4.2.2 对数运算法则-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 下列等式成立的是 （ ） A. log 2 （ 3+5 ） =log 2 3+log 2 5 B. log 2 3 -2 = 1 2 log 2 3 C. log 2 3 · log 2 5=log 2 （ 3+5 ） D. log 2 3= 1 log 3 2 2. 2021 年 5 月， 中国西部地区地震频繁 . 据中国地震台网正 式测定， 5 月 21 日 21 时 48 分， 云南大理州漾濞县发生里 氏 6.4 级地震； 5 月 22 日 2 时 4 分， 青海果洛州玛多县发 生里氏 7.4 级地震 . 科学家通过研究， 发现地震时释放出的 能量 E （单位： J ） 与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE= 4.8+1.5M. 设漾濞县地震所释放的能量为 E 1 ， 玛多县地震所 释放的能量为 E 2 ， 则 E 2 E 1 约等于 （ ） A. 10 B. 15 4.2.2 对数运算法则 9 C. 30 D. 32 3. 已知 lg （ 4a ） +lgb=2lg （ a-3b ）， 则 log 3 a-log 3 b= . 4. lg3+ 2 5 lg9+ 3 5 lg 27 姨 -lg 3 姨 lg81-lg27 = . 5. 若 α ， β 是方程 lg 2 x-lgx-6=0 的两个根， 则 log α β+log β α 的 值为 . 10 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∵x=1 和 x=6 均不满足 2<x<4 且 x≠3 ， ∴ 原方程解的个数为 0. 故选 A. 12. A 【解析 】 ∵ 1 3- 5 姨 = 3+ 5 姨 4 ， 而 2< 5 姨 < 3 ， 则 1 < 3+ 5 姨 4 <2 ， ∴a = 3+ 5 姨 4 -1 = 5 姨 -1 4 ， ∴log 2a （ 2a+1 ） =log 5 姨 -1 2 5 姨 -1 2 + + $ 1 =log 5 姨 -1 2 5 姨 +1 2 2 & = log 5 姨 -1 2 5 姨 -1 2 2 & -1 =-1. 故选 A. * 13. C 【解析】 由题意知， log 1 2 （ log 2 x x ( ） log 2 =0 ， ∴log 1 2 （ log 2 x ） =1 ， ∴log 2 x= 1 2 ， 解得 x=2 1 2 = 2 姨 ． 同理可解得 y=3 1 3 = 3 3 姨 ， z=5 1 5 = 5 5 姨 . 比较 x 和 y ： 取 x 6 = （ 2 姨 ） 6 =8 ， y 6 = （ 3 3 姨 ） 6 =9 ， ∴x 6 <y 6 ， ∴x<y. 比较 x 和 z ： 取 x 10 =32 ， z 10 =25 ， ∴x 10 >z 10 ， ∴x>z. 比较 y 和 z ： 取 y 15 =243 ， z 15 =125 ， ∴y 15 >z 15 ， ∴y>z. 综上所述， z<x<y ， 故选 C． 14. ABC 【解析】 log 2 4=2 ， 故 A 正确； 根据函数 y= 2.1 x 是单调递增函数可知 2.1 0.5 >2.1 -1.8 ， 故 B 正确； 根据 对数恒等式可知 3 log 3 2 =2 ， 故 C 正确； -lne=-1 ， 故 D 错 误 . 故选 ABC. 15. AB 【解析】 ∵lg10=lne=1 ， lg （ lg10 ） =lg1=0 ， lg （ lne ） = lg1=0 ， ∴①② 均正确； ③ 中若 e=lnx ， 则 x=e e ， 故 ③ 错 误； ④ 中 lg1=0 ， 而 ln0 没有意义， 故 ④ 错误 . 故选 AB. 4.2.2 对数运算法则 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） lg （ xyz ） =lgx+lgy+lgz. （ 2 ） lg xy 3 z 姨 =lg （ xy 3 ） -lg z 姨 =lgx+3lgy- 1 2 lgz. 变式训练 2 1 【解析】 原式 =log 5 2 log 2 10 - 3 3 2 + & 2 3 - x - 2 =log 5 （ 10-3-2 ） =1. 变式训练 3 解： ∵lg （ x+2y ） +lg （ x-y ） =lg2+lgx+lgy ， ∴lg （ x+2y ）（ x-y ） =lg （ 2xy ）， ∴ （ x+2y ）（ x-y ） =2xy ， x+2y>0 ， x-y>0 ， x>0 ， y>0 0 , , , , , , , + , , , , , , , - ， 可得 x>y>0 ， （ x+2y ）（ x-y ） =2xy y . 由（ x+2y ）（ x-y ） =2xy 可得 x 2 -xy-2y 2 =0. ∴ x y 2 & 2 - x y -2=0 ， 解得 x y =2 或 x y =-1 （舍）， ∴log 8 x y =log 8 2=log 8 8 1 3 = 1 3 . 变式训练 4 B 【解析 】 ∵a x =b y =2 ， ∴x=log a 2 ， y=log b 2 ， 则 1 x = log 2 a ， 1 y =log 2 b ， 则 2 x + 1 y =2log 2 a+log 2 b=log 2 （ a 2 · b ） . 又 ∵a 2 +b=4 ， ∴a 2 · b≤ a 2 +b 2 2 & 2 =4 ， 当且仅当 a 2 =b ， 即 a= 2 姨 ， b=2 时取等号， ∴log 2 （ a 2 · b ） ≤log 2 4=2 ， ∴ 2 x + 1 y 的最大值为 2. 故选 B. 变式训练 5 1 3 姨 【解析】 由题意知 a=log 2 6 ， 3 b =36 ， 可得 b= log 3 36 =2log 3 6 ， ∴ 1 a = 1 log 2 6 =log 6 2 ， 2 b = 1 log 3 6 =log 6 3 ， ∴ 1 a + 2 b =log 6 2 +log 6 3 =log 6 （ 2×3 ） =1. 又由 a b = log 2 6 2log 3 6 = 1 2 log 2 3=log 2 3 姨 ， ∴2 a b =2 log 2 3 姨 = 3 姨 . 随堂练习 1. D 【 解 析 】 log 2 3 +log 2 5 =log 2 （ 3 ×5 ） =log 2 15 ≠ log 2 （ 3+5 ）， A 错误； log 2 3 -2 =-2log 2 3≠ 1 2 log 2 3 ， B 错误； log 2 3 · log 2 5≠log 2 （ 3+5 ）， C 错误； log 2 3= log 3 3 log 3 2 = 1 log 3 2 ， D 正确 . 故选 D. 2. D 【解析】 由题意知 lgE 2 =4.8+1.5×7.4 ， lgE 1 =4.8+ 1.5×6.4 ， ∴lgE 2 -lgE 1 =lg E 2 E 1 =1.5 ， 解得 E 2 E 1 =10 1.5 ≈32. 故选 D. 3. 2 【解析 】 由 lg （ 4a ） +lgb=2lg （ a-3b ） ， 得 4ab= （ a-3b ） 2 ， 即 a 2 -10ab+9b 2 =0 ， 即 （ a-b ）（ a-9b ） =0 ， ∴a=b （舍去） 或 a=9b ， ∴log 3 a-log 3 b=log 3 a b =log 3 9=2. 4. 11 5 【解 析 】 原 式 = lg3+ 2 5 lg3 2 + 3 5 lg3 3 2 -lg3 1 2 lg3 4 -lg3 3 = lg3+lg3 2× 2 5 +lg3 3 2 × 3 5 -lg3 1 2 lg 3 4 3 3 = lg3+lg3 4 5 +lg3 9 10-lg3 1 2 lg3 = lg 3 · 3 4 5·3 9 10 3 1 2 lg3 = lg3 11 5 lg3 = 11 5 lg3 lg3 = 11 5 . 5. - 13 6 【解析】 ∵琢 ， 茁 是方程 lg 2 x-lgx-6=0 的两个 根， ∴t 1 =lg琢 ， t 2 =lg 茁 是方程 t 2 -t-6=0 的两个根， ∴lg琢= -2 ， lg 茁=3 ， log 琢 茁+log 茁 琢= lg 茁 lg琢 + lg琢 lg 茁 = 3 -2 + -2 3 =- 13 6 . （若 lg琢=3 ， lg 茁=-2 ， 答案不变） 34 参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. C 【解析】（ lg5 ） 2 ＋lg2×lg5＋lg20＝lg5 （ lg5＋lg2 ） ＋lg20＝ lg5×lg10＋lg20＝lg5＋lg20＝lg100＝2. 故选 C. 2. A 【解析】 lg 25 16 -2lg 5 9 ＋lg 32 81 ＝lg 25 16 ÷ 25 81 × 32 81 1 " ＝lg2. 故选 A. 3. A 【解析 】 log 3 8-2log 3 6＝3log 3 2-2 （ log 3 2＋1 ） ＝3a- 2 （ a＋1 ） ＝a-2. 故选 A. 4. ACD 【解析】 当 M=N≤0 时， 对数式无意义， 故 A 说法不正确； ∵ 指数函数单调且定义域为 R ， ∴ 若 2 M = 2 N ， 则 M=N 成立， 故 B 说法正确； 当 M 2 =2 2 ， N 2 = （ -2 ） 2 时 ， 有 log a M 2 =log a N 2 ， 但 M≠N ， 故 C 说法不正确 ； 当 M=N≤0 时， x - 1 2 没有意义， 故 D 说法不正确 . 故选 ACD. 5. C 【解析】 ∵f （ x ） =x+log 2 x 9-x ， ∴ f （ x ） +f （ 9-x ） = x+log 2 x 9-x 1 " + 9-x+log 2 9-x x 1 " =9. ∴ f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 8 ） = ［ f （ 1 ） +f （ 8 ）］ + ［ f （ 2 ） + f （ 7 ）］ + ［ f （ 3 ） +f （ 6 ）］ + ［ f （ 4 ） +f （ 5 ）］ =9×4=36. 故选 C. 6. log 3 20 【解析】 ∵3 a ＝2 ， 3 b ＝ 1 5 ， 两边取对数得 a＝ log 3 2 ， b＝log 3 1 5 ＝-log 3 5 ， ∴2a-b＝2log 3 2＋log 3 5＝log 3 20. 7. ③ 【解析】 lg （ 3＋2 2 姨 ） -lg （ 3-2 2 姨 ） ＝lg 3+2 2 姨 3-2 2 姨 ＝lg （ 3＋2 2 姨 ） 2 >0 ， 故 ① 错误 . ∵lg （ 10＋ 99 姨 ） ≠0 ， lg （ 10- 99 姨 ） ≠0. ∴lg （ 10＋ 99 姨 ） ×lg （ 10- 99 姨 ） ≠0 ， 故 ② 错误 . ∵log n+1 姨 - n 姨 （ n+1 姨 + n 姨 ） = log （ n+1 姨 - n 姨 ） 1 n+1 姨 - n 姨 ＝-1 ， ∴③ 正确 . ∵ lga lgb ≠lg （ a-b ）， 故 ④ 错误 . 8. 9 【解析】 由换底公式得， lg4 lg3 × lg8 lg4 × lgm lg8 ＝ lgm lg3 ＝ log 4 16＝2 ， ∴lgm＝2lg3＝lg9 ， ∴m＝9. 9. 解： （1 ） 原式 ＝log 2 7 姨 ×12 48 姨 × 42 姨 ＝log 2 1 2 姨 ＝- 1 2 . （ 2 ） 原式 ＝lg 500× 8 5 1 " -lg64 1 2 ＋50 （ lg10 ） 2 ＝lg 800 8 ＋50＝ lg100＋50＝2＋50＝52. （ 3 ） 原式 ＝2lg5＋lg2× （ 1＋lg5 ） ＋ （ lg2 ） 2 ＝2lg5＋lg2 （ 1＋lg5＋ lg2 ） ＝2lg5＋2lg2＝2. 10. 解： 方法一： ∵log 18 9＝a ， 18 b ＝5 ， ∴log 18 5＝b. 于是 log 36 45＝ log 18 45 log 18 36 ＝ log 18 （ 9×５ ） log 18 （ １8×２ ） ＝ log 18 9+log 18 5 1+log 18 2 ＝ a+b 1+log 18 18 9 ＝ a+b 2-a . 方法二： ∵log 18 9＝a ， 18 b ＝5 ， ∴log 18 5＝b. 于是 log 36 45＝ log 18 （ 9×5 ） log 18 18 2 9 ＝ log 18 9+log 18 5 2log 18 18-log 18 9 ＝ a+b 2-a . 方法三： ∵log 18 9＝a ， 18 b ＝5 ， ∴lg9＝alg18 ， lg5＝blg18. ∴log 36 45＝ lg45 lg36 ＝ lg （ 9×5 ） lg 18 2 9 ＝ lg9+lg5 2lg18-lg9 ＝ alg18+blg18 2lg18-alg18 = a+b 2-a . 提升练习 11. C 【解析 】 由题意设 log 2 m=log 4 n=log 8 （ 4m+3n ） = k ， 则 m=2 k ， n=4 k ， 4m+3n=8 k ， ∴4×2 k +3×4 k =8 k ， ∴4× 1 4 1 " k + 3× 1 2 1 " k =1 ， ∴4× 1 2 1 " k k ' 2 +3× 1 2 1 " k -1=0 ， ∴ 1 2 1 " k = 1 4 或 1 2 1 " k =-1 （舍）， 解得 k=2 ， ∴m=4 ， n=16 ， n=4m ， 故 A 错误； lnm lnn = ln4 ln16 = 1 2 ≠-2ln2 ， 故 B 错误； e 1 m lnn =e 1 4 ln16 =e ln2 =2 ， 故 C 正确； log 3 m -2log 9 n =log 3 4 -2log 9 16 =log 3 4 -2log 3 4 =-2log 3 2 ， 故 D 错误 . 故选 C. 12. B 【解析】 ∵f （ n ） =log n+1 （ n+2 ） = ln （ n+2 ） ln （ n+1 ） （ n∈N * ）， ∴ f （ 1 ）· f （ 2 ）· f （ 3 ）·…· f （ k ） = ln3 ln2 · ln4 ln3 · ln5 ln4 ·…· ln （ k+2 ） ln （ k+1 ） = ln （ k+2 ） ln2 =log 2 （ k+2 ）， ∵1≤k≤2 016 ， 则 3≤k+2≤2 018. 令 f （ 1 ）· f （ 2 ）· f （ 3 ）·…· f （ k ） =log 2 （ k+2 ） =m （ m∈Z ）， 则 k+2=2 m ， ∴3≤2 m ≤2 018 ， ∴2 m 的取值集合为 {2 2 ， 2 3 ， 2 4 ， …， 2 10 } ， 共 9 个数 ， ∴k 的取值集合为 {2 2 -2 ， 2 3 - 2 ， 2 4 -2 ， …， 2 10 -2} ， 共 9 个数 . 因此， 在区间 ［ 1 ， 2 016 ］ 内的企盼数的个数是 9. 故选 B. 13. ACD 【解析】 若 10 a =4 ， 10 b =25 ， 5 c =4 ， 则 a=lg4 ， b=lg25 ， c=log 5 4 ， ∴a+b=lg4+lg25=lg100=2 ， 故 A 正确； b-a=lg25-lg4=lg 25 4 ≠1 ， 故 B 错误； 由 ab≤ a+b 2 1 " 2 =1 ， 当且仅当 a=b 时取等号， 又 ∵a=lg4 ， b=lg25 ， ∴ 等号不成立， 即 ab<1 ， 故 C 正确； 由 1 a - 1 c = 1 lg4 - 1 log 5 4 =log 4 10-log 4 5=log 4 2= 1 2 ， 故 D 正确 ． 故选 ACD. 14. BD 【解析 】 由对数运算性质知 坌M ， N>0 ， 有 log a （ MN ） =log a M+log a N ， 而 log a （ M+N ） ≠log a M+log a N ， 故 35 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 A 错误； 当 M=N=1 时， log a M · log a N=log a （ MN ）成立， 故 B 正确； 当 a ， b<0 时， ln （ ab ） =lna+lnb 不成立， 故 C 错误； 当 a ， b>0 时 ， lga lgb =lgalgb=lgb lga ， 则 a lgb =b lga ， 故 D 正确 . 故选 BD. * 15. 4+2 3 姨 3 【解析】 ∵x>0 ， y>0 ， ∴log 2 3 x +log 2 3 2y = log 2 3 4 log 2 4 ， log 2 （ 3 x ×3 2y ） = 1 2 log 2 3 4 ， ∴3 x ×3 2y =3 2 ， ∴x+2y=2 ， 即 1 2 （ x+2y ） =1 ， ∴ 2 x + 1 3y = 1 2 （ x+2y ） 2 x + 1 3y y # = 1 2 2+ 2 3 + 4y x + x 3y y y ≥ 1 2 8 3 +2 4y x · x 3y 姨 姨 y = 1 2 8 3 + 4 3 姨 3 姨 y = 4+2 3 姨 3 . 当 且 仅 当 4y x = x 3y 时 取 等 号 ， 即 4y x = x 3y ， x+2y=2 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 此 时 x=3- 3 姨 ， y= 3 姨 -1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . ∴ 最小值为 4+2 3 姨 3 . * 16. 4 ４ 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， ab=8 ， ∴log 2 a ·（ log 2 2b ） =log 2 a · log 2 16 a y y =log 2 a ·（ 4-log 2 a ） . 令 t=log 2 a∈R ， y=t （ 4-t ） =-t 2 +4t=- （ t-2 ） 2 +4 ， 当且仅当 t=2 时 ， y=t （ 4-t ）取最大值 4 ， 即 log 2 a · （ log 2 2b ）取最大值 4. 此时 log 2 a=2 ， 则 a=4. 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 1 课时 对数函数的概念与图象 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由于 ① 中自变量出现在底数上， ∴① 不是 对数函数； 由于 ② 中底数 a∈R 不能保证 a>0 且 a≠1 ， ∴② 不是对数函数 ； 由于 ⑤⑦ 的真数分别为 （ x+2 ）， （ x+1 ）， ∴⑤⑦ 也不是对数函数； 由于 ⑥ 中 log 4 x 的系数 为 2 ， ∴⑥ 也不是对数函数； 只有 ③④ 符合对数函数的 定义 . 故选 B. 变式训练 2 A 【解析 】 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜= -ln （ x+1 ）， -1<x<0 ， ln （ x+1 ）， x≥0 0 ， 作 函数 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜ 的图象如图所示 . 由 f （ a ） =f （ b ）， 可得 ｜ln （ a+1 ） ｜=｜ln （ b+1 ） ｜ ， 且 -1<a<0 ， b>0 ， ∵a<b ， ∴-ln （ a+1 ） =ln （ b+1 ）， ∴ （ a+1 ）（ b+1 ） =1 ， 即 ab+a+b=0. ∵ab< （ a+b ） 2 4 ， ∴0=ab+a+b< （ a+b ） 2 4 +a+b ， 即 （ a+b ）（ a+ b+4 ） >0. ∵-1<a<0 ， b>0 ， ∴a+b+4>0 ， ∴a+b>0. 故选 A. 变式训练 3 A 【解析】 由题可知 ， log 0.5 （ 4x 2 -3x ） ≥0 ， 由对数函 数的单调性， 可得 0<4x 2 -3x≤1 ， 解得 - 1 4 ≤x<0 或 3 4 <x≤1 ， ∴y= log 0.5 （ 4x 2 -3x ） 姨 的定义域为 - 1 4 ， y 0 0 ∪ 3 4 ， ， 1 姨 . 故选 A. 变式训练 4 ABD 【解析】 依题意知， 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 +4x-a+5 ） 的值域为 R ， 则 a=0 或 a>0 ， Δ=16-4a （ -a+5 ） ≥0 0 ， 解得 0≤ a≤1 或 a≥4 ， 故选 ABD． 随堂练习 1. A 【解析】 设函数解析式为 y＝log a x （ a>0 且 a≠ 1 ） ． ∵ 对数函数的图象过点 M （ 125 ， 3 ）， ∴3＝log a 125 ， 得 a＝5. ∴ 对数函数的解析式为 y＝log 5 x. 故选 A. 2. C 【解析】 设 t＝x 2 ＋8 ， 则 t≥8. 又 ∵ 函数 y＝log 2 t 在 （ 0 ， ＋∞ ） 上为增函数， ∴ f （ x ） ≥log 2 8＝3． 故选 C． 3. A 【解析】 由对数函数 y＝log a x （ a＞0 且 a≠1 ） 与 二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 可知， ① 当 0＜a＜1 时， 此时 a-1＜0 ， 对数函数 y＝log a x 为减 函数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向下， 且其对称轴 为 x＝ 1 2 （ a-1 ） <0 ， 故排除 C 与 D ； ② 当 a＞1 时， 此时 a-1＞0 ， 对数函数 y＝log a x 为增函 数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向上， 且其对称轴为 x＝ 1 2 （ a-1 ） >0 ， 故 B 错误， 而 A 符合题意 ． 故选 A． 4. B 【解析】 由题意知 2 a +a=log 2 b+b=log 3 c+c=k （ k< 1 ）， 可得 2 a =-a+k ， log 2 b=-b+k ， log 3 c=-c+k ， 且 k<1. 分别作出函数 y=2 x ， y=log 2 x ， y=log 3 x 和 y=-x+k 的 图象如图所示， 结合图象， 可得 a<c<b. 故选 B. 变式训练 2 答图 x y O a b c y=2 x y=log 2 x y=log 3 x y=-x+k （ k<1 ） 第 4 题答图 x y O -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 36