5.2.5 随机事件的独立性-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 某射击运动员射击一次命中目标的概 率为 P ， 已知他独立地连续射击三次， 至少 有一次命中的概率为 37 64 ， 则 P 为 （ ） A. 1 4 B. 3 4 C. 3 3 姨 8 D. 37 姨 8 2. 某大学选拔新生补充进 “篮球” “电 子竞技” “国学” 三个社团， 据资料统计， 新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否 相互独立 . 2019 年某新生入学， 假设他通过 考核选拔进入该校的 “篮球” “电子竞技” “国学” 三个社团的概率依次为 m ， 1 3 ， n ， 已知三个社团他都能进入的概率为 1 24 ， 至少 进入一个社团的概率为 3 4 ， 且 m＞n. 则 m+ n= （ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 12 3. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内 任取 2 个球， 现有如下说法： ① 至少有 1 个 黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件 ； ② 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球不是互 斥事件； ③ 恰好有 1 个黑球与恰好有 2 个黑 球是互斥而不对立的事件； ④ 至少有 1 个黑 球与都是红球是对立事件 . 在上述说法中， 正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 袋中装有 10 个红球、 5 个黑球， 每 次随机抽取一个球， 若取到黑球， 则放回袋 中 ， 直到取到红球为止 . 若抽取的次数为 X ， 则表示 “放回袋中 4 个小球” 的事件为 （ ） A. X=4 B. X=5 C. X=6 D. X≤4 5. 分别独立地扔一枚骰子和硬币， 并记 下骰子向上的点数和硬币朝上的面， 则结果 中含有 “ 1 点或正面向上” 的概率为 （ ） A. 5 12 B. 1 2 C. 7 12 D. 2 3 6. （多选题） 下列各对事件中， 为相互 独立事件的有 （ ） A. 掷一枚骰子一次， 事件 M “出现偶 数点”； 事件 N “出现 3 点或 6 点” B. 袋中有 3 白、 2 黑共 5 个大小相同的 小球， 依次有放回地摸两球， 事件 M “第一 次摸到白球”， 事件 N “第二次摸到白球” C. 袋中有 3 白、 2 黑共 5 个大小相同的 小球， 依次不放回地摸两球， 事件 M “第一 次摸到白球”， 事件 N “第二次摸到黑球” D. 甲组 3 名男生， 2 名女生； 乙组 2 名 男生， 3 名女生 . 现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛， 事件 M “从甲组中选 出 1 名男生”， 事件 N “从乙组中选出 1 名 女生” 5.2.5 随机事件的独立性 60 第五章 统计与概率 练 7. 在一次数学考试中， 第 22 题和第 23 题为选做题， 规定每位考生必须且只需在其 中选做一题 . 设 4 名考生选做这两题的可能 性均为 1 2 ， 则其中甲、 乙 2 名学生选做同一 道题的概率为 ， 甲、 乙 2 名学生都 选做第 22 题的概率为 . 8. 已知某种高炮在它控制的区域内击中 敌机的概率为 0.2 ， 要使敌机一旦进入这个 区域后有 0.9 以上的概率被击中， 需要至少 布置 门高炮 . （用数字作答， 已知 lg2≈0.301 0 ， lg3≈0.477 1 ） 9. 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的 概率为 1 9 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发 生 A 不发生的概率相同， 则事件 A 发生的 概率 P （ A ） = . 10. 假定生男孩和生女孩是等可能的， 令事件 A= “一个家庭中既有男孩又有女 孩”， 事件 B= “一个家庭中最多有一个女 孩 ” . 对下述两种情形 ， 讨论 A 与 B 的独 立性 . （ 1 ） 家庭中有两个小孩； （ 2 ） 家庭中有三个小孩 . 11. 习近平总书记指出 : “要健全社会心 理服务体系和疏导机制、 危机干预机制， 塑 造自尊自信、 理性平和、 亲善友爱的社会心 态 . ” 某心理调查机构为了了解市民的心理 健康状况， 随机抽取 n 位市民进行心理健康 问卷调查， 按所得评分 （满分 100 分） 从低 到高将心理健康状况分为四个等级： 并绘制如图所示的频率分布直方图 . 已知调 查评分在 ［ 70 ， 80 ） 的市民为 400 人 . （ 1 ） 求 n 的值及频率分布直方图中 t 的值 . （ 2 ） 在抽取的心理等级为 “有隐患” 的 市民中， 按照调查评分分层抽取 3 人进行心 理疏导 . 据以往数据统计， 经过心理疏导后， 调查评分在 ［ 40 ， 50 ） 的市民心理等级转为 “良好” 的概率为 1 4 ， 调查评分在 ［ 50 ， 60 ） 的市民心理等级转为 “良好” 的概率为 1 3 ， 若经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 试 问在抽取的 3 人中经过心理疏导后， 至少有 调查 评分 ［ 40 ， 50 ） ［ 50 ， 60 ） ［ 60 ， 70 ） ［ 70 ， 80 ） ［ 80 ， 90 ） ［ 90 ， 100 ］ 心理 等级 有隐患 一般 良好 优秀 频率 组距 分数 40 50 60 70 80 90 100 0.035 0.025 0.02 0.004 7t t 0 第 11 题图 61 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 1 人心理等级转为 “良好” 的概率为多少 . （ 3 ） 心理调查机构与该市管理部门设定 的预案是： 以抽取的样本作为参考， 若市民 心理健康指数平均值不低于 0.8 ， 则只需发 放心理指导资料， 否则需要举办心理健康大 讲堂 . 根据你所学的统计知识， 判断该市是 否需要举办心理健康大讲堂， 并说明理由 . （每组数据以区间的中点值代替， 心理健康 指数 = 问卷调查评分 /100 ） 提 升 练 习 12． 高一年级某同学为了丰富自己的课 外活动， 参加了学校 “文学社” “咏春社” “音乐社” 三个社团的选拔， 该同学能否成 功进入这三个社团是相互独立的 . 假设该同 学进入 “文学社” “咏春社” “音乐社” 三 个社团的概率分别为 a ， b ， 1 4 ， 该同学可 以进入两个社团的概率为 1 5 ， 且三个社团都 进不了的概率为 3 10 ， 则 ab= （ ） A． 3 20 B． 1 10 C． 1 15 D． 1 5 13． 某项密码破译工作需甲、 乙、 丙、 丁四人完成， 已知每人独立破译出密码的概 率为 0.5 ， 若二人合为一组则该组破译的概 率为 0.8 ， 若三人合为一组则该组破译的概 率为 0.9 ， 若四人合作则破译的概率提升到 0.94． 为完成此项工作， 现有四种方案， 方 案 1 ： 四人独立翻译； 方案 2 ： 分为两组， 每组两人， 两组独立翻译； 方案 3 ： 分为两 组， 一组三人、 一组一人， 两组独立翻译； 方案 4 ： 四人一组合作翻译 ． 则密码能被破 译出的概率最大的是 （ ） A． 方案 1 B． 方案 2 C． 方案 3 D． 方案 4 14． （多选题） 一个不透明的口袋内装 有 4 张大小、 形状完全相同的卡片， 下列说 法正确的有 （ ） A． 若其中红色卡片与蓝色卡片各 2 张， 从中一次性地任意取出 2 张卡片， 则事件 62 第五章 统计与概率 练 “取出的 2 张卡片都是红色” 与 “取出的 2 张卡片都是蓝色” 为对立事件 B． 若其中红色卡片与蓝色卡片各 2 张， 从中有放回地取 3 次， 每次取 1 张， 用 x 表 示取得红色卡片的次数， 则 P （ X=2 ） = 3 8 C． 若卡片上分别写有数字 0 ， 2 ， 5 ， 5 ， 现甲从中取出 1 张卡片记录卡片上的数字后 便放回， 然后乙再从中取出 1 张卡片， 若乙 取出的卡片上数字大于甲即可获胜， 则在乙 获胜的条件下， 甲取出的卡片上数字为 2 的 概率为 1 3 D． 若卡片上分别写有数字 0 ， 2 ， 5 ， 5 ， 从中无放回地取 3 次， 每次取 1 张 ， 用 x i （ i =1 ， 2 ， 3 ） 表示每次取到的数字 ， 则 “ x 1 x 2 x 3 ” 恰为数字 “ 520 ” 的概率为 1 12 * 15． 某工厂调试壹号、 贰号、 叁号三条 生产线各自独立地生产同一种零件， 已知壹 号生产线生产的零件是合格品且贰号生产线 生产的零件是非合格品的概率为 1 6 ， 贰号生 产线生产的零件是合格品且叁号生产线生产 的零件也是合格品的概率为 3 5 ， 壹号生产线 生产的零件是合格品且叁号生产线生产的零 件也是合格品的概率为 8 15 ， 记事件 A ， B ， C 分别为壹号、 贰号、 叁号三条生产线各自 生产的零件是合格品 . （ 1 ） 分别求出事件 A ， B ， C 的概率 P （ A ）， P （ B ）， P （ C ）； （ 2 ） 从壹、 贰、 叁号三条生产线上生产 的同一种零件中随机各取 1 个进行检验， 记 事件 D ， E 分别为三个零件中合格品为 1 个、 2 个 ， 分别求出事件 D ， E 的概率 P （ D ）， P （ E ） . * 16. 某项选拔共有四轮考核， 每轮设有 一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考 核， 否则即被淘汰 . 已知某选手能正确回答 第一、 二、 三、 四轮问题的概率分别为 4 5 ， 3 5 ， 2 5 ， 1 5 ， 且各轮问题能否正确回答互 不影响 . （ 1 ） 求该选手进入第四轮考核才被淘 汰的概率； （ 2 ） 求该选手至多进入第三轮考核的 概率 . 63 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 推广移动支付前， 平均每辆车进出高速收费站 大约耗时 （ 10+30 ） ×60%+ （ 4+4 ） ×40%=27.2 （ s ）， 推广移动支付后， 平均每辆车进出高速收费站大约 耗时 （ 10+30 ） × 135 1 500 + （ 10+15 ） × 240 1 500 + （ 4+4 ） × 750+375 1 500 =3.6+4+6=13.6 （ s ）， ∴ 推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗 时比推广移动支付前大约减少一半 . 5.2.5 随机事件的独立性 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 ∵P （ A 1 ） = 3 5 . 若 A 1 发生了， P （ A 2 ） = 2 4 = 1 2 ； 若 A 1 不发生， P （ A 2 ） = 3 4 . 即 A 1 发生的结果对 A 2 发 生的结果有影响， ∴A 1 与 A 2 不是相互独立事件 . 故选 D. 变式训练 2 D 【解析】 第一次甲没有被抽检的概率为 2 3 ， 第二次甲没有被抽检的概率为 1 2 ， 故甲没有被抽检的概率为 2 3 × 1 2 = 1 3 ， 故甲被抽检的概率为 1- 1 3 = 2 3 . 故选 D. 变式训练 3 解： 记这段时间内开关 J A ， J B ， J C 能够闭合为事件 A ， B ， C. 由题意， 这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之 间没有影响， 根据相互独立事件的概率公式， 这段时间 内 3 个开关都不能闭合的概率是 P （ ABC ） =P （ A ） P （ B ） P （ C ） = ［ 1-P （ A ）］［ 1-P （ B ）］［ 1- P （ C ）］ = （ 1-0.7 ） × （ 1-0.7 ） × （ 1-0.7 ） =0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合， 从而使 线路能够正常工作的概率是 1-P （ ABC ） =1-0.027=0.973. 随堂练习 1. A 【解析】 由于采用有放回地摸球， 因此 A 1 与 A 2 相互独立， 于是事件 A 1 与 A 2 是相互独立事件 . 故选 A. 2. B 【解析】 甲未通过的概率为 0.3 ， 则甲未通过而 乙通过的概率为 0.3×0.4=0.12. 故选 B. 3. 0.55 【解析】 小李将玩偶击落有三种情况： ① 第 一次就击落； ② 第一次未击中， 第二次击落； ③ 第一次 击中但未击落 ， 第二次击落 . ∴P=0.4×0.5+0.6×0.7×0.5+ 0.4×0.5×0.7=0.55. 4. C 【解析】 设甲同学收到李老师的信息为事件 A ， 收到张老师的信息为事件 B ， A ， B 相互独立 ， P （ A ） =P （ B ） = 4 10 = 2 5 ， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动 通知的信息的概率为 1-P （ AB ） =1- （ 1-P （ A ））（ 1-P （ B ）） = 1- 3 5 × 3 5 = 16 25 . 故选 C. 5. 解： 记事件 “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 为 A i （ i＝1 ， 2 ， 3 ）， 则 P （ A 1 ） ＝ 4 5 ， P （ A 2 ） ＝ 3 5 ， P （ A 3 ） ＝ 2 5 . 方法一： 该选手被淘汰的概率为 P （ A 1 ） ＋P （ A 1 ∩A 2 ） ＋P （ A 1 ∩A 2 ∩A 3 ） ＝P （ A 1 ） ＋P （ A 1 ） P （ A 2 ） ＋P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） ＝ 1 5 ＋ 4 5 × 2 5 ＋ 4 5 × 3 5 × 3 5 ＝ 101 125 . 方法二： 该选手被淘汰的概率为 1－P （ A 1 ∩A 2 ∩A 3 ） ＝1－ 4 5 × 3 5 × 2 5 ＝ 101 125 . 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 射击一次命中目标的概率为 P ， ∴ 射 击一次未命中目标的概率为 1-P. ∵ 每次射击结果相互独 立， ∴ 三次都未命中的概率为 （ 1-P ） 3 . ∵ 连续射击三次， 至少有一次命中的对立事件为三次都未射中， ∴ 连续射 击三次， 至少有一次命中的概率为 1- （ 1-P ） 3 = 37 64 ， 解得 P= 1 4 . 故选 A. 2. C 【解析 】 由题知三个社团都能进入的概率为 1 24 ， 即 m× 1 3 ×n= 1 24 圯m×n= 1 8 ， 又 ∵ 至少进入一个社团 的概率为 3 4 ， 即一个社团都没能进入的概率为 1- 3 4 = 1 4 ， 即 （ 1-m ） × 2 3 × （ 1-n ） = 1 4 圯1-m-n+m×n= 3 8 ， 整理 得 m+n= 3 4 . 故选 C. 3. C 【解析】 ① “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个 黑球和 1 个红球或 2 个黑球” 与 “都是黑球” 可以同时 发生， 不是互斥事件， 故错误； ② “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个黑球”， “至少有 1 个红球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个红球”， 可 以同时发生， 故正确； ③ “恰好有 1 个黑球 ” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球”， 与 “恰好有 2 个黑球” 不同时 发生 ， 还有可能都是红球 ， 不是对立事件 ， 故正确 ； ④ “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个黑球”， 与 “都是红球” 不同时发生， 但一定会有一 个发生， 是对立事件， 故正确 . 上述说法中， 正确的个 数为 3. 故选 C. 4. B 【解析】 根据题意可知 ， 如果没有抽到红球 ， 70 参 考 答 案 则将黑球放回， 然后继续抽取， ∴ “放回袋中 4 个小球” 也即是前 4 次都是抽到黑球， 第 5 次抽到了红球， 故 X=5. 故选 B. 5. C 【解析】 分别独立地扔一枚骰子和硬币， 所有 的基本事件是： 1 正面向上， 1 反面向上， 2 正面向上， 2 反面向上， 3 正面向上， 3 反面向上， 4 正面向上， 4 反面向上， 5 正面向上， 5 反面向上， 6 正面向上， 6 反 面向上， 共 12 个基本事件 . 含有 “ 1 点或正面向上” 有 1 正面向上， 1 反面向上， 2 正面向上， 3 正面向上， 4 正面向上， 5 正面向上， 6 正面向上， 共 7 个基本事件， ∴ 结果中含有 “ 1 点或正面向上” 的概率为 7 12 . 故选 C. 6. ABD 【解析】 样本空间 Ω={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， 事件 M={2 ， 4 ， 6} ， 事件 N={3 ， 6} ， 事件 MN={6} ， ∴P （ M ） = 3 6 = 1 2 ， P （ N ） = 2 6 = 1 3 ， P （ MN ） = 1 2 × 1 3 = 1 6 ， 即 P （ MN ） =P （ M ） P （ N ）， 故事件 M 与 N 相互独立， A 正确； 根据事件的特点易知， 事件 M 是否发生对事件 N 发生 的概率没有影响， 故 M 与 N 是相互独立事件， 故 B 正 确； 由于第 1 次摸到球不放回， 因此会对第 2 次摸到球 的概率产生影响， 因此不是相互独立事件， 故 C 错误； 从甲组中选出 1 名男生与从乙组中选出 1 名女生这两个 事件的发生没有影响， 所以它们是相互独立事件， 故 D 正确 . 故选 ABD. 7. 1 2 1 4 【解析 】 设事件 A 表示 “甲选做第 22 题”， 事件 B 表示 “乙选做第 22 题”， 则甲、 乙 2 名学 生选做同一道题的事件为 “ AB+AB ”， 且事件 A ， B 相互 独立 ， ∴P （ AB+AB ） =P （ A ） P （ B ） +P （ A ） P （ B ） = 1 2 × 1 2 + 1- 1 2 2 " × 1- 1 2 2 " = 1 2 ， ∴ 甲、 乙 2 名学生选做同一道题 的概率为 1 2 ； P （ A ） P （ B ） = 1 2 × 1 2 = 1 4 ， ∴ 甲、 乙 2 名学 生都选做第 22 题的概率为 1 4 . 8. 11 【解析】 设需要至少布置 n 门高炮， ∵ 某种高 炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2 ， 要使敌机 一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中 ， ∴1- （ 1-0.2 ） n >0.9 ， 解得 n>10.3 ， n∈N ， ∴ 需要至少布置 11 门高炮 . 9. 2 3 【 解 析 】 由 题 意 ， 知 P （ A ） P （ B ） = 1 9 ， P （ A ） P （ B ） =P （ A ） P （ B ） . 设 P （ A ） =x ， P （ B ） =y ， 则 （ 1-x ）（ 1-y ） = 1 9 ， （ 1-x ） y=x （ 1-y ） ） & & & % & & & ' ， 即 1-x-y+xy= 1 9 ， x=y ） & & & % & & & ' ， 解得 x= 2 3 或 x= 4 3 （舍去）， 故事件 A 发生的概率 P （ A ） = 2 3 . 10. 解 : （ 1 ） 有两个小孩的家庭， 小孩为男孩、 女孩 的所有可能情形为 Ω={ （男 ， 男 ）， （男 ， 女 ）， （女 ， 男）， （女， 女） } ， 它有 4 个样本点， 由等可能性可知每 个样本点发生的概率均为 1 4 . 这时 A={ （男， 女）， （女， 男 ） } ， B={ （男 ， 男 ）， （男 ， 女 ）， （女 ， 男 ） } ， AB= { （男 ， 女 ）， （女， 男 ） } ， 于是 P （ A ） = 1 2 ， P （ B ） = 3 4 ， P （ AB ） = 1 2 ， 由此可知 P （ AB ） ≠P （ A ） P （ B ）， ∴ 事件 A ， B 不相互独立 . （ 2 ） 有三个小孩的家庭， 小孩为男孩、 女孩的所有 可能情形为 Ω={ （男， 男， 男）， （男， 男， 女）， （男， 女， 男）， （女， 男， 男）， （男， 女， 女）， （女， 男， 女）， （女， 女， 男）， （女， 女， 女） } . 由等可能性可 知每个样本点发生的概率均为 1 8 ， 这时 A 中含有 6 个 样本点， B 中含有 4 个样本点， AB 中含有 3 个样本点 . 于是 P （ A ） = 6 8 = 3 4 ， P （ B ） = 4 8 = 1 2 ， P （ AB ） = 3 8 ， 显然有 P （ AB ） =P （ A ） P （ B ） 成立， 从而事件 A 与 B 是相互独立的 . 11. 解： （ 1 ） 由已知条件可得 n= 400 0.02×10 =2 000 ， 每组的纵坐标的和乘以组距为 1 ， ∴0.84+80t=1 ， 解得 t= 0.002. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 t=0.002 ， ∴ 调查评分在 ［ 40 ， 50 ） 的人数占调查评分在 ［ 50 ， 60 ） 人数的 1 2 ， 若按分层抽 样 抽 取 3 人 ， 则 调 查 评 分 在 ［ 40 ， 50 ） 有 1 人 ， ［ 50 ， 60 ） 有 2 人 . ∵ 经过心理疏导后的恢复情况相互独 立， ∴ 选出的 3 人经过心理疏导后， 心理等级均达不到 良好的概率为 3 4 × 2 3 × 2 3 = 1 3 ， ∴ 经过心理疏导后， 至少 有 1 人心理等级转为良好的概率为 P=1- 3 4 × 2 3 × 2 3 = 2 3 . （ 3 ） 由频率分布直方图可得， 45×0.02+55×0.04+65× 0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7 ， 估计市民心理健康 问卷调查的平均评分为 80.7 ， ∴ 市民心理健康指数平均 值为 80.7 100 =0.807>0.8 ， ∴ 只需发放心理指导材料， 不需 要举办心理健康大讲堂活动 . 提升练习 12. B 【解析】 该同学可以进入两个社团的概率为 1 5 ， 则 ab 1- 1 4 2 " + 1 4 a （ 1-b ） + 1 4 b （ 1-a ） = 1 5 ， 整理得 ab+a+b= 4 5 ， 又 ∵ 三个社团都进不了的概率为 3 10 ， 则 71 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 1-a ）（ 1-b ） 1- 1 4 ! " = 3 10 ， 整理得 a+b-ab= 3 5 ， 联立 ab+ a+b= 4 5 与 a+b-ab= 3 5 ， 解得 ab= 1 10 . 故选 B. 13. B 【解析】 由题意可知， 有任何一人破译成功密 码， 则密码就被破译 . 方案 1 ： 四人均没有成功破译密码的概率为 1 2 ! " 4 = 1 16 ， ∴ 四人独立翻译， 密码能被破译的概率为 1- 1 16 = 15 16 =0.937 5. 方案 2 ： 分为两组， 每组两人， 两组独立破译 . 由二 人合为一组， 该组破译的概率为 0.8 ， ∴ 两组均没有成 功破译的概率为 （ 0.2 ） 2 =0.04 ， 则密码能被破译的概率为 1-0.04=0.96. 方案 3 ： 分为两组， 一组三人、 一组一人 . 三人合为 一组， 该组破译的概率为 0.9 ， 则密码能被破译的概率 为 0.9× （ 1-0.5 ） +0.1×0.5+0.9×0.5=0.95. 方案 4 ： 四人一组合作翻译 . 四人合作， 则破译的概 率为 0.94. 显然方案 2 破译密码的概率最大 . 故选 B. 14. BD 【解析】 取出的卡片有三种情况： 2 张都是 红色， 2 张都是蓝色， 1 张红色 1 张蓝色， 所以 “取出 的 2 张卡片都是红色” 与 “取出的 2 张卡片都是蓝色” 为互斥事件， 而不是对立事件， 故 A 错误； 每次取出红色的卡片概率为 1 2 ， ∴P （ X=2 ） = 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 × 1 2 = 3 8 ， 故 B 正确； 记两个数字为 5 的卡片分别为 A5 ， B5 ， 乙获胜包 含的基本事件有 （ 0 ， 2 ）， （ 0 ， A5 ）， （ 0 ， B5 ）， （ 2 ， A5 ）， （ 2 ， B5 ）， ∴ 在乙获胜的条件下， 甲取出的卡片 上数字为 2 的概率为 2 5 ， 故 C 错误； 从 4 张卡片中无放回连续取 3 张卡片， 总共有 4×3× 2=24 （种 ） 情况 ， 而 3 次所取到的数字依次为 “ 5 ” “ 2 ” “ 0 ” 的情况有 2 种， 所以 “ x 1 ， x 2 ， x 3 ” 为 “ 520 ” 的概率为 1 12 ， 故 D 正确 . 故选 BD. * 15. 解： （ 1 ） 事件 A ， B ， C 分别为壹号 、 贰号 、 叁号三条生产线各自生产的零件是合格品， 事件 A ， B ， C 分别为壹号、 贰号、 叁号三条生产线各自生产的零件 是非合格品 . 由题意得 P （ AB ） = 1 6 ， P （ BC ） = 3 5 ， P （ AC ） = 8 15 5 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 即 P （ A ） -P （ A ） P （ B ） = 1 6 ， P （ B ） P （ C ） = 3 5 ， P （ A ） P （ C ） = 8 15 5 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 P （ A ） = 2 3 ， P （ B ） = 3 4 ， P （ C ） = 4 5 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， P （ A ） = 1 3 ， P （ B ） = 1 4 ， P （ C ） = 1 5 ， ∴P （ D ） =P （ ABC ） +P （ ABC ） +P （ ABC ） =P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） = 2 3 × 1 4 × 1 5 + 1 3 × 3 4 × 1 5 + 1 3 × 1 4 × 4 5 = 3 20 ， P （ E ） =P （ ABC ） +P （ ABC ） +P （ ABC ）， =P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） +P （ A ） P （ B ） P （ C ） = 2 3 × 3 4 × 1 5 + 2 3 × 1 4 × 4 5 + 1 3 × 3 4 × 4 5 = 13 30 . * 16. 解： （ 1 ） 记 “选手能正确回答第 i 轮的问题” 的事件记为 A i （ i=1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 则 P （ A 1 ） = 4 5 ， P （ A 2 ） = 3 5 ， P （ A 3 ） = 2 5 ， P （ A 4 ） = 1 5 ， ∴ 选手进入第四轮才被淘 汰的概率为 P=P （ A 1 A 2 A 3 A 4 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） P （ A 4 ） = 4 5 × 3 5 × 2 5 × 4 5 = 96 625 . （ 2 ） 该选手至多进入第三轮考核的概率 P=P （ A 1 +A 1 A 2 +A 1 A 2 A 3 ） =P （ A 1 ） +P （ A 1 A 2 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） = 1 5 + 4 5 × 2 5 + 4 5 × 3 5 × 3 5 = 101 125 . 5.3 统计与概率的应用 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 以 A 表示击中， B 表示未击中， 所有的 基本事件有 BAAA ， ABAA ， AABA ， AAAB ， 共 4 个 . 其中事件 “ 3 枪中有且只有 2 枪连中” 所包含的基本事 件有 ABAA ， AABA ， 共 2 个 . 因此， 3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是 2 4 = 1 2 . 故选 D. 变式训练 2 A 【解析】 分别用 A ， B ， C 表示齐王的上、 中、 下 等马， 用 a ， b ， c 表示田忌的上、 中、 下等马， 现从双 方的马匹中随机选一匹进行一场比赛， 有 Aa ， Ab ， Ac ， Ba ， Bb ， Bc ， Ca ， Cb ， Cc ， 共 9 场比赛， 其中田忌的 马获胜的有 Ba ， Ca ， Cb ， 共 3 场比赛， ∴ 田忌的马获 胜的概率为 1 3 . 变式训练 3 解： 不公平 . 设该城市有出租车 1 000 辆， 那么依 题意可得如下信息： 72