 存在超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 B 错误； 设 10 天内存在一天超过 7 人， 为最低的超过标 志的人数： 8 人， 则必有 s 2 = 1 10 ［（ x 1 -2 ） 2 + … + （ x 9 -2 ） 2 + （ 8- 2 ） 2 ］ >3 ， 可知方差不可能为 3 ， 可知假设错误， 则必符 合该标志， 则 C 正确； 若 10 天内数据为 0 ， 0 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 10 ， 满足中位数为 2 ， 众数为 3 ， 存在 超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 D 错误 . 故选 C. 5. B 【解析】 ∵ 数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， …， x n 是某市普通 职工 n （ n≥3 ， n∈N * ） 个人的年收入， 而 x n+1 为世界首 富的年收入， 则 x n+1 会远大于 x 1 ， x 2 ， x 3 ， …， x n ， 故这 （ n+1 ） 个数据中， 年收入平均数大大增大， 但中位数可 能不变， 也可能稍微变大， 但由于数据的集中程度也受 到 x n+1 比较大的影响， 而更加离散， 则方差变大 . 故选 B. 6. A 【解析】 由题知： a ， b∈{x∈N|x≤9} ， 将甲组 数据从小到大排列得 156 ， 162 ， 165 ， 170+a ， 174 或 156 ， 162 ， 165 ， 174 ， 170+a ， 故中位数为 165 ； 要使两 组数据的中位数相同 ， 将乙组数据从小到大排列得 159 ， 161 ， 160+b ， 167 ， 178 ， ∴160+b=165 ， 故 b=5 ； ∴ 乙 组 数 据 为 159 ， 178 ， 165 ， 161 ， 167 ， 平 均 数 为 159+178+165+161+167 5 =166 ， 甲 组 数 据 的 平 均 数 为 156+170+a+165+174+162 5 =166 ， 解之得 a=3 ， ∴a +b=8. 故选 A. 7. A 【解析】 x 是 1 ， 2 ， 3 ， x ， 5 ， 6 ， 7 这七个数据 的中位数， 则 3≤x≤5 ； 1 ， 3 ， x 2 ， -y 这四个数据的平 均数为 1 ， ∴1+3+x 2 -y=4 ， ∴x 2 =y ， ∴y- 1 x =x 2 - 1 x . 设 f （ x ） = x 2 - 1 x ， x∈ ［ 3 ， 5 ］， ∴ f （ x ）是单调增函数， f （ x ）的最小值 是 f （ 3 ） =9- 1 3 = 26 3 =8 2 3 . 故选 A. 8. 81.2 4.4 【解析 】 数据都减去 80 ， 平均数减小 80 ， 离散程度不变 . 故原数据平均数为 81.2 ， 方差为 4.4. 9. 2 【解析】 由表中数据计算可得， 甲、 乙运动员 成绩的平均数均为 90 ， 甲的方差为 4 ， 乙的方差为 2. 10. 解： 这 100 天该大型超市日纯利润的平均数为 x= 1 100 × （ 4.5×5+5.5×20+6.5×30+7.5×30+8.5×10+9.5×5 ） = 6.85 （万元） . 前 2 组频率之和为 0.05+0.20=0.25<0.5 ， 前 3 组频率之和为 0.25+0.3=0.55>0.5 ， 故中位数位于第 3 组 . 设中位数为 t ， 则有 （ t-6 ） ×0.3+0.25=0.5 ， 解得 t= 41 6 ， 即这 100 天该大型超市日纯利润的中位数为 41 6 万元 . 提升练习 11. BCD 【解析】 中位数是将 9 个数据从小到大或 从大到小排列后， 处于中间位置的数据， 因而去掉 1 个 最高分和 1 个最低分 ， 不变的是中位数， 平均数、 方 差、 极差均受影响 . 故选 BCD. 12. C 【解析】 ∵y i =2x 3 i +1 ， ∴y i 关于 x i 单调递增， ∴ 当 x i 为中位数时， y i 也为中位数 . 故选 C. 13. D 【解析】 ① 错误， 举反例： 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 2 ， 6 ， 6 ， 其平均数 x=2≤3 ， 但不符合指标； ② 错误， 举反例： 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 其标准差 s=0≤2 ， 但不符合指标； ③ 错误， 举反例： 0 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 6 ， 其平均数 x≤3 且标准差 s= 9 7 姨 ≤2 ， 但不符合指标； ④ 正确， 若极差等于 0 或 1 ， 在 x≤3 的条件下显然 符合指标， 若极差等于 2 ， 新增感染人数可能为 （ 1 ） 0 ， 1 ， 2 （ 2 ） 1 ， 2 ， 3 （ 3 ） 2 ， 3 ， 4 （ 4 ） 3 ， 4 ， 5 （ 5 ） 4 ， 5 ， 6. 在 x≤3 的条件下 ， 只有 （1 ） （ 2 ） （ 3 ） 成立， 符合指标； ⑤ 正确， 若众数等于 1 且极差小于等于 4 ， 则最大 数不超过 5 ， 符合指标 . 故选 D. 14. A 【解析】 能反映 “学生视力保护达标年级” 的 是平均值和方差； 平均值反映数据的平均水平， 方差反 映数据的波动大小， 方差越大， 波动越大 . 七年级， 平均数和方差均为 2 ， 满足题意， 因为若 有一个数据大于 5 ， 方差必然大于 2 ； 八年级， 方差大 于 0 ， 但不确定具体取值， 因此不能判断八年级是否达 标； 高一年级， 知道中位数与众数， 不能判断出是否达 标， 高二年级知道平均数与中位数， 也不能判断是否达 标 . 故选 A. * 15. 解： （ 1 ） 该班 45 人分成两组， 这两组的平均 分分别是 90 ， 72 ， ∴ 全班的平均分是 1 45 × （ 90×15+72× 30 ） =78. （ 2 ） ∵s 2 = 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -nx 2 ， s 1 = 3 姨 ， ∴s 2 1 = 1 15 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -15×90 2 ］ =3 ， ∴x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 =45+15×8 100=121 545. ∵s 2 = 6 姨 ， ∴s 2 2 = 1 30 × ［（ x 2 16 +x 2 17 + … +x 2 45 ） -30×72 2 ］ =6 ， ∴x 2 16 +x 2 17 + … +x 2 45 =180+30×72 2 =155 700 ； 54 参 考 答 案 ∴ 全班同学成绩的方差是 s 2 = 1 45 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -45×78 2 ］ = 1 45 × ［（ 121 545+ 155 700 ） -273 780 ］ =77. （ 3 ） 能 . 若后 30 名中有人不及格， 设该同学为 b 30 ， 则 b 30 ≤59 ， 该同学比平均分低至少 13 分， 那么其他同 学比平均分高出的分数至少有 13 分， ∴ （ b 1 -72 ） 2 + … + （ b 30 -72 ） 2 ≥13+169=182 ， 而 （ b 1 -72 ） 2 + （ b 2 -72 ） 2 + … + （ b 30 - 72 ） 2 =180 ， 182>180 ， 矛盾， ∴ 必定全部及格 . 5.1.3 数据的直观表示 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95+104 2 = 99.5 ， 故 A 错误； 这 12 天中， 空气质量为 “优良” 的 有 95 ， 85 ， 77 ， 67 ， 72 ， 92 共 6 天， 故 B 错误； 从 4 日到 9 日， 空气质量越来越好， 故 C 正确； 这 12 天的 AQI 的平均值为 110 ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 3 【解析】 由茎叶图知， 甲、 乙两组共 24 名同学中， 成绩不及格的有 12 人， 分层抽样的抽取比例为 6 24 = 1 4 ， ∴ 不及格的分数应抽取 1 4 ×１２=3 （个） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 样本容量是 100. （ 2 ） ①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示 . （ 3 ） 设旅客平均购票用时为 t min ， 则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 100 ≤t< 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 100 ， 即 15≤t<20 ， ∴ 旅客购票用时的平均数可能落在第 四组 . 随堂练习 1. B 【解析】 由题意知去掉一个最高分和一个最低 分以后， 两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲 和乙的平均分为 a 1 = 1+4+5×3 5 +80=84 ， a 2 = 7+6+4×3 5 +80= 85 ， 故有 a 2 >a 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意 ， 初中部女教师人数为 110× 70%=77 （人）， 高中部女教师人数为 150×40%=60 （人）， 总共有 77+60=137 （人） . 故选 C. 3. C 【解析】 由频率分布直方图得， 第一组、 第二 组的频率为 5×0.02+5×0.04=0.3 ， 第三组的频率为 5× 0.08=0.4 ， ∴ 中位数落在第三组并设为 x ， 则有 （ x-20 ） × 0.08=0.2 ， 解得 x=22.5. 故选 C. 4. n m x 【解析】 由图可得 n=5 ， m=5.5 ， x>5.5 ， ∴n<m<x. 5. A 【解析 】 成绩落在小于 17 s 的频率为 0.34+ 0.36+0.18+0.02=0.90 ， ∴x=0.9 ； 成绩落在大于等于 15 s 且小于 17 s 的频率为 0.34+0.36=0.70 ， ∴ 对应的人数为 50×0.70=35. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 在 ① 中， 1 月至 8 月空气质量合格天数 超过 20 天的月份有 1 月、 2 月、 6 月、 7 月、 8 月， 共 5 个， 故 ① 正确； 在 ② 中， 第一季度合格天数的比重为 22+26+19 31+29+31 ≈0.736 3 ； 第 二 季 度 合 格 天 数 的 比 重 为 19+13+25 30+31+30 ≈0.626 4 ， ∴ 第二季度与第一季度相比， 空气 合格天数的比重下降了， ∴② 是正确的； 在 ③ 中， 8 月空 气质量合格天数达到 30 天， 是空气质量最好的一个月， ∴③ 是正确的； 在 ④ 中， 5 月空气质量合格天数只有 13 天， 5 月的空气质量最差， ∴④ 是错误的 . 故选 A. 2. D 【解析 】 易得他们健身前后 ， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占比均为 40% ， 故 A 正确； 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 50％- ３０％＝２0％ ， 即 ２0×20%=4 （人）， 故 B 正确； 因为健身后 体重在区间 ［ 80 kg ， 90 kg ） 内的人数占 30% ， ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占 40% ， 故中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） ， 故 C 正 确 ； 易 举 出 反 例 ， 若 原 体 重 在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者重量为 110 kg ， 减肥后为 109 kg 依然满足， 故 D 错误 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意可知， 成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内 的人数为 1 000×10× （ 0.020+0.010 ） =300 （人） . 故选 B. 4. D 【解析】 设 2020 年该校参加高考的人数为 S ， 则 2023 年该校参加高考的人数为 1.5S. 2020 年一本达线 人数为 0.28S ， 2023 年一本达线人数为 0.24×1.5S=0.36S ， 可见一本达线人数增加了， 故 A 错误； 2020 年二本达线 人数为 0.32S ， 2023 年二本达线人数为 0.4×1.5S=0.6S ， 变式训练 3 答图 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 O 55