5.2.2 事件之间的关系与运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 了解事件的包含关系和相等关系， 了 解并事件与交事件概念， 会进行事件的概率 运算 . 2. 理解互斥事件和对立事件的概念及关 系， 会用互斥事件与对立事件的概念公式求 概率 . 3. 会用自然语言、 符号语言表示事件之 间的关系与运算， 加强数学抽象素养的培养 . 要 点 精 析 要点 1 事件之间的关系 （ 1 ） 一般地， 如果事件 A 发生时， 事件 B 一定发生， 则称 “ A 包含于 B ” （或 “ B 包含 A ”）， 记作 A哿B （或 B勐A ） . （ 2 ） 如果事件 A 发生时， 事件 B 一定发 生； 而且事件 B 发生时， 事件 A 也一定发 生， 则称 “ A 与 B 相等”， 记作 A=B. 不难看 出： A=B圳A哿B 且 B哿A. （ 3 ） 给定事件 A ， B ， 由所有 A 中的样 本点与 B 中的样本点组成的事件称为 A 与 B 的和 （或并）， 记作 A+B （或 A∪B ） . （ 4 ） 给定事件 A ， B ， 由 A 与 B 中的公 共样本点组成的事件称为 A 与 B 的积 （或 交）， 记作 AB （或 A∩B ） . 思考 事件的和与事件的积与物理学 中的串、 并联电路存在着何种关系？ 例 1 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口 袋内任取 2 个球， 则与事件 “恰有两个红 球” 既不对立也不互斥的事件是 （ ） A. 至少有 1 个黑球 B. 恰好有 1 个黑球 C. 至多有 1 个红球 D. 至少有 1 个红球 分析 本题考查互斥事件与对立事件 的判断， 列出基本事件空间即可判断 . 解析： 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口 袋内任取 2 个球， 至少有 1 个黑球与事件恰 有 2 个红球是对立事件， ∴A 不成立； 恰好 有 1 个黑球与事件恰有 2 个红球是互斥的事 件， ∴B 不成立； 至多有 1 个红球与事件恰 有 2 个红球是对立事件， ∴C 不成立； 至少 有 1 个红球与事件恰有 2 个红球是既不对立 也不互斥的事件， ∴D 成立 . 故选 D. 变式训练 1 一个射手进行一次射击， 事件 A ： 命中 环数大于 8 ； 事件 B ： 命中环数大于 5 ， 则 （ ） A． A 与 B 是互斥事件 B． A 与 B 是对立事件 C． A哿B D． A勐B 例 2 同时掷两枚骰子， 两枚骰子的点 数和是 2 ， 3 ， 4 ， …， 11 ， 12 中的一个， 事 件 A={2 ， 5 ， 7} ， 事件 B={2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ， 那么 A∪B= ， A∩B= . 分析 本题考查事件之间的运算， 列 出基本事件可得 . 解析 ： ∵ 事件 A={2 ， 5 ， 7} ， 事件 B= 5.2.2 事件之间的关系与运算 52 第五章 统计与概率 学 {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ， ∴A∪B={2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 10 ， 12} ， B= {3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11} ， ∴A∩B={5 ， 7}. 变式训练 2 记某射手一次射击训练中， 射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环分别为事件 A ， B ， C ， D ， 指出下列事件的含义： （ 1 ） A∪B∪C ； （ 2 ） B∩C ； （ 3 ） B∪C∪D. 要点 2 互斥事件概率的计算 （ 1 ） 给定事件 A ， B ， 若事件 A 与 B 不 能同时发生， 则称 A 与 B 互斥， 记作 AB= 芰 （或 A∩B=芰 ） . 注： ① 任何两个基本事件都是互斥的， 芰 与任意事件互斥 . ② 一般地， 如果 A 1 ， A 2 ， …， A n 是两两 互斥事件， 则 P （ A 1 +A 2 + … +A n ） =P （ A 1 ） +P （ A 2 ） + … +P （ A n ） . （ 2 ） 给定样本空间 赘 与事件 A ， 则由 赘 中所有不属于 A 的样本点组成的事件称为 A 的对立事件， 记作 A . 用集合的观点看， 住 是 A 在 赘 中的补集， 如图所示 . 如果 B=A ， 则称 A 与 B 相互对立 . 注： ① 事件 A 与 A 中， 有一个发生， 而 且只有一个发生 . 注意到必然事件的概率为 1 ， 因此 P （ A ） +P （ A ） =1. ② 如果 A 与 B 相互对立， 则 A 与 B 互 斥， 但反之不成立， 即 “ A 与 B 相互对立” 是 “ A 与 B 互斥” 的充分不必要条件 . 思考 在一次试验中是否存在既不互 斥也不对立的两个事件？ 例 3 若某群体中的成员只用现金支付 的概率为 0.45 ， 既用现金支付也用非现金支 付的概率为 0.15 ， 则不用现金支付的概率为 （ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 分析 本题将所求事件写成若干互 斥事件的并 ， 利用互斥事件概率加法公 式可得 . 解析： 设事件 A 为只用现金支付， 事件 B 为只用非现金支付， 事件 C 为既用现金支 付也用非现金支付， 则 A ， B ， C 刚好组成 全事件， 且 A ， B ， C 为互斥事件， 则 P （ B ） =1-P （ A ） -P （ C ） =1-0.15-0.45=0.4. 故选 B. 变式训练 3 排球比赛的规则是 5 局 3 胜制 （无平 局） . 在 2023 年的某场比赛中， 甲队在每局 比赛中获胜的概率都为 2 3 ， 前 2 局中乙队以 2 ∶ 0 领先， 则最后乙队获胜的概率是 （ ） A. 4 9 B. 8 27 C. 19 27 D. 40 81 A A 赘 53 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 反思感悟 求复杂事件的概率的两种 方法： （ 1 ） 将所求事件转化成几个彼此互斥 的事件的和事件 . 一般情况下， 当一个事件 包含多个基本事件时， 要用到概率加法公 式的推广， 即 P （ A 1 ∪A 2 ∪ … ∪A n ） ＝P （ A 1 ） ＋ P （ A 2 ） ＋ … ＋P （ A n ） . （ 2 ） 将一个较复杂的事件转化为几个 互斥事件的和事件时， 若需要分类太多， 而其对立事件的分类较少， 则可考虑利用 对立事件的概率公式， 即 “正难则反” . 数 学 文 化 例 1 三个臭皮匠顶上一个诸葛亮， 能 顶得上吗？ 在一次有关 “三国演义” 的知识 竞赛中， 三个臭皮匠 A ， B ， C 能答对题目 的概率 P （ A ） ＝ 1 3 ， P （ B ） ＝ 1 4 ， P （ C ） = 1 5 ， 诸 葛亮 D 能答对题目的概率 P （ D ） ＝ 2 3 ， 如果将 三个臭皮匠 A ， B ， C 组成一组与诸葛亮 D 比赛， 答对题目多者为胜方， 问哪方胜 . 解： 如果三个臭皮匠 A ， B ， C 能答对 的题目彼此互斥 ( 他们能答对的题目不重 复 ) ， 则 P （ A∪B∪C ） ＝P （ A ） ＋P （ B ） ＋P （ C ） ＝ 47 60 >P （ D ） = 2 3 ， 故三个臭皮匠方为胜方， 即三 个臭皮匠顶上一个诸葛亮； 如果三个臭皮匠 A ， B ， C 能答对的题目不互斥， 则三个臭皮 匠未必能顶上一个诸葛亮 ． 例 2 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数， 则这 2 个数互质的概率是 . 分析 首先要了解互质的含义， 其次 要准确枚举 2 个数互质的取法总数， 做到 不重复、 不遗漏 . 解析： 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同数的样本空间 赘={ （ 2 ， 3 ）， （ 2 ， 4 ）， （ 2 ， 5 ）， （ 2 ， 6 ）， （ 2 ， 7 ）， （ 2 ， 8 ）， （ 3 ， 4 ）， （ 3 ， 5 ）， （ 3 ， 6 ）， （ 3 ， 7 ）， （ 3 ， 8 ）， （ 4 ， 5 ）， （ 4 ， 6 ）， （ 4 ， 7 ）， （ 4 ， 8 ）， （ 5 ， 6 ）， （ 5 ， 7 ）， （ 5 ， 8 ）， （ 6 ， 7 ）， （ 6 ， 8 ）， （ 7 ， 8 ） }. 其中两数互质的情况有 （ 2 ， 3 ）， （ 2 ， 5 ）， （ 2 ， 7 ）， （ 3 ， 4 ）， （ 3 ， 5 ）， （ 3 ， 7 ）， （ 3 ， 8 ）， （ 4 ， 5 ）， （ 4 ， 7 ）， （ 5 ， 6 ）， （ 5 ， 7 ）， （ 5 ， 8 ）， （ 6 ， 7 ）， （ 7 ， 8 ）， 取法总 数为 14. ∴ 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不 同的数， 这 2 个数互质的概率为 14 21 = 2 3 . 54 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 x 3 中至少有一个是 1 ， ∴N={ （ 1 ， 1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ， 1 ）， （ 1 ， 1 ， 1 ） }. “电路是断路” 等价于 （ x 1 ， x 2 ， x 3 ） ∈Ω ， x 1 =0 或 x 1 = 1 ， x 2 =x 3 =0. ∴N={ （ 0 ， 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ， 0 ）， （ 0 ， 0 ， 1 ）， （ 0 ， 1 ， 1 ）， （ 1 ， 0 ， 0 ） }. 15. 解： （ 1 ） 该试验的样本空间 Ω={ （ a 1 ， a 2 ）， （ a 1 ， b 1 ）， （ a 2 ， a 1 ）， （ a 2 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 1 ）， （ b 1 ， a 2 ） }. （ 2 ） 事件 A={ （ a 1 ， a 2 ）， （ a 2 ， a 1 ） } ， 包含 2 个样本点 . 事件 B={ （ a 1 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 1 ）， （ a 2 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 2 ） } ， 包含 4 个样本点 . 5.2.2 事件之间的关系与运算 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 事件 A ： 命中环数大于 8 即命中 9 或 10 环； 事件 B ： 命中环数大于 5 即命中 6 或 7 或 8 或 9 或 10 环， 故 A哿B. 故选 C. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵A= 射中 10 环， B= 射中 9 环， C= 射中 8 环， ∴A∪B∪C= 射中 10 环或 9 环或 8 环 . （ 2 ） ∵C= 射中 8 环， ∴C= 射中环数不是 8 环， 则 B∩ C= 射中 9 环 . （ 3 ） ∵B∪C∪D= 射中 9 环或 8 环或 7 环， 则 B∪C∪D= 射中 10 环或 6 环或 5 环或 4 环或 3 环或 2 环或 1 环或 0 环 . 变式训练 3 C 【解析】 若最后甲队获胜， 则后 3 局必须都是甲 队获胜， 其概率为 P= 2 3 3 ' 3 = 8 27 ， ∴ 最后乙队获胜的概率 为 1- 8 27 = 19 27 . 故选 C. 随堂练习 1. C 【解析】 因为题目中给定了 A ， B 是任意事件， 那么利用集合的并集思想来分析， 两个事件的和事件不 一定等于其中的事件 A ， 可能大于事件 A ， 故 A 错误； 事件 AB 表示的为事件 A 与事件 B 的积事件， 那么 利用集合的思想， 和交集类似， 不一定包含 A 事件， 故 B 错误； 由于利用集合的交集和并集的思想可知， A+AB=A 表示的等式成立， 故 C 正确； 利用补集的思想和交集的概念可知， AB 表示的事 件 A 不发生， 同时事件 B 发生， 显然 D 不成立， 故 D 错误 . 故选 C. 2. B 【解析】 由题意， 事件 A ， B 互斥， 则 A哿B ， ∴A∪B 为必然事件， 故选 B. 3. B 【解析】 设置随机试验： 袋子中放有大小相同 且标号为 1~10 的十个小球， 从中取一球， 设事件 A 1 为 “取出球标号为 1 或 3 ”， 事件 A 2 为 “取出球标号为 1 或 3 或 5 ”， 事件 A 3 为 “取出球标号为奇数”， 则三个事件 A 1 ， A 2 ， A 3 的概率分别是 0.2 ， 0.3 ， 0.5 ， 可知 A 1 +A 2 与 A 3 不是互斥事件， A 1 +A 2 +A 3 不是必然事件， P （ A 2 +A 3 ） = 0.5 ， P （ A 1 +A 2 ） ≤0.5 （当事件 A 2 为 “取出球标号为 3 或 5 或 7 ” 时， P （ A 1 +A 2 ） =0.5 ）， 故只有 ④ 正确 . 故选 B. 4. C 【解析】 由题意知， 此乘客乘坐 3 路车和乘坐 6 路车是互斥事件， ∴ 此乘客在 5 min 内能乘到所需要 的车的概率是 0.20+0.60=0.80. 故选 C. 5. D 【解析】 设 “抽到次品” 为事件 D ， 由题意知 事件 A ， B ， C ， D 彼此互斥 ， 且每次试验必有 A ， B ， C ， D 中的一个事件发生， 则 P （ A+B+C+D ） =P （ A ） +P （ B ） +P （ C ） +P （ D ） =1 ， ∴P （ D ） =1- （ 0.65+0.2+0.1 ） =0.05. 故选 D. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 甲、 乙不能同时得到红色， 因而这两 个事件是互斥事件； 又甲、 乙可能都得不到红色 ， 即 “甲或乙分得红色” 的事件不是必然事件， 故这两个事 件不是对立事件， 故选 C. 2. B 【解析】 抛掷一枚质地均匀的骰子， 向上的一 面出现任意一种点数的概率都是 1 6 ， 记事件 A 为 “向 上的点数是奇数 ” ， 事件 B 为 “向上的点数为 6 ” ， ∴P （ A ） = 3 6 = 1 2 ， P （ B ） = 1 6 ， 且 A 与 B 为互斥事件 ， ∴P （ A∪B ） =P （ A ） +P （ B ） = 1 2 + 1 6 = 2 3 . 故选 B. 3. D 【解析】 随机事件 A ， B 互斥 ， A ， B 发生的 概率均不等于 0 ， 且 P （ A ） =2- a ， P （ B ） =4a-5 ， ∴ 0<P （ A ） <1 ， 0<P （ B ） <1 ， P （ A ） +P （ B ） ≤1 1 + + + * + + + + , ， 即 0<2-a<1 ， 0<4a-5<1 ， 3a-3≤1 1 + + + * + + + + , ， 解 得 5 4 <a≤ 4 3 ， 即 a∈ 5 4 ， 4 3 33 . 故选 D. 4. A 【解析】 从 10 件产品中， 抽取 3 件的基本事件 有 A 1 ： 3 件正品； A 2 ： 2 件正品 1 件次品； A 3 ： 1 件正品 2 件次品 . 事件 “ 1 件正品 2 件次品” 显然为 A 3 ， 事件 “恰有 1 件次品 ” 显然为 A 2 ， ∵A 2 与 A 3 互斥而不对立 . 故选 A. 5. BC 【解析】 恰有一个是奇数和有两个是偶数包 含一个奇数和两个偶数的情况， 故 A 错误； 至少有两个 是偶数和至少有两个是奇数是不可能同时发生的， 故 B 是互斥事件； 至少有一个是奇数和三个都是偶数是不可 能同时发生的， 故 C 是互斥事件； 至少有一个是奇数和 至少有一个是偶数包含一个是奇数和两个是偶数或者一 个是偶数和两个是奇数的情况， 故 D 不是互斥事件 . 故 62 参 考 答 案 选 BC. 6. 0.9 【解析】 P （ B ） =0.6圯P （ B ） =0.4 ， P （ A∪B∪C ） = P （ A ） +P （ B ） +P （ C ） =0.9. 7. 出现 2 ， 4 ， 6 点 出现 2 ， 4 点 【解析】 易知 B= “出现 6 点”， 则 A∪B= “出现 2 ， 4 ， 6 点”， A∩B= “出 现 2 ， 4 点” . 8. 解： （ 1 ） 由图可知： 区域 1 表示该生数学、 语 文、 英语三种资料都订阅 ； 区域 4 表示该生只订阅数 学、 语文两种资料 ； 区域 5 表示该生只订阅了语文资 料； 区域 8 表示该生三种资料都未订阅 . （ 2 ） “恰好订阅一种学习资料” 包括只订阅数学为 ABC ； 只订阅语文为 ABC ； 只订阅英语为 ABC ， 并且这 三种相互互斥， ∴ “恰好订阅一种学习资料” 用 A ， B ， C 表示为 ABC+ABC+ABC ， “没有订阅任何学习资料 ” 用 A ， B ， C 表示为 ABC. 9. 解： （ 1 ） 由题意可知三个圆可能颜色一样， 可 能有两个一样， 另一个异色， 或者三个圆都异色 . 则试 验的样本空间 Ω={ （红 ， 红 ， 红 ） ， （黄 ， 黄 ， 黄 ） ， （蓝， 蓝， 蓝）， （红， 红， 黄）， （红， 红， 蓝）， （蓝， 蓝， 红）， （蓝， 蓝， 黄）， （黄， 黄， 红）， （黄， 黄， 蓝）， （红， 黄， 蓝） } . （ 2 ） A={ （红， 黄， 蓝） } ； B={ （红， 红， 黄）， （红， 红， 蓝）， （蓝， 蓝， 红）， （蓝， 蓝， 黄）， （黄， 黄， 红）， （黄， 黄， 蓝）， （红， 黄， 蓝） } ； C={ （红， 红， 黄）， （红， 红， 蓝）， （蓝， 蓝， 红）， （蓝， 蓝， 黄）， （黄， 黄 ， 红 ）， （黄 ， 黄 ， 蓝 ） } ； D={ （红 ， 红 ， 红 ）， （黄， 黄， 黄）， （蓝， 蓝， 蓝） } . （ 3 ） 由 （ 2 ） 可知事件 B 包含事件 C ， 事件 A 和 B 的交事件与事件 D 互斥 . 10. 解： 依照题意可知样本空间为 Ω= （ 1 ， 1 ） （ 1 ， 2 ） （ 1 ， 3 ） （ 1 ， 4 ） （ 1 ， 5 ） （ 1 ， 6 ） （ 2 ， 1 ） （ 2 ， 2 ） （ 2 ， 3 ） （ 2 ， 4 ） （ 2 ， 5 ） （ 2 ， 6 ） （ 3 ， 1 ） （ 3 ， 2 ） （ 3 ， 3 ） （ 3 ， 4 ） （ 3 ， 5 ） （ 3 ， 6 ） （ 4 ， 1 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 3 ） （ 4 ， 4 ） （ 4 ， 5 ） （ 4 ， 6 ） （ 5 ， 1 ） （ 5 ， 2 ） （ 5 ， 3 ） （ 5 ， 4 ） （ 5 ， 5 ） （ 5 ， 6 ） （ 6 ， 1 ） （ 6 ， 2 ） （ 6 ， 3 ） （ 6 ， 4 ） （ 6 ， 5 ） （ 6 ， 6 6 & & & & & & & & & % & & & & & & & & & ' ( & & & & & & & & & ) & & & & & & & & & * ） . （ 1 ） ∵ 事件 A 表示随机事件 “第一次掷出 1 点 ”， ∴A={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ）， （ 1 ， 5 ）， （ 1 ， 6 ） } . ∵ 事件 B 表示随机事件 “ 2 次掷出的点数之和 为 6 ” ， ∴B={ （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 5 ， 1 ） } . ∴A∩B={ （ 1 ， 5 ） } ， A∪B={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ） } . （ 2 ） ∵ 事件 C 表示随机事件 “第二次掷出的点数比 第一次的大 3 ” ， ∴C={ （ 1 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） } . ∵A∩B={ （ 1 ， 5 ） }≠芰 ， A∩C={ （ 1 ， 4 ） }≠芰 ， B∩C=芰 ， ∴ 事件 A 与事件 B 、 事件 A 与事件 C 不是互斥事件， 事 件 B 与事件 C 是互斥事件 . （ 3 ） ∵ 事件 A j 表示随机事件 “第一次掷出 1 点， 第 二次 掷 出 j 点 ” ， ∴A 1 ={ （ 1 ， 1 ） } ， A 2 ={ （ 1 ， 2 ） } ， A 3 = { （ 1 ， 3 ） } ， A 4 ={ （ 1 ， 4 ） } ， A 5 ={ （ 1 ， 5 ） } ， A 6 ={ （ 1 ， 6 ） } ， ∴A=A 1 ∪A 2 ∪A 3 ∪A 4 ∪A 5 ∪A 6 . 提升练习 11. BC 【解析】 E ， G 事件有可能同时发生， 不是互 斥事件， 故 A 错误； F 与 I 不可能同时发生 ， 且发生的概率之和为 1 ， 是互斥事件， 且是对立事件， 故 B 正确； F 与 G 可以同时发生， 不是互斥事件， 故 C 正确； G 与 I 也可以同时发生， 不是互斥事件， 故 D 错误 . 故选 BC. 12. BCD 【解析】 画树形图如下： 从树形图可以看出 ， 所有可能出现的结果共有 9 种 ， 这 些 结 果 出 现 的 可 能 性 相 等 ， P （甲 获 胜 ） = 1 3 ， P （乙获胜） = 1 3 ， 故玩一局甲不输的概率是 2 3 ， 故 A 错误； 不超过 14 的素数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 共 6 个， 从这 6 个素数中任取 2 个， 有 2 与 3 ， 2 与 5 ， 2 与 7 ， 2 与 11 ， 2 与 13 ， 3 与 5 ， 3 与 7 ， 3 与 11 ， 3 与 13 ， 5 与 7 ， 5 与 11 ， 5 与 13 ， 7 与 11 ， 7 与 13 ， 11 与 13 ， 共 15 种结果， 其中和等于 14 的只有一组 3 与 11 ， ∴ 在不超 过 14 的素数中随机选取两个不同的数， 其和等于 14 的 概率为 1 15 ， 故 B 正确； 基本事件总数有 6×6=36 种， 其中点数之和是 6 的 有 （ 1 ， 5 ）， （ 2 ， 4 ）， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 种情况， 则所求概率是 5 36 ， 故 C 正确； 记三件正品为 A 1 ， A 2 ， A 3 ， 一件次品为 B ， 任取两 件产品的所有可能为 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 1 B ， A 2 A 3 ， A 2 B ， A 3 B ， 共 6 种， 其中两件都是正品的有 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 2 A 3 ， 共 3 种， 则所求概率为 P= 3 6 = 1 2 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 13. 电路工作正常 电路工作不正常 【解析 】 A∪ B∪C 表示甲、 乙、 丙元件至少有一个正常， 即电路工 作正常； A∩B∩C 表示甲、 乙、 丙元件都不正常， 即电 路工作不正常 . 14. 解： （ 1 ） 设事件 “电话响第 k 声时被接” 为 A k 甲 石头 剪刀 布 乙 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 63 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ k∈N ）， 那么事件 A k 彼此互斥 . 设 “打进的电话在响 5 声之前被接” 为事件 A ， 根据互斥事件概率加法公式， 得 P （ A ） =P （ A 1 ∪A 2 ∪A 3 ∪A 4 ） =P （ A 1 ） +P （ A 2 ） +P （ A 3 ） +P （ A 4 ） =0.1+0.2+0.3+0.35=0.95. （ 2 ） 事件 “打进的电话响 4 声而不被接” 是事件 A “打进的电话在响 5 声之前被接” 的对立事件， 记为 A. 根据对立事件的概率公式， 得 P （ A ） =1-P （ A ） =1-0.95= 0.05. * 15. 解 ： （ 1 ） 由已知得 25＋y＋10＝55 ， x＋30＝45 ， ∴x＝15 ， y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成 一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可 视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本， 顾客一次 购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计， 其估计 值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 ＝1.9 （ min ） ． （ 2 ） 记 A 为事件 “一位顾客一次购物的结算时间不 超过 2 min ”， A 1 ， A 2 分别表示事件 “该顾客一次购物的 结算时间为 2.5 min ” “该顾客一次购物的结算时间为 3 min ”， 将频率视为概率得 P （ A 1 ） ＝ 20 100 ＝ 1 5 ， P （ A 2 ） ＝ 10 100 ＝ 1 10 ， 则 P （ A ） ＝1－P （ A 1 ） －P （ A 2 ） ＝1－ 1 5 － 1 10 ＝ 7 10 . 故一位顾 客一次购物的结算时间不超过 2 min 的概率为 7 10 . 5.2.3 古 典 概 型 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 根据古典概型的两个特征进行判断 . A 项中两个基本事件不是等可能的； B 项中基本事 件的个数是无限的， C 项符合古典概型的两个特征； D 项中 “中靶” 与 “不中靶” 不是等可能的 . 故选 C. 变式训练 2 D 【解析】 根据题意， 在 A ， B ， C ， D ， E ， F 共六 个景点中， 满足可以使李华不重复走遍全部街道的有 B ， E ， 共两个景点， ∴ 所求概率为 P= 2 6 = 1 3 . 故选 D. 变式训练 3 1 2 【解析】 用符号 （ m ， n ） 表示两次的结果， 共有 （ 0 ， 1 ） ， （ 0 ， 3 ） ， （ 0 ， 5 ） ， （ 1 ， 0 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 3 ， 0 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 5 ， 0 ） ， （ 5 ， 1 ）， （ 5 ， 3 ） 12 种等可能的情况， 其中数字 m ， n 都为奇数的有 6 种情况， ∴ 数字 m ， n 都为奇数的概率 为 6 12 = 1 2 . 随堂练习 1. A 【解析】 事件满足古典概型事件的有限性和等 可能性， 故 A 属于古典概型； 由于每一粒种子发芽的可 能性不相同， ∴ 事件不满足古典概型事件的等可能性， 故 B 不属于古典概型； 由于随机走到一个十字路口， 观 察是否遇到红灯， 有无数个结果， ∴ 不满足古典概型事 件的有限性， 故 C 不是古典概型； 从一组直径为 （ 120± 0.3 ） mm 的零件中取出一个， 测量它的直径有无数个结 果， 故 D 不属于古典概型 . 故选 A. 2. B 【解析】 掷一枚质地均匀的骰子， 观察朝上的 面的点数， 则基本事件总数为 6. 记事件 A ： 点数为 2 或 3 ， 包含 2 个基本事件， ∴P （ A ） = 2 6 = 1 3 . 故选 B. 3. A 【解析】 据题意知， 单词 “ calendar ” 后三个字 母张明排序有 dra ， ard ， adr ， dar ， 共 4 种情况， 其中拼 写错误的有三种 dra ， ard ， adr ， ∴ 所求的概率 P= 3 4 . 故 选 A. 4. C 【解析】 18 组随机数中， 利用列举法求出事件 A 发生的随机数有 210 ， 021 ， 001 ， 130 ， 031 ， 103 ， 共 6 个， 估计事件 A 发生的概率为 P= 6 18 = 1 3 . 故选 C. 5. C 【解析 】 样本空间 Ω={ （ A ， B ） ， （ A ， C ） ， （ A ， a ） ， （ A ， b ） ， （ B ， C ） ， （ B ， a ） ， （ B ， b ） ， （ C ， a ）， （ C ， b ）， （ a ， b ） }. 记事件 A= “至少有 1 扇 门被敞开”， 则 A={ （ A ， a ）， （ A ， b ）， （ B ， a ）， （ B ， b ）， （ C ， a ）， （ C ， b ）， （ a ， b ） } ， ∴P （ A ） = 7 10 ， 故 选 C. 6. D 【解析】 1 根算筹只能表示 1 ， 2 根算筹可以表 示 2 和 6 ， 3 根算筹可以表示 3 和 7 ， 4 根算筹可以表示 4 和 8 ， 5 根算筹可以表示 5 和 9 ， 因此 6 根算筹表示的两位数有 15 ， 19 ， 51 ， 91 ， 24 ， 28 ， 64 ， 68 ， 42 ， 82 ， 46 ， 86 ， 37 ， 33 ， 73 ， 77 共 16 个， 其中 15 ， 51 ， 24 ， 42 ， 33 共 5 个可以被 3 整除， ∴ 所求概率 P= 5 16 . 故选 D. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 甲、 乙、 丙至多有 2 种被选取的对立 事件为甲、 乙、 丙都被选取， 记此事件为 A ， 依题意所 有基本事件为 （甲， 乙， 丙）， （甲， 乙， 丁）， （甲， 乙， 戊）， （甲， 丙， 丁）， （甲， 丙， 戊）， （甲， 丁， 戊）， （乙， 丙， 丁）， （乙， 丙， 戊）， （乙， 丁， 戊）， （丙， 丁， 戊）， 共 10 种， 其中事件 A 所包含的事件数 64