5.2.4 频率与概率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 在具体情境中， 了解随机事件发生的 不确定性和频率的稳定性， 了解概率的意义 以及频率与概率的区别 . 2. 会用概率的意义解释生活中的实例 . 要 点 精 析 要点 1 频率与概率的区别 思考 “随着试验次数的增加， 频率 会越来越接近概率” 这种说法是否正确？ 例 1 某人将一枚质地均匀的硬币连续 抛掷了 10 次， 正面朝上的情形出现了 7 次， 则下列说法正确的是 （ ） A. 正面朝上的概率为 0.7 B. 正面朝上的频率为 0.7 C. 正面朝上的概率为 7 D. 正面朝上的概率接近于 0.7 分析 本题考查频率与概率的定义 . 解析： 正面朝上的频率是 7 10 =0.7 ， 正面 朝上的概率是 0.5. 故选 B. 变式训练 1 （多选题） 下列说法正确的有 （ ） A． 在袋子中放有 2 白 2 黑大小相同的 4 个小球， 甲、 乙玩游戏的规则是从中不放回 地依次随机摸出 2 个小球， 如 2 个小球同色 则甲获胜， 否则乙获胜， 那么甲获胜的概率 为 2 3 B． 做 n 次随机试验， 用事件 A 发生的 频率可以估计事件 A 发生的概率 C． 必然事件的概率为 1 D． 在适宜的条件下种下一粒种子， 观 察它是否发芽， 这个试验为古典概型 要点 2 概率的计算 用频率估计概率： （ 1 ） 概率可看作频率理论上的期望值， 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小 . 当试验的次数越来越多时， 频率越来 越趋近于概率 . 当试验次数足够多时， 所得 频率就近似地看作随机事件的概率 . （ 2 ） 通过公式 f n （ A ） ＝ n A n ＝ m n 计算出频 率， 再由频率估算概率 . 例 2 袋子中有四个小球 ， 分别写有 “中、 华、 民、 族” 四个字， 有放回地从中 任取一个小球， 直到 “中” “华” 两个字都 取到才停止 . 用随机模拟的方法估计恰好抽 5.2.4 频率与概率 名称 区别 联系 频率 本身是随机的， 在试 验之前无法确定， 大 多会随着试验次数的 改变而改变 ． 做同样 次数的重复试验， 得 到的频率值也可能会 不同 （ 1 ） 频率是概率的近 似值， 随着试验次数 的增加， 频率会越来 越接近概率 （ 2 ） 在实际问题中 ， 事件的概率通常情况 下是未知的， 常用频 率估计概率 概率 是一个 ［ 0 ， 1 ］ 中的 确定值， 不随试验结 果的改变而改变 58 第五章 统计与概率 学 取三次停止的概率， 利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数， 分别用 0 ， 1 ， 2 ， 3 代表 “中、 华、 民、 族” 这四个字， 以每 三个随机数为一组， 表示取球三次的结果， 经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 ３２１ ２３0 0２３ １２３ 0２１ １３２ ２２0 00１ ２３１ １３0 １３３ ２３１ 0３１ ３２0 １２２ １0３ ２３３ 由此可以估计， 恰好抽取三次就停止的 概率为 （ ） A. 1 9 B. 1 6 C. 2 9 D. 5 18 分析 本题为古典概型， 观察随机数 组得到基本事件的个数 . 解析： 由随机产生的随机数可知恰好抽 取三次就停止的有 021 ， 001 ， 130 ， 031 ， 共 4 组随机数， 即恰好抽取三次就停止的概率 约为 4 18 = 2 9 . 故选 C. 变式训练 2 天气预报说， 在今后的三天中， 每一天 下雨的概率均为 40%. 现采用随机模拟试验 的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率： 先利用计算器产生 0~9 之间取整数值的随机 数 ， 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示下雨 ， 用 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 0 表示不下雨， 再以每三个随机数 作为一组， 代表这三天的下雨情况， 经随机 模拟试验产生了如下 20 组随机数： 488 9３２ 8１２ ４５8 989 ４３１ ２５7 ３90 0２４ ５５６ 7３４ １１３ ５３7 ５６9 ６8３ 907 9６６ １9１ 9２５ ２7１ 据此估计， 这三天中恰有两天下雨的概 率近似为 . 例 3 （多选题） 以下对各事件发生的 概率判断正确的是 （ ） A. 甲 、 乙两人玩 “剪刀 、 石头 、 布 ” 的游戏， 则玩一局甲不输的概率是 1 3 B. 每个大于 2 的偶数都可以表示为两 个素数的和， 例如 8=3+5 ， 在不超过 14 的 素数中随机选取两个不同的数， 其和等于 14 的概率为 1 15 C. 将一个质地均匀的正方体骰子 （每 个面上分别写有数字 l ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ） 先 后抛掷 2 次， 观察向上的点数， 则点数之和 是 6 的概率是 5 36 D. 从 3 件正品、 1 件次品中随机取出 2 件， 则取出的产品全是正品的概率是 1 2 分析 本题考查古典概型的概率计算 . 解析： 画树形图如下： 从树形图可以看出， 所有可能出现的结 果共有 9 种， 这些结果出现的可能性相等， P （甲获胜） = 1 3 ， P （乙获胜） = 1 3 ， 故玩一局 甲不输的概率是 2 3 ， 故 A 错误； 不超过 14 的素数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 共 6 个， 从 这 6 个素数中任取 2 个 ， 有 2 与 3 ， 2 与 5 ， 2 与 7 ， 2 与 11 ， 2 与 13 ， 3 与 5 ， 3 与 7 ， 3 与 11 ， 3 与 13 ， 5 与 7 ， 5 与 11 ， 5 与 13 ， 7 与 11 ， 7 与 13 ， 11 与 13 ， 共 15 种结 果， 其中和等于 14 的只有一组 3 与 11 ， 所 甲 乙 石头 剪刀 布 剪刀 石头 剪刀 布 石头 石头 剪刀 布 布 59 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 以在不超过 14 的素数中随机选取两个不同 的数 ， 其和等于 14 的概率为 1 15 ， 故 B 正 确； 基本事件总共有 6×6=36 种情况， 其中 点 数 之 和 是 6 的 有 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 种情况， 则所求概率是 5 36 ， 故 C 正确； 记 3 件正品 为 A 1 ， A 2 ， A 3 ， 1 件次品为 B ， 任取 2 件产 品的所有可能为 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 1 B ， A 2 A 3 ， A 2 B ， A 3 B ， 共 6 种， 其中 2 件都是正品的有 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 2 A 3 ， 共 3 种， 则所求概率为 P= 3 6 = 1 2 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 变式训练 3 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练 习， 结果如下表所示 ． （ 1 ） 填写上表中的进球频率 . （ 2 ） 这位运动员投篮一次， 进球的概率 大约是多少？ 反思感悟 对概率的正确理解： （ 1 ） 概率是事件的本质属性， 不随试 验次数的变化而变化， 概率反映了事件发 生的可能性的大小， 但概率只提供了一种 “可能性”， 而不是试验总次数中某一事件 一定发生的比例 ． （ 2 ） 任何事件的概率都是区间 ［ 0 ， 1 ］ 上的一个确定数， 它度量该事件发生的可 能性， 概率越接近于 1 ， 表明事件发生的可 能性就越大； 反过来， 概率越接近于 0 ， 表 明事件发生的可能性就越小 ． （ ３ ） 小概率 （概率接近于 0 ） 事件很少 发生， 但不代表一定不发生； 大概率 （概 率接近于 1 ） 事件经常发生， 但不代表一 定发生 ． （ ４ ） 必然事件 M 的概率为 1 ， 即 P （ M ） ＝1 ； 不可能事件 N 的概率为 0 ， 即 P （ N ） ＝0. 数 学 文 化 例 造纸术、 印刷术、 指南针、 火药被 称为中国古代四大发明， 此说法最早由英国 汉学家艾约瑟提出， 并为后来许多中国的历 史学家所继承， 普遍认为这四种发明对中国 古代的政治、 经济、 文化的发展产生了巨大 的推动作用 . 某小学三年级共有学生 400 名， 随机抽查 100 名学生并提问中国古代四大发 明， 能说出两种及其以上发明的有 73 人， 据此估计该校三年级的 400 名学生中， 对四 大发明只能说出一种或一种也说不出的有 （ ） A. 69 人 B. 84 人 C. 108 人 D. 115 人 分析 用样本估计总体， 列出比例式 可得 . 解析： 在这 100 名学生中， 只能说出一 种或一种也说不出的有 100-73=27 （人） . 设该校三年级的 400 名学生中， 对四大 发明只能说出一种或一种也说不出的有 x 人， 则 100 27 = 400 x ， 解得 x=108. 故选 C. 投篮次数 n/ 次 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m/ 次 6 8 12 17 25 32 38 进球频率 m n 60 参 考 答 案 5.2.4 频率与概率 学习手册 变式训练 1 BC 【解析】 从 4 个小球中选取 2 个小球共有 6 种方 案， 其中 2 个小球颜色相同的方案有 2 种， 故甲获胜的 概率为 1 3 ， 故 A 错误； 随着试验次数的增加， 频率会越来越接近概率， 故 事件 A 发生的频率可以估计事件 A 发生的概率， 故 B 正确； 必然事件一定发生， 故其概率是 1 ， 故 C 正确； 古典概型要求随机事件的结果可能性相等， 在适宜 的条件下种下一粒种子， 观察它是否发芽， 这个试验发 芽与不发芽可能性不一定相等， 故 D 错误 . 故选 BC. 变式训练 2 0.3 【解析】 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天 下雨的有 932 ， 812 ， 024 ， 734 ， 191 ， 271 ， 共 6 组随机 数， 所求概率为 6 20 =0.3. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题意可得， 频率 = 频数 总数 ， 即 m n ， 算出 数据， 从左到右依次为 0.75 ， 0.8 ， 0.8 ， 0.85 ， 0.83 ， 0.8 ， 0.76. （ 2 ） 在同一条件下进行大量试验， 频率会稳定在一 个常数附近， 我们就用这个常数作为概率的估计值 . 由于进球频率都在 0.8 左右摆动， 故这位运动员投 篮一次， 进球的概率约是 0.8. 随堂练习 1. C 【解析】 某医院治疗某种疾病的治愈率为 20% ， 是说明有多大把握治愈 ， 而不是具体的多少人能够治 愈， 故 A 错误； 概率是说明事件发生的可能性大小， 其发生具有随 机性， 虽然乙获胜的概率为 2 5 ， 但是比赛 5 场， 乙胜 2 场的说法不符合定义， 故 B 错误； 估计会有明显疗效的可能性为 300 400 =0.75=75% ， 故 C 正确； 频率和概率是两个不同的概念， 故 D 错误 . 故选 C. 2. C 【解析】 由题意得， 甲组抽到红球的频率为 f 1 = 25 100 ， 乙组抽到红球的频率为 f 2 = 121 500 ， 丙组抽到红球的 频率为 f 3 = 403 1 000 ， 丁组抽到红球的频率为 f 4 = 1 255 5 000 . 经过比较发现， 甲、 乙、 丁均接近 0.25 ， 而丙接近 0.4 ， 丙组的试验次数介于乙组和丁组之间， 但抽到红球 的频率与这两组相距较远， 故有理由认为丙组的结果是 错误的 . 故选 C. 3. C 【解析】 由题知， 基本事件总数 n=2 3 =8 ， 其中 恰好有 2 个阳爻 1 个阴爻包含的基本事件个数 m=3 ， ∴ 根据古典概型的概率计算公式可得， 恰好有 2 个阳爻 1 个阴爻的概率 P= m n = 3 8 . 故选 C. 4. 解： ∵ 第一轮过后， 有 12 人被淘汰， ∴ 第一轮应 有 24 人对阵， 即 48 支签中有 24 支是空签， 即第一轮 有 24 人轮空 . 某学生要从 48 支签中抽 1 支， 抽到空签 的概率为 24 48 = 1 2 . 5. ③ 【解析】 ① 每天生产的播放器有 3 000 9 000+3 000 = 1 4 是影片播放器， 故 ① 错误； ② “在任何一批数量为 100 的影片播放器中， 恰好 有 4 个会是故障的” 是错误的， 4% 是概率意义上的估计 值， 并不能保证每批都恰有 4 个， ② 错误； ③∵ 音乐播放器的每天平均故障率为 3% ， ∴ 从每 天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测， 此产品 需要进行修复的概率是 0.03 ， ③ 正确 . 故答案为 ③. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 本题考查概率的概念和性质、 互斥事 件和对立事件的概念 . 由于事件的频数总是小于或等于 试验的次数， 从而任何事件的概率均满足 0≤P （ A ） ≤1 ， 其中必然事件的概率为 1 ， 不可能事件的概率为 0 ， 故 A 正确； 若 A∩B 为不可能事件， 则称事件 A 与事件 B 为互斥事件； 若 A∩B 为不可能事件， A∪B 为必然事 件， 则称事件 A 与事件 B 为对立事件 . ∴ 互斥事件不一 定是对立事件， 但是对立事件一定是互斥事件， 故 B 正 确； 甲先抽抽到有奖奖券的概率为 1 5 ， 乙后抽抽到有奖 奖券的概率为 4 5 × 1 4 = 1 5 ， 故 C 正确； 某事件发生的概 率是一个确定的常数， 与每次试验无关， 与试验的次数 无关， 故 D 错误 . 故选 D. 2. D 【解析】 由表格可得， 厨余垃圾投放正确的概 率 = 400 400+100+100 = 2 3 ； 可回收物 投 放 正 确 的 概 率 = 240 240+30+30 = 4 5 ； 其他垃圾投放正确的概率 = 60 20+20+60 = 3 5 . 厨余垃圾投放正确的概率为 2 3 ， 故 A 正确； 生活垃 圾投放错误的有 200+60+20+20=300 ， 故生活垃圾投放错 67 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 误的概率为 300 1 000 = 3 10 ， 故 B 正确； “厨余垃圾箱” 中 投放正确的概率为 400 400+30+20 = 8 9 ， “可回收物箱” 中 投放正确的概率为 240 240+100+20 = 2 3 ， “其他垃圾箱” 中 投放正确的概率为 60 100+30+60 = 6 19 ， ∴ 该市三类垃圾箱 中投放正确的概率最高的是 “厨余垃圾箱”， 故 C 正确， D 错误， 故选 D. 3. B 【解析】 ① 当 n=4 ， 第 1 次运算为 4 2 =2 ， 第 2 次 运算为 2 2 =1 ， 运算次数为 2 ； ② 当 n=5 ， 第 1 次运算为 3×5+1=16 ， 第 2 次运算为 16 2 =8 ， 第 3 次运算为 8 2 ＝4 ， 第 4 次运算为 4 2 =2 ， 第 5 次运算为 2 2 =1 ， 运算次数为 5 ； ③ 当 n=6 ， 第 1 次运算为 6 2 =3 ， 第 2 次运算为 3×3+1= 10 ， 第 3 次运算为 10 2 ＝5 ， 第 4 次运算为 ３×5+1=16 ， 第 5 次运算为 16 2 =8 ， 第 6 次运算为 8 2 =4 ， 第 7 次运算为 4 2 = 2 ， 第 8 次运算为 2 2 =1 ， 运算次数为 8 ； ④ 当 n=7 ， 第 1 次运算为 3×7+1=22 ， 第 2 次运算为 22 2 =11 ， 第 3 次运算 为 3×11+1=34 ， 第 4 次运算为 34 2 =17 ， 第 5 次运算为 3× 17+1=52 ， 第 6 次运算为 52 2 =26 ， 第 7 次运算为 26 2 ＝１３ ， 第 8 次运算为 3×13+1=40 ， 第 9 次运算为 40 2 =20 ， 第 10 次运算为 20 2 =10 ， 根据 ③ 可知当 n=10 ， 还需要 6 次运 算， 运算次数为 16 ； ⑤ 当 n=8 ， 根据 ② 可知当 n=8 ， 还 需要 3 次运算 ， 运算次数为 3 ； 故数字 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 按照以上的规则进行变换， 变换次数为偶数的为 3 次， ∴ 变换次数为偶数的频率为 3 5 . 故选 B. 4. A 【解析】 甲、 乙两人各写一个数字， 所有可能 的结果为 （奇， 偶 ）， （奇 ， 奇 ）， （偶 ， 奇 ）， （偶 ， 偶）， 则都是奇数或都是偶数的概率为 1 2 ， 故游戏是公 平的， 故 A 正确； 随着试验次数的增加， 频率会越来越 接近概率， 故事件 A 发生的频率就是事件 A 发生的概率 是不正确的， 故 B 错误； 某人花 100 元买福利彩票， 中 奖或者不中奖都有可能， 但事先无法预料， 故 C 错误； 事件 B 可能发生也可能不发生， 故事件 B 是随机事件， 故 D 错误 . 故选 A. 5. B 【解析】 在相同的条件下做大量重复试验， 一 个事件 A 出现的次数和总的试验次数 n 之比， 称为事件 A 在这 n 次试验中出现的频率 . 当试验次数 n 很大时 ， 频率将稳定在一个常数附近 . n 越大， 频率偏离这个常 数较大的可能性越小， 这个常数称为这个事件的概率， 并不是说 n 越大， 估计得越精确， A 错误； 事件 A 与事 件 B 相互独立， 即 A 是否发生与 B 是否发生无关， ∴ 事 件 A 是否发生与事件 B 是否发生也无关， 它们相互独 立， B 正确； 抛一枚骰子， 出现的点数不大于 5 记为事 件 A ， 出现的点数为不小于 2 记为事件 B ， 则事件 A 与 事件 B 同时发生是指点数为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 概率为 4 6 = 2 3 ， 而事件 A 与 B 中恰有一个发生是指点数为 1 或 6 ， 概率为 2 6 = 1 3 < 2 3 ， C 错误； 抛掷一枚质地均匀的硬币， 如前两次都是反面， 那么第三次出现正面的可能性与出 现反面的可能性还是一样， D 错误 . 故选 B. 6. 0.45 【解析】 设区间 ［ 25 ， 30 ） 对应矩形的高度 为 x ， 则由所有矩形面积之和为 1 ， 得 （ 0.02+0.04+0.06+ 0.03+x ） ×5=1 ， 解得 x=0.05 ， ∴ 该件产品为二等品的概率 为 0.04×5+0.05×5=0.45. 7. 0.4 【解析】 由题意， 将买猪肉的人组成的集合设 为 A ， 买其他肉的人组成的集合设为 B ， 则维恩图如下 . A∩B 中有 30 人， U （ A∪B ） 中有 10 人， 又不买猪肉的 人有 30 位， ∴B∩ U A 中有 20 人， ∴ 只买猪肉的人数为 100-10-20-30=40 ， ∴ 这一天该市只买猪肉的人数与全 市人数的比值的估计值为 40 100 =0.4. 8. 60 【解析】 ∵ 掷硬币时， 出现正面朝上和反面朝 上的概率都是 1 2 ， 被调查者中大概有 400 人回答了问题 （ 2 ）， 有 400 人回答了问题 （ 1 ）， 又 ∵ 学号为奇数或偶 数的概率也是 1 2 ， 故在回答问题 （ 1 ） 的 400 人中大约 有 200 人回答 “是”， 在回答问题 （ 2 ） 的 400 人中大约 有 260－200=60 （人） 回答了 “是” . 9. 解： 这种说法是错误的 . 上述认为说法正确的同 学， 其计算概率的方法自然也是错误的 . 为了弄清这个 问题， 我们不妨用类比法， 即把问题变换一下说法 . 原 题中所说的问题， 类似于 “在一个不透明的盒子里放有 第 7 题答图 10 U 其他肉 猪肉 A B 20 30 68 参 考 答 案 6 个标有数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的同样大小的球， 从盒 中摸一个球恰好摸到 2 号球的概率是 1 6 . 那么摸 6 次球 是否一定会摸到一次 2 号球呢 ？” 在这个摸球问题中 ， 显然还缺少一个摸球的规则， 即每次摸到的球是否需要 放回盒子里？ 显然， 如果摸到后不放回， 那么摸 6 次球 一定会摸到一次 2 号球 . 如果摸到球后需要放回， 那么 摸 6 次球就不一定会摸到一次 2 号球了 . 由此看来， 我 们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全 类同， 是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求 . 我们先看看上面掷骰子问题中的规则 ， 在掷骰子问题 中， 表面上好像没写着什么规则， 但实际上却藏有一个 自然的规则， 即第一次如果掷得某个数 （如 3 ）， 那么后 面还允许继续掷得这个相同的数 . 于是摸球问题要想与 掷骰子问题中的规则相同， 显然每次摸到的球必须放回 盒子里才妥当 . 那么摸 6 次球就不一定会摸到一次 2 号 球了 . 10. 解： （ 1 ） 如题图， 方案 A 中 “是奇数” 或 “是 偶数” 的概率均为 5 10 =0.5 ； 方案 B 中 “不是 4 的整数倍 数” 的概率为 8 10 =0.8 ， “是 4 的整数倍数” 的概率为 2 10 =0.2 ； 方案 C 中 “是大于 4 的数 ” 的概率为 6 10 =0.6 ， “不是大于 4 的数” 的概率为 4 10 =0.4. 乙为了尽可能获 胜， 应选方案 B ， 猜 “不是 4 的整数倍数” . （ 2 ） 为了保证游戏的公平性， 应当选择方案 A. 因 为方案 A 猜 “是奇数” 或 “是偶数” 的概率均为 0.5 ， 从而保证了该游戏是公平的 . （ 3 ） 可以设计为猜 “是大于 5 的数” 或 “不是大于 5 的数”， 此方案也可以保证游戏的公平性 . 提升练习 11. CD 【解析 】 抛掷一枚硬币出现正面的概率是 1 2 ， 故 A 错误； 摸到黑球 、 白球 、 红球的可能性分别为 3 6 ， 2 6 ， 1 6 ， 故 B 错误； 取得小于 0 的概率为 4 7 ， 取得不小于 0 的概率为 3 7 ， 故 C 正确； 每名学生被选中的可能性都为 1 2 ， 故 D 正确 . 故选 CD. 12. 0.52 0.48 1 0 0.35 0.07 【解析】 P （ M ） =P （ MG 1 ∪MG 2 ∪MG 3 ） = 18 100 + 20 100 + 14 100 = 52 100 =0.52 ； P （ F ） =1-P （ M ） =0.48 ； P （ M∪F ） =1 ； P （ MF ） = P （ 芰 ） =0 ； P （ G 1 ） =P （ MG 1 ∪FG 1 ） = 18 100 + 17 100 =0.35 ； P （ FG 3 ） = 7 100 =0.07. 13. D 【解析】 由折线图可知， 频率在 0.3~0.4 之间 . 抛一枚硬币， 出现正面朝上的概率为 0.5 ， 不符合， 故 A 错误； 掷一枚正六面体的骰子 ， 出现 3 点朝上的概率为 1 6 ， 不符合， 故 B 错误； 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后， 从中任抽一张牌 的花色是红桃的概率为 1 4 ， 不符合， 故 C 错误； 从一个装有 2 个红球、 1 个黑球的袋子中任取一球， 取到的是黑球的概率为 1 3 ， 在 0.3~0.4 之间， 符合题意， 故 D 正确 . 故选 D. 14. 解： （ 1 ） e ， i ， t ， a 四个字母出现的频率分别 为 5 29 ≈0.17 ， 3 29 ≈0.10 ， 4 29 ≈0.14 ， 2 29 ≈0.069 ， 其大小 关系为： e 出现的频率 >t 出现的频率 >i 出现的频率 >a 出 现的频率 . （ 2 ） 一共有 9 个单词， 其中所含字母个数为 3 的单 词有 4 个， 故所求的概率为 4 9 . （ 3 ） 从 “ and ” 前面的三个单词和后面的五个单词 中 ， 各 随 机 任 取 一 个 单 词 ， 总 共 的 情 况 有 15 种 ： （ seize ， live ） ， （ seize ， it ） ， （ seize ， to ） ， （ seize ， the ）， （ seize ， full ）， （ the ， live ）， （ the ， it ）， （ the ， to ）， （ the ， the ）， （ the ， full ）， （ day ， live ）， （ day ， it ）， （ day ， to ）， （ day ， the ）， （ day ， full ）， 其中符合 条件的情况有 4 种 ： （ the ， it ） ， （ the ， to ） ， （ day ， it ）， （ day ， to ）， 故所求概率为 P= 4 15 . * 15. 解： （ 1 ） 移动支付推出前， 需在入口处停车取 卡的车辆大约为 9 080×60%=5 448 （辆）， 推广移动支付后， 需在入口处停车取卡的车辆大约 为 9 080× 135+240 135+240+750+375 =2 270 （辆）， ∴ 估计推广移动支付后比推广移动支付前日均可少 发卡 5 448-2 270=3 178 （张） . 69 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 推广移动支付前， 平均每辆车进出高速收费站 大约耗时 （ 10+30 ） ×60%+ （ 4+4 ） ×40%=27.2 （ s ）， 推广移动支付后， 平均每辆车进出高速收费站大约 耗时 （ 10+30 ） × 135 1 500 + （ 10+15 ） × 240 1 500 + （ 4+4 ） × 750+375 1 500 =3.6+4+6=13.6 （ s ）， ∴ 推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗 时比推广移动支付前大约减少一半 . 5.2.5 随机事件的独立性 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 ∵P （ A 1 ） = 3 5 . 若 A 1 发生了， P （ A 2 ） = 2 4 = 1 2 ； 若 A 1 不发生， P （ A 2 ） = 3 4 . 即 A 1 发生的结果对 A 2 发 生的结果有影响， ∴A 1 与 A 2 不是相互独立事件 . 故选 D. 变式训练 2 D 【解析】 第一次甲没有被抽检的概率为 2 3 ， 第二次甲没有被抽检的概率为 1 2 ， 故甲没有被抽检的概率为 2 3 × 1 2 = 1 3 ， 故甲被抽检的概率为 1- 1 3 = 2 3 . 故选 D. 变式训练 3 解： 记这段时间内开关 J A ， J B ， J C 能够闭合为事件 A ， B ， C. 由题意， 这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之 间没有影响， 根据相互独立事件的概率公式， 这段时间 内 3 个开关都不能闭合的概率是 P （ ABC ） =P （ A ） P （ B ） P （ C ） = ［ 1-P （ A ）］［ 1-P （ B ）］［ 1- P （ C ）］ = （ 1-0.7 ） × （ 1-0.7 ） × （ 1-0.7 ） =0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合， 从而使 线路能够正常工作的概率是 1-P （ ABC ） =1-0.027=0.973. 随堂练习 1. A 【解析】 由于采用有放回地摸球， 因此 A 1 与 A 2 相互独立， 于是事件 A 1 与 A 2 是相互独立事件 . 故选 A. 2. B 【解析】 甲未通过的概率为 0.3 ， 则甲未通过而 乙通过的概率为 0.3×0.4=0.12. 故选 B. 3. 0.55 【解析】 小李将玩偶击落有三种情况： ① 第 一次就击落； ② 第一次未击中， 第二次击落； ③ 第一次 击中但未击落 ， 第二次击落 . ∴P=0.4×0.5+0.6×0.7×0.5+ 0.4×0.5×0.7=0.55. 4. C 【解析】 设甲同学收到李老师的信息为事件 A ， 收到张老师的信息为事件 B ， A ， B 相互独立 ， P （ A ） =P （ B ） = 4 10 = 2 5 ， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动 通知的信息的概率为 1-P （ AB ） =1- （ 1-P （ A ））（ 1-P （ B ）） = 1- 3 5 × 3 5 = 16 25 . 故选 C. 5. 解： 记事件 “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 为 A i （ i＝1 ， 2 ， 3 ）， 则 P （ A 1 ） ＝ 4 5 ， P （ A 2 ） ＝ 3 5 ， P （ A 3 ） ＝ 2 5 . 方法一： 该选手被淘汰的概率为 P （ A 1 ） ＋P （ A 1 ∩A 2 ） ＋P （ A 1 ∩A 2 ∩A 3 ） ＝P （ A 1 ） ＋P （ A 1 ） P （ A 2 ） ＋P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） ＝ 1 5 ＋ 4 5 × 2 5 ＋ 4 5 × 3 5 × 3 5 ＝ 101 125 . 方法二： 该选手被淘汰的概率为 1－P （ A 1 ∩A 2 ∩A 3 ） ＝1－ 4 5 × 3 5 × 2 5 ＝ 101 125 . 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 射击一次命中目标的概率为 P ， ∴ 射 击一次未命中目标的概率为 1-P. ∵ 每次射击结果相互独 立， ∴ 三次都未命中的概率为 （ 1-P ） 3 . ∵ 连续射击三次， 至少有一次命中的对立事件为三次都未射中， ∴ 连续射 击三次， 至少有一次命中的概率为 1- （ 1-P ） 3 = 37 64 ， 解得 P= 1 4 . 故选 A. 2. C 【解析 】 由题知三个社团都能进入的概率为 1 24 ， 即 m× 1 3 ×n= 1 24 圯m×n= 1 8 ， 又 ∵ 至少进入一个社团 的概率为 3 4 ， 即一个社团都没能进入的概率为 1- 3 4 = 1 4 ， 即 （ 1-m ） × 2 3 × （ 1-n ） = 1 4 圯1-m-n+m×n= 3 8 ， 整理 得 m+n= 3 4 . 故选 C. 3. C 【解析】 ① “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个 黑球和 1 个红球或 2 个黑球” 与 “都是黑球” 可以同时 发生， 不是互斥事件， 故错误； ② “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个黑球”， “至少有 1 个红球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个红球”， 可 以同时发生， 故正确； ③ “恰好有 1 个黑球 ” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球”， 与 “恰好有 2 个黑球” 不同时 发生 ， 还有可能都是红球 ， 不是对立事件 ， 故正确 ； ④ “至少有 1 个黑球” 等价于 “ 1 个黑球和 1 个红球或 2 个黑球”， 与 “都是红球” 不同时发生， 但一定会有一 个发生， 是对立事件， 故正确 . 上述说法中， 正确的个 数为 3. 故选 C. 4. B 【解析】 根据题意可知 ， 如果没有抽到红球 ， 70