5.1.3 数据的直观表示-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 通过具体实例， 掌握常用的统计图表 的功能及其特点 . 2. 能根据实际问题的特点， 选择恰当的 统计图表对数据进行可视化描述， 体会合理 使用数据图表的重要性 . 3. 正确运用图表解决问题， 培养学生数 据分析和直观想象的核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 柱形图、 折线图、 扇形图、 茎 叶图的应用 （ 1 ） 柱形图： 也称为条形图， 可以形象 地比较各种数据之间的数量关系 . 一般地， 柱形图中， 一条轴上显示的是所关注的数据 类型， 另一条轴上对应的是数量、 个数或者 比例， 柱形图中每一矩形都是等宽的 . （ 2 ） 折线图： 一般地， 如果数据是随时 间变化的， 想了解数据的变化情况， 可将数 据用折线图来表示 . （ 3 ） 扇形图： 也称为饼形图， 可以形象 地表示出各部分数据在全部数据中所占的 比例情况 . 扇形图中， 每一个扇形的圆心角 以及弧长， 都与这一部分表示的数据大小 成正比 . （ 4 ） 茎叶图： 茎叶图中， 所有的茎都竖 直排列， 而叶沿水平方向排列 . 思考 茎叶图的优缺点各是什么？ 例 1 某城市为了了解游客人数的变化规 律， 提高旅游服务质量， 收集并整理了 2018 年 1 月至 2020 年 12 月期间月接待游客量 （单 位： 万人） 的数据， 绘制了如图 5-1-1 所示的 折线图 . 根据该折线图， 下列结论错误的是 （ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7 ， 8 月 D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相 对于 7 月至 12 月， 波动性更小， 变化比较 平稳 分析 本题通过观察折线图， 可以判 断选项正误 . 解析： 由图易知月接待游客量每年 7 ， 8 月明显高于 12 月， 故 A 错误； 观察折线图 的变化趋势可知年接待游客量逐年增加， 故 B 正确； 对于选项 C ， D ， 由图可知显然正 确 . 故选 A. 变式训练 1 AQI 即空气质量指数， AQI 越小， 表明 空气质量越好， 当 AQI 不大于 100 时称空气 质量为 “优良” . 如图 5-1-2 是某市 3 月 1 日 到 12 日 AQI 的统计数据 . 则下列叙述正确 5.1.3 数据的直观表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 45 40 35 30 25 0 2018 年 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121 2 3 4 5 6 7 8 9101112 2019 年 2020 年 月接待游客量 / 万人 图 5-1-1 40 第五章 统计与概率 学 的是 （ ） A． 这 12 天的 AQI 的中位数是 90 B． 12 天中超过 7 天空气质量为 “优良” C． 从 3 月 4 日到 9 日， 空气质量越来 越好 D． 这 12 天的 AQI 的平均值为 100 例 2 给出如图 5-1-3 所示的三幅统计 图及四个命题： ① 从折线图能看出世界人口的变化情 况； ②2050 年非洲人口将达到大约 15 亿； ③2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和 还要多； ④ 从 1957 年到 2050 年各洲中北美 洲人口增长速度最慢 . 其中命题正确的有 （ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 分析 本题考查柱状图、 扇形图、 折 线图的观察与分析 . 解析： 从折线图中能看出世界人口的变 化情况， 故 ① 正确； 从条形图中可得到 2050 年非洲人口大约将达到 18 亿， 故 ② 错误； 从 扇形图中能够明显地得到结论： 2050 年亚洲 人口比其他各洲人口的总和还要多， 故 ③ 正 确； 由题中三幅统计图并不能得出从 1957 年 到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢， 故 ④ 错误 . 因此正确的命题有 ①③. 故选 B. 例 3 如图 5-1-4 是甲、 乙两位同学在 六次数学小测试 （满分 100 分） 中得分情况 的茎叶图， 则下列说法错误的是 （ ） A. 甲得分的平均数比乙大 B. 甲得分的极差比乙大 C. 甲得分的方差比乙小 D. 甲得分的中位数和乙相等 分析 本题通过对茎叶图的观察得到 数据， 进一步计算数字特征即可判断大小 . 解析： 对于甲， x 1 = 79+88+82+82+93+91 6 8 日 9 日 1 0 日 1 1 日 1 2 日 7 日 6 日 5 日 4 日 3 日 2 日 1 日 日期 AQI 250 200 150 100 50 0 201 111 138 144 104 95 85 77 67 72 92 135 图 5-1-2 人口 / 亿 年份 1957 1974 1987 1999 2025 2050 100 80 60 40 20 世界人口变化情况统计图 欧洲 非洲 北美洲 亚洲南美洲 及 大洋洲 60 50 40 30 20 10 0 人口 / 亿 图 5-1-3 2050 年世界人口预测图 欧洲 非洲 亚洲 北美洲 南美洲及 大洋洲 2050 年世界人口分布预测图 甲 乙 9 7 2 4 2 2 8 8 1 9 1 3 9 6 9 图 5-1-4 41 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ≈85.8 ； 对于乙， x 2 = 72+74+81+89+96+99 6 ≈ 85.2 ， A 正确； 甲的极差为 93-79=14 ， 乙的 极差为 99-72=27 ， 故 B 错误； 对于甲， 方 差 s 2 1 ≈26.5 ， 对于乙， 方差 s 2 2 ≈106.5 ， 故 C 正确； 甲得分的中位数为 82+88 2 =85 ， 乙得 分的中位数为 81+89 2 =85 ， 故 D 正确 . 故选 B. 变式训练 2 高三 （ 2 ） 班在一次数学考试中， 对甲、 乙两组各 12 名同学的成绩进行统计分析， 两组成绩的茎叶图如图 5-1-5 所示， 成绩不 少于 90 分为及格， 现从两组成绩中按分层 抽样抽取一个容量为 6 的样本， 则不及格分 数应抽 个 ． 反思感悟 1. 柱形图是用一个单位长 度表示一定的数量， 根据数量的多少画成 高度不同的小矩形， 然后把这些小矩形按 照一定的顺序排列起来 . 其特点是便于看出 和比较各种数量的多少， 即柱形图能清楚 地表示出每个项目的具体数目 . 2. 在绘制折线图时， 可以先整理和观 察数据统计表， 然后建立平面直角坐标系， 描出与数据相对应的点， 再顺次连接相邻 的点， 就得到折线图 . 特别注意， 画折线图 时， 横轴、 纵轴表示的实际含义要标明确 . 3. 扇形图是用整个圆面积表示总数 100% ， 用圆内的扇形面积表示各部分所占 总数的百分数 . 4. （ 1 ） 画茎叶图时， 用中间的数表示 数据的十位和百位数， 两边的数分别表示 两组数据的个位数 . 要先确定中间的数取数 据的哪几位， 填写数据时边读边填 . 比较数 据时从数据分布的对称性、 中位数、 稳定 性等几方面来比较 . （ 2 ） 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶， 一般地说数据是两位数时， 十位数字为 “茎”， 个位数字为 “叶”； 如果是小数的， 通常把整 数部分作为 “茎”， 小数部分作为 “叶”， 解题 时要根据数据的特点合理选择茎和叶 . 要点 2 频率分布直方图的应用 频数分布直方图的纵坐标是频数， 每一 组数对应的矩形高度与频数成正比； 频率分 布直方图的纵坐标是 频率 组距 ， 每一组数对应 的矩形高度与频率成正比， 而且每个矩形的 面积等于这一组数对应的频率， 从而可知频 率分布直方图中， 所有矩形的面积之和为 1. 例 4 为了了解某校九年级 1 600 名学 生的体能情况， 随机抽查了部分学生， 测试 其 1 min 仰卧起坐的成绩 （次数）， 将数据 整理后绘制成如图 5-1-6 所示的频率分布直 方图， 根据直方图的数据， 下列结论错误的 是 （ ） 甲 乙 2 5 7 7 8 9 3 6 8 8 6 7 8 9 2 4 9 1 2 3 5 6 8 10 1 4 6 11 0 图 5-1-5 频率 组距 次数 15 20 25 30 35 0.08 0.06 0.04 0.02 0 图 5-1-6 42 第五章 统计与概率 学 A. 该校九年级学生 1 min 仰卧起坐的次 数的中位数为 26.25 B. 该校九年级学生 1 min 仰卧起坐的次 数的众数为 27.5 C. 该校九年级学生 1 min 仰卧起坐的次 数超过 30 次的约有 320 人 D. 该校九年级学生 1 min 仰卧起坐的次 数少于 20 次的约有 32 人 分析 本题利用频率分布直方图估计 数字特征 . 解析： 频率分布直方图中， 中位数是频 率为 0.5 的分界点的横坐标， 由频率分布直 方图可知前 2 组的频率和为 （ 0.02+0.06 ） ×5= 0.4 ， 因此中位数出现在第 3 组 . 设中位数为 x ， 则（ x-25 ） ×0.08=0.1 ， x=26.25 ， ∴A 正确； 众数是指样本中出现频率最高的数， 在频率 分布直方图中通常取纵坐标最高的一组区间 的中点， ∴ 众数为 25+30 2 =27.5 ， ∴B 正确 ； 仰卧起坐次数超过 30 次的频率为 0.04×5= 0.2 ， ∴ 频数为 1 600×0.2=320 （人）， ∴C 正 确； 仰卧起坐的次数少于 20 次的人数约有 0.02×5×1 600=160 （人）， ∴D 错误 . 故选 D. 变式训练 3 某车站在春运期间为了了解旅客购票情 况， 随机抽样调查了 100 名旅客从开始在售 票窗口排队到购到车票所用的时间 t （以下 简称为购票用时， 单位为 min ）， 下面是这 次调查统计分析得到的频率分布表和频率分 布直方图： 解答下列问题： （ 1 ） 这次抽样的样本容量是多少？ （ 2 ） 在表中填写出缺失的数据并补全频 率分布直方图 . （ 3 ） 旅客购票用时的平均数可能落在哪 一组？ 分组 频数 频率 一组 0≤t<5 0 0 二组 5≤t<10 10 0.10 三组 10≤t<15 10 ② 四组 15≤t<20 ① 0.50 五组 20≤t≤25 30 0.30 合计 0≤t≤25 100 1.00 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 0 图 5-1-7 43 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 数 学 文 化 例 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次 ， 整理数据得到下表 （单 位： 天）： （ 1 ） 分别估计该市一天的空气质量等级 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的概率； （ 2 ） 求一天中到该公园锻炼的平均人次 的估计值 （同一组中的数据用该区间的中点 值为代表） 分析 本题可以用频率估计概率， 用 样本的数据特征估算一天中到该公园锻炼 的平均人次 . 解： （ 1 ） 该市一天的空气质量等级为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的概率估计值如下表： （ 2 ） 一天中到该公园锻炼的平均人次的 估计值为 1 100 × （ 100×20+300×35+500×45 ） = 350. ［ 0 ， 200 ］ （ 200 ， 400 ］ （ 400 ， 600 ］ 1 （优） 2 16 25 2 （良） 5 10 12 3 （轻度污染） 6 7 8 4 （中度污染） 7 2 0 锻炼人次 空气 质量等级 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 44 参 考 答 案 ∴ 全班同学成绩的方差是 s 2 = 1 45 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -45×78 2 ］ = 1 45 × ［（ 121 545+ 155 700 ） -273 780 ］ =77. （ 3 ） 能 . 若后 30 名中有人不及格， 设该同学为 b 30 ， 则 b 30 ≤59 ， 该同学比平均分低至少 13 分， 那么其他同 学比平均分高出的分数至少有 13 分， ∴ （ b 1 -72 ） 2 + … + （ b 30 -72 ） 2 ≥13+169=182 ， 而 （ b 1 -72 ） 2 + （ b 2 -72 ） 2 + … + （ b 30 - 72 ） 2 =180 ， 182>180 ， 矛盾， ∴ 必定全部及格 . 5.1.3 数据的直观表示 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95+104 2 = 99.5 ， 故 A 错误； 这 12 天中， 空气质量为 “优良” 的 有 95 ， 85 ， 77 ， 67 ， 72 ， 92 共 6 天， 故 B 错误； 从 4 日到 9 日， 空气质量越来越好， 故 C 正确； 这 12 天的 AQI 的平均值为 110 ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 3 【解析】 由茎叶图知， 甲、 乙两组共 24 名同学中， 成绩不及格的有 12 人， 分层抽样的抽取比例为 6 24 = 1 4 ， ∴ 不及格的分数应抽取 1 4 ×１２=3 （个） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 样本容量是 100. （ 2 ） ①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示 . （ 3 ） 设旅客平均购票用时为 t min ， 则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 100 ≤t< 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 100 ， 即 15≤t<20 ， ∴ 旅客购票用时的平均数可能落在第 四组 . 随堂练习 1. B 【解析】 由题意知去掉一个最高分和一个最低 分以后， 两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲 和乙的平均分为 a 1 = 1+4+5×3 5 +80=84 ， a 2 = 7+6+4×3 5 +80= 85 ， 故有 a 2 >a 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意 ， 初中部女教师人数为 110× 70%=77 （人）， 高中部女教师人数为 150×40%=60 （人）， 总共有 77+60=137 （人） . 故选 C. 3. C 【解析】 由频率分布直方图得， 第一组、 第二 组的频率为 5×0.02+5×0.04=0.3 ， 第三组的频率为 5× 0.08=0.4 ， ∴ 中位数落在第三组并设为 x ， 则有 （ x-20 ） × 0.08=0.2 ， 解得 x=22.5. 故选 C. 4. n m x 【解析】 由图可得 n=5 ， m=5.5 ， x>5.5 ， ∴n<m<x. 5. A 【解析 】 成绩落在小于 17 s 的频率为 0.34+ 0.36+0.18+0.02=0.90 ， ∴x=0.9 ； 成绩落在大于等于 15 s 且小于 17 s 的频率为 0.34+0.36=0.70 ， ∴ 对应的人数为 50×0.70=35. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 在 ① 中， 1 月至 8 月空气质量合格天数 超过 20 天的月份有 1 月、 2 月、 6 月、 7 月、 8 月， 共 5 个， 故 ① 正确； 在 ② 中， 第一季度合格天数的比重为 22+26+19 31+29+31 ≈0.736 3 ； 第 二 季 度 合 格 天 数 的 比 重 为 19+13+25 30+31+30 ≈0.626 4 ， ∴ 第二季度与第一季度相比， 空气 合格天数的比重下降了， ∴② 是正确的； 在 ③ 中， 8 月空 气质量合格天数达到 30 天， 是空气质量最好的一个月， ∴③ 是正确的； 在 ④ 中， 5 月空气质量合格天数只有 13 天， 5 月的空气质量最差， ∴④ 是错误的 . 故选 A. 2. D 【解析 】 易得他们健身前后 ， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占比均为 40% ， 故 A 正确； 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 50％- ３０％＝２0％ ， 即 ２0×20%=4 （人）， 故 B 正确； 因为健身后 体重在区间 ［ 80 kg ， 90 kg ） 内的人数占 30% ， ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占 40% ， 故中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） ， 故 C 正 确 ； 易 举 出 反 例 ， 若 原 体 重 在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者重量为 110 kg ， 减肥后为 109 kg 依然满足， 故 D 错误 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意可知， 成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内 的人数为 1 000×10× （ 0.020+0.010 ） =300 （人） . 故选 B. 4. D 【解析】 设 2020 年该校参加高考的人数为 S ， 则 2023 年该校参加高考的人数为 1.5S. 2020 年一本达线 人数为 0.28S ， 2023 年一本达线人数为 0.24×1.5S=0.36S ， 可见一本达线人数增加了， 故 A 错误； 2020 年二本达线 人数为 0.32S ， 2023 年二本达线人数为 0.4×1.5S=0.6S ， 变式训练 3 答图 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 O 55 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 显然 2023 年二本达线人数不是增加了 0.5 倍， 故 B 错 误； 2020 年和 2023 年， 艺体达线率没变， 但是人数是 不相同的 ， 故 C 错误 ； 2020 年不上线人数为 0.32S ， 2023 年不上线人数为 0.28×1.5S=0.42S ， 不达线人数有所 增加， 故 D 正确 . 故选 D. 5. 1 234 【解析】 由需求率柱形图， 可求得需求面积 在 100~140 的需求率为 49.5%+12.2%=61.7%. ∴ 所求客 户数 n=2 000×61.7%=1 234. 6. ③ 【解 析 】 由 柱 形 图 易 知 甲 的 平 均 数 x 甲 = 4+5+6+7+8 5 =6 ， 中位数为 ６ ， 方差 s 2 甲 = （ -2 ） 2 + （ -1 ） 2 +0 2 +1 2 +2 2 5 =2 ， 极差为 8-4=4 ； 乙的平均数 x 乙 = 3×5+6+9 5 = 30 5 =6 ， 中位数为 5 ， 方差 s 2 乙 = 3× （ 6-5 ） 2 + （ 6-6 ） 2 + （ 6-9 ） 2 5 = 3+0+9 5 >2 ， 极差为 9-5=4 ， 故 x 甲 =x 乙 ， 甲、 乙成绩的中位数不 相等且 s 2 乙 >s 2 甲 ， 甲、 乙成绩的极差相等 . 7. 14 不合理 【解析】 由直方图可知： 这一天上网 学习时间在 100~119 min 之间的学生人数的频率为 0.35 ， 则人数为 40×0.35=14 （人）； “ 40 名学生” 这个样本相 对于 “该校高一年级全体学生” 这个总体数据太小， 不 具有代表性， ∴ 如果只用这 40 名学生这一天上网学习时 间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天上网学习 时间， 这样的推断是不合理的 . 8. 0.82 【解析】 先考虑进行换算前 36 分以上 （含 36 分） 的学生的频率， 该频率为 1-0.015×12=0.82 ， 换算 后， 原来 36 分以上 （含 36 分） 的学生都算及格， 故这 次测试的及格率将变为 0.82. 9. 解： （ 1 ） 依图可得 （ 2a+3a+7a+6a+2a ） ×10=1 ， 解 得 a=0.005. （ 2 ） 根据题意得 （ 55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95× 2a ） ×10=76.5. （ 3 ） 由图可知， ［ 50 ， 60 ）， ［ 60 ， 70 ）， ［ 70 ， 80 ）， ［ 80 ， 90 ）， ［ 90 ， 100 ］ 对应频率分别为 0.1 ， 0.15 ， 0.35 ， 0.3 ， 0.1 ， 前两组频率之和恰为 0.25 ， 故第一四分位数为 70.0. 前三组频率之和为 0.6 ， 前四组频率之和为 0.9 ， ∴ 第 80 百分位数在第四组 . 设第 80 百分位数为 x ， 则 0.6+ （ x-80 ） ×10×0.03=0.8 ， 解得 x≈86.7. 提升练习 10. BC 【解析】 样本中支出在 ［ 50 ， 60 ） 元的频率 为 1- （ 0.01+0.024+0.036 ） ×10=0.3 ， 故 A 错误； 样本中支出不少于 40 元的人数为 0.036 0.03 ×60+60=132 ， 故 B 正确； n= 60 0.3 =200 ， 故 C 正确； 若该校有 2 000 名学生， 则可能有 0.3×2 000=600 人 支出在 ［ 50 ， 60 ） 元， 故 D 错误 . 故选 BC. 11. ABC 【解析】 甲成绩的平均数 x 甲 = 1 9 × （ 68+74+ 77+83+83+89+84+92+93 ） = 743 9 ， 乙成绩的平均数 x 乙 = 1 9 × （ 64+66+74+76+85+87+98+ 98+95 ） = 743 9 ， 故 A 正确； 由茎叶图知甲成绩的中位数 是 83 ， 乙成绩的中位数是 85 ， 故 B 正确； 由茎叶图知 甲的数据相对集中， 乙的数据相对分散， 故甲的各科成 绩比乙的各科成绩稳定， 故 C 正确； 甲成绩的众数是 83 ， 乙成绩的众数是 98 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. 解： （ 1 ） ∵ 各小组的频率之和为 1.00 ， 第一、 三、 四、 五小组的频率分别是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， ∴ 第二小组的频率为 1.00- （ 0.30+0.15+0.10+0.05 ） = 0.40 ， ∴ 落在 59.5~69.5 的第二小组的小长方形的高 = 频率 组距 = 0.40 10 =0.04 ， 则补全的频率分布直方图如图所示 . （ 2 ） 设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人， ∵ 第 二小组的频数为 40 人， 频率为 0.40 ， ∴ 40 x =0.40 ， 解得 x=100 ， ∴ 这两个班参赛的学生人数为 100 人 . （ 3 ） ∵0.3×100=30 ， 0.4×100=40 ， 0.15×100=15 ， 0.10 ×100=10 ， 0.05×100=5 ， 即第一、 二、 三、 四、 五小组的 频数分别为 30 ， 40 ， 15 ， 10 ， 5 ， ∴ 九年级两个班参赛 学生的成绩的中位数应落在第二小组内 . 13. AC 【解析】 从折线图能看出世界人口的变化情 况， 故 A 正确； 从柱形图中可得到， 2050 年非洲人口 大约将达到 17 亿， 故 B 错误； 从扇形图中能够明显地 得到结论： 2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要 多， 故 C 正确； 由题中三幅图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢 ， 故 D 错误 ． 故选 AC. 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 分数 0 第 12 题答图 56 参 考 答 案 * 14. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图得， 一刀宣纸有正 牌 100×0.1×4=40 （张）， 有副牌 100×0.05×4×2=40 （张）， 有废品 100×0.025×4×2=20 （张）， ∴ 该公司一刀宣纸的 利润的估计值为 40×15+40×8-20×20=520 （元）， ∴ 估计 该公司的年利润为 520 万元 . （ 2 ） 由频率分布直方图得， x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58× 0.025×4=50. 根据表中数据， 这种机器生产的一刀宣纸中有正牌 的张数估计为 100×0.682 7=68.27 （张）， 废品的张数估计为 100× （ 1-0.954 5 ） ＝4.55 （张）， 副牌的张数为 100× （ 0.954 5-0.682 7 ） =27.18 （张）， ∴ 一刀宣纸的利润为 68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14 （元）， ∴ 改进后该公司的年利润为 864.14-100= 764.14 （万元）， ∵764.14>520 ， ∴ 建议该公司购买这种 机器 . 5.1.4 用样本估计总体 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 根据频率分布直方图得 （ 0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016 ） ×10=1 ， 解得 a=0.020. （ 2 ） 由众数的概念可知， 众数是出现次数最多的数， ∴ 众数为 70+80 2 =75. ∵0.004×10+0.006×10+0.020×10=0.3 ， ∴ 前三个小矩形的面积的和为 0.3 ， 而第四个小矩形的 面积为 0.030×10=0.3 ， 0.3+0.3=0.6>0.5 ， ∴ 中位数应位于 ［ 70 ， 80 ） 内， 中位数 =70+ 0.5-0.3 0.3 ×10= 230 3 ≈76.7. 平均数为 45× （ 0.004×10 ） +55× （ 0.006×10 ） +65× （ 0.020× 10 ） +75 × （ 0.030 ×10 ） +85 × （ 0.024 ×10 ） +95 × （ 0.016 ×10 ） = 76.2. （ 3 ） 前 5 个小组的频率之和是 （ 0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024 ） ×10=0.84 ， ∴ 第 90 百分位数在第五小组 ［ 90 ， 100 ］ 内， 为 90+ 0.90-0.84 1-0.84 ×10= 375 4 =93.75. 变式训练 2 解： 把专业人士打分样本记为 x 1 ， x 2 ， …， x 8 ， 其平 均数记为 x ， 方差记为 s 2 x ； 把观众代表打分样本记为 y 1 ， y 2 ， …， y 12 ， 其平均数为 y ， 方差记为 s 2 y ； 把总体数据的 平均数记为 z ， 方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z= 8 20 ×47.4+ 12 20 ×56.2=52.68 （分）， 总样本方差为： s 2 = 1 20 8 i=1 移 （ x i -z ） 2 + 12 j=1 移 （ y j -z ） ） $ 2 = 1 20 {8 ［ s 2 x + （ x-z ） 2 ］ +12 ［ s 2 y + （ y-z ） 2 ］ } = 1 20 ×{８× ［ 3.7 2 + （ 47.4-52.68 ） 2 ］ +12× ［ 11.8 2 + （ 56.2-52.68 ） 2 ］ } =107.6 ， 总样本标准差 s≈10.37. ∴ 这名选手得分的平均数为 52.68 分， 标准差约为 10.37. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题中数据可得， 频率分布表如下： （ 2 ） 频率分布直方图如图： （ 3 ） 该月水电费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的 百分比为 0.13+0.07=0.2=20%. 随堂练习 1. B 【解析 】 根据频率分布直方图中每组的高为 频率 组距 ， 可知 m |a-b| =h ， ∴|a-b|= m h . 故选 B. 2. A 【解析】 根据题中统计图， 可知有 4 人成绩在 ［ 0 ， 20 ） 之间， 其考试分数之和为 4×10=40 ； 有 8 人成 绩在 ［ 20 ， 40 ） 之间， 其考试分数之和为 8×30=240 ； 有 10 人成绩在 ［ 40 ， 60 ） 之间 ， 其考试分数之和为 10× 50=500 ； 有 6 人成绩在 ［ 60 ， 80 ） 之间， 其考试分数之 和为 6×70=420 ； 有 2 人成绩在 ［ 80 ， 100 ） 之间， 其考 试分数之和为 2×90=180. 由此可知， 考生总人数为 4+8+ 10+6+2=30 ， 考试总成绩为 40+240+500+420+180=1 380 ， 平均数为 1 380 30 =46. 故选 A. 3. B 【解析】 在频率分布直方图中， 长方形的面积 表示其频率 . 根据所给数据， 估计该校高一年级期末数 分组 频数 频率 ［ 320 ， 380 ） 6 0.20 ［ 380 ， 440 ） 18 0.60 ［ 440 ， 500 ） 4 0.13 ［ 500 ， 560 ］ 2 0.07 合计 30 1.00 频率 组距 月水电费用 / 元 320 380 440 500 560 0.01 0.003 3 0.002 2 0.001 2 变式训练 3 答图 57