5.2.3 古典概型-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 现有甲、 乙、 丙、 丁、 戊 5 种在线教 学软件， 若某学校要从中随机选取 3 种作为 教师 “停课不停学” 的教学工具， 则其中 甲 、 乙 、 丙至多有 2 种被选取的概率为 （ ） A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 9 10 2. 2019 年北京世园会的吉祥物 “小萌 芽” “小萌花” 是一对代表着生命与希望、 勤劳与美好、 活泼可爱的园艺小兄妹 . 造型 创意来自东方文化中百子图的 “吉祥娃娃”， 通过头饰、 道具、 服装创意的巧妙组合， 被 赋予了普及园艺知识、 传播绿色理念的特殊 使命 . 现从 4 张分别印有 “小萌芽” “小萌 花” “牡丹花” “菊花” 的 4 个图案的卡片 （卡片的形状、 大小、 质地均相同） 中随机 选取 2 张， 则 2 张恰好是 “小萌芽” 和 “小 萌花” 卡片的概率为 （ ） A. 1 2 B. 1 6 C. 1 12 D. 1 5 3. 对数的发明是数学史上的重大事件， 它可以改进数字的计算方法， 提高计算速度 和准确度 . 已知 M={1 ， 3} ， N={1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， 若从集合 M ， N 中各任取一个数 x ， y ， 则 log 3 （ xy ）为整数的概率为 （ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 4. 甲、 乙两人玩猜数字游戏， 先由甲心 中想一个数字， 记为 a ， 再由乙猜甲刚才所 想的数字， 把乙猜的数字记为 b ， 其中 a ， b∈{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， 若 |a-b|≤1 ， 就称 甲、 乙 “心有灵犀” . 现任意找两人玩这个游 戏， 则他们 “心有灵犀” 的概率为 （ ） A. 1 9 B. 2 9 C. 4 9 D. 7 18 5. 为了对某课题进行研究， 用分层抽样 方法从三所高校 A ， B ， C 的相关人员中抽 取若干人组成研究小组 . 有关数据见下表 （单位： 人）： 若从高校 B ， C 抽取的人中选 2 人作 专题发言， 则这二人都来自高校 C 的概率 为 （ ） A. 1 5 B. 3 10 C. 1 10 D. 3 5 6. （多选题） 张明与李华两人做游戏， 则下列游戏规则中公平的有 （ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子， 向上的 点数为奇数则张明获胜， 向上的点数为偶数 则李华获胜 5.2.3 古 典 概 型 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y 52 第五章 统计与概率 练 B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币， 恰 有一枚正面向上则张明获胜， 两枚都正面向 上则李华获胜 C. 从一副不含大、 小王的扑克牌中抽 一张， 扑克牌是红色的则张明获胜， 扑克牌 是黑色的则李华获胜 D. 张明、 李华两人各写一个数字 6 或 8 ， 两人写的数字相同则张明获胜， 否则李 华获胜 7. 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 则选出的 2 名同学 中至少有 1 名女同学的概率是 . 8. 如图， 茎叶图表示甲、 乙两名篮球运 动员在五场比赛中的得分 （均为整数）， 其 中一个数字被污渍盖住， 则甲的平均得分高 于乙的平均得分的概率为 . 9. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的 研究中取得了世界领先的成果 . 哥德巴赫猜 想是： 每个大于 2 的偶数可以表示为两个质 数的和 ， 如 14=3+11. 在不超过 15 的质数 中， 随机选取 2 个不同的数， 其和不等于 16 的概率是 . 10. 某单位 N 名员工参加 “社区低碳你 我他” 活动 . 他们的年龄在 25 岁至 50 岁之 间 . 按年龄分组： 第 1 组 ［ 25 ， 30 ）， 第 2 组 ［ 30 ， 35 ） ， 第 3 组 ［ 35 ， 40 ） ， 第 4 组 ［ 40 ， 45 ）， 第 5 组 ［ 45 ， 50 ］， 得到的频率 分布直方图如图所示 . 下表是年龄的频率分 布表： （ 1 ） 求正整数 a ， b ， N 的值 . （ 2 ） 现要从年龄较小的第 1 ， 2 ， 3 组中 用分层抽样的方法抽取 6 人， 则年龄在第 1 ， 2 ， 3 组的人数分别是多少？ （ 3 ） 在 （ 2 ） 的条件下， 从这 6 人中随 机抽取 2 人参加社区宣传交流活动， 求恰有 1 人在第 3 组的概率 . 甲 乙 0 1 2 2 ● 8 8 9 1 5 6 8 第 8 题图 区间 ［ 25 ， 30 ） ［ 30 ， 35 ） ［ 35 ， 40 ） ［ 40 ， 45 ） ［ 45 ， 50 ］ 人数 25 a b 第 10 题图 频率 组距 25 30 35 40 45 50 年龄 0.08 0.06 0.04 0.02 0 53 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 提 升 练 习 11． （多选题） 将一枚质地均匀且各面 分别标有数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 的正四面体骰子 连续抛掷 3 次， 观察底面上的数字， 则下列 说法正确的有 （ ） A． 三次都出现相同数字的概率为 1 64 B． 没有出现数字 1 的概率为 27 64 C． 至少出现一次数字 1 的概率为 37 64 D． 三个数字之和为 9 的概率为 5 32 12． （多选题） 算盘是我国古代一项伟 大的发明， 是一类重要的计算工具 . 下图是 一把算盘的初始状态， 自右向左， 分别表示 个位、 十位、 百位、 千位……， 上面一粒珠 子 （简称上珠） 代表 5 ， 下面一粒珠子 （简 称下珠） 代表 1 ， 五粒下珠的大小等于同组 一粒上珠的大小 . 例如， 个位拨动一粒上珠、 十位拨动一粒下珠至梁上， 表示数字 15. 现 将算盘的个位、 十位、 百位、 千位分别随机 拨动一粒珠子至梁上， 设事件 A= “表示的 四位数能被 3 整除”， B= “表示的四位数能 被 5 整除”， 则 （ ） A． P （ A ） = 3 8 B． P （ B ） = 1 3 C． P （ A∪B ） = 11 16 D． P （ AB ） = 3 16 13． 2020 年是全面建成小康社会目标实 现之年， 是全面打赢脱贫攻坚战收官之年 . 为帮助某村巩固扶贫成果， 该村的结对帮扶 共建企业在该村建立了一座精米加工厂， 并 对粮食原料进行深加工， 研发出一种新产 品 . 已知该产品的质量以某项指标 值 k （ 60≤k<100 ） 为衡量标准， 质量指标的等级 划分如下表： 为 了 了 解 该产品 的 生 产 效 益 ， 该 企 业 先进行试生产， 从中随 机 抽 取 了 1 000 件 产 品 ， 测 量 了 每 件产品的指标值， 得到如图所示的产品质量 指标值的频率分布直方图 . 设 频率 组距 =M ， 当 k∈ ［ 10n ， 10n+10 ） （ 6≤n≤8 ， n∈N ） 时， 满足 M= 2 n-5 200 . （ 1 ） 试估计样本质量指标值 k 的中位数 m ； （ 2 ） 从样本质量指标值不小于 80 的产 品中采用分层抽样的方法抽取 7 件产品， 然 后从这 7 件产品中任取 2 件产品， 求至少有 1 件 A 级品的概率 . 梁 上珠 下珠 框 档 第 12 题图 质量指标 值 k 90≤k< 100 80≤k<90 70≤k<80 60≤k<70 产品等级 A B C D 频率 组距 质量指标值 k 60 70 80 90 100 O 第 13 题图 54 第五章 统计与概率 练 * 14． 若一正四面体的四个面分别写有数 字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 设 m 和 n 是先、 后抛掷该正 四面体得到的底面上的数字， 用 x 表示函数 f （ x ） =x 2 +mx+n 零点的个数 ． （ 1 ） 求 x=0 的概率； （ 2 ） 求在先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下， 函数有零点的概率 ． * 15． 袋中装有 6 个形状、 大小完全相同 的球 ， 其中黑球 2 个 、 白球 2 个 、 红球 2 个， 规定取出一个黑球记 0 分， 取出一个白 球记 1 分， 取出一个红球记 2 分， 抽取这些 球的时候， 谁也无法看到球的颜色， 首先由 甲取出 3 个球， 并不再将它们放回原袋中， 然后由乙取出剩余的 3 个球， 规定取出球的 总积分多者获胜 . （ 1 ） 求甲、 乙成平局的概率； （ 2 ） 从概率的角度分析先后取球的顺序 是否影响比赛的公平性 . 55 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ k∈N ）， 那么事件 A k 彼此互斥 . 设 “打进的电话在响 5 声之前被接” 为事件 A ， 根据互斥事件概率加法公式， 得 P （ A ） =P （ A 1 ∪A 2 ∪A 3 ∪A 4 ） =P （ A 1 ） +P （ A 2 ） +P （ A 3 ） +P （ A 4 ） =0.1+0.2+0.3+0.35=0.95. （ 2 ） 事件 “打进的电话响 4 声而不被接” 是事件 A “打进的电话在响 5 声之前被接” 的对立事件， 记为 A. 根据对立事件的概率公式， 得 P （ A ） =1-P （ A ） =1-0.95= 0.05. * 15. 解 ： （ 1 ） 由已知得 25＋y＋10＝55 ， x＋30＝45 ， ∴x＝15 ， y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成 一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可 视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本， 顾客一次 购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计， 其估计 值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 ＝1.9 （ min ） ． （ 2 ） 记 A 为事件 “一位顾客一次购物的结算时间不 超过 2 min ”， A 1 ， A 2 分别表示事件 “该顾客一次购物的 结算时间为 2.5 min ” “该顾客一次购物的结算时间为 3 min ”， 将频率视为概率得 P （ A 1 ） ＝ 20 100 ＝ 1 5 ， P （ A 2 ） ＝ 10 100 ＝ 1 10 ， 则 P （ A ） ＝1－P （ A 1 ） －P （ A 2 ） ＝1－ 1 5 － 1 10 ＝ 7 10 . 故一位顾 客一次购物的结算时间不超过 2 min 的概率为 7 10 . 5.2.3 古 典 概 型 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 根据古典概型的两个特征进行判断 . A 项中两个基本事件不是等可能的； B 项中基本事 件的个数是无限的， C 项符合古典概型的两个特征； D 项中 “中靶” 与 “不中靶” 不是等可能的 . 故选 C. 变式训练 2 D 【解析】 根据题意， 在 A ， B ， C ， D ， E ， F 共六 个景点中， 满足可以使李华不重复走遍全部街道的有 B ， E ， 共两个景点， ∴ 所求概率为 P= 2 6 = 1 3 . 故选 D. 变式训练 3 1 2 【解析】 用符号 （ m ， n ） 表示两次的结果， 共有 （ 0 ， 1 ） ， （ 0 ， 3 ） ， （ 0 ， 5 ） ， （ 1 ， 0 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 3 ， 0 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 5 ， 0 ） ， （ 5 ， 1 ）， （ 5 ， 3 ） 12 种等可能的情况， 其中数字 m ， n 都为奇数的有 6 种情况， ∴ 数字 m ， n 都为奇数的概率 为 6 12 = 1 2 . 随堂练习 1. A 【解析】 事件满足古典概型事件的有限性和等 可能性， 故 A 属于古典概型； 由于每一粒种子发芽的可 能性不相同， ∴ 事件不满足古典概型事件的等可能性， 故 B 不属于古典概型； 由于随机走到一个十字路口， 观 察是否遇到红灯， 有无数个结果， ∴ 不满足古典概型事 件的有限性， 故 C 不是古典概型； 从一组直径为 （ 120± 0.3 ） mm 的零件中取出一个， 测量它的直径有无数个结 果， 故 D 不属于古典概型 . 故选 A. 2. B 【解析】 掷一枚质地均匀的骰子， 观察朝上的 面的点数， 则基本事件总数为 6. 记事件 A ： 点数为 2 或 3 ， 包含 2 个基本事件， ∴P （ A ） = 2 6 = 1 3 . 故选 B. 3. A 【解析】 据题意知， 单词 “ calendar ” 后三个字 母张明排序有 dra ， ard ， adr ， dar ， 共 4 种情况， 其中拼 写错误的有三种 dra ， ard ， adr ， ∴ 所求的概率 P= 3 4 . 故 选 A. 4. C 【解析】 18 组随机数中， 利用列举法求出事件 A 发生的随机数有 210 ， 021 ， 001 ， 130 ， 031 ， 103 ， 共 6 个， 估计事件 A 发生的概率为 P= 6 18 = 1 3 . 故选 C. 5. C 【解析 】 样本空间 Ω={ （ A ， B ） ， （ A ， C ） ， （ A ， a ） ， （ A ， b ） ， （ B ， C ） ， （ B ， a ） ， （ B ， b ） ， （ C ， a ）， （ C ， b ）， （ a ， b ） }. 记事件 A= “至少有 1 扇 门被敞开”， 则 A={ （ A ， a ）， （ A ， b ）， （ B ， a ）， （ B ， b ）， （ C ， a ）， （ C ， b ）， （ a ， b ） } ， ∴P （ A ） = 7 10 ， 故 选 C. 6. D 【解析】 1 根算筹只能表示 1 ， 2 根算筹可以表 示 2 和 6 ， 3 根算筹可以表示 3 和 7 ， 4 根算筹可以表示 4 和 8 ， 5 根算筹可以表示 5 和 9 ， 因此 6 根算筹表示的两位数有 15 ， 19 ， 51 ， 91 ， 24 ， 28 ， 64 ， 68 ， 42 ， 82 ， 46 ， 86 ， 37 ， 33 ， 73 ， 77 共 16 个， 其中 15 ， 51 ， 24 ， 42 ， 33 共 5 个可以被 3 整除， ∴ 所求概率 P= 5 16 . 故选 D. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 甲、 乙、 丙至多有 2 种被选取的对立 事件为甲、 乙、 丙都被选取， 记此事件为 A ， 依题意所 有基本事件为 （甲， 乙， 丙）， （甲， 乙， 丁）， （甲， 乙， 戊）， （甲， 丙， 丁）， （甲， 丙， 戊）， （甲， 丁， 戊）， （乙， 丙， 丁）， （乙， 丙， 戊）， （乙， 丁， 戊）， （丙， 丁， 戊）， 共 10 种， 其中事件 A 所包含的事件数 64 参 考 答 案 为 1 ， ∴ 根据古典概型的概率公式可得 P （ A ） = 1 10 ， 再根 据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为 1-P （ A ） = 1- 1 10 = 9 10 . 故选 D. 2. B 【解析】 给 “小萌芽 ” “小萌花 ” “牡丹花 ” “菊花” 编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4. 从中选 2 个基本事件为 12 ， 13 ， 14 ， 23 ， 24 ， 34 ， 共 6 个， ∴2 张恰好是 “小萌 芽” 和 “小萌花” 卡片的概率为 1 6 . 故选 B. 3. C 【解析】 M={1 ， 3} ， N={1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， 若从 集合 M ， N 中各任取一个数 x ， y ， 基本事件总数 n=10 ， log 3 （ xy ）为整数包含的基本事件有 （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 9 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 9 ） ， 共有 6 个 ， ∴log 3 （ xy ）为整数的概率为 P= 6 10 = 3 5 . 故选 C. 4. C 【解析】 由题为古典概型， 基本事件的总数共 有 36 种， 满足 |a-b|≤1 的有 （ 1 ， 1 ） （ 2 ， 2 ） （ 3 ， 3 ） （ 4 ， 4 ） （ 5 ， 5 ） （ 6 ， 6 ） （ 1 ， 2 ） （ 2 ， 1 ） （ 3 ， 2 ） （ 2 ， 3 ） （ 3 ， 4 ） （ 4 ， 3 ） （ 5 ， 4 ） （ 4 ， 5 ） （ 5 ， 6 ） （ 6 ， 5 ） 共 16 种情况， 则概率为 P= 16 36 = 4 9 . 故选 C. 5. B 【解析】 由题意可得 2 36 = y 54 ， 解得 y=3 ， ∴ 从高 校 C 中抽取 3 人， 记从高校 B 抽取的 2 人为 b 1 ， b 2 ， 从 高校 C 抽取的 3 人为 c 1 ， c 2 ， c 3 ， 则从高校 B ， C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 （ b 1 ， b 2 ）， （ b 1 ， c 1 ）， （ b 1 ， c 2 ）， （ b 1 ， c 3 ）， （ b 2 ， c 1 ）， （ b 2 ， c 2 ）， （ b 2 ， c 3 ）， （ c 1 ， c 2 ）， （ c 1 ， c 3 ）， （ c 2 ， c 3 ）， 共 10 种， 选中的 2 人都来自高校 C 的基本事件有 （ c 1 ， c 2 ）， （ c 1 ， c 3 ）， （ c 2 ， c 3 ）， 共 3 种， 故所求概率 P= 3 10 . 故选 B. 6. ACD 【解析】 向上的点数为奇数与向上的点数为 偶数的概率相等， A 符合题意； 张明获胜的概率是 1 2 ， 而李华获胜的概率是 1 4 ， 故游戏规则不公平， B 不符合 题意； 扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等， C 符 合题意； 两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率 相等， D 符合题意 . 故选 ACD. 7. 7 10 【解析】 设 3 名男同学为 A ， B ， C ， 2 名女同 学为 a ， b. 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学 参加志愿者服务， 有 AB ， AC ， Aa ， Ab ， BC ， Ba ， Bb ， Ca ， Cb ， ab ， 共 10 种情况， 选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学 ， 有 Aa ， Ab ， Ba ， Bb ， Ca ， Cb ， ab ， 共 7 种情况， 故所求概率为 7 10 . 8. 1 5 【解析】 由茎叶图可得甲的 5 次得分分别为 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 ， 则甲的平均得分为 1 5 × （ 18+19+ 20+21+22 ） =20. 设污损数字为 x ， 则乙的 5 次得分分别为 15 ， 16 ， 18 ， 28 ， （ 20+x ）， 则乙的平均得分为 1 5 × （ 15+ 16+18+28+20+x ） =19.4+ x 5 ， ∵0≤x≤9 ， x∈Z ， 当 x= 1 ， 2 时， 甲的平均得分高于乙的平均得分， ∴ 甲的平均 得分高于乙的平均得分的概率为 2 10 = 1 5 . 9. 13 15 【解析 】 不超过 15 的质数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 共 6 个， 从中选 2 个质数一共有 15 种， 和等 于 16 的有 （ 3 ， 13 ）， （ 5 ， 11 ） 两种， 由古典概型的概 率计算公式知， 和等于 16 的概率为 2 15 ， 和不等于 16 的 概率为 1- 2 15 = 13 15 . 10. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图可知， ［ 25 ， 30 ） 与 ［ 30 ， 35 ） 两组的人数相同 ， ∴a=25 ， 且 b=25× 0.08 0.02 = 100 ， 总人数 N= 25 0.02×5 =250. （ 2 ） ∵ 第 1 ， 2 ， 3 组共有 25+25+100=150 （人）， 利 用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人， 每组抽取的人数 分别为： 第 1 组的人数： 6× 25 150 =1 ， 第 2 组的人数： 6× 25 150 =1 ， 第 3 组的人数： 6× 100 150 =4 ， ∴ 第 1 ， 2 ， 3 组分 别抽取 1 人、 1 人、 4 人 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 可设第 1 组的 1 人为 A ， 第 2 组的 1 人 为 B ， 第 3 组的 4 人分别为 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ， 则从 6 人 中抽取 2 人的所有可能结果为 （ A ， B ） ， （ A ， C 1 ） ， （ A ， C 2 ）， （ A ， C 3 ）， （ A ， C 4 ）， （ B ， C 1 ）， （ B ， C 2 ）， （ B ， C 3 ） ， （ B ， C 4 ） ， （ C 1 ， C 2 ） ， （ C 1 ， C 3 ） ， （ C 1 ， C 4 ）， （ C 2 ， C 3 ）， （ C 2 ， C 4 ）， （ C 3 ， C 4 ） 共有 15 种 . 其 中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为 （ A ， C 1 ）， （ A ， C 2 ） ， （ A ， C 3 ） ， （ A ， C 4 ） ， （ B ， C 1 ） ， （ B ， C 2 ） ， （ B ， C 3 ）， （ B ， C 4 ）， 共有 8 种， ∴ 恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 8 15 . 提升练习 11. BCD 【解析】 由题意知， 试验发生所包含的事 件共有 4×4×4=64 种结果 . 三次都出现相同数字的事件为 111 ， 222 ， 333 ， 444 ， 共 4 种结果， ∴ 三次都出现相同数字的概率为 4 64 = 1 16 ， 65 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 故 A 错误； 没有出现数字 1 ， 即这三次抛掷出的底面上的数字 均为 2 ， 3 ， 4 中的一个， 共有 3×3×3=27 种结果， ∴ 没 有出现数字 1 的概率为 27 64 ， 故 B 正确； 至少出现一次数字 1 的概率为 1- 27 64 = 37 64 ， 故 C 正确； 三个数字之和为 9 的事件为 441 ， 414 ， 144 ， 333 ， 432 ， 423 ， 234 ， 243 ， 342 ， 324 共 10 种 ， ∴ 三个数字 之和为 9 的概率为 10 64 = 5 32 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 12. ACD 【解析】 只拨动一粒珠子至梁上， 因此数 字只表示 1 或 5 ， 则表示四位数的总数是 2 4 =16 个， 能 被 3 整除的四位数中， 数字 1 和 5 各出现 2 次， 因此事 件 A 包含的基本事件有 5511 ， 5115 ， 1155 ， 1515 ， 5151 ， 1551 ， 共 6 个， ∴P （ A ） = 6 16 = 3 8 ， 故 A 正确； 事件 B 包含的基本事件有 1115 ， 1155 ， 1515 ， 1555 ， 5555 ， 5115 ， 5155 ， 5515 ， 共 8 个， ∴P （ B ） = 8 16 = 1 2 ， 故 B 错误； 事件 A∪B 包含的基本事件有 1155 ， 1515 ， 1551 ， 5511 ， 5115 ， 5151 ， 1115 ， 1555 ， 5555 ， 5155 ， 5515 ， 共 11 个， ∴P （ A∪B ） = 11 16 ， 故 C 正确； 事件 AB 包含的基本事件有 1155 ， 1515 ， 5115 ， 共 3 个， ∴P （ AB ） = 3 16 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 13. 解： （ 1 ） 当 n=6 时 ， k∈ ［ 60 ， 70 ）， M= 1 100 ， 频率为 p 1 = 1 100 ×10=0.1 ； 当 n=7 时 ， k∈ ［ 70 ， 80 ）， M= 1 50 ， 频率为 p 2 = 1 50 × 10=0.2 ； 当 n=8 时 ， k∈ ［ 80 ， 90 ）， M= 1 25 ， 频率为 p 3 = 1 25 × 10=0.4. 各产品等级的频率如下表所示： ∵0.1+0.2<0.5<0.1+0.2+0.4 ， ∴m∈ （ 80 ， 90 ）， ∴0.1+ 0.2+ m-80 10 ×0.4=0.5 ， 解得 m=85. （ 2 ） 所抽取的 7 件产品中 ， A 级品的数量为 7× 0.3 0.3+0.4 =3 ， 分别记为 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 级品的数量为 4 ， 分别记为 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ， 从这 7 件产品中任取 2 件产品， 所有的基本事件有 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 1 B 1 ， A 1 B 2 ， A 1 B 3 ， A 1 B 4 ， A 2 A 3 ， A 2 B 1 ， A 2 B 2 ， A 2 B 3 ， A 2 B 4 ， A 3 B 1 ， A 3 B 2 ， A 3 B 3 ， A 3 B 4 ， B 1 B 2 ， B 1 B 3 ， B 1 B 4 ， B 2 B 3 ， B 2 B 4 ， B 3 B 4 ， 共 21 个， 事件 “所抽的 2 件产品中至少有 1 件 A 级品” 包含 15 个基本事件， 所求事件的概率为 P= 15 21 = 5 7 . * 14. 解： （ 1 ） 由题意， 设基本事件空间为 Ω= { （ m ， n ） |m=1 ， 2 ， 3 ， 4 ； n=1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 则 Ω= { （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ）， （ 4 ， 1 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 4 ， 3 ）， （ 4 ， 4 ） } ， 则 Ω 中共有 16 个基本事件 . 设函数 f （ x ） =x 2 +mx+n 零点的个数为 0 个时为事件 A ， 则 A={ （ m ， n ） |m=1 ， 2 ， 3 ， 4 ； n=1 ， 2 ， 3 ， 4 ； 且 m 2 - 4n<0} ， 即 A={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ）， （ 2 ， 2 ）， （ 2 ， 3 ）， （ 2 ， 4 ）， （ 3 ， 3 ）， （ 3 ， 4 ） } ， 则 A 中有 9 个基本事件， ∴X=0 的概率 P （ X=0 ） = 9 16 . （ 2 ） 设先后两次出现的点数中有数字 3 为事件 D ， 则 D={ （ 1 ， 3 ）， （ 2 ， 3 ）， （ 3 ， 1 ）， （ 3 ， 2 ）， （ 3 ， 3 ）， （ 3 ， 4 ）， （ 4 ， 3 ） } ， 故 D 中有 7 个基本事件 . 设先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下， 函数 有零点的事件为 E ， 则 E={ （ 3 ， 1 ）， （ 3 ， 2 ）， （ 4 ， 3 ） } ， E 中有 3 个基本事件， ∴ 先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下， 函数 有零点的概率为 3 7 . * 15. 解： （ 1 ） 记黑球为 1 ， 2 号， 白球为 3 ， 4 号， 红球为 5 ， 6 号， 则甲的可能取球结果共有以下 20 种情况： 123 ， 124 ， 125 ， 126 ， 134 ， 135 ， 136 ， 145 ， 146 ， 156 ， 234 ， 235 ， 236 ， 245 ， 246 ， 256 ， 345 ， 346 ， 356 ， 456. 甲、 乙平局 时都得 3 分， ∴ 甲取出的 3 个小球是 1 黑 1 白 1 红， 共 8 种情况， 故平局的概率 P 1 = 8 20 = 2 5 . （ 2 ） 甲获胜时， 得分只能是 4 分或 5 分， 即取出的 是 2 红 1 白、 1 红 2 白、 2 红 1 黑共 6 种情况， 故先取者 （甲） 获胜的概率 P 2 = 6 20 = 3 10 ， 后取者 （乙） 获胜的概率 P 1 =1- 2 5 - 3 10 = 3 10 ， ∴P 2 =P 3 ， 故先后取球的顺序不影响比赛的公平性 . 质量指标值 k 90≤k<100 80≤k<90 70≤k<80 60≤k<70 产品等级 A B C D 频率 0.3 0.4 0.2 0.1 66