5.3 统计与概率的应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 1-a ）（ 1-b ） 1- 1 4 ! " = 3 10 ， 整理得 a+b-ab= 3 5 ， 联立 ab+ a+b= 4 5 与 a+b-ab= 3 5 ， 解得 ab= 1 10 . 故选 B. 13. B 【解析】 由题意可知， 有任何一人破译成功密 码， 则密码就被破译 . 方案 1 ： 四人均没有成功破译密码的概率为 1 2 ! " 4 = 1 16 ， ∴ 四人独立翻译， 密码能被破译的概率为 1- 1 16 = 15 16 =0.937 5. 方案 2 ： 分为两组， 每组两人， 两组独立破译 . 由二 人合为一组， 该组破译的概率为 0.8 ， ∴ 两组均没有成 功破译的概率为 （ 0.2 ） 2 =0.04 ， 则密码能被破译的概率为 1-0.04=0.96. 方案 3 ： 分为两组， 一组三人、 一组一人 . 三人合为 一组， 该组破译的概率为 0.9 ， 则密码能被破译的概率 为 0.9× （ 1-0.5 ） +0.1×0.5+0.9×0.5=0.95. 方案 4 ： 四人一组合作翻译 . 四人合作， 则破译的概 率为 0.94. 显然方案 2 破译密码的概率最大 . 故选 B. 14. BD 【解析】 取出的卡片有三种情况： 2 张都是 红色， 2 张都是蓝色， 1 张红色 1 张蓝色， 所以 “取出 的 2 张卡片都是红色” 与 “取出的 2 张卡片都是蓝色” 为互斥事件， 而不是对立事件， 故 A 错误； 每次取出红色的卡片概率为 1 2 ， ∴P （ X=2 ） = 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 × 1 2 = 3 8 ， 故 B 正确； 记两个数字为 5 的卡片分别为 A5 ， B5 ， 乙获胜包 含的基本事件有 （ 0 ， 2 ）， （ 0 ， A5 ）， （ 0 ， B5 ）， （ 2 ， A5 ）， （ 2 ， B5 ）， ∴ 在乙获胜的条件下， 甲取出的卡片 上数字为 2 的概率为 2 5 ， 故 C 错误； 从 4 张卡片中无放回连续取 3 张卡片， 总共有 4×3× 2=24 （种 ） 情况 ， 而 3 次所取到的数字依次为 “ 5 ” “ 2 ” “ 0 ” 的情况有 2 种， 所以 “ x 1 ， x 2 ， x 3 ” 为 “ 520 ” 的概率为 1 12 ， 故 D 正确 . 故选 BD. * 15. 解： （ 1 ） 事件 A ， B ， C 分别为壹号 、 贰号 、 叁号三条生产线各自生产的零件是合格品， 事件 A ， B ， C 分别为壹号、 贰号、 叁号三条生产线各自生产的零件 是非合格品 . 由题意得 P （ AB ） = 1 6 ， P （ BC ） = 3 5 ， P （ AC ） = 8 15 5 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 即 P （ A ） -P （ A ） P （ B ） = 1 6 ， P （ B ） P （ C ） = 3 5 ， P （ A ） P （ C ） = 8 15 5 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 P （ A ） = 2 3 ， P （ B ） = 3 4 ， P （ C ） = 4 5 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， P （ A ） = 1 3 ， P （ B ） = 1 4 ， P （ C ） = 1 5 ， ∴P （ D ） =P （ ABC ） +P （ ABC ） +P （ ABC ） =P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） = 2 3 × 1 4 × 1 5 + 1 3 × 3 4 × 1 5 + 1 3 × 1 4 × 4 5 = 3 20 ， P （ E ） =P （ ABC ） +P （ ABC ） +P （ ABC ）， =P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） = 2 3 × 3 4 × 1 5 + 2 3 × 1 4 × 4 5 + 1 3 × 3 4 × 4 5 = 13 30 . * 16. 解： （ 1 ） 记 “选手能正确回答第 i 轮的问题” 的事件记为 A i （ i=1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 则 P （ A 1 ） = 4 5 ， P （ A 2 ） = 3 5 ， P （ A 3 ） = 2 5 ， P （ A 4 ） = 1 5 ， ∴ 选手进入第四轮才被淘 汰的概率为 P=P （ A 1 A 2 A 3 A 4 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） P （ A 4 ） = 4 5 × 3 5 × 2 5 × 4 5 = 96 625 . （ 2 ） 该选手至多进入第三轮考核的概率 P=P （ A 1 +A 1 A 2 +A 1 A 2 A 3 ） =P （ A 1 ） +P （ A 1 A 2 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） = 1 5 + 4 5 × 2 5 + 4 5 × 3 5 × 3 5 = 101 125 . 5.3 统计与概率的应用 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 以 A 表示击中， B 表示未击中， 所有的 基本事件有 BAAA ， ABAA ， AABA ， AAAB ， 共 4 个 . 其中事件 “ 3 枪中有且只有 2 枪连中” 所包含的基本事 件有 ABAA ， AABA ， 共 2 个 . 因此， 3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是 2 4 = 1 2 . 故选 D. 变式训练 2 A 【解析】 分别用 A ， B ， C 表示齐王的上、 中、 下 等马， 用 a ， b ， c 表示田忌的上、 中、 下等马， 现从双 方的马匹中随机选一匹进行一场比赛， 有 Aa ， Ab ， Ac ， Ba ， Bb ， Bc ， Ca ， Cb ， Cc ， 共 9 场比赛， 其中田忌的 马获胜的有 Ba ， Ca ， Cb ， 共 3 场比赛， ∴ 田忌的马获 胜的概率为 1 3 . 变式训练 3 解： 不公平 . 设该城市有出租车 1 000 辆， 那么依 题意可得如下信息： 72 参 考 答 案 从表中可以看出， 当证人说出租车是红色时， 且它 确实是红色的概率为 120 290 ≈0.41 ， 而它是蓝色的概率为 170 290 ≈0.59. 在这种情况下， 以证人的证词作为推断的依 据对红色出租车显然是不公平的 . 随堂练习 1. 33 160 【解析】 由古典概型的概率公式可得碰到地 雷的概率为 99 480 ＝ 33 160 . 2. D 【解析】 设甲、 乙获一等奖的概率分别是 P （ A ） = 2 3 ， P （ B ） = 3 4 ， 不获一等奖的概率是 P （ A ） =1- 2 3 = 1 3 ， P （ B ） =1- 3 4 = 1 4 ， 则这两人中恰有一人获奖的事件的概 率为 P （ AB+AB ） =P （ AB ） +P （ AB ） =P （ A ） P （ B ） +P （ A ） P （ B ） = 1 3 × 3 4 + 2 3 × 1 4 = 5 12 . 故选 D. 3. C 【解析】 由题意可知 m 的可能取值有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 又由 Δ=m 2 -12≥0 ， 知 m 可取 4 ， 5 ， 6 ， ∴P= 3 6 = 1 2 . 故选 C. 4. A 【解析】 由题知前三局有两局甲获胜， 最后一 局甲胜， 共有 3 种情况： ① 第一局甲胜、 第二局甲胜、 第三局乙胜、 第四局甲胜， P （ A 1 ） ＝ 2 3 × 2 3 × 1 3 × 2 3 ＝ 8 81 ； ② 第一局甲胜、 第二局乙胜 、 第三局甲胜、 第四局甲 胜， P （ A 2 ） ＝ 2 3 × 1 3 × 2 3 × 2 3 ＝ 8 81 ； ③ 第一局乙胜， 然后甲 连胜三局， P （ A 3 ） ＝ 1 3 × 2 3 × 2 3 × 2 3 ＝ 8 81 . 故甲以 3 ∶ 1 获胜 的概率 P＝P （ A 1 ） ＋P （ A 2 ） ＋P （ A 3 ） ＝ 8 27 ， 故选 A. 5. 1 3 1 4 【解析】 由题意知， 第二次打开门， 说 明第一次没有打开门， 故第二次打开门的概率为 2 4 × 2 3 = 1 3 . 如果试过的钥匙不扔掉， 这个概率为 2 4 × 2 4 = 1 4 . 6. 1 2 【解析】 据题意， 所有可能的客车通过顺序的 情况为 （上 ， 中 ， 下 ）， （上 ， 下 ， 中 ）， （中 ， 上 ， 下）， （中， 下， 上）， （下， 中， 上）， （下， 上， 中）， 共 6 种 ， 其中袁先生可以乘上上等车的情况有 （中 ， 上， 下）， （中， 下， 上）， （下， 上， 中）， 共 3 种， 则 袁先生乘上上等车的概率为 3 6 = 1 2 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由题意， 试验的情况总数有 6×6=36 ， 又 18=2×3×3 ， 即两次所记数字之和能整除 18 的有 2+ 4 ， 2+7 ， 3+6 ， 4+5 ， 两次交换顺序共 8 种 ， 还有 3+3 ， 即所求事件个数共有 9 种， ∴ 所求概率为 P= 9 36 = 1 4 . 故 选 D. 2. B 【解析】 ∵ 用同一行业中应聘人数与招聘人数 比值的大小来衡量该行业的就业情况， ∴ 建筑行业招聘 人数是 76 516 ， 而应聘人数没有排在前五位 ， 小于 65 280 ， 建筑行业人才是供不应求 . ∵ 物流行业应聘人数 是 74 570 ， 而招聘人数不在前五位， 要小于 70 436 ， ∴ 物流行业是供大于求， ∴ 就业形势是建筑行业好于物流 行业 . 故选 B. 3. B 【解析】 由题意知本题是一个相互独立事件同 时发生的概率 ， 三个人中恰有两人合格 ， 包括三种情 况， 这三种情况是互斥的， ∴ 三人中恰有两人合格的概 率为 1 3 × 3 4 × 2 5 + 2 3 × 1 4 × 2 5 + 2 3 × 3 4 × 3 5 = 7 15 . 故选 B. 4. C 【解析】 画出树状图如下： 由图可知共有 36 种等可能的结果， 其中点数都是 偶数的结果数为 9 ， 点数的和为奇数的结果数为 18 ， 点 数和小于 13 的结果数为 36 ， 点数和小于 2 的结果数为 0 ， ∴ 发生可能性最大的是点数和小于 13. 故选 C. 5. B 【解析】 设小张本次电工考试中共参加 3 次考 试为事件 A ， 小张本次电工考试中第一次理论考试没通 过， 第二次理论考试通过， 第一次操作考试通过为事件 B ， 小张本次电工考试中第一次理论考试通过， 第一次 操作考试没通过， 第二次操作考试通过为事件 C ， 小张 本次电工考试中第一次理论考试通过， 第一次操作考试 没通过 ， 第二次操作考试没通过为事件 D ， 则 P （ A ） = P （ B∪C∪D ） =P （ B ） +P （ C ） +P （ D ）， 而 P （ B ） = 1- 3 4 4 % × 3 4 × 证人所说的颜色 （正确率 80% ） 真实 颜色 蓝色 红色 合计 蓝色 （ 85% ） 680 170 850 红色 （ 15% ） 30 120 150 合计 710 290 1 000 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 5 6 5 1 2 3 4 5 6 4 73 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 2 3 = 1 8 ， P （ C ） = 3 4 × 1- 2 3 3 " × 2 3 = 1 6 ， P （ D ） = 3 4 × 1- 2 3 3 " × 1- 2 3 3 " = 1 12 ， ∴P （ A ） = 1 8 + 1 6 + 1 12 = 3 8 . 故选 B. 6. B 【解析 】 对于规则一 ， 每人发球的概率都是 1 2 ， 是公平的； 对于规则二， 记 2 个红球分别为红 1 、 红 2 ， 2 个黑球分别为黑 1 、 黑 2 ， 则随机取出 2 个球的 所有可能的情况有 （红 1 ， 红 2 ）， （红 1 ， 黑 1 ）， （红 1 ， 黑 2 ）， （红 2 ， 黑 1 ）， （红 2 ， 黑 2 ）， （黑 1 ， 黑 2 ）， 共 6 种， 其中同色的情况有 2 种， ∴ 甲发球的可能性为 1 3 ， 不公平； 对于规则三， 记 3 个红球分别为红 1 、 红 2 、 红 3 ， 则随机取出 2 个球所有可能的情况有 （红 1 ， 红 2 ）， （红 1 ， 红 3 ）， （红 1 ， 黑 ）， （红 2 ， 红 3 ）， （红 2 ， 黑）， （红 3 ， 黑）， 共 6 种， 其中同色的情况有 3 种 ， ∴ 两人发球的可能性均为 1 2 ， 是公平的 . 因此 ， 对甲、 乙公平的规则是规则一和规则三 . 故选 B. 7. D 【解析】 将 “扫码支付” 小组、 “网购” 小组、 “高铁” 小组、 “共享单车” 小组分别记为 A 1 ， A 2 ， B 1 ， B 2 ， 则四个小组随机排序的所有情况有 （ A 1 ， A 2 ， B 1 ， B 2 ）， （ A 1 ， A 2 ， B 2 ， B 1 ）， （ A 2 ， A 1 ， B 1 ， B 2 ）， （ A 2 ， A 1 ， B 2 ， B 1 ）， （ A 1 ， B 1 ， A 2 ， B 2 ）， （ A 1 ， B 2 ， A 2 ， B 1 ）， （ A 2 ， B 1 ， A 1 ， B 2 ）， （ A 2 ， B 2 ， A 1 ， B 1 ）， （ B 1 ， A 1 ， A 2 ， B 2 ）， （ B 1 ， A 2 ， A 1 ， B 2 ）， （ B 2 ， A 1 ， A 2 ， B 1 ）， （ B 2 ， A 2 ， A 1 ， B 1 ）， （ A 1 ， B 1 ， B 2 ， A 2 ）， （ A 1 ， B 2 ， B 1 ， A 2 ）， （ A 2 ， B 1 ， B 2 ， A 1 ）， （ A 2 ， B 2 ， B 1 ， A 1 ）， （ B 1 ， B 2 ， A 1 ， A 2 ）， （ B 1 ， B 2 ， A 2 ， A 1 ）， （ B 2 ， B 1 ， A 1 ， A 2 ）， （ B 2 ， B 1 ， A 2 ， A 1 ）， （ B 1 ， A 1 ， B 2 ， A 2 ）， （ B 1 ， A 2 ， B 2 ， A 1 ）， （ B 2 ， A 1 ， B 1 ， A 2 ）， （ B 2 ， A 2 ， B 1 ， A 1 ）， 共 24 种， 其中 “扫码支付” 小组与 “网购” 小组不相邻的有 12 种， 由 古典概型的概率公式得所求概率为 1 2 . 故选 D. 8. AC 【解析】 由图表可得， 2022 年 5G 用户规模年 增长率最高， 故 A 正确； 2023 年 5G 用户规模年增长户 数最多为 65 083.4-27 583.5=37 499.9 （万人）， 故 B 错 误 ； 由图表可知， 从 2020 年开始 ， 2021 年与 2022 年 5G 用户规模年增长率增加， 从 2023 年开始到 2026 年 5G 用户规模年增长率逐年递减， 故 C 正确； 由于后五 年 5G 用户数增长不大， 数据较稳定， 故方差小于前 5 年数据的方差， ∴D 错误 . 故选 AC. 9. B 【解析】 选手甲选择 A 类题目， 得分的均值为 0.6×300+0.4× （ -300 ） =60 ， 选手甲选择 B 类题目， 得分的 均值为 0.75×200+0.25× （ -200 ） =100 ， 选手甲选择 C 类题 目， 得分的均值为 0.85×100+0.15× （ -100 ） =70 ， ∴ 若要每 一次答题的均分更大一些， 则选手甲应选择的题目类型 为 B. 10. 28 75 【解析】 比分为 1 ∶ 2 时有三种情况： ① 甲第 一次发球得分， 甲第二次发球失分， 乙第一次发球得分； ② 甲第一次发球失分， 甲第二次发球得分， 乙第一 次发球得分； ③ 甲第一次发球失分， 甲第二次发球失分， 乙第一 次发球失分 . ∴ 概率为 3 5 × 2 5 × 2 3 + 2 5 × 3 5 × 2 3 + 2 5 × 2 5 × 1 3 = 28 75 . 11. 解 ： （ 1 ） 由 茎 叶 图 可 知 ， 单 果 直 径 落 在 ［ 80 ， 85 ）， ［ 85 ， 90 ） 的苹果分别为 6 个、 12 个， 依题 意知抽样比为 6 6+12 = 1 3 ， ∴ 单果直径落在 ［ 80 ， 85 ） 的 苹 果 抽 取 个 数 为 6 × 1 3 =2 （ 个 ） ， 单 果 直 径 落 在 ［ 85 ， 90 ） 的苹果抽取个数为 12× 1 3 =4 （个） . （ 2 ） 记单果直径落在 ［ 80 ， 85 ） 的苹果为 a 1 ， a 2 ， 记单果直径落在 ［ 85 ， 90 ） 的苹果为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ， 若 从这 6 个苹果中随机抽取 2 个， 则所有可能结果为 {a 1 ， a 2 } ， {a 1 ， b 1 } ， {a 1 ， b 2 } ， {a 1 ， b 3 } ， {a 1 ， b 4 } ， {a 2 ， b 1 } ， {a 2 ， b 2 } ， { a 2 ， b 3 } ， { a 2 ， b 4 } ， {b 1 ， b 2 } ， {b 1 ， b 3 } ， {b 1 ， b 4 } ， {b 2 ， b 3 } ， {b 2 ， b 4 } ， {b 3 ， b 4 } ， 即基本事件的 总数为 15 个 . 这两个苹果单果直径均落在 ［ 85 ， 90 ） 内 包含的基本事件个数为 6 个， ∴ 这两个苹果单果直径均 落在 ［ 85 ， 90 ） 内的概率为 P= 6 15 = 2 5 . （ 3 ） 按方案 A ： 该合作农场收益为 5×5.5=27.5 （万元）； 按方案 B ： 依题意可知合作农场的果园共有 20 25 =0.8 万 箱 苹 果 ， 即 8 000 箱 苹 果 ， 则 该 合 作 农 场 收 益 为 7 50 ×35+ 40 50 ×45+ 3 50 ×5 3 " 5 ×8 000-8 000×5=313 600 （元 ）， 即为 31.36 万元， ∵27.5<31.36 ， ∴ 为该合作农场推荐收 益最好的是方案 B. 提升练习 12. B 【解析 】 设共有 x 个孩子 ， 由题意可得 k x = n m ， 解得 x= km n . 因此， 估计一共有 km n 个孩子， 故选 B. 13. A 【解析】 将棱长为 3 的正方体均匀切割成棱长 为 1 的小正方体， 一共可切割成 27 块， 而只有位于大 正方体的各个面中心的小正方体恰有一面涂有颜色， 共 6 块， 因此， 所得小正方体恰有一面涂有颜色的概率是 6 27 = 2 9 . 故选 A. 14. AD 【解析 】 由条形图可知 ， 余额总数逐年上 74 参 考 答 案 升， 故 A 正确； 由城乡储蓄构成百分比可知， 2019 年 农村居民存款年底总余额占 36.1% ， 城镇居民存款年底 总余额占 63.9% ， 没有超过， 故 B 错误； 城镇居民存款 年底余额所占的比重逐年下降， 但城镇居民存款年底余 额 2014 年 、 2017 年 、 2019 年 分别为 6.819 8 亿 元 、 155.085 亿元、 973.197 亿元， 总体不是逐年下降的， 故 C 错误； 2017 年城乡居民存款年底余额增长率大约为 211-65 65 ≈225% ， 故 D 正确 . 故选 AD. * 15. 解： （ 1 ） 如果第一次出现红灯， 第二次又出现 红灯记为事件 A ， 则 P （ A ） = 1 2 × 1 3 = 1 6 ； 如果第一次出现绿灯， 第二次出现红灯记为事件 B ， 则 P （ B ） = 1 2 × 3 5 = 3 10 . 以上两种情况彼此互斥， ∴ 第二次出现红灯的概率 为 P （ A+B ） =P （ A ） +P （ B ） = 1 6 + 3 10 = 7 15 . （ 2 ） 依题意， 三次发光中， 出现一次红灯、 两次绿 灯的情况共有 3 种， 它们的概率为 ① 依次出现绿灯、 绿灯、 红灯时的概率为 1 2 × 2 5 × 3 5 = 3 25 ； ② 依次出现绿灯、 红灯、 绿灯时的概率为 1 2 × 3 5 × 2 3 = 1 5 ； ③ 依次出现红灯、 绿灯、 绿灯时的概率为 1 2 × 2 3 × 2 5 = 2 15 . 以上三种情况彼此互斥， ∴ 三次发光后， 出现一次 红灯、 两次绿灯的概率为 3 25 + 1 5 + 2 15 = 34 75 . 16. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图知， 月均用水量在 ［ 0 ， 0.5 ） 中的频率为 0.08×0.5=0.04 ， 同理， 在 ［ 0.5 ， 1 ）， ［ 1.5 ， 2 ）， ［ 2 ， 2.5 ）， ［ 3 ， 3.5 ）， ［ 3.5 ， 4 ）， ［ 4 ， 4.5 ） 中的频率分别为 0.08 ， 0.20 ， 0.26 ， 0.06 ， 0.04 ， 0.02. 由 0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1 ， 解 得 a=0.30. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 100 位居民每人月均用水量不低于 3 t 的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分 布， 可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 t 的 人数为 300 000×0.12=36 000. （ 3 ） ∵ 前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+ 0.26+0.15=0.88>0.85 ， 而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+ 0.15+0.20+0.26=0.73<0.85 ， ∴2.5≤x<3. 由 0.3× （ x-2.5 ） = 0.85-0.73 ， 解得 x=2.9. ∴ 估计月用水量标准为 2.9 t 时， 85% 的居民每月的 用水量不超过标准 . 阶段性练习卷 （三） 1. B 【解析】 从茎叶图知所有数据为 8 ， 9 ， 12 ， 15 ， 18 ， 20 ， 20 ， 23 ， 23 ， 28 ， 31 ， 32 ， 中 间 两 个 数 为 20 ， 20 ， 故中位数为 20. 故选 B. 2. B 【解析】 该校女老师的人数是 110×70%+150× （ 1-60% ） =137. 故选 B. 3. B 【解析】 依题意， 这批米内夹谷约为 28 254 ×1 534= 169 石 . 故选 B. 4. D 【解析】 两队胜每局的概率都是 1 2 . 设事件 A i （ i=1 ， 2 ） 表示继续比赛时， 甲在第 i 局胜， 事件 B 表示 甲队获得冠军 ， 则 P （ B ） =P （ A 1 ） +P （ A 1 A 2 ） = 1 2 + 1 2 × 1 2 = 3 4 ， ∴ 甲队获得冠军的概率为 3 4 . 故选 Ｄ. 5. D 【解析】 从正六边形的 6 个顶 点中随机选择 4 个顶点 ， 以它们作为 顶点的四边形共有 15 个， 其中能构成 矩形 3 个， 即一组平行的对边构成一 个矩形 . ∴ 以它们作为顶点的四边形是 矩形的概率为 3 15 = 1 5 . 故选 D. 6. C 【解析】 设样本数据 x 1 ， x 2 ， …， x 10 的标准差 为 D （ X ） 姨 ， 则 D （ X ） 姨 =8 ， 即方差 D （ X）=64 ， 而数据 2x 1 - 1 ， 2x 2 -1 ， …， 2x 10 -1 的方差 D （ 2X-1 ） =2 2 D （ X ） =2 2 ×64 ， ∴ 其标准差为 2 2 ×64 姨 =16. 故选 C. 7. AC 【解析】 从折线图能看出 5 日到 15 日的最高 气温与最低气温的变化情况， A 正确； 由图可知， 6 日 的最高气温与最低气温的差值最大， B 错误； 最高气温 27 ℃ 出现了两次， 其他数据出现 1 次， 故 27 ℃ 是最高 气温的众数， C 正确； 5 日到 15 日的最低气温的极差小 于 15-3=12 ， 5 日到 15 日的最高气温的极差约等于 27- 15=12 ℃ ， D 错误 . 故选 AC. 8. AD 【解析 】 甲地数据为 26 ， 28 ， 29 ， 31 ， 31 ； 乙地数据为 28 ， 29 ， 30 ， 31 ， 32 ； ∴x 甲 = 26+28+29+31+31 5 =29 ， x 乙 = 28+29+30+31+32 2 =30 ， s 2 甲 = 1 5 × ［（ 26-29 ） 2 + （ 28-29 ） 2 + （ 29-29 ） 2 + （ 31-29 ） 2 + （ 31-29 ） 2 ］ =3.6 ， s 2 乙 = 1 5 × ［（ 28-30 ） 2 + （ 29-30 ） 2 + （ 30-30 ） 2 + （ 31-30 ） 2 + （ 32-30 ） 2 ］ =2 ， ∴s 2 甲 >s 2 乙 . 故选 AD. 第 5 题答图 75 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 现有 6 张牌面分别是 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的扑克牌， 从中取出 1 张， 记下牌面上的 数字后放回， 再取一张记下牌面上的数字， 则两次所记数字之和能整除 18 的概率是 （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 4 2. 某地某年第一季度应聘和招聘人数排 行榜前 5 个行业的情况列表如下： 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比 值的大小来衡量该行业的就业情况， 则根据 表中数据， 就业形势一定是 （ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张 3. 甲、 乙、 丙三人参加一次考试， 他们 合格的概率分别为 2 3 ， 3 4 ， 2 5 ， 那么三人 中恰有两人合格的概率是 （ ） A. 2 5 B. 7 15 C. 11 30 D. 1 6 4. 质地均匀的骰子六个面分别刻有 1 — 6 的点数， 掷两次骰子， 得到向上一面的两 个点数， 则下列事件中， 发生可能性最大的 是 （ ） A. 点数都是偶数 B. 点数的和是奇数 C. 点数的和小于 13 D. 点数的和小于 2 5. 小张准备参加电工资格考试， 先后进 行理论考试和操作考试两个环节， 每个环节 各有 2 次考试机会 . 在理论考试环节， 若第 1 次考试通过， 则直接进入操作考试； 若第 1 次未通过， 则进行第 2 次考试， 第 2 次考 试通过后进入操作考试环节， 第 2 次未通过 则直接被淘汰 . 在操作考试环节， 若第 1 次 考试通过， 则直接获得证书； 若第 1 次未通 过， 则进行第 2 次考试， 第 2 次考试通过后 获得证书， 第 2 次未通过则被淘汰 . 若小张 每次理论考试通过的概率为 3 4 ， 每次操作考 试通过的概率为 2 3 ， 并且每次考试相互独 立， 则小张本次电工考试中共参加 3 次考试 的概率是 （ ） A. 1 3 B. 3 8 5.3 统计与概率的应用 行业 名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘 人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280 行业 名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘 人数 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436 64 第五章 统计与概率 练 C. 2 3 D. 3 4 6. 某比赛为甲、 乙两名运动员制订下列 发球规则 . 规则一： 投掷一枚硬币， 出现正 面向上， 甲发球， 否则乙发球； 规则二： 从 装有 2 个红球与 2 个黑球的布袋中随机地取 出 2 个球， 如果同色， 甲发球， 否则乙发 球； 规则三： 从装有 3 个红球与 1 个黑球的 布袋中随机地取出 2 个球， 如果同色， 甲发 球， 否则乙发球 . 其中对甲、 乙都公平的规 则是 （ ） A. 规则一和规则二 B. 规则一和规则三 C. 规则二和规则三 D. 规则二 7. 在一项自 “一带一路” 沿线 20 国青 年参与的评选中 ， “高铁 ” “扫码支付 ” “共享单车” 和 “网购” 被称作中国 “新四 大发明”， 曾以古代 “四大发明” 推动世界 进步的中国， 正再次以科技创新向世界展示 自己的发展理念 . 某班假期分为四个社会实 践活动小组， 分别对 “新四大发明” 对人们 生活的影响进行调查， 于开学召开交流报告 会 . 四个小组随机排序， 则 “扫码支付” 小 组和 “网购” 小组不相邻的概率为 （ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 8. （多选题） 2020 年两会 “部长通道” 工信部部长表示， 中国每周大概增加 1 万多 个 5G 基站， 4 月增加 5G 用户 700 多万人， 5G 通信将成为社会发展的关键动力， 下图 是某机构对我国未来十年 5G 用户规模的发 展预测图， 则 （ ） 2020 — 2029 年中国 5G 用户规模 A. 2022 年我国 5G 用户规模年增长率 最高 B. 2022 年我国 5G 用户规模年增长户数 最多 C. 从 2020 年到 2026 年， 我国的 5G 用 户规模增长两年后， 其年增长率逐年下降 D. 这十年我国的 5G 用户数规模， 后五 年的平均数与方差都分别大于前五年的平均 数与方差 9. 某校组织 “中国诗词” 竞赛， 在 “风 险答题” 的环节中， 共为选手准备了 A ， B ， C 三类不同的题目， 选手每答对一个 A 类、 B 类或 C 类的题目 ， 将分别得到 300 分 、 200 分、 100 分， 但如果答错， 则相应要扣 去 300 分、 200 分、 100 分， 根据平时训练 的经验， 选手甲答对 A 类、 B 类或 C 类的 题目的概率分别为 0.6 ， 0.75 ， 0.85. 若要每 一次答题的均分更大一些， 则选手甲应选择 的题目类型应为 （填 “ A ” “ B ” 或 “ C ”） . 10. 乒乓球赛规定： 一局比赛， 双方比 分在 10 平前， 一方连续发球 2 次后， 对方 再连续发球 2 次， 依次轮换， 每次发球， 胜 方得 1 分， 负方得 0 分 . 设在甲、 乙的比赛 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 350.0% 300.0% 250.0% 200.0% 150.0% 100.0% 50.0% 0 133 277.4 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0 5G 用户规模（万人） 增长率 128 379.4 134 591.4 135 887.2 137 205.3 101 062 65 083.4 27 583.5 7 085.4 4 231.3 第 8 题图 65 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 中， 每次发球， 甲发球得 1 分的概率为 3 5 ， 乙发球得 1 分的概率为 2 3 ， 各次发球的胜负 结果相互独立， 甲、 乙的一局比赛中， 甲先 发球 . 则开始第 4 次发球时， 甲、 乙的比分 为 1 ∶ 2 的概率为 . 11. 某地合作农场的果园进入盛果期， 果农利用互联网电商渠道销售苹果， 苹果单 果直径不同则单价不同， 为了更好地销售， 现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了 50 个苹果测量其直径， 经统计， 其单果直 径分布在区间 ［ 50 ， 95 ］ 内 （单位： mm ）， 统计的茎叶图如图所示： （ 1 ） 按分层抽样的方法从单果直径落在 ［ 80 ， 85 ）， ［ 85 ， 90 ） 的苹果中随机抽取 6 个， 则从 ［ 80 ， 85 ）， ［ 85 ， 90 ） 的苹果中 各抽取几个？ （ 2 ） 从 （ 1 ） 中选出的 6 个苹果中随机 抽取 2 个 ， 求这 2 个苹果单果直径均在 ［ 85 ， 90 ） 内的概率 . （ 3 ） 以此茎叶图中单果直径出现的频率 代表概率， 若该合作农场的果园有 20 万个 苹果约 5 万千克待出售， 某电商提出两种收 购方案： 方案 A ： 所有苹果均以 5.5 元 / 千克 收购； 方案 B ： 按苹果单果直径大小分三类 装箱收购， 每箱装 25 个苹果， 定价收购方 式为单果直径在 ［ 50 ， 65 ） 内按 35 元 / 箱收 购 ， 在 ［ 65 ， 90 ） 内按 45 元 / 箱收购 ， 在 ［ 90 ， 95 ］ 内按 55 元 / 箱收购 . 包装箱与分拣 装箱费用为 5 元 / 箱 （该费用由合作农场承 担） . 请你通过计算为该合作农场推荐收益 最好的方案 . 提 升 练 习 12． 从一群正在做游戏的孩子中抽出 k 人， 一人分一个苹果后， 让他们返回继续游 戏， 一段时间之后， 再从中任取 m 人， 发现 其中有 n 个孩子曾分过苹果， 估计一共有 （ ） 个孩子 A． k · n m B． k · m n C． k+m-n D． k-m+n 13． 先将一个棱长为 3 的正方体木块的 六个面分别涂上颜色， 再将该正方体均匀切 割成棱长为 1 的小正方体， 现从切好的小正 方体中任取一块， 所得小正方体恰有一面涂 有颜色的概率是 （ ） A． 2 9 B． 1 9 C． 4 27 D． 8 27 5 0 3 4 9 6 1 3 4 6 7 8 9 9 7 0 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 8 0 0 2 2 3 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 1 3 5 第 11 题图 66 第五章 统计与概率 练 14． （多选题） 某地区城乡居民储蓄存 款年底余额 （单位： 亿元） 变化情况如图所 示， 下列判断一定正确的有 （ ） A． 该地区城乡居民储蓄存款年底余额 总数逐年上升 B． 到 2023 年农村居民存款年底总余额 已超过了城镇居民存款年底总余额 C． 城镇居民存款年底总余额逐年下降 D． 2021 年城乡居民存款年底总余额增 长率大约为 225% * 15． 某种电路开关闭合后， 会出现红灯 或绿灯闪动， 已知开关第一次闭合后， 出现 红灯和出现绿灯的概率都是 1 2 . 从开关第二 次闭合起， 若前次出现红灯， 则下一次出现 红灯的概率是 1 3 ， 出现绿灯的概率是 2 3 ； 若前次出现绿灯， 则下一次出现红灯的概率 是 3 5 ， 出现绿灯的概率是 2 5 . 求： （ 1 ） 第二次闭合后出现红灯的概率； （ 2 ） 三次发光后， 出现一次红灯、 两次 绿灯的概率 . 16． 我国是世界上严重缺水的国家， 某 市政府为了鼓励居民节约用水， 计划调整居 民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月 用水量标准 x t ， 一位居民的月用水量不超 过 x 的部分按平价收费， 超出 x 的部分按议 价收费 . 为了了解居民用水情况， 通过抽样， 获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 （单位： t ）， 将数据按照 ［ 0 ， 0.5 ）， ［ 0.5 ， 1 ）， …， ［ 4 ， 4.5 ） 分成 9 组， 制成了如图 所示的频率分布直方图 . （ 1 ） 求直方图中 a 的值； （ 2 ） 设该市有 30 万居民， 估计全市居 民中月均用水量不低于 3 t 的人数， 并说明 理由； （ 3 ） 若该市政府希望使 85% 的居民每月 的用水量不超过标准 x t ， 估计 x 的值， 并说 明理由 . 农村 城镇 2018 年 2021 年 2023 年 79.3% 20.7% 26.5% 73.5% 36.1% 63.9% 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 2022 年 2023 年 1523 400 211 65 35 8.6 城乡储蓄构成百分比 该地区城乡居民储蓄存款年底余额总数 第 14 题图 第 16 题图 频率 组距 月均用水量 /t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 0.52 0.40 0 1 2 3 4 a 0.16 0.12 0.08 0.04 67