阶段性练习卷(4)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

第六章 平面向量初步 练 一、 单项选择题： 本题共 6 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的 . 1. 设 D 为 △ABC 所在平面内一点， 且 B B# C =3C BC D ， 则 （ ） A. A BC D =- 1 3 A BC B + 4 3 A BC C B. A BC D = 1 3 A BC B - 4 3 A BC C C. A BC D = 4 3 A BC B + 1 3 A BC C D. A BC D = 4 3 A BC B - 1 3 A BC C 2. 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ∠ABC= 60° ， 则 ｜B BC D ｜= （ ） A. a B. 3 姨 2 a C. 2 姨 a D. 3 姨 a 3. 向量 a ， b 满足 ｜a ｜=3 ， ｜b ｜=8 ， 则 ｜a+b ｜ 的最小值为 （ ） A. 11 B. 5 C. 4 D. 2 4. 点 A （ 8 ， -1 ）， B （ 1 ， -3 ）， 若点 C （ 2m- 1 ， m+2 ） 在线段 AB 上， 则实数 m= （ ） A. -12 B. 13 C. -13 D. 12 5. 向量 a=e 1 +2e 2 ， b=2e 1 -e 2 ， 则 a+2b 与 2a-b （ ） A. 共线 B. 不共线 C. 当且仅当 e 1 与 e 2 共线时共线 D. 当且仅当 e 1 =e 2 时共线 6. 已知点 M 是 △ABC 所在平面内一点， 且满足 A BC M = 3 4 A BC B + 1 4 A BC C ， 则 △ABM 与 △ABC 的面积之比为 （ ） A. 3 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 二、 多项选择题： 本题共 2 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 有多项符合题目 要求 . 7. △ABC 是边长为 2 的等边三角形， 已 知向量 a ， b 满足 A BC B =2a ， A BC C =2a+b ， 则下 列结论错误的有 （ ） A. ｜b｜=1 B. ｜a｜=1 C. C BC B =b D. （ 4a+b ） ∥B B# C 8. 设向量 a= （ 1 ， 0 ）， b= 1 2 ， 1 2 2 ) ， 则 下列结论中错误的有 （ ） A. ｜a｜=｜b｜ B. a+b= 3 2 ， 1 2 2 2 C. a∥b D. a-b 与 b 平行 三、 填空题： 本题共 4 小题 . 9. 在 △ABC 中， 点 M ， N 满足 A BC M =2M BC C ， B BC N =N BC C . 若 M BC N =xA BC B +yA BC C ， 则 x= ， y= . 10. 设向量 a ， b 不平行， 向量 λa+b 与 a+2b 平行， 则实数 λ= . 11. 已知向量 a= （ 2 ， 1 ）， b= （ 1 ， -2 ）， 若 ma+nb= （ 9 ， -8 ） （ m ， n∈R ）， 则 m-n 的 阶段性练习卷 （四） 91 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 值为 . 12. 已知点 A ， B ， C 在圆 x 2 +y 2 =1 上运 动， 且 AB⊥BC ， 若点 P 的坐标为 （ 2 ， 0 ）， 则 ｜P P# A +P PP B +P PP C ｜ 的最大值为 . 四、 解答题： 本题共 3 小题， 解答应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤 . 13. 已知 N 为 △ABC 的重心， 求证： N PP A +N PP B +N PP C =0. 14. 在平行四边形 ABCD 中， M ， N 分 别是 AD ， CD 的中点， B PP M =a ， B PP N =b ， 求 证： B PP D = 2 3 a+ 2 3 b. 15. 已知 O PP A =a ， O PP B =b ， P 1 ， P 2 ， …， P n-1 （ n∈N ， n>1 ） 是线段 AB 上依次从 A 到 B 排 列的 n 等分点， 若 OP 5 PP =xa+yb. （ 1 ） 求 x+y 的值； （ 2 ） 求证： OP 1 PP +OP 2 PP + … +OP n-1 PP = n-1 2 （ a+b ） . 92 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 DP=λ （ 0＜λ＜ 2 姨 ）， 则 A （ 0 ， 1 ）， P 2 姨 2 λ ， 2 姨 2 2 # λ ， E 1 ， 2 姨 2 2 2 λ ， F 2 姨 2 λ ， ， 2 0 ， ∴ P P' A = - 2 姨 2 λ ， 1- 2 姨 2 λ ， 2 ， E P' F = 2 姨 2 λ-1 ， - 2 姨 2 λ ， 2 ， ∴| P P' A |= - 2 姨 2 ， 2 λ 2 + 1- 2 姨 2 ， 2 λ 2 姨 = λ 2 - 2 姨 λ+1 姨 ， | E P' F |= 2 姨 2 λ- ， 2 1 2 + - 2 姨 2 ， 2 λ 2 姨 = λ 2 - 2 姨 λ+1 姨 ， ∴| P P' A |=| E P' F | ， ∴PA=EF. 阶段性练习卷 （四） 1. A 【解析】 由题知A P' D = A P' C + C P' D = A P' C + 1 3 B P' C = A P' C + 1 3 （A P' C - A P' B） =- 1 3 A P' B + 4 3 A P' C . 故选 A. 2. D 【解析】 解直角三角形可得 | B P' D |= 3 姨 a. 故选 D. 3. B 【解析】 当 a 与 b 方向相反时， |a+b| 的最小值 为 5. 故选 B. 4. C 【解析】 由题意可得A P' B = （ 7 ， -2 ）， A P' C = （ 2m- 9 ， m+3 ） . ∵ 点 C 在线段 AB 上， ∴ A P' C 与A P' B 同向， ∴ 2m-9 -7 = m+3 -2 ， 解得 m=-13. 故选 C. 5. C 【解析】 由题意， 可得 a+2b=5e 1 ， 2a-b=5e 2 ， ∴ 当 且仅当 e 1 与 e 2 共线时， 两向量共线 . 故选 C. 6. D 【解析】 如图所示， ∵ A P' M = 3 4 A P' B + 1 4 A P' C ， ∴ 3 4 A P' M + 1 4 A P' M = 3 4 A P' B + 1 4 A P' C ， 即 3 4 （A P' M -A P' B ） = 1 4 （A P' C - A P' M ）， 即 3 4 B P' M = 1 4 M P' C ， ∴ B P' M = 1 3 M P' C ， ∴| B P' M |= 1 3 |M P' C | ， | B P' M |= 1 4 |B P' C | ， ∴ S △ABM S △ABC = 1 4 . 故选 D. 7. ACD 【解析】 如图， 由题意， B P' C = A P' C - A P' B = （ 2a+ b ） -2a=b ， 故 C 错误 ； 又 ∵ | B P' C |=2 ， ∴ |b |=2 ， A 错误 ； ∵| A P' B |=|2a|=2|a|=2 ， ∴|a|=1 ， B 正确； 设 BC 的中点为 D ， 则A P' B + A P' C =2 A P' D ， 且A P' D ⊥ B P' C ， 而 2 A P' D =2a+ （ 2a+b ） = 4a+b ， ∴ （ 4a+b ） ⊥ B P' C ， D 错误 . 故选 ACD. 8. ACD 【解析】 ∵|a|=1 ， |b|= 2 姨 2 ， |a|≠|b| ， ∴Ａ 错 误； 根据向量的坐标运算法则可知 B 正确； ∵1× 1 2 ≠0× 1 2 ， ∴C 错误； a-b= 1 2 ， - 1 2 2 2 ， b= 1 2 ， 1 2 2 2 ， ∴ 1 2 × 1 2 ≠ - 1 2 2 2 × 1 2 ， D 错误 . 故选 ACD. 9. 1 2 - 1 6 【解析 】 特殊化 ， 不妨设 AC⊥AB ， AB=4 ， AC=3. 如图， 利用坐标法， 以 A 为原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴， 建立直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ）， M （ 0 ， 2 ）， C （ 0 ， 3 ）， B （ 4 ， 0 ）， N 2 ， 3 2 2 ， M P' N = 2 ， - 1 2 2 ， A P' B = （ 4 ， 0 ）， A P' C = （ 0 ， 3 ）， 则 2 ， - 1 2 2 =x （ 4 ， 0 ） +y （ 0 ， 3 ）， 则 4x=2 ， 3y=- 1 2 ， ∴x= 1 2 ， y=- 1 6 . 10. 1 2 【解析】 ∵ 向量 λa+b 与 a+2b 平行， ∴λa+b= k （ a+2b ）， 则 λ=k ， 1=2k k ， ∴λ= 1 2 . 11. -3 【解析】 由题意得， 2m+n=9 ， m-2n=-8 ， 解 得 m=2 ， n=5 ， ∴m-n=-3. 12. 7 【解析】 由题意得， AC 为圆的直径， 故可设 A （ m ， n ）， C （ -m ， -n ）， B （ x ， y ）， ∴ P P' A + P P' B + P P' C = （ x-6 ， y ）， ∴| P P' A + P P' B + P P' C |= （ x-6 ） 2 +y 2 姨 的最大值为圆 x 2 +y 2 =1 上的动点到点 （ 6 ， 0 ） 距离的最大 值， 从而易得当 x=-1 ， y= k 0 时 | P P' A + P P' B + P P' C | 的最大值为 7. 13. 证明： 由题知， N 为 △ABC 的重心， N P' A = 2 3 B P' A - 1 2 B P' C 2 2 = 2 3 B P' A - 1 3 B P' C ， N P' B = 2 3 A P' B - 1 2 A P' C 2 2 = 2 3 A P' B - 1 3 A P' C ， M N C A B 3 4 5 y x 第 9 题答图 第 6 题答图 第 7 题答图 C A B D 2a 2a+b A B C M 90 参 考 答 案 N !" C = 2 3 A !" C - 1 2 A !" B # $ = 2 3 A !" C - 1 3 A !" B ， ∴N !" A + N !" B + N !" C =0. 14. 证明： 如图， 设A !" B =m ， A !" D =n ， B !" D =xa+yb= x 1 2 n- - & m +y n- 1 2 - & m = 1 2 x+ - & y n- x+ 1 2 - & y m. 又 ∵ B !" D =n-m ， ∴ 1 2 x+y=1 ， x+ 1 2 y=1 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 解得 x= 2 3 ， y= 2 3 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 即B !" D = 2 3 a+ 2 3 b. 15. （ 1 ） 解： 由题意可得 A ， P 5 ， B 三点共线， 则 x+ y=1. （ 2 ） 证明： 由题意可知OP 1 !" =a+ 1 n （ b-a ）， OP 2 !" =a+ 2 n （ b-a ）， …， OP n-1 !" =a+ n-1 n （ b-a ）， ∴ OP 1 !" + OP 2 !" + … + OP n-1 !" = （ n-1 ） a+ 1+2+ … + （ n-1 ） n （ b-a ）， = （ n-1 ） a+ n-1 2 （ b-a ）， = n-1 2 （ a+b ） . 第四章章末测试卷 1. C 【解析】 对 y＝x α ， 当 α>0 时， y＝x α 在 （ 0 ， ＋∞ ） 上为增函数 . 故选 C. 2. C 【解析】 由题意得 lgx≥0 ， x>0 ， 5-3x>0 0 ， 即 x≥1 ， x>0 ， x< 5 3 1 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴1≤x< 5 3 . 故选 C. 3. B 【解析】 令 t＝ x-1 姨 ， 则 t≥0 ， y＝ 1 3 - & t 是减函 数， ∴0<y＝ 1 3 - & x-1 姨 ≤ 1 3 - & 0 ＝1. 故选 B. 4. C 【解析】 将自变量的每一个取值分别代入求值 比较， 即可得到 C 符合题意 . 故选 C. 5. A 【解析】 ∵3 b ＝5 ， ∴b＝log 3 5 ， ∴log 3 30 姨 ＝ 1 2 log 3 30 ＝ 1 2 （ log 3 3＋log 3 2＋log 3 5 ） ＝ 1 2 （ 1＋a＋b ） . 故选 A. 6. B 【解析】 分 a>1 和 0<a<1 两种情况， 分别画出 幂函数、 指数函数、 对数函数的图象 （图略）， 对比可 得 B 正确 . 故选 B. 7. A 【解析 】 ∵a＝log 1 2 3＜log 1 2 1＝0 ， 0＜b＝ 1 3 - & 0.2 ＜ 1 3 - & 0 ＝1 ， c＝2 1 3 ＞2 0 ＝1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 8. D 【解析】 方程 |a x -1|＝2a （ a>0 且 a≠1 ） 有两个不 等实根， 转化为函数 y＝|a x -1| 与 y＝2a 的图象有两个交点 . ① 当 0<a<1 时， 如图 1 ， ∴0<2a<1 ， 即 0<a< 1 2 . ② 当 a>1 时， 如图 2 ， 而 y＝2a>1 不符合要求 . 综上， a 的取值范围为 0<a< 1 2 . 故选 D. 9. CD 【解析】 α＝-1 时幂函数 y＝x -1 在 （ -∞ ， 0 ）和 （ 0 ， ＋∞ ） 上是减函数， 在其定义域上不是减函数， 故 A 错误； α＝0 时幂函数 y＝x 0 ＝1 （ x≠0 ）， 其图象是一条直 线， 去掉点 （ 0 ， 1 ）， 故 B 错误； α＝2 时幂函数 y＝x 2 在定 义域 R 上是偶函数， 故 C 正确； α＝3 时幂函数 y＝x 3 在 R 上是奇函数， 且是增函数， 有唯一零点是 0 ， 故 D 正确 . 故选 CD. 10. BD 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴a< 1 a ， 从而 1＋a<1＋ 1 a . ∴log a （ 1＋a ） >log a 1+ 1 a - & . 又 ∵0<a<1 ， ∴a 1＋a >a 1+ 1 a . 故选 BD. 11. ACD 【解析】 2 x 1 · 2 x 2 ＝2 x 1 +x 2 ， ∴A 成立； 2 x 1 · x 2 ≠2 x 1 +2 x 2 ， ∴B 不成立； 函数 f （ x ） ＝2 x ， 在 R 上是单调递增函 数， 若 x 1 >x 2 ， 则 f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 ， 若 x 1 < x 2 ， 则 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 ， 故 C 正确； f x 1 +x 2 2 - & x y O 1 y=2a x y O 1 图 1 图 2 第 8 题答图 第 14 题答图 A B C D M N a b 91