4.2.3 对数函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 对数函数的图象过点 M （ 125 ， 3 ）， 则此对数函数的解析式 为 （ ） A. y＝log 5 x B. y＝log 1 5 x C. y＝log 1 3 x D. y＝log 3 x 2. 函数 f （ x ） ＝log 2 （ x 2 ＋8 ） 的值域为 （ ） A. R B. ［ 0 ， ＋∞ ） C. ［ 3 ， ＋∞ ） D. （ -∞ ， 3 ］ 3. 对数函数 y＝log a x （ a＞0 且 a≠1 ） 与二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 在同一平面直角坐标系内的图象可能是 （ ） 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 1 课时 对数函数的概念与图象 x y O x y O A B 11 4. 已知 2 a +a=log 2 b+b=log 3 c+c=k （ k<1 ）， 则 a ， b ， c 的大小关系 是 （ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. c<b<a 5. 函数 y=lg （ x-2 ） + 1 9-x 2 姨 的定义域是 . x y O x y O C D 12 日期： 班级： 姓名： 1． 若 log a 3<0<log b 3 ， 则 a ， b 应该满足的条件是 （ ） A. a>b>1 B. b>a>1 C. 0<a<1<b D. 0<b<1<a 2. 已知函数 f （ x ） =log 3 （ -x 2 +2x+3 ）， 则 f （ x ）的增区间为 （ ） A. （ -∞ ， 1 ） B. （ 1 ， +∞ ） C. （ 1 ， 3 ） D. （ -1 ， 1 ） 3. “ log 2 a>log 2 b ” 是 “ 2 a >2 b ” 的 （填 “充分不必要” “必要不充分” “充要” 或 “既不充分也不必要”） 条件 . 4. 设 a=log 3 π ， b=log 2 3 姨 ， c=log 3 2 姨 ， 则 a ， b ， c 的大小关 系是 . 5. 解不等式 2log a （ x-4 ） >log a （ x-2 ） . 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 2 课时 对数函数的性质 13 6. 已知函数 f （ x ） =ln x-1 x+1 . （ 1 ） 判断函数 f （ x ）的奇偶性； （ 2 ） 判断函数 f （ x ）的单调性； （ 3 ） 若 f （ m 2 +2 ） >f （ 2m 2 ）， 求实数 m 的取值范围 . 14 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 A 错误； 当 M=N=1 时， log a M · log a N=log a （ MN ）成立， 故 B 正确； 当 a ， b<0 时， ln （ ab ） =lna+lnb 不成立， 故 C 错误； 当 a ， b>0 时 ， lga lgb =lgalgb=lgb lga ， 则 a lgb =b lga ， 故 D 正确 . 故选 BD. * 15. 4+2 3 姨 3 【解析】 ∵x>0 ， y>0 ， ∴log 2 3 x +log 2 3 2y = log 2 3 4 log 2 4 ， log 2 （ 3 x ×3 2y ） = 1 2 log 2 3 4 ， ∴3 x ×3 2y =3 2 ， ∴x+2y=2 ， 即 1 2 （ x+2y ） =1 ， ∴ 2 x + 1 3y = 1 2 （ x+2y ） 2 x + 1 3y y # = 1 2 2+ 2 3 + 4y x + x 3y y y ≥ 1 2 8 3 +2 4y x · x 3y 姨 姨 y = 1 2 8 3 + 4 3 姨 3 姨 y = 4+2 3 姨 3 . 当 且 仅 当 4y x = x 3y 时 取 等 号 ， 即 4y x = x 3y ， x+2y=2 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 此 时 x=3- 3 姨 ， y= 3 姨 -1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . ∴ 最小值为 4+2 3 姨 3 . * 16. 4 ４ 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， ab=8 ， ∴log 2 a ·（ log 2 2b ） =log 2 a · log 2 16 a y y =log 2 a ·（ 4-log 2 a ） . 令 t=log 2 a∈R ， y=t （ 4-t ） =-t 2 +4t=- （ t-2 ） 2 +4 ， 当且仅当 t=2 时 ， y=t （ 4-t ）取最大值 4 ， 即 log 2 a · （ log 2 2b ）取最大值 4. 此时 log 2 a=2 ， 则 a=4. 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 1 课时 对数函数的概念与图象 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由于 ① 中自变量出现在底数上， ∴① 不是 对数函数； 由于 ② 中底数 a∈R 不能保证 a>0 且 a≠1 ， ∴② 不是对数函数 ； 由于 ⑤⑦ 的真数分别为 （ x+2 ）， （ x+1 ）， ∴⑤⑦ 也不是对数函数； 由于 ⑥ 中 log 4 x 的系数 为 2 ， ∴⑥ 也不是对数函数； 只有 ③④ 符合对数函数的 定义 . 故选 B. 变式训练 2 A 【解析 】 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜= -ln （ x+1 ）， -1<x<0 ， ln （ x+1 ）， x≥0 0 ， 作 函数 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜ 的图象如图所示 . 由 f （ a ） =f （ b ）， 可得 ｜ln （ a+1 ） ｜=｜ln （ b+1 ） ｜ ， 且 -1<a<0 ， b>0 ， ∵a<b ， ∴-ln （ a+1 ） =ln （ b+1 ）， ∴ （ a+1 ）（ b+1 ） =1 ， 即 ab+a+b=0. ∵ab< （ a+b ） 2 4 ， ∴0=ab+a+b< （ a+b ） 2 4 +a+b ， 即 （ a+b ）（ a+ b+4 ） >0. ∵-1<a<0 ， b>0 ， ∴a+b+4>0 ， ∴a+b>0. 故选 A. 变式训练 3 A 【解析】 由题可知 ， log 0.5 （ 4x 2 -3x ） ≥0 ， 由对数函 数的单调性， 可得 0<4x 2 -3x≤1 ， 解得 - 1 4 ≤x<0 或 3 4 <x≤1 ， ∴y= log 0.5 （ 4x 2 -3x ） 姨 的定义域为 - 1 4 ， y 0 0 ∪ 3 4 ， ， 1 姨 . 故选 A. 变式训练 4 ABD 【解析】 依题意知， 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 +4x-a+5 ） 的值域为 R ， 则 a=0 或 a>0 ， Δ=16-4a （ -a+5 ） ≥0 0 ， 解得 0≤ a≤1 或 a≥4 ， 故选 ABD． 随堂练习 1. A 【解析】 设函数解析式为 y＝log a x （ a>0 且 a≠ 1 ） ． ∵ 对数函数的图象过点 M （ 125 ， 3 ）， ∴3＝log a 125 ， 得 a＝5. ∴ 对数函数的解析式为 y＝log 5 x. 故选 A. 2. C 【解析】 设 t＝x 2 ＋8 ， 则 t≥8. 又 ∵ 函数 y＝log 2 t 在 （ 0 ， ＋∞ ） 上为增函数， ∴ f （ x ） ≥log 2 8＝3． 故选 C． 3. A 【解析】 由对数函数 y＝log a x （ a＞0 且 a≠1 ） 与 二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 可知， ① 当 0＜a＜1 时， 此时 a-1＜0 ， 对数函数 y＝log a x 为减 函数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向下， 且其对称轴 为 x＝ 1 2 （ a-1 ） <0 ， 故排除 C 与 D ； ② 当 a＞1 时， 此时 a-1＞0 ， 对数函数 y＝log a x 为增函 数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向上， 且其对称轴为 x＝ 1 2 （ a-1 ） >0 ， 故 B 错误， 而 A 符合题意 ． 故选 A． 4. B 【解析】 由题意知 2 a +a=log 2 b+b=log 3 c+c=k （ k< 1 ）， 可得 2 a =-a+k ， log 2 b=-b+k ， log 3 c=-c+k ， 且 k<1. 分别作出函数 y=2 x ， y=log 2 x ， y=log 3 x 和 y=-x+k 的 图象如图所示， 结合图象， 可得 a<c<b. 故选 B. 变式训练 2 答图 x y O a b c y=2 x y=log 2 x y=log 3 x y=-x+k （ k<1 ） 第 4 题答图 x y O -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 36 参 考 答 案 5. （ 2 ， 3 ） 【解析】 ∵y=lg （ x-2 ） + 1 9-x 2 姨 ， ∴ x-2>0 ， 9-x 2 >0 0 ， 解得 2<x<3 ， ∴ 函数的定义域为 （ ２ ， ３ ） . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 y=a x （ a>0 且 a≠1 ） 的定义域为 R ， y= log a x （ a>0 且 a≠1 ） 的定义域为 {x|x>0} ， A 错误； y=x 的定义域为 R ， y= x 姨 的定义域为 {x|x≥0} ， B 错误； 两函数的定义域均为 {x|x>0} ， C 正确； y=x 2 的定义域为 R ， y=lgx 2 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0} ， D 错误 . 故选 C. 2. B 【解析】 由题意得 x+2≥0 ， 1-x>0 0 ， 解得 -2≤x<1. 故选 B. 3. B 【解析 】 设对数函数为 y=log a x （ x>0 ， a>0 且 a≠1 ） . ∵ 对数函数的图象过点 M （ 9 ， 2 ）， ∴2=log a 9 ， ∴a 2 =9. ∵a>0 ， ∴a=3. ∴ 此对数函数的解析式为 y=log 3 x. 故选 B. 4. C 【解析】 由题意得 x 2 -x>0圯x>1 或 x<0 ， 故函数 f （ x ）的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故选 C. 5. ABC 【解析】 函数 f （ x ） =lg （ 1-x ）的定义域为（ -∞ ， 1 ）， 故 A 说法错误； f （ x ）的值域为 R ， 故 B 说法错误； 易知 y=1-x 单调递减 ， y=lgx 单调递增 ， 故函数 f （ x ） = lg （ 1-x ）在定义域上单调递减， 故 C 说法错误， D 说法正 确 . 故选 ABC. 6. ［ 2 ， +∞ ） 【解析】 当 x≥1 时， log 2 x≥0 ， ∴y=2+ log 2 x≥2. 7. 1 27 【解析 】 由 题 意 得 f 1 8 ) * =log 2 1 8 =-3 ， 则 f f 1 8 8 ,) , =f （ -3 ） =3 -3 = 1 27 . 8. （ 2 ， 1 ） 【解析】 当 2x-3=1 ， 即 x=2 时， 对任意 的 a>0 且 a≠1 ， 都有 y=log a 1+1=0+1=1 ， ∴ 函数 y=log a （ 2x- 3 ） +1 的图象恒过定点 （ 2 ， 1 ）， 故点 P 的坐标是 （ 2 ， 1 ） . 9. 解： 由 1+x 2 姨 -x>0 ， 可得 x∈R ， ∴ 函数 f （ x ）的定义域为 R ， 关于原点对称 . 方法一： ∵f （ -x ） =lg （ 1+x 2 姨 +x ） =lg （ 1+x 2 姨 +x ）（ 1+x 2 姨 -x ） 1+x 2 姨 -x =lg 1 1+x 2 姨 -x =-lg （ 1+x 2 姨 -x ） =-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ）是奇函数 . 方法二： ∵f （ x ） +f （ -x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ） +lg （ 1+x 2 姨 +x ） =lg ［（ 1+x 2 姨 -x ）（ 1+x 2 姨 +x ）］ =lg （ 1+x 2 -x 2 ） =0 ， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ）是奇函数 . 10. 解： （ 1 ） 要使函数 f （ x ）有意义， 则有 x+1 x-1 >0 ， 即 x+1>0 ， x-1> > 0 或 x+1<0 ， x-1<0 0 ， 解得 x>1 或 x<-1 ， ∴ 函数 f （ x ）的定义域为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知函数 f （ x ）的定义域关于原点对称， 又 f （ -x ） =log a -x+1 -x-1 =log a x-1 x+1 =-log a x+1 x-1 =-f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数 . 提升练习 11. D 【解析】 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ）的定义域为 R ， 则 a=0 时， f （ x ） =lg1=0 符合 . a≠0 时， 需满足 a>0 ， Δ=4a 2 -4a< > 0 圯0<a<1. 综上所述， 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ） 的定义域为 R ， 则 a 的取值范围是 ［ 0 ， 1 ） . ∴ 使函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ） 的定义域为 R 的实数 a 取值的一个充分不必要条件是 （ 0 ， 1 ） . 故选 D. 12. C 【解析】 当 x≤2 时， -x+6≥4 ， 当且仅当 x=2 时取等号 . 依题意得 ， {f （ x ） ｜x>2}哿 ［ 4 ， +∞ ） . 当 0 <a <1 时 ， log a x<0 ， 3+log a x<3<4 ， 不符合要求， ∴a>1 ， f （ x ）在 （ ２ ， +∞ ） 上 递 增 ， ∴ （ 3 +log a 2 ， +∞ ） 哿 ［ 4 ， +∞ ） ， 则 3 + log a 2≥4 ， 解得 1<a≤2 ， ∴ 实数 a 的取值范围是 （ 1 ， 2 ］ . 故选 C. 13. BD 【解析】 设对数函数 f （ x ） =log a x ， ∵ 点 8 ， 3 2 , 在对数函数 f （ x ）的图象上， ∴ 3 2 =log a 8 ， 解得 a=4 ， ∴ f （ x ） =log 4 x ， f （ 0.5 ） =log 4 0.5 =- 1 2 <0 ， 故 A 错误 ； 0 <f （ 2 ） = log 4 2<f （ 5 ） =log 4 5 ， ∴ 1 f （ 2 ） > 1 f （ 5 ） ， 故 B 正确； f （ x ） =log 4 x 在 x∈ 1 4 ， ， 1 2 上是增函数， ∴ f 1 4 8 * <f （ x ） <f （ 2 ）， 而 f 1 4 8 * =log 4 1 4 =-1 ， f （ 2 ） =log 4 2= 1 2 ， ∴ f （ x ） ∈ -1 ， 1 2 ， 2 ， 故 C 错误； 令 t=x 2 -2x-3>0 ， 解得 x<-1 或 x>3 ， ∴t 在 （ ３ ， +∞ ） 上单调递增 . 又 ∵f （ t ） =log 4 t 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增 ， ∴ 函数 f （ x 2 -2x-3 ）的单调递增区间为 （ 3 ， +∞ ）， 故 D 正 确 . 故选 BD. 14. ACD 【解析】 作出函数 f （ x ） =｜log 2 （ x-1 ） ｜ 的图象， 如图所示 . ∵x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） =f （ x 2 ）， 由图象可知 1<x 1 <2<x 2 ， 故 A 正确， B 错误； 由 f （ x 1 ） =f （ x 2 ） ， 得 ｜log 2 （ x 1 -1 ） ｜=｜log 2 （ x 2 -1 ） ｜ ， 即 -log 2 （ x 1 -1 ） =log 2 （ x 2 -1 ）， ∴ （ x 1 -1 ）（ x 2 -1 ） =1 ， 即 x 1 x 2 =x 1 +x 2 ， 37 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 1 x 1 + 1 x 2 =1 ， 故 C 正确； ∵x 1 +2x 2 -3= （ x 1 -1 ） +2 （ x 2 -1 ） ≥2 （ x 1 -1 ）· 2 （ x 2 -1 ） 姨 = 2 2 姨 ， 当且仅当（ x 1 -1 ） =2 （ x 2 -1 ）时， 等号成立 . ∵x 1 <x 2 ， ∴ （ x 1 -1 ） <x 2 -1<2 （ x 2 -1 ）， ∴ 取不到等号， 故 D 正确 . 故选 ACD. * 15. 5+4 3 姨 【解析】 在函数 f （ x ） =1+log a （ x-2 ） （ a> 0 且 a≠1 ） 中， 令 x-2=1 ， 可得 x=3 ， 代入函数可得 y= 1 ， ∴ 定点 A 的坐标为 （ ３ ， １ ）， 代入 m x + n y =1 可得 3 x + 1 y =1 ， 那么 x y =x-3. 又 ∵x>0 ， y>0 ， 则 x y +x+2y=2x+2y-3= （ 2x+2y ） 3 x + 1 y y % - 3= 6y x + 2x y +5≥2 6y x · 2x y 姨 +5=2 12 姨 +5=5+4 3 姨 . 当且仅当 6y x = 2x y ， 即 x=3+ 3 姨 ， y=1+ 3 姨 时取等 号， ∴ x y +x+2y 的最小值为 5+4 3 姨 . * 16. ［ 0 ， 1 ］ 【解析】 设函数 f （ x ）， g （ x ）的值域分别 为集合 A ， B. 当 x∈R 时， f （ x ） ∈ ［ 2 ， +∞ ）， ∴A= ［ 2 ， +∞ ） . ∵ 对任意的 x 1 ∈R ， 总存在实数 x 2 ∈ ［ 0 ， +∞ ）， 使得 f （ x 1 ） =g （ x 2 ）成立， ∴ 应有 A哿B ， 故当 a<0 显然不合要求 ． 当 a=0 时 ， 在 ［ 0 ， +∞ ） 上 g （ x ） =2x+1∈ ［ 1 ， +∞ ） 符合要求 ． 当 a>0 时， g （ x ） =a x+ 1 a y % 2 +a+1- 1 a 在 ［ 0 ， +∞ ） 上 递增， ∴g （ x ） ∈ ［ a+1 ， +∞ ）， 故 a+1≤2 ， 解得 a≤1. 综上所述， a∈ ［ 0 ， 1 ］ . 第 2 课时 对数函数的性质 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵a ， b ， c 都是正数， ∴ 1 a =log 3 6=1+log 3 2 ， 1 b =log 6 12=1+log 6 2 ， 1 c =log 12 24=1+log 12 2. ∵log 3 2= lg2 lg3 ， log 6 2= lg2 lg6 ， log 12 2= lg2 lg12 ， 且 lg3<lg6< lg12 ， ∴lg 3 2>lg 6 2>log 12 2 ， 即 1 a > 1 b > 1 c ， ∴a<b<c. 故选 C. 变式训练 2 BC 【解析】 原不等式可变形为 log 2 x- 1 2 y % x <log 2 y- 1 2 y % y ， 设 f （ x ） =log 2 x- 1 2 y % x ， 则 f （ x ） <f （ y ） . 又 ∵y=log 2 x 是增函数， y= 1 2 y % x 是减函数， ∴ f （ x ） = log 2 x- 1 2 y % x 是增函数， ∴x<y ， 即 0<x<y ， 则 1 x > 1 y ， A 错误； x 3 <y 3 ， B 正确； y-x+1>1 ， ln （ y-x+1 ） >0 ， C 正确； x-y<0 ， 2 x-y <2 0 =1 ， 不能得出 2 x-y < 1 2 ， 例如 x=1 ， y= 3 2 ， 则 2 x-y =2 - 1 2 = 2 姨 2 > 1 2 ， D 错误 ． 故选 BC． 变式训练 3 ［ -2 ， 1 ］ 【解析】 令 t （ x ） =x 2 -ax-2a 2 ， 对称轴为 x= a 2 ， 开口向上； ∵0.5<1 ， ∴y=log 0.5 t 在 （0 ， +∞ ） 上单调递 减， 则 t （ x ） =x 2 -ax-2a 2 在 （ 2 ， 4 ） 上单调递增， ∴ a 2 <2 ， t （ 2 ） ≥0 0 , , , + , , , - ， 即 a<4 ， 2 2 -2a-2a 2 ≥0 0 ， 解得 -2≤a≤1 ， ∴ 实数 a 的取值范围 是 ［ -2 ， 1 ］ . 随堂练习 1. C 【解析 】 ∵log a 3<0<log b 3 ， ∴log a 3<log a 1 ， log b 1< log b 3 ， 根据对数函数的单调性可知， 0<a<1 ， b>1. 故选 C. 2. D 【解析 】 由 -x 2 +2x+3>0 ， 得 x 2 -2x-3<0 ， 解得 -1<x<3 ， ∴ 函数的定义域为 {x｜-1<x<3}. 令 t=-x 2 +2x+3 （ -1<x<3 ）， 则 y=log 3 t. ∵t=-x 2 +2x+3 在 （ -１ ， １ ） 上递增， 在 （ １ ， ３ ） 上递 减 ， y=log 3 t 在 （ 0 ， +∞ ） 上递增 ， ∴ f （ x ）的增区间为 （ -1 ， 1 ） . 故选 D. 3. 充分不必要 【解析】 由 2 a >2 b 得 a>b ， 由 log 2 a>log 2 b 得 a>b>0 ， 即 “ log 2 a>log 2 b ” 是 “ 2 a >2 b ” 的充分不必要条件 . 4. a>b>c 【解析 】 由题意 ， a=log 3 仔>log 3 3=1 ， 1 2 = log 3 3 姨 >log 3 2 姨 =c ， 1 2 =log 2 2 姨 <b=log 2 3 姨 <log 2 2= 1 ， ∴c< 1 2 <b<1<a ， ∴a>b>c. 5. 解： 原不等式可变形为 log a （ x-4 ） 2 >log a （ x-2 ）， 当 a>1 时， 原不等式等价于 （ x-4 ） 2 >x-2 ， x-4>0 ， x-2>0 0 , , , + , , , , - ， 解得 x>6. x y O 1 2 3 4 5 3 2 1 -2 -1 -1 -2 f （ x ） =｜log 2 （ x-1 ） ｜ 第 14 题答图 38 参 考 答 案 当 0<a<1 时 ， 原不等式等价于 （ x-4 ） 2 <x-2 ， x-4>0 ， x-2>0 ! # # # " # # # # $ ， 解得 4<x<6. 综上所述， 当 a>1 时， 原不等式的解集为 （ 6 ， +∞ ）； 当 0<a<1 时， 原不等式的解集为 （ 4 ， 6 ） . 6. 解： （ 1 ） 由 x-1 x+1 >0 得 x<-1 或 x>1 ， 又 ∵f （ -x ） = ln -x-1 -x+1 =ln x+1 x-1 =ln x-1 x+1 =-f （ x ）， 故函数 f （ x ）是奇函数 . （ 2 ） 令 t= x-1 x+1 =1- 2 x+1 ， 其在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 又 ∵y=lnt 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 根据复合函数 的单调性可知 f （ x ）在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 又根据 （ 1 ）， 函数 f （ x ）为奇函数可得 f （ x ）在 （ -∞ ， -1 ） 上单调递增， ∴ 函数 f （ x ）的单调增区间为 （ -∞ ， -1 ）， （ 1 ， +∞ ） . （ 3 ） ∵f （ m 2 +2 ） >f （ 2m 2 ）， 且函数 f （ x ）在 （ 1 ， +∞ ） 上 单调递增得 m 2 +2>2m 2 >1 ， 解得 - 2 姨 <m<- 2 姨 2 或 2 姨 2 <m< 2 姨 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析 】 由于 b=log 5 3<a=log 5 4<1<log 4 5=c ， 故 b<a<c. 故选 D. 2. B 【解析】 当 a>1 时， log a 3 4 <0<1 ， 不等式恒成 立 . 当 0<a<1 时， y=log a x 为减函数， 由 log a 3 4 <1=log a a ， 得 0<a< 3 4 . 综上所述， 0<a< 3 4 或 a>1. 故选 B. 3. D 【解析】 函数 f （ x ）的图象如图所示， 由图象可 知其单调递增区间为 ［ 1 ， +∞ ） . 故选 D. 4. B 【解析 】 令 y=2-ax ， 由题意知 a>0 ， 且 a≠1 ， ∴y=2-ax 为减函数， 故要使 f （ x ） =log a （ 2-ax ） 在 ［ 0 ， 1 ］ 上是减函数， 则需 a>1 ， 且 y=2-ax>0 在 x∈ ［ 0 ， 1 ］ 上恒 成立， 即 2-a>0 ， 故 1<a<2. 故选 B. 5. AC 【解析】 当 a=0 时， f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）， 由 x 2 -1> 0 ， 得 x∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故 A 正确； 当 a=0 时， f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）， x 2 -1∈ （ 0 ， +∞ ）， 则 f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）的值域 为 R ， 故 B 错 误 ， C 正 确 ； 若 f （ x ） 在 区 间 ［ 2 ， +∞ ）上单调递增， 则 y=x 2 +ax-a-1 的图象的对称轴方程 为 x=- a 2 ≤2 ， 解得 a≥-4. 但当 a=-4 时， f （ x ） =lg （ x 2 - 4x+3 ）在 x=2 时无定义， 故 D 错误 . 故选 AC. 6. < 【解析】 ∵y=log 0.2 x 在定义域上为减函数， 且 π> 3.14 ， ∴log 0.2 π<log 0.2 3.14. 7. （ 1 ， +∞ ） 【解析】 由 x 2 -1>0 ， 得 x∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 根据复合函数的单调性可得 ， x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， f （ x ）单调递增 . 8. ②③⑤ 【解析】 当 a=b=1 或 a= 1 2 ， b= 1 3 或 a=2 ， b=3 时， 都有 log 1 2 a=log 1 3 b. 故 ②③⑤ 均可能成立 . 9. 解： （ 1 ） 由 4 x -1>0 ， 解得 x>0 ， 因此 f （ x ）的定义域为（ 0 ， +∞ ） . （ 2 ） 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 0 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 0<4 x 1 -1<4 x 2 -1 ， ∴log 4 （ 4 x 1 -1 ） <log 4 （ 4 x 2 -1 ）， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 故 f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上单调递增 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 f （ x ）在区间 1 2 ， ， , 2 上单调递增， 又 f 1 2 2 . =0 ， f （ 2 ） =log 4 15 ， ∴ f （ x ）在区间 1 2 ， ， , 2 上的值域 为［ 0 ， log 4 15 ］ . 10. 解： （ 1 ） ∵f （ x ） =log a （ 1+x ）的定义域为 {x|x>-1} ， g （ x ） =log a （ 1-x ）的定义域为 {x|x<1} ， ∴h （ x ） =f （ x ） -g （ x ）的定义域为 {x|-1<x<1}. （ 2 ） h （ x ）为奇函数 . 理由 ： h （ x ）的定义域为 { x |-1<x<1} ， 关于原点 对称 . ∵h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） =log a （ 1+x ） -log a （ 1-x ）， ∴h （ -x ） = log a （ 1-x ） -log a （ 1+x ） =- ［ log a （ 1+x ） -log a （ 1-x ）］ =-h （ x ） ， ∴h （ x ）为奇函数 . （ 3 ） ∵f （ 3 ） =log a （ 1 +3 ） =log a 4 =2 ， ∴a =2. ∴h （ x ） = log 2 （ 1+x ） -log 2 （ 1-x ）， ∴h （ x ） <0 等价于 log 2 （ 1+x ） <log 2 （ 1- x ）， ∴ 1+x<1-x ， 1+x>0 ， 1-x>0 ! # # # " # # # # $ ， 解得 -1<x<0. 故使 h （ x ） <0 成立的 x 的取值范围是 {x|-1<x<0}. 提升练习 11. A 【解析】 由题意， 不等式 2 a -2 b >lnb-lna 可变形 为 2 a +lna>2 b +lnb. 设 f （ x ） =2 x +lnx ， 可得 f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∵f （ a ） >f （ b ）， 可得 a>b>0. 由 a-b>0 ， 可得 3 a-b >1 ， ∴A 正确； 由 a>b>0 ， 可得 1 3 2 . b > 1 3 2 . a ， ∴B 错误； 由 a>b>0 ， 可得 a b >1 ， ∴ln a b >0 ， ∴C 错误； 由 a>b>0 ， 可得 b a <1 ， ∴ln b a <0 ， ∴D 错误 . 故选 A. x y O 1 第 3 题答图 39 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 12. ACD 【解析】 f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ （ x≠0 ， x∈R ） 的定 义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 关于原点对称， 且满足 f （ -x ） =f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴对称， 故 A 是真命题； 当 x>0 时， f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ =lg x+ 1 x % ， 令 t （ x ） =x+ 1 x ， 则 f （ t ） =lgt ， 由对勾函数的性质可知 t （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是 减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 又 ∵f （ t ） =lgt 在定义 域上是增函数 ， ∴ 由复合函数的单调性可知 ， f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 故 B 是 假命题； 当 x>0 时， x+ 1 x ≥2 （当且仅当 x=1 时取等号）， 又 f （ x ）是偶函数， ∴ 函数 f （ x ）的最小值是 lg2 ， 故 C 是真命题； 当 x∈ （ 0 ， 1 ） 时， f （ x ）是减函数， 当 x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函数， 又 ∵f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴 对称， ∴ 当 -1<x<0 或 x>1 时， f （ x ）是增函数， 故 D 是真 命题 ． 故选 ACD． * 13. AC 【解析】 由题意知 mx 2 +4x+8>0 对 x∈R 恒成立 . 当 m=0 时， 不等式 4x+8>0 不恒成立， ∴m≠0 ； 当 m≠0 时， 由 m>0 ， Δ=16-32m<0 0 ， 解得 m> 1 2 ， ∴A 正确； 若函数 f （ x ）的值域为 ［ 2 ， +∞ ）， 则 f （ x ） min =2 ， 显然 m 不为 0 ， 则函数 y=mx 2 +4x+8 的最小值为 4 ， ∴m>0 且当 x=- 2 m 时， y min =m - 2 m x % 2 +4× - 2 m x % +8=4 ， 解得 m=1 ， ∴B 错误； 若函数 f （ x ）在区间 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 则 y= mx 2 +4x+8 在 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 且在 ［ -3 ， +∞ ） 内 的函数值为正， ∴ m>0 ， - 2 m ≤-3 ， m× （ -3 ） 2 +4× （ -3 ） +8>0 0 + + + + + * + + + + + , ， 解得 4 9 <m≤ 2 3 ， ∴C 正确； 若 m=0 ， 则不等式 f （ x ） <15 等价于 log 2 （ 4x+8 ） <15 ， 则 0<4x+8<2 15 ， 解得 -2<x<2 13 -2 ， ∴D 错误 . 故选 AC. 14. ［ a 姨 ， 1 ］ 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴y=log a x 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 则根据函数 f （ x ）的图象可得， 当 0≤log a x≤ 1 2 时 ， g （ x ） =f （ log a x ）为减函数 ， 即 a 姨 ≤x≤1 ， 即 g （ x ） =f （ log a x ） （ 0<a<1 ） 的单调递减区 间为 ［ a 姨 ， 1 ］ . * 15. 1 3 ， 2 3 x % 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区 间 1 3 ， 2 3 3 / 上有意义， ∴2× 1 3 -a>0 ， 同时 a>0 且 a≠1 ， 解得 0<a< 2 3 ， ∴ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上单调递减 . ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上恒有 f （ x ） > 0 ， ∴log a 2× 2 3 -a x % >0 ， ∴0< 4 3 -a<1 ， 得 1 3 <a< 4 3 . 又 ∵0<a< 2 3 ， ∴ 1 3 <a< 2 3 . 4.3 指数函数与对数函数的关系 学习手册 变式训练 1 y=2- x+4 姨 （ x≥5 ） 【解析】 由 f （ x ） =y=x 2 -4x= （ x-2 ） 2 - 4 ， 可得（ x-2 ） 2 =y+4. ∵x≤-1 ， ∴x-2=- y +4 姨 ， 即 x=2- y +4 姨 ， 交换 x ， y 可得 y=2- x +4 姨 . ∵f （ x ） =x 2 -4x 的对称轴为 x=2 ， 开口向上， ∴ f （ x ） =x 2 - 4x 在 （ -∞ ， -1 ］ 上单调递减， ∴ f （ x ） ≥f （ -1 ） =1+4=5 ， ∴ 反函数的定义域为 ［ 5 ， +∞ ）， ∴ 函数 f （ x ） =x 2 -4x （ x≤-1 ） 的反函数为 y=2- x +4 姨 （ x≥5 ） . 变式训练 2 （ 5 ， 2 ） 【解析】 由题意可得 f （ 2 ） =3 ， 则 f -1 （ 3 ） =2 ， 即 f -1 （ 5-2 ） =2 ， 故函数 f -1 （ x-2 ）的图象必过点 （ 5 ， 2 ） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题意知， 反函数过点 A（-2k ， 2 ）， 则原 函数过点 （ 2 ， -2k ）， f（2 ） =3 2 +k=-2k圯k=-3 ， 则 f （ x ） = 3 x -3 ， 由 y=3 x -3圯3 x =y+3圯 x=log 3 （y+3 ） ， 即 f -1 （x）= log 3 （x+3 ）（x>-3 ） . （ 2 ） f -1 （x）=log 3 （x+3 ）向右平移 3 个单位长度 ， 得 g （ x ） =log 3 x （ x>0 ）， 则 2f -1 （x+ m 姨 -3 ） -g （ x ） ≥1 恒成立 圳 2log 3 （x+ m 姨 ） -log 3 x≥1 （x>0 ） 恒成立， ∴x+ m x +2 m 姨 ≥3 在 x>0 时恒成立， 只需 x+ m x +2 m 姨 % min ≥3. 又 ∵x+ m x ≥2 m 姨 （当且仅当 x= m x ， 即 x= m 姨 时等号成立）， ∴ x+ m x +2 m 姨 % min =4 m 姨 ， 即 4 m 姨 ≥3 ， ∴m≥ 9 16 . 随堂练习 1. B 【解析 】 由 y=1+2 -x 可得 1 2 x % x =y-1 ， 可得 x= log 1 2 （ y-1 ）， 则 g （ x ） =log 1 2 （ x-1 ）， 因此 g （ 5 ） =log 1 2 4=-2. 故选 B. 40