5.1.4 用样本估计总体-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 * 14. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图得， 一刀宣纸有正 牌 100×0.1×4=40 （张）， 有副牌 100×0.05×4×2=40 （张）， 有废品 100×0.025×4×2=20 （张）， ∴ 该公司一刀宣纸的 利润的估计值为 40×15+40×8-20×20=520 （元）， ∴ 估计 该公司的年利润为 520 万元 . （ 2 ） 由频率分布直方图得， x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58× 0.025×4=50. 根据表中数据， 这种机器生产的一刀宣纸中有正牌 的张数估计为 100×0.682 7=68.27 （张）， 废品的张数估计为 100× （ 1-0.954 5 ） ＝4.55 （张）， 副牌的张数为 100× （ 0.954 5-0.682 7 ） =27.18 （张）， ∴ 一刀宣纸的利润为 68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14 （元）， ∴ 改进后该公司的年利润为 864.14-100= 764.14 （万元）， ∵764.14>520 ， ∴ 建议该公司购买这种 机器 . 5.1.4 用样本估计总体 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 根据频率分布直方图得 （ 0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016 ） ×10=1 ， 解得 a=0.020. （ 2 ） 由众数的概念可知， 众数是出现次数最多的数， ∴ 众数为 70+80 2 =75. ∵0.004×10+0.006×10+0.020×10=0.3 ， ∴ 前三个小矩形的面积的和为 0.3 ， 而第四个小矩形的 面积为 0.030×10=0.3 ， 0.3+0.3=0.6>0.5 ， ∴ 中位数应位于 ［ 70 ， 80 ） 内， 中位数 =70+ 0.5-0.3 0.3 ×10= 230 3 ≈76.7. 平均数为 45× （ 0.004×10 ） +55× （ 0.006×10 ） +65× （ 0.020× 10 ） +75 × （ 0.030 ×10 ） +85 × （ 0.024 ×10 ） +95 × （ 0.016 ×10 ） = 76.2. （ 3 ） 前 5 个小组的频率之和是 （ 0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024 ） ×10=0.84 ， ∴ 第 90 百分位数在第五小组 ［ 90 ， 100 ］ 内， 为 90+ 0.90-0.84 1-0.84 ×10= 375 4 =93.75. 变式训练 2 解： 把专业人士打分样本记为 x 1 ， x 2 ， …， x 8 ， 其平 均数记为 x ， 方差记为 s 2 x ； 把观众代表打分样本记为 y 1 ， y 2 ， …， y 12 ， 其平均数为 y ， 方差记为 s 2 y ； 把总体数据的 平均数记为 z ， 方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z= 8 20 ×47.4+ 12 20 ×56.2=52.68 （分）， 总样本方差为： s 2 = 1 20 8 i=1 移 （ x i -z ） 2 + 12 j=1 移 （ y j -z ） ） $ 2 = 1 20 {8 ［ s 2 x + （ x-z ） 2 ］ +12 ［ s 2 y + （ y-z ） 2 ］ } = 1 20 ×{８× ［ 3.7 2 + （ 47.4-52.68 ） 2 ］ +12× ［ 11.8 2 + （ 56.2-52.68 ） 2 ］ } =107.6 ， 总样本标准差 s≈10.37. ∴ 这名选手得分的平均数为 52.68 分， 标准差约为 10.37. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题中数据可得， 频率分布表如下： （ 2 ） 频率分布直方图如图： （ 3 ） 该月水电费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的 百分比为 0.13+0.07=0.2=20%. 随堂练习 1. B 【解析 】 根据频率分布直方图中每组的高为 频率 组距 ， 可知 m |a-b| =h ， ∴|a-b|= m h . 故选 B. 2. A 【解析】 根据题中统计图， 可知有 4 人成绩在 ［ 0 ， 20 ） 之间， 其考试分数之和为 4×10=40 ； 有 8 人成 绩在 ［ 20 ， 40 ） 之间， 其考试分数之和为 8×30=240 ； 有 10 人成绩在 ［ 40 ， 60 ） 之间 ， 其考试分数之和为 10× 50=500 ； 有 6 人成绩在 ［ 60 ， 80 ） 之间， 其考试分数之 和为 6×70=420 ； 有 2 人成绩在 ［ 80 ， 100 ） 之间， 其考 试分数之和为 2×90=180. 由此可知， 考生总人数为 4+8+ 10+6+2=30 ， 考试总成绩为 40+240+500+420+180=1 380 ， 平均数为 1 380 30 =46. 故选 A. 3. B 【解析】 在频率分布直方图中， 长方形的面积 表示其频率 . 根据所给数据， 估计该校高一年级期末数 分组 频数 频率 ［ 320 ， 380 ） 6 0.20 ［ 380 ， 440 ） 18 0.60 ［ 440 ， 500 ） 4 0.13 ［ 500 ， 560 ］ 2 0.07 合计 30 1.00 频率 组距 月水电费用 / 元 320 380 440 500 560 0.01 0.003 3 0.002 2 0.001 2 变式训练 3 答图 57 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学成绩不少于 60 分的频率为 1- （ 0.005+0.015 ） ×10=0.8 ， ∴ 对应的学生人数为 600×0.8=480. 故选 B. 4. AD 【解析】 ∵x 甲 = 26+28+29+31+31 5 =29 ， x 乙 = 28+29+30+31+32 5 =30 ， ∴x 甲 <x 乙 . 又 s 2 甲 = 9+1+0+4+4 5 = 18 5 ， s 2 乙 = 4+1+0+1+4 5 =2 ， ∴s 甲 > s 乙 . 故由样本估计总体可知 A ， D 正确 . 故选 AD. 5. B 【解析】 众数是指样本中出现频率最高的数 ， 在频率分布直方图中通常取该组区间的中点， ∴ 众数为 2+2.5 2 =2.25. 中位数是频率为 0.5 的分界点， 由频率分布 直方图， 可知前 4 组的频率和为 （ 0.08+0.16+0.30+0.44 ） ×0.5=0.49 ， 因此中位数出现在第 5 组 ， 设中位数为 x ， 则 （ x-2 ） ×0.5=0. 01 ， 解得 x=2.02 ， 故选 B. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 这 3 000 个 数 据 的 平 均 数 为 78.1×800+85×1 300+91.9×900 3 000 =85.23. 用样本平均数估计 总体平均数， 可知这 4 万个数据的平均数约为 85.23. 故 选 B. 2. C 【解析 】 由频率分布直方图得 ， 自学时间在 ［ 0.5 ， 2 ） 的频率为 （ 0.16+0.2+0.34 ） ×0.5=0.35 ， 自学时 间在 ［ 2 ， 2.5 ） 的频率为 0.52×0.5=0.26 ， ∴ 自学时间的 中位数为 2+ 0.5-0.35 0.26 ×0.5≈2.29 ， 众数为 2+2.5 2 =2.25. 故 选 C. 3. C 【解析 】 由频率分布直方图得 （ 0.005+0.010+ 0.010+0.015+a+0.025+0.005 ） ×10=1 ， 解得 a=0.030 ， 故 A 错误； 样本数据低于 130 分的频率为 1- （ 0.025+0.005 ） × 10=0.7 ， 故 B 错误； ［ 80 ， 120 ）的频率为 （ 0.005+0.010+ 0.010+0.015 ） ×10=0.4 ， ［ 120 ， 130 ） 的频率为 0.030×10= 0.3 ， ∴ 总体的中位数 （保留 1 位小数 ） 估计为 120+ 0.5-0.4 0.3 ×10≈123.3 （分 ） ， 故 C 正 确 ； 样 本 分 布 在 ［ 90 ， 100 ）的频数一定与样本分布在 ［ 100 ， 110 ）的频数 相等， 总体分布在 ［ 90 ， 100 ）的频数不一定与总体分布 在［ 100 ， 110 ）的频数相等， 故 D 错误 . 故选 C. 4. A 【解析】 利用特殊法解决 . 假设 n=2 ， 这 2 名学 生的得分分别为 150 ， 150 ， 则这 2 名学生中得分至少为 1 分的人数为 b 1 =2 ， 这 2 名学生中得分至少为 2 分的人 数为 b 2 =2 ， 这 2 名学生中得分至少为 3 分的人数为 b 3 = 2 ， …， 这 2 名学生中得分至少为 150 分的人数为 b 150 = 2 ， 即这 2 名学生中得分至少为 k （ 1≤k≤150 ） 分的人 数 b k 分别为 2 ， 2 ， …， 2 ， 2. 一共有 150 个 “ 2 ”， 从而 得 k 分的同学会被记 k 次， 所有 b k 的和恰好是所有人得 分的总和， 即 b 1 +b 2 + … +b k-1 +b k =a 1 +a 2 ， 从而 b 1 +b 2 + … +b 150 n = 2+2+2+ … +2 2 = 2×150 2 =150. b 1 +b 2 + … +b 150 150 = 2+2+2+ … +2 150 = 2×150 150 =2. 故选 A. 5. D 【解析】 由茎叶图得乙运动员得分的中位数是 17 ， 平均值为 9+14+15+17+18+19+20 7 =16. 根据甲得分的 折 线 图 确 定 被 墨 迹 污 损 的 两 个 数 字 取 值 范 围 为 ［ 13 ， 15 ］， ∴ 甲运动员得分的极差是 28-9=19 ， 甲运动 员得分有 4 8 = 1 2 的叶集中在茎 1 上， 甲运动员得分数据 比乙分散， ∴ 甲发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性 差， 甲运动员得分平均值 x 甲 > 9+12+13+13+13+20+26+28 8 >16 ， ∴D 错误 . 故选 D. 6. B 【解析】 根据茎叶图中数据的分布可得， A 班 学生的分数多集中在 ［ 70 ， 90 ］ 之间， B 班学生的分数 集中在 ［ 50 ， 80 ］ 之间， ∴x A >x B . 相对两个班级的成绩分 布来说， A 班学生的分数更加集中， B 班学生的分数更 加离散， ∴s 2 A <s 2 B . 故选 B. 7. 3 t 【解析 】 ［ 0 ， 0.5 ） 的频数为 0.08×0.5×100 =4 ， ［ 0.5 ， 1 ） 的频数为 0.16×0.5×100=8 ， ［ 1 ， 1.5 ） 的 频数为 0.3×0.5×100=15, ［ 1.5 ， 2 ） 的频数为 0.44×0.5× 100 =22 ， ［ 2 ， 2.5 ） 的 频 数 为 0.5 ×0.5 ×100 =25 ， ［ 2.5 ， 3 ） 的频数为 0.28×0.5×100=14 ， ［ 3 ， 3.5 ） 的频数 为 0.12×0.5×100=6 ， ［ 3.5 ， 4 ） 的频数为 0.08×0.5×100= 4 ， ［ 4 ， 4.5 ） 的频数为 0.04×0.5×100=2 ， 4+8+15+22+ 25+14=88 ， ∴ 前 6 组占 88% ， a 为 3 t. 8. 0.982 5 【解析】 总车次： 10+20+10=40 ， 则所有 车次的平均正点率为 10×0.97+20×0.99+10×0.98 40 =0.982 5. 9. 解： （ 1 ） 由样本数据可知， 在昼批次的 20 个样 本中有 2 个不合格品， 有 18 个合格品， 合格品的比率 为 18 20 =0.9 ， 因此昼批次合格品概率估计值为 0.9. 在夜批 次的 20 个样本中有 4 个不合格品， 有 16 个合格品， 合 格品的比率为 16 20 =0.8 ， 因此夜批次合格品概率估计值为 0.8. （ 2 ） 昼批次合格品的概率为 0.9 ， 不合格品的概率 为 0.1 ， ∴1 000 件产品中合格品的均值为 900 件， 不合 格品的均值为 100 件 ， ∴ 利润为 900×10-100×5=8 500 （元）； 夜批次合格品的概率为 0.8 ， 不合格品的概率为 0.2 ， ∴1 000 件产品中合格品的均值为 800 件， 不合格 品的均值为 200 件 ， ∴ 利润为 800×10-200×5=7 000 58 参 考 答 案 （元） . ∴ 这台车床一天的总利润的平均值为 8 500+7 000= 15 500 （元） . 10. 解： （ 1 ） 根据频率和为 1 ， 得 2× （ 0.02+0.095+ 0.11+0.125+x+0.05+0.025 ） =1 ， 解得 x=0.075 ； 由图可知， 最高矩形的数据组为 ［ 6 ， 8 ）， ∴ 众数为 1 2 × （ 6+8 ） =7. （ 2 ） ［ 0 ， 6 ） 内的频率之和为 （ 0.02+0.095+0.11 ） ×2=0.45 ； 设中位数为 y ， 则 0.45+ （ y-6 ） ×0.125=0.5 ， 解 得 y=6.4 ， ∴ 中位数为 6.4 ； 平均数为 2× （ １×0.02+3× 0.095+5×0.11+7×0.125+9×0.075+11×0.05+13×0.025 ） =6.56. （ 3 ） 月平均用电量为 ［ 10 ， 12 ） 的用户在四组用户 中所占的比例为 0.05 0.125+0.075+0.05+0.025 = 2 11 ， ∴ 月平均 用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户中应抽取 11× 2 11 =2 （户） . （ 4 ） 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户中应抽取 11× 1 11 =1 （户）， 月平均用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户设为 A ， B ， 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户设为 C ， 从 ［ 10 ， 12 ）， ［ 12 ， 14 ） 这两组中随机抽取 2 户共有 AB ， AC ， BC 三种情况， 其中， 抽取的 2 户不是来自同一个 组的有 AC ， BC 两种情况， ∴ 抽取的 2 户不是来自同一 个组的概率为 2 3 . 提升练习 11. ABC 【解析】 由柱形图可知， 2010 — 2018 年的 CPI 均大于 100 ， 说明其中每一年的居民消费价格都大 于前一年的居民消费价格， ∴2010 — 2018 年居民消费价 格总体呈增长趋势是正确的， 故 A 正确； 由柱形图可知， 2010 年的居民消费价格的增长率为 3.02% ， 2011 年的居民消费价格的增长率为 5.62% ， 都 超过了 3% ， 故 B 正确； 2009 年的 CPI 的值小于 100 ， 说明当年的居民消费 价格低于 2008 年的居民消费价格， ∴2009 年的居民消 费价格出现负增长是正确的， 故 C 正确； 由柱形图可知， 2011 年的居民消费价格的增长率最 高 ， 从 2010 — 2018 年每年的居民消费价格都在增长 ， ∴2018 年的居民消费价格才是最高的， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. BC 【解析 】 车速在 ［ 70 ， 75 ） 的频率为 1- （ 0.01+0.02+0.06+0.05+0.02 ） ×5=0.2 ， 故 A 错误； ∵ （ 0.01+0.02 ） ×5×n=45 ， ∴n=300 ， ∴ 车速超过 80 km/h 的车辆数为 （ 0.05+0.02 ） ×5×300=105 ， 故 B 正确； ∵ ［ 75 ， 80 ） 这一组数据的频率最大， ∴ 估计众数 为 77.5 ， 故 C 正确； ∵ （ 0.01+0.02+0.04 ） ×5=0.35<0.5 ， （ 0.01+0.02+0.04+ 0.06 ） ×5=0.65>0.5 ， ∴ 中位数在区间 ［ 75 ， 80 ） 内， ∴ 该 样本的中位数为 75+ 0.15 0.3 ×5=77.5 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 13. 4 【解析】 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 = （ x 1 -x ） 2 + （ x 2 -x ） 2 + … + （ x n -x ） 2 n = （x 2 1 -2x 1 x+x 2 ） + （x 2 2 -2x 2 x+x 2 ） + … + （x 2 n -2x n x+x 2 ） n = （x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 n ） -2x （x 1 +x 1 + … +x n ） +nx 2 n = 1 n n i=1 移 x 2 i - 2x · nx n +x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -1.6 2 =1.44 ， ∴ 1 n n i=1 移 x 2 i =1.6 2 +1.44=4. 14. ②③ 【解析】 不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故 ① 错误； 因为甲、 乙两校男生成绩的优秀率均大于女生成绩 的优秀率， 故甲、 乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、 乙两校所有女生成绩的优秀率， 故 ② 正确； 因为不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故不能确定 甲校学生成绩的优秀率与甲、 乙两校所有学生成绩的优 秀率的大小关系， 故 ③ 正确 . 15. 解： （ 1 ） 由题意得 （ a+0.04+0.085+0.11+0.125+ b+a+0.01+0.01 ） ×2=1 ， 即 b+2a=0.12. 又 ∵b=2a ， ∴a=0.03 ， b=0.06. （ 2 ） ∵ 前三组的频率之和为 0.31 ， 前四组的频率之 和为 0.53 ， ∴ 中位数 x∈ ［ 6 ， 8 ）， ∴ （ x-6 ） ×0.11+0.31=0.5 ， 即 x= 0.19 0.11 +6≈7.7 ， 即中位数的估计值为 7.7. （ 3 ） 这周课外阅读时间为 ［ 0 ， 6 ） ， ［ 6 ， 10 ） ， ［ 10 ， 14 ）， ［ １４ ， 18 ］ 的频率分别为 0.31 ， 0.47 ， 0.18 ， 0.04. ∴ 各组的人数分别为 31 ， 47 ， 18 ， 4. 一共奖励这 100 名学生笔记本的数量为 47+18×2+4× 3=95. 5.2 概 率 5.2.1 样本空间与事件 学习手册 变式训练 1 解： 由题意知 ① 中事件可能发生， 也可能不发生， 所以是随机事件； ② 中事件一定会发生， 是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是 1 ， 两次朝上面的数字之 和最小是 2 ， 不可能小于 2 ， 所以 ③ 中事件不可能发生， 是不可能事件 . 59 第五章 统计与概率 学 学 习 目 标 1． 会利用样本的众数、 中位数、 平均 数、 方差估计总体的众数、 中位数、 平均 数、 方差 . 2. 能通过样本的频率分布表或频率分布 直方图对数据作出总体估计 . 3. 通过样本和总体的关系， 体会部分和 整体的辩证统一的关系， 体会统计在生产和 生活中的应用 . 要 点 精 析 要点 1 用样本的数字特征估计总体的 数字特征 众数、 中位数、 平均数与频率分布表、 频率分布直方图的关系： （ 1 ） 众数： 众数一般用频率分布表中频 率最高的一小组的组中值来表示， 即在样本 数据的频率分布直方图中， 最高矩形的底边 中点的横坐标 . （ 2 ） 中位数： 在频率分布表中， 中位数 是累计频率 （样本数据小于某一数值的频率 称为该数值点的累计频率） 为 0.5 时所对应 的样本数据的值， 而在样本中有 50% 的个体 小于或等于中位数， 也有 50% 的个体大于或 等于中位数 . 因此在频率分布直方图中， 中 位数左边和右边的直方图的面积应该相等 . （ 3 ） 平均数： 平均数在频率分布直方图 中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩 形的面积的乘积之和 . 思考 如何根据频率分布直方图求样 本中位数？ 例 1 某校从参加高二年级学业水平测 试的学生中抽出 80 名学生， 其数学成绩 （均 为整数） 的频率分布直方图如图 5-1-8 所示 . （ 1 ） 求这次测试数学成绩的众数； （ 2 ） 求这次测试数学成绩的中位数； （ 3 ） 求这次测试数学成绩的平均分； （ 4 ） 试估计 80 分以上的学生人数 . 分析 本题利用频率分布直方图估计 总体的数字特征 . 解： （ 1 ） 由图知众数为 70+80 2 ＝75. （ 2 ） 由图知， 设中位数为 x ， 由于前三 个矩形面积之和为 0.4 ， 第四个矩形面积为 0.3 ， 0.3＋0.4＞0.5 ， 因此中位数位于第四个矩 形内， 得 0.1＝0.03 （ x－70 ）， ∴x≈73.3. （ 3 ） 由图知这次数学成绩的平均分为 40+50 2 ×0.005×10＋ 50+60 2 ×0.015×10＋ 60+70 2 × 0.02×10＋ 70+80 2 ×0.03×10＋ 80+90 2 ×0.025×10＋ 90+100 2 ×0.005×10＝72. （ 4 ） ［ 80 ， 90 ） 分的频率为 0.025×10＝ 0.25 ， 频数为 0.25×80＝20. ［ 90 ， 100 ］ 分的 5.1.4 用样本估计总体 分数 频率 组距 40 50 60 70 80 90 100 0.030 0.025 0.020 0.015 0.005 0 图 5-1-8 45 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 频率为 0.005×10＝0.05 ， 频数为 0.05×80＝4. ∴ 估计 80 分以上的学生人数为 20＋4＝24. 变式训练 1 为增进全体党员干部职工对党史的了 解， 某单位组织开展党史知识竞赛活动， 以 支部为单位参加比赛 . 现把 50 名党员的成绩 绘制了频率分布直方图如图 5-1-9 ， 根据图 中数据回答下列问题： （ 1 ） 求 a 的值； （ 2 ） 求这 50 名党员成绩的众数、 中位 数及平均数； （ 3 ） 试估计此样本数据的第 90 百分位数 . 要点 2 用样本的分布估计总体的分布 （ 1 ） 用分层抽样下样本的数字特征估计 总体的数字特征： 以分两层抽样的情况为例 . 假设第一层 有 m 个数， 分别为 x 1 ， x 2 ， …， x m ， 平均数 为 x ， 方差为 s 2 ； 第二层有 n 个数， 分别为 y 1 ， y 2 ， …， y n ， 平均数为 y ， 方差为 t 2 . 如果 记样本均值为 a ， 样本方差为 b 2 ， 则可以计 算出： a= 1 m+n m i=1 移 x i + n i=1 移 y i i # = mx+ny m+n ， b 2 = m ［ s 2 + （ x-a ） 2 ］ +n ［ t 2 + （ y-a ） 2 ］ m+n = 1 m+n （ ms 2 +nt 2 ） + mn m+n （ x-y ） ） % 2 . （ 2 ） 样本分布与总体分布的关系： ① 在简单随机抽样中， 我们常用样本分 布特征去估计总体分布特征 . ② 一般情况下， 如果样本的容量恰当， 抽样方法又合理的话， 样本的特征能够反映 总体的特征 . 特别地， 样本平均数 （也称为 样本均值）、 方差 （也称为样本方差） 与总 体对应的值相差不会太大 . 思考 能否举出一个生活中 “用样本 估计总体” 的具体事例？ 例 2 考查某中学的学生身高时， 采用 分层抽样的方法， 得到了男生身高的平均数 为 170 ， 方差为 16 ； 女生身高的平均数为 165 ， 方差为 25. 如果知道抽取的样本中 ， 男生有 20 人， 女生有 15 人， 估计总体的平 均数与方差 . 分析 本题利用分层抽样下样本的数 字特征估计总体的数字特征公式即可计算 . 解： 代入公式可以算出， 总体的平均数 可以估计为 167.86 ， 总体的方差可以估计为 25.98. 变式训练 2 在一次文艺比赛中， 8 名专业人士和 12 名观众代表各组成一个评判小组， 给参赛选 手打分 ． 在给某选手的打分中， 专业人士打 40 50 60 70 80 90 100 成绩 / 分 频率 组距 0.030 0.024 0.016 0.006 0.004 a 0 图 5-1-9 46 第五章 统计与概率 学 分的平均数和标准差分别为 47.4 和 3.7 ， 观 众代表打分的平均数和标准差分别为 56.2 和 11.8 ， 试根据这些数据计算这名选手得分 的平均数和标准差 ． 例 3 某市 2020 年 4 月 1 日至 30 日对 空气污染指数的监测数据如下 （主要污染物 为可吸入颗粒物） : 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （ 1 ） 完成频率分布表； （ 2 ） 作出频率分布直方图； （ 3 ） 根据国家标准， 污染指数在 0~50 之间时， 空气质量为优； 在 51~100 之间时， 空气质量为良； 在 101~150 之间时， 空气质 量为轻微污染； 在 151~200 之间时， 空气质 量为轻度污染 . 请你依据所给数据和上述标 准， 对该市的空气质量给出一个简短评价 . 分析 列出频率分布表， 进而画出频 率分布直方图， 通过直方图对本月污染天 数进行估计 . 解： （ 1 ） 频率分布表 （ 2 ） 频率分布直方图 （ 3 ） 答对下述两条中的一条即可： ① 该 市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水 平， 占当月天数的 1 15 ； 有 26 天处于良的水 平， 占当月天数的 13 15 ； 处于优或良的天数共 有 28 天， 占当月天数的 14 15 . 说明该市空气 质量基本良好 . ② 轻微污染有 2 天， 占当 月天数的 1 15 . 污染指数在 80 以上的接近轻 微污染的天数有 15 天， 加上处于轻微污染 的天数， 共有 17 天， 占当月天数的 17 30 ， 超 过 50%. 说明该市空气质量有待进一步改善 . 变式训练 3 抽样调查 30 个家庭某月的水电费用 ， 得到如下数据 （单位： 元）： 404 ４４４ ５５６ ４３0 ３80 ４２0 ５00 ４３0 ４２0 ３8４ ４２0 ４0４ ４２４ ３４0 ４２４ ４１２ ３88 ４7２ ３５8 ４7６ ３7６ ３9６ ４２8 ４４４ ３６６ ４３６ ３６４ ４３8 ３３0 ４２６ （ 1 ） 取组距为 60 ， 起点为 320 ， 列出样 本的频率分布表； （ 2 ） 画出频率分布直方图； 分组 频数 频率 分组 频数 频率 ［ 41 ， 51 ） 2 2 30 ［ 81 ， 91 ） 10 10 30 ［ 51 ， 61 ） 1 1 30 ［ 91 ， 101 ） 5 5 30 ［ 61 ， 71 ） 4 4 30 ［ 101 ， 111 ） 2 2 30 ［ 71 ， 81 ） 6 6 30 图 5-1-10 频率 组距 1 30 41 51 61 71 81 91 101 111 空气污染指数 1 60 0 47 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 3 ） 根据频率分布直方图估计该月水电 费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的百分比 . 反思感悟 1. 样本平均数与总体平均数的关系： （ 1 ） 在简单随机抽样中， 我们常用样 本平均数 y 去估计总体平均数 Y. （ 2 ） 一般地， 大部分样本平均数离总 体平均数不远， 在总体平均数附近波动 ． 样 本量越大， 波动幅度越小 ． 2. 计算样本平均数、 样本方差直接利 用公式， 在按比例分配分层随机抽样中， 我们可以用样本平均数和样本方差估计总 体平均数和总体方差 . 3. 众数、 中位数分别是频率分布直方 图中最高的小矩形的中间值、 累计频率为 0.5 时所对应的样本数据的值， 平均数为每 个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面 积的乘积之和 ． 数 学 文 化 例 解放战争中， 国民党军队拥有过多 辆各型坦克， 编成了 1 个装甲兵团 （师级编 制） . 我军为了知道这个装甲兵团的各型坦克 的数量， 采用了两种方法： 一种是传统的情 报收集， 一种是用统计学的方法进行估计 . 统计学的方法最后被证实比传统的情报收集 更精确 . 这个装甲兵团对各型坦克从 1 开始 进行了连续编号， 在解放战争期间我军把缴 获的这些坦克的编号进行记录并计算出这些 编号的平均值为 112.5 ， 假设缴获的坦克代 表了所有坦克的一个随机样本， 则利用你所 学过的统计知识估计这个装甲兵团的各型坦 克的数量有 . 分析 本题考查用样本估计总体 . 解 ： 由题意 ， 得 1+2+ … +n n =112.5 ， 解 得 n=224. 48