5.1.1 数据的收集-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第五章 统计与概率 学 学 习 目 标 1. 了解总体与样本、 普查与抽样调查的 概念 . 2. 理解简单随机抽样的概念， 会用抽签 法和随机数表法从总体中抽取样本 . 3. 理解分层抽样的概念， 会用分层抽样 从总体中抽取样本， 培养数学运算的核心 素养 . 要 点 精 析 要点 1 简单随机抽样 （ 1 ） 简单随机抽样的特征： 总体个数有 限， 逐个抽取不放回， 个体被抽到的可能性 相等 . （ 2 ） 简单随机抽样的方法： 抽签法、 随 机数表法 . （ 3 ） 随机数表法规则： 若编号是两位 数， 规则可以是每次从左往右选取两个数 字， 也可以是每次只选取每一组的前两个数 字， 还可以是只选取下面一行同一位置对应 的两个数字， 等等 . 规则一旦确定， 就不能 更改 . 在选取的过程中， 遇到超过编号范围 或已经选取了的数字， 应该放弃 . 思考 如何对一批袋装牛奶的质量进 行检查？ 例 1 已知下列抽取样本的方式： ① 从无限多个个体中抽取 100 个个体作 为样本； ② 盒子里共有 80 个零件， 从中选出 5 个零件进行质量检验， 在抽样操作时， 从中 任意拿出 1 个零件进行质量检验后再把它放 回盒子里； ③ 从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行 质量检验； ④ 某班有 56 名同学， 指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 . 其中 ， 不是简单随机抽样的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析 本题考查的是对简单随机抽样 概念的判断， 利用简单随机抽样的特征即 可判断 . 解析： ① 不是简单随机抽样， 原因是简 单随机抽样中总体的个数是有限的， 而题中 是无限的； ② 不是简单随机抽样， 原因是简 单随机抽样是不放回地抽取， 而题中是有放 第五章 统计与概率 5.1 统 计 5.1.1 数据的收集 33 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 回地抽取； ③ 不是简单随机抽样， 原因是简 单随机抽样是逐个抽取， 而题中是一次性 抽取； ④ 不是简单随机抽样， 原因是个子最 高的 5 名同学是 56 名同学中特定的， 不存 在随机性， 不是等可能抽样 . 故选 D. 变式训练 1 下面的抽样方法是简单随机抽样的是 . ① 从无数张高考试卷中抽取 50 张试卷 作为样本； ② 从 80 台笔记本电脑中一次性抽取 6 台进行质量检查； ③ 用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进 行质量检验 ． 例 2 福利彩票 “双色球” 中红色球由 编号为 01 ， 02 ， …， 33 的 33 个个体组成， 某彩民利用下面的随机数表 （下表是随机数 表的第 1 行和第 2 行） 选取 6 个红色球， 选 取方法是从随机数表中第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始， 由左到右依次选取两个数 字， 则选出来的第 3 个红色球的编号为 . 分析 本题考查随机数表的读法， 注 意重复的编号要舍掉 . 解析： 根据随机数表， 排除超过 33 及 重复的编号， 第一个编号为 21 ， 第二个编 号为 32 ， 第三个编号为 05 ， 故选出来的第 3 个红色球的编号为 05. 变式训练 2 总体由编号为 01 ， 02 ， …， 19 ， 20 的 20 个个体组成 . 利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两 个数字， 则选出来的第 5 个个体的编号为 （ ） A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 要点 2 分层抽样 分层抽样的特征： 将相似的个体归为一 类， 即为一层， 分层要求每层的各个个体互 不交叉， 即遵循不重复、 不遗漏的原则 . 分 层抽样为保证每个个体等可能入样， 需遵循 在各层中进行简单随机抽样， 每层样本数量 与每层个体数量的比与这层个体数量与总体 容量的比相等 . 思考 适合分层抽样的总体具备什么 特征？ 例 3 为了了解网课学习效果， 某学校 组织了一次网上测试， 并利用分层抽样的方 法从高中 3 个年级的学生中随机抽取了 150 人的测试成绩， 其中高一、 高二年级各抽取 了 40 人、 50 人， 若高三年级有学生 1 200 人， 则该高中共有学生 人 . 分析 本题考查分层抽样的计算， 利 用每层之间等比例原则即可列出比例式 . 解析： 由已知高三年级抽取的学生人数 49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 34 第五章 统计与概率 学 为 150-40-50=60 （人） . 设该校高中的学生 总数为 n ， 则 60 1 200 = 150 n ， 解得 n=3 000 ， 所以该高中共有学生 3 000 ， 故答案为 3 000. 变式训练 3 某科研院所共有科研人员 800 人， 其中 具有高级职称的有 160 人， 具有中级职称的 有 320 人， 具有初级职称的有 240 人， 无职 称的有 80 人 . 欲了解该科研院所科研人员的 创新能力， 决定抽取 100 名科研人员进行调 查， 应该怎样抽取？ 反思感悟 分层抽样的步骤： （ 1 ） 分层： 按某种特征将总体分成若 干部分 . （ 2 ） 按比例确定每层抽取个体的个数 . （ 3 ） 各层分别按简单随机抽样的方法 抽取 . （ 4 ） 综合每层抽样， 组成样本 . 注意： （ 1 ） 分层需遵循不重复、 不遗漏的原则 . （ 2 ） 抽取比例由每层个体占总体的比例 确定 . （ 3 ） 各层抽样按简单随机抽样进行 . 数 学 文 化 例 我国古代数学名著 《九章算术》 中 有如下问题： “今北乡有 8 758 人， 西乡有 7 236 人， 南乡有 8 356 人， 现要按人数多 少从三个乡共征集 487 人， 问从各乡征集多 少人 . ” 在上述问题中， 需从南乡征集的人 数大约是 （ ） A. 112 B. 128 C. 145 D. 167 分析 本题考查分层抽样的计算 . 解析 ： 由题意结合分层抽样的方法 可 知 ， 需 从 南 乡 征 集 的 人 数 为 487 × 8 356 8 758+7 236+8 356 = 4 178 25 =167.12≈167. 故 选 D. 35 参 考 答 案 令 x 2 >x 1 ≥35 ， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） = x 1 + 100 x 1 1 # - x 2 + 100 x 2 1 2 = （ x 1 -x 2 ）（ x 1 x 2 -100 ） x 1 x 2 . ∵x 2 >x 1 ≥35 ， ∴x 1 -x 2 <0 ， x 1 x 2 >100 ， 即 x 1 x 2 -100>0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . ∴ f （ x ） =x+ 100 x 在 ［ 35 ， +∞ ） 上为增函数 . ∴ 当 x=35 时， y 2 有最小值， 约为 3 229.7. 此时 3 229.7<3 789 ， ∴ 该食堂应该接受此优惠条件 . （注： 要证明函数 f （ x ）在 ［ 35 ， +∞ ） 上为增函数） 15. 解： （ 1 ） 由题意， 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ） . ∵f （ 0 ） =1 ， ∴c=1. 又 ∵f （ x+1 ） -f （ x ） =2x ， ∴a （ x+1 ） 2 +b （ x+1 ） +c-ax 2 -bx-c= 2x ， 即 2ax +a +b=2x ， 对 比 系 数 相 等 有 2a=2 ， a+b=0 0 ， 解 得 a=1 ， b=-1 0 ， ∴ f （ x ） =x 2 -x+1. （ 2 ） 由 f （ a ） =g （ b ）， 得 a 2 -a+1=2 b +3 ， 即 a 2 -a-2=2 b . ∵2 b >0 ， ∴a 2 -a-2>0. 解得 a<-1 或 a>2 ， ∴a 的取值范围是 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 2 ， +∞ ） . （ 3 ） 由题意知对任意 x 1 ， x 2 ∈ ［ t ， t+1 ］ 都有 ｜f （ x 1 ） - f （ x 2 ） ｜<4 成立， 故有［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min <4. 由 f （ x ） =x 2 -x+1 ， x∈ ［ t ， t+1 ］， 分情况进行讨论： ① 当 t≤- 1 2 时 ， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上为减函数 ， ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t ） -f （ t+1 ） <4 ， 解得 t>-2 ， ∴-2<t≤ - 1 2 ； ② 当 - 1 2 <t≤0 时， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min =f 1 2 1 2 ， 最大值是 f （ x ） max =f （ t ）， ∴ ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t ） -f 1 2 1 2 <4 ， 解得 - 3 2 <t< 5 2 ， ∴- 1 2 <t≤0 ； ③ 当 0<t≤ 1 2 时 ， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min =f 1 2 1 2 ， 最大值是 f （ x ） max =f （ t+1 ）， ∴ ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t+1 ） -f 1 2 1 2 <4 ， 解得 - 5 2 <t< 3 2 ， ∴0<t≤ 1 2 ； ④ 当 t> 1 2 时， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min = f （ t ）， 最大值是 f （ x ） max =f （ t+1 ）， ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t+1 ） - f （ t ） <4 ， 解得 t<2 ， ∴ 1 2 <t<2. 综上所述， 满足题意的 t∈ （ -2 ， 2 ） . 5.1 统 计 5.1.1 数据的收集 学习手册 变式训练 1 ③ 【解析】 ① 中样本总体数目不确定， 不是简单随 机抽样； ② 中样本不是从总体中逐个抽取， 不是简单随 机抽样； ③ 中符合简单随机抽样的特点， 是简单随机 抽样 ． 变式训练 2 D 【解析】 根据随机数表， 排除超过 20 及重复的编 号， 选取出来的个体编号依次为 08 ， 02 ， 14 ， 07 ， 01 ， 故选出来的第 5 个个体编号为 01. 故选 D. 变式训练 3 解： 因为一般来说， 创新能力与职称有关， 所以应 该用分层抽样 . 设样本中具有高级职称的人数为 x ， 则 100 800 = x 160 ， x=20 ， 即要抽取具有高级职称的科研人员 20 人 . 类似 地， 可以算得抽取具有中级职称的科研人员 40 人， 具 有初级职称的科研人员 30 人， 无职称的科研人员 10 人 . 随堂练习 1. C 【解析】 样本是抽取的 360 名学生的 100 米短 跑成绩， 不是抽取的 360 名学生 . 故选 C. 2. A 【解析】 由抽签法的定义可知， 抽签法的步骤为： 将总体中的个体编号； 把号码写在形状、 大小相同的号签上 （号签可以用 小球、 卡片、 纸条制作）； 将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀； 从容器中逐个不放回地抽取号签， 将取出号签所对 应的个体作为样本 . 即过程为 ②①④③. 故选 A. 3. A 【解析】 根据随机数的定义和随机数表的读法， 读取的前 4 件产品编号依次为 169 ， 556 ， 671 ， 105. 故 选 A. 4. C 【解析】 A 的总体容量较大， 宜采用系统抽样 第五章 统计与概率 51 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 方法； B 的总体容量较小， 用简单随机抽样法比较方 便； C 的总体容量较大， 且各类田地的产量差别很大， 宜采用分层抽样方法； D 与 B 类似 . 故选 C. 5. B 【解析】 根据题意， 每箱中印有 “品牌纪念币 一枚” 的瓶数占全部瓶数的三分之一， 即 12× 1 3 =4. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 普查工作量大， 有时受客观条件限制， 无法对所有个体进行调查， 有时调查具有破坏性， 不允 许普查； 抽样调查范围小， 节约时间、 人力、 物力和财 力， 但必须注意调查的对象具有代表性和广泛性； 综上 可知， 只有选项 C 的调查方式合适 . 故选 C. 2. C 【解析】 根据有关的概念并且结合题意可得该 题中对应的总体、 个体、 样本这三个概念考查对象都是 学生成绩， 而不是学生， 根据答案可得选项 A ， B ， D 表达的对象都是学生， 而不是成绩， ∴A ， B ， D 都错； C 项样本容量是 100 ， 正确 . 故选 C. 3. C 【解析】 从表中第 5 行第 6 列开始向右读取， 分别为 253 ， 313 ， 457 ， 860 （舍）， 736 （舍）， 253 （舍）， 007 ， 328 ， 623 ， 457 （舍）， 889 （舍）， 072 ， 368 ， 第 8 个为 368. 故选 C. 4. B 【解析】 ① 不是简单随机抽样 . 因为一儿童从玩 具箱的 20 件玩具中任意拿一件玩， 玩后放回再拿一件， 连续玩了 5 件， 不是 “逐个且不放回” 抽取的 . ② 不是 简单随机抽样 . 虽然 “一次性抽取” 和 “逐个抽取” 不 影响个体被抽到的可能性， 但简单随机抽样要求的是 “逐个抽取” . ③ 不是简单随机抽样 . 因为 5 名同学是从 中挑出来的， 是最优秀的， 每个个体被抽到的可能性不 同 ， 不符合简单随机抽样中 “等可能抽样 ” 的要求 . ④ 是简单随机抽样 . 因为总体中的个体数是有限的， 并 且是从总体中逐个进行抽取的， 等可能的抽样 . 综上， 只有 ④ 是简单随机抽样 . 故选 B. 5. B 【解析】 ① 由分层抽样的概念可知， 取东部地 区学生 100× 2 400 2 400+1 600+1 000 =48 （人）， 中部地区学 生 100× 1 600 2 400+1 600+1 000 =32 （人 ） ， 西部地区学生 100× 1 000 2 400+1 600+1 000 =20 （人 ）， 题中的说法正确 ； ② 新生的人数较多， 不适合用简单随机抽样的方法抽取 人数， 题中的说法错误； ③ 西部地区学生小刘被选中的 概率为 100 2 400+1 600+1 000 = 1 50 ， 题中的说法正确； ④ 中 部地区学生小张被选中的概率为 100 2 400+1 600+1 000 = 1 50 ， 题中的说法错误 . 综上可得， 正确的说法是 ①③. 故选 B. 6. A 【解析】 由图 1 得样本容量为 （ 3 500+2 000+ 4 500 ） ×4%=10 000×4%=400 ， 抽取的初中生人数为 4 500× 4%=180 （人）， 则初中生近视人数为 180×0.3=54 （人） . 故选 A. 7. 5.7% 【解析】 普通家庭中符合要求的有 99 000× 50 990 =5 000 （户）， 高收入家庭符合的有 1 000× 70 100 =700 （户）， 所求为 5 000+700 100 000 =5.7%. 8. 160 【解析】 280× 560 560+420 =160. 9. 解： （ 1 ） 适合用普查， 对一般家庭而言， 每次 买的鸡蛋不会很多， 逐个检查所需时间不多， 且一个鸡 蛋破损与否并不能说明其他鸡蛋的破损情况 . （ 2 ） 适合用抽样调查， 因为韭菜较细， 每根都检查 不太可能 . （ 3 ） 适合用普查， 因为每张钞票是不是假钞与其他 钞票没有关系 . （ 4 ） 适合用抽样调查， 因为每个学期会新学许多单 词和短语， 且学生较多， 要在 10 min 内检查完， 实在太 困难， 所以老师只能挑选其中的一部分学生来检查 . 提升练习 10. B 【解析】 设 A ， C 产品数量分别为 x 件、 y 件， 则由题意可得 x+y+1 300=3 000 ， （ x-y ） × 130 1 300 =10 0 # # # " # # # $ ， 解得 x=900 ， y=800 0 . 故选 B. 11. CD 【解析】 ① 从某厂生产的 3 000 件产品中抽 取 600 件进行质量检验， 不满足分层抽样的方法； ② 总体由差异明显且互不重叠的几部分组成， 若要 从中抽取 12 人的成绩了解有关情况， 适合采用分层抽 样的方法； ③ 运动会服务人员为参加 400 m 决赛的 6 名同学安 排跑道， 具有随机性， 适合用简单随机抽样的方法 . 故 选 CD. 12. 192 【解析】 由题意可得 n 200+1 200+1 000 = 80 1 000 ， 解得 n=192. 13. 120 【解析】 设样本中女生人数为 m ， 则有 m+ （ m-6 ） =30 ， 解得 m=18. 设该院女学生的人数为 x ， 由分 层抽样的特性知， 18 x = 30 200 ， 解得 x=120 ， ∴ 该院女学生 的人数为 120. 14. 解： 采用分层抽样的方法， 其原因在于疾病与 地理位置和水土均有关系， 不同乡镇的发病情况差异明 显， 具体过程如下： ① 将 3 万人分为 5 层， 其中一个乡镇为一层； 52 参 考 答 案 ② 按照样本容量的比例， 随机抽取各乡镇应抽取的 样本： 300× 3 15 =60 （人 ）， 300× 2 15 =40 （人 ）， 300× 5 15 = 100 （人）， 300× 2 15 =40 （人）， 300× 3 15 =60 （人）； ③ 将 300 人组到一起就得到一个样本 . 5.1.2 数据的数字特征 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 输入的数据比实际数据小 90 ， 90 30 =3 ， ∴ 求出的平均数比实际的平均数小 3 ， 即求出的平均数减 去实际的平均数等于 -3. 故选 B. 变式训练 2 4 5 【解析】 平均每人植树 20×3+15×4+10×5+5×6 20+15+10+5 = 4 （棵）， ∵50×75%=37.5 ， ∴ 这 50 名学生每人植树数的 75% 分位数是 5. 变式训练 3 解： x 甲 = 1 6 × （ 99+100+98+100+100+103 ） =100 ， x 乙 = 1 6 × （ 99+100+102+99+100+100 ） =100. s 2 甲 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 98-100 ） 2 + （ 100- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 103-100 ） 2 ］ = 7 3 ， s 2 乙 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 102-100 ） 2 + （ 99- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 ］ =1. 变式训练 4 ①②③ 【解析 】 根据众数 、 平均数 、 中位数概念 得， 5 年后， 众数、 平均数、 中位数相应增加 5 ， 而标 准差不变 . ∴ 这七人年龄的众数变为 40 ， 平均数变为 49 ， 中 位数变为 60 ， 标准差不变， 为 19. 即正确的有 ①②③. 随堂练习 1. C 【解析】 判断能否进入决赛， 只要判断是不是 前 8 名即可， 所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是 不是有 8 位高于他， 也就是把其他 15 位同学的成绩排 列后看第 8 位的成绩即可， 其成绩高于这个成绩就能进 入决赛， 低于这个成绩就不能进入决赛， 这个第 8 位同 学的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数 . 故选 C. 2. D 【解析】 这组数据中 82 出现的次数最多， 故众数 为 82. 平均数为 58+67+73+74+76+82+82+87+90+92+93+98 12 = 81. ∵12×75%=9 ， ∴ 这组数据的 75% 分位数为 90+92 2 =91. 故选 D. 3. AB 【解析】 甲同学名次数据的平均数为 2 ， 说明 名次之和为 6 ， 又中位数为 2 ， 得出三次考试名次均不 超过 3 ， 断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为 2 ， 说明名次之和为 6 ， 又方差小于 1 ， 得出三次考试名 次均不超过 3 ， 断定乙是尖子生； 丙同学名次数据的中 位数为 2 ， 众数为 2 ， 说明其三次考试中至少有两次名 次为 2 ， 而另一次考试的名次可能超过 3 ， 也可能不超 过 3 ， 故丙可能是尖子生， 也可能不是尖子生； 丁同学 名次数据的众数为 2 ， 方差大于 1 ， 说明其某两次名次 为 2 ， 设另一次名次为 x ， 经验证， 当 x=1 ， 2 ， 3 时， 方 差均小于 1 ， 故 x>3 ， 断定丁一定不是尖子生 . 故选 AB. 4. 众数 平均数 中位数 【解析】 对甲分析： 8 出 现的次数最多， 故运用了众数； 对乙分析： 8 既不是众数， 也不是中位数， 求平均 数可得， 平均数 = 1 8 × （ 4+6+6+6+8+9+12+13 ） =8 ， 故运用 了平均数； 对丙分析： 共 8 个数据， 最中间的是 7 和 9 ， 故其 中位数是 8 ， 即运用了中位数 . 5. 解： x 甲 = 1 8 × （ 78+79+81+82+84+88+93+95 ） =85 ， x 乙 = 1 8 × （ 75+80+80+83+85+90+92+95 ） =85. s 2 甲 = 1 8 × ［（ 78-85 ） 2 + （ 79-85 ） 2 + （ 81-85 ） 2 + （ 82-85 ） 2 + （ 84-85 ） 2 + （ 88-85 ） 2 + （ 93-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =35.5 ， s 2 乙 = 1 8 × ［（ 75-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 83-85 ） 2 + （ 85-85 ） 2 + （ 90-85 ） 2 + （ 92-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =41. ∵x 甲 =x 乙 ， s 2 甲 <s 2 乙 ， ∴ 甲的成绩较稳定 . 综上可知， 甲的成绩较好 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 3x 1 +2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的平均数是 3x+2 ， 由 于 数据 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的方 差 为 s 2 ， ∴3x 1 + 2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的方差为 9s 2 . 故选 C. 2. D 【解析 】 由小到大排列的结果 ： 6 ， 7 ， 15 ， 36 ， 39 ， 40 ， 41 ， 42 ， 43 ， 47 ， 49 ， 一共 11 项 . 第一四 分位数即第 25 百分位数， 由 11×25%=2.75 ， 得第一四分 位数是第 3 项数据 15. 故选 D. 3. C 【解析 】 由题意得该组数据的中位数为 1 2 （ x +2 ） =1+ x 2 ， 众数为 2 ， ∴1+ x 2 =2× 3 2 =3 ， ∴x=4. ∴ 该组数 据的平均数为 x= 1 6 × （ 1+2+2+4+5+10 ） =4 ， ∴ 该组数据的 53