4.5 增长速度的比较-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 4.5 增长速度的比较 学 习 目 标 1. 理解平均变化率的概念 . 2. 了解平均变化率的几何意义 . 3. 会求函数在某点附近的平均变化率 . 4. 通过平均变化率理解指数增长 . 要 点 精 析 要点 1 平均变化率的比较 平均变化率实质上是函数值的改变量与 自变量的改变量之比， 这也可以理解为自变 量每增加 1 个单位， 函数值平均将增加 Δf Δx 个单位 . 因此， 可用平均变化率来比较函数 值变化的快慢 . 思考 自变量每增加 h 个单位， 函数 值平均将增加多少个单位呢？ 例 1 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间 的函数图象如图 4-5-1 所示， 已知在时间段 ［ t 0 ， t 1 ］， （ t 1 ， t 2 ］， （ t 2 ， t 3 ］ 上的平均变化 率分别为 v 1 ， v 2 ， v 3 ， 则三者的大小关系为 （用 “ > ” 表示） . 解析： 由题图可知， v 1 = s （ t 1 ） -s （ t 0 ） t 1 -t 0 =k OA ， v 2 = s （ t 2 ） -s （ t 1 ） t 2 -t 1 =k AB ， v 3 = s （ t 3 ） -s （ t 2 ） t 3 -t 2 =k BC ， ∵k BC >k AB >k OA ， ∴v 3 >v 2 >v 1 . 反思感悟 求 y=f （ x ）在 ［ x 1 ， x 2 ］ 上的 平均变化率分为三步： （ １ ） 求自变量的改变量 Δx=x 2 -x 1 ； （ ２ ） 求函数值的改变量 Δy=f （ x 2 ） -f （ x 1 ）； （ ３ ） 求平均变化率 Δf Δx = f （ x 2 ） -f （ x 1 ） x 2 -x 1 = f （ x 1 +Δx ） -f （ x 1 ） Δx . 变式训练 1 函数 y=x 2 在区间 ［ x 0 ， x 0 +Δx ］ 上的平均 变化率为 k 1 ， 在 ［ x 0 -Δx ， x 0 ］ 上的平均变化 率为 k 2 ， 则 k 1 与 k 2 的大小关系是 （ ） A. k 1 >k 2 B． k 1 <k 2 C. k 1 =k 2 D． k 1 与 k 2 的大小关系不确定 要点 2 函数模型增长差异的比较 指数函数、 对数函数和幂函数的增长趋 势的比较： 思考 有人用 1.02 365 ≈1 377.41 来形象 地解释生活哲学， 你觉得有道理吗？ 图 4-5-1 A B C t 1 （ O ） s tt 3 t 2 t 0 在（ 0 ， +∞ ） 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 图象的变化 随着 x 的增大 逐渐加快增长 随着 x 的增大 逐渐减慢增长 因 n 值的 不同而不同 性质 函数 y=a x （ a>1 ） y=log a x （ a>1 ） y=x n （ n>0 ） 27 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 例 2 四人赛跑 ， 假设他们跑过的路 程 f i （ t ） （其中 i=1 ， 2 ， 3 ， 4 ） 和时间 t （ t>1 ） 的函数关系式分别是 f 1 （ t ） =t 2 ， f 2 （ t ） =4t ， f 3 （ t ） = log 2 t ， f 4 （ t ） =2 t ， 如果他们一直跑下去， 那么 最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是哪一个？ 为什么？ 解： 最终跑在最前面的人跑过的路程与 时间的函数关系式是 f 4 （ t ） =2 t . 理由如下： 显然四个函数中， 指数函数是增长速度 最快的， 故最终跑在最前面的人跑过的路程 与时间的函数关系式是 f 4 （ t ） =2 t . 反思感悟 变化率的大小即变化的快 慢， 变化越快， 其图象越陡， 越靠近 y 轴； 变化越慢， 其图象越缓， 越靠近 x 轴 . 因此， 理解平均变化率离不开数形结合 . 变式训练 2 三个变量 y 1 ， y 2 ， y 3 随着自变量 x 的变 化情况如下表： 则与 x 呈对数型函数、 指数型函数、 幂 函数型函数变化的变量依次是 （ ） A． y 1 ， y 2 ， y 3 B． y 2 ， y 1 ， y 3 C． y 3 ， y 2 ， y 1 D． y 3 ， y 1 ， y 2 数 学 文 化 例 2019 年， 面对国内外风险挑战明 显上升的复杂局面， 在以习近平同志为核心的 党中央坚强领导下， 经济运行总体平稳， 发展 水平迈上新台阶， 发展质量稳步提升 ． 如图 4- 5-2 为 2015 — 2019 年来全国每年研究与试验发 展 （ R&D ） 经费支出的条形图及其增长速度的 折线图， 则下面结论中不正确的是 （ ） A． 2016 至 2017 年 R&D 的经费支出的 增长速度最快 B． 2018 至 2019 年 R&D 的经费支出增 加量为五年中最多 C． 2015 至 2019 年 R&D 的经费支出逐 年增加 D． 2015 至 2019 年 R&D 的经费支出的 增长速度先递增后递减 解析 ： 2016 至 2017 年 R&D 的经费支 出的增长速度是 12.3%-10.6%=1.7% ， 是最 快的， 故 A 正确； 2018 至 2019 年 R&D 的经费支出增加 量为 21 737-19 678=2 059 （亿元）， 2017 至 2018 年 R&D 的经费支出增加量为 19 678- 17 606=2 072 （亿元）， 2 072>2 059 ， ∴2018 至 2019 年 R&D 的经费支出增加量不是五年 中最多， 故 B 错误； 从条形图可以看出 2015 至 2019 年 R&D 的经费支出逐年增加， 故 C 正确； 从折线图可知 ， 2015 至 2019 年 R&D 的经费支出的增长速度先递增后递减， 故 D 正确 . 故选 B. x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 2015 2016 2017 2018 2019 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0 25 20 15 10 5 0 % 亿元 R&D 经费支出 比上年增长 8.9 10.6 12.3 11.8 10.5 14 170 15 677 17 606 19 678 21 737 2015 — 2019 年研究与试验发展（ R&D ）经费支出及其增长速度 图 4-5-2 28 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 g （ 1 ） =2-3t≤1 ， ∴t≥ 1 3 . 综上所述， t∈ 1 3 ， 7 3 3 % . * 16. 解： （ 1 ） ∵f （ x ）是幂函数， 则 m 2 -2m+2=1 ， m= 1. 又 ∵f （ x ）是偶函数 ， ∴3k-k 2 =k （ 3-k ）是偶数 ， f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 则 3k-k 2 >0 ， 0<k<3 ， ∴k=1 或 2 ， ∴ f （ x ） =x 2 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知函数 f （ x ）为偶函数， 且在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增 ， ∴ 由 f （ 2x-1 ） <f （ 2-x ）可得 ， f （ ｜2x-1 ｜ ） < f （ ｜2-x｜ ）， ∴｜2x-1｜ 2 <｜2-x｜ 2 ， 解得 -1<x<1． ∴x 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 m=1 ， ∴2a+3b=7 ， 2 （ a+1 ） +3 （ b+1 ） = 12 ， a>0 ， b>0. 3 a+1 + 2 b+1 = 1 12 3 a+1 + 2 b+1 1 ' ［ 2 （ a+1 ） +3 （ b+1 ）］ = 1 12 12+ 9 （ b+1 ） a+1 + 4 （ a+1 ） b+1 3 % ≥ 1 12 12+2 9 （ b+1 ） a+1 · 4 （ a+1 ） b+1 姨 ' =2 ， 当且仅当 9 （ b+1 ） a+1 = 4 （ a+1 ） b+1 ， 即 a=2 ， b=1 时等号成立 ． ∴ 3 a+1 + 2 b+1 的最小值是 2． 4.5 增长速度的比较 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 由题意结合函数的解析式有： k 1 = f （ x 0 +Δx ） -f （ x 0 ） Δx = （ x 0 +Δx ） 2 - （ x 0 ） 2 Δx =2x 0 +Δx ， k 2 = f （ x 0 ） -f （ x 0 -Δx ） Δx = （ x 0 ） 2 - （ x 0 -Δx ） 2 Δx =2x 0 -Δx ， 则 k 1 -k 2 =2Δx ， ∵Δx>0 ， ∴k 1 >k 2 . 故选 A. 变式训练 2 C 【解析】 比较指数函数、 对数函数、 幂函数的增 长速率， 指数函数增长最快， 对数函数增长最慢， 由题 中表格可知， y 1 是幂函数， y 2 是指数函数， y 3 是对数函 数， 故选 C． 随堂练习 1. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变化 率为 m 1 = 1-0 1-0 =1 ； 函数 g （ x ） =x 2 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变化 率为 m 2 = 1 2 -0 2 1-0 =1 ； 函数 h （ x ） =x 3 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变 化率为 m 3 = 1 3 -0 3 1-0 =1 ； ∴m 1 =m 2 =m 3 . 故选 A. 2. B 【解析】 ∵ 指数函数 y= e 2 1 ' x 是几何级数增长， 当 x 越来越大时， 增长速度最快 . 故选 B． 3. B 【解析】 根据表格中的数据， 四个变量 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 都是越来越大， 但是增长速度不同， 其中变量 y 2 的增长速度最快， 符合指数函数的增长特点 . 故选 B. 4. ③④⑤ 【解析】 路程 f i （ x ） （ i=1 ， 2 ， 3 ， 4 ） 关于 时间 x （ x≥0 ） 的函数关系是： f 1 （ x ） =2 x -1 ， f 2 （ x ） =x 2 ， f 3 （ x ） =x ， f 4 （ x ） =log 2 （ x+1 ）， 它们相应的函数模型分别是指数型函数 、 二次函 数、 一次函数和对数型函数模型 ． 当 x=2 时， f 1 （ 2 ） =3 ， f 2 （ 2 ） =4 ， ∴ 命题 ① 不正确； 当 x=4 时， f 1 （ 5 ） =31 ， f 2 （ 5 ） =25 ， ∴ 命题 ② 不正确； 根据四种函数的变化特点， 对数型函数的变化是先 快后慢， 当 x=1 时， 甲、 乙、 丙、 丁四个物体又重合， 从而可知当 0＜x＜1 时， 丁走在最前面， 当 x＞1 时， 丁走 在最后面， 命题 ③ 正确； 指数函数变化是先慢后快， 当运动的时间足够长， 最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体， 即一 定是甲物体， ∴ 命题 ⑤ 正确 ． 结合对数型和指数型函数的图象变化情况， 可知丙 不可能走在最前面， 也不可能走在最后面， 命题 ④ 正确 ． 故答案为 ③④⑤． ５. ②④ 【解析】 由图可知， 前 3 年的产量增长的速 度越来越慢， 故 ① 错误， ② 正确； 第三年后这种产品的产量保持不变， 故 ③ 错误， ④ 正确； 综上所述， 正确的为 ②④. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 ∵ 自变量 x 由 x 0 改变到 x 0 ＋Δx ， 当 x＝x 0 时， y＝f （ x 0 ）， 当 x＝x 0 ＋Δx 时， y＝f （ x 0 ＋Δx ）， ∴Δy＝f （ x 0 ＋Δx ） -f （ x 0 ）， 故选 D. 2. C 【解析】 当 x＝1 时， y＝3 ， 当 x＝2 时， y＝5 ， 故 平均变化率为 5-3 2-1 ＝2. 故选 C. 3. B 【解析】 Δy Δx ＝ 1-3 3-1 ＝-1. 故选 B. 4. ABC 【解析】 由题图可知， 投资 3 天以内 （含 3 天）， 方案一的回报最高， 故 A 说法正确； 投资 4 天， 方案一的回报约为 40×4=160 （元）， 方 案二的回报约为 10+20+30+40=100 （元）， 都高于方案三 的回报， 故 B 说法正确； 投资 6 天， 方案一的回报约为 40×6=240 （元）， 方 案二的回报约为 10+20+30+40+50+60=210 （元）， 都高 于方案三的回报， 且方案一的回报最高， 故 C 说法正确； 投资 12 天， 明显方案三的回报最高， ∴ 此时采用 方案三， 故 D 说法错误 . 故选 ABC. 46 参 考 答 案 5. BC 【解析】 在 0~t 0 范围内， 甲、 乙的平均速度 都为 v＝ s 0 t 0 ， 故 A 错误， B 正确； 在 t 0 ~t 1 范围内， 甲的 平均速度为 s 2 -s 0 t 1 -t 0 ， 乙的平均速度为 s 1 -s 0 t 1 -t 0 . ∵s 2 -s 0 >s 1 -s 0 ， t 1 - t 0 >0 ， ∴ s 2 -s 0 t 1 -t 0 > s 1 -s 0 t 1 -t 0 ， 故 C 正确， D 错误 . 故选 BC. 6. 3 3 【解析】 设区间为［ a ， a+1 ］， 则 Δf Δx = 3 （ a+1 ） +2- （ 3a+2 ） （ a+1 ） -a =3. 当自变量每增加 1 个单位时 ， 函数值增加 3 个 单位 . 7. 1 2 x+1 【解析】 若函数 f （ x ）在任意区间内的平均 变化率均为 1 2 ， 则 f （ x ）为一次函数， 设 f （ x ） = 1 2 x+b. ∵ 函数 f （ x ）的图象过 （ 2 ， 2 ） 点， ∴2= 1 2 ×2+b ， ∴b=1 ， ∴ f （ x ） = 1 2 x+1. 8. f （ x ） >g （ x ） >h （ x ） 【解析】 ∵ Δf Δx = （ a+1 ） 2 -a 2 （ a+1 ） -a =2a+1 ， Δg Δx = 3 （ a+1 ） -3a （ a+1 ） -a =3 ， Δh Δx = ln （ a+1 ） -lna （ a+1 ） -a =ln 1+ 1 a a " ， 又 ∵a>1 ， ∴2a+1>2×1+1=3 ， ln 1+ 1 a a " <ln 1+ 1 1 a " =ln2<lne= 1<3 ， 因此在区间［ a ， a+1 ］ （ a>1 ） 上， f （ x ）的平均变化 率最大， h （ x ）的平均变化率最小 . 9. 解： （ 1 ） ∵f （ 2 ） =2×3+1=7 ， g （ 2 ） =2×5-4=6 ， ∴ f （ 2 ） >g （ 2 ） . （ 2 ） 令 f （ 2+Δx ） <g （ 2+Δx ）， 则 3 （ 2+Δx ） +1<5 （ 2+Δx ） - 4 ， 即 2Δx>1 ， 解得 Δx> 1 2 . 故 Δx 的取值范围是 Δx> 1 2 . 10. 解： ∵ Δf Δx = 4 a -4 a-1 a- （ a-1 ） =3×4 a-1 ， Δg Δx = 3 4 a+1- 3 4 （ a-1 ） + + $ 1 a- （ a-1 ） = 3 4 ， 又 ∵a<0 ， ∴ Δf Δx =3×4 a-1 <3×4 0-1 =3×4 -1 = 3 4 ， ∴ 函数 f （ x ）在区间 ［ a -1 ， a ］上的平均变化率比 g （ x ）的小 . 提升练习 11. D 【解析】 平均变化率为正说明盈利是增加的， 平均变化率变小说明增加的幅度变小了， 但还是增加的， 故选 D． 12. C 【解析】 由题可知， h∈ ［ 0 ， H ］ 时， S 是减函 数， 故 A ， B 错误； 由图形阴影面积的变化趋势来看， 函数减小的趋势 是变慢的， 故选 C． 13. C 【解析】 对于 A 中的函数， 当 x=3 或 4 时， 误 差较大 ． 对于 B 中的函数， 当 x=4 时误差也较大 ． 对于 C 中的函数， 当 x=1 ， 2 ， 3 时， 误差为 0 ， x=4 时， 误差为 10 ， 误差很小 ． 对于 D 中的函数， 当 x=4 时， 据函数式得 到的结果为 300 ， 与实际值 790 相差很远 ． 综上， 只有 C 中的函数误差最小， 故选 C． * 14. BD 【解析】 如图， 对于 y 1 =x 2 ， y 2 =2 x ， 从负无穷 开始， y 1 大于 y 2 ， 然后 y 2 大于 y 1 ， 再然后 y 1 再次大于 y 2 ， 最后 y 2 大于 y 1 ， y 1 再也追不上 y 2 ， 故随着 x 的逐 渐增大， y 2 的增长速度越来越快于 y 1 ， A 错误， B ， D 正确； 对于 y 1 =x 2 ， y 3 =x ， 由于 y 3 =x 的增长速度是不变的， 当 x∈ （ 0 ， 1 ） 时， y 3 大于 y 1 ， 当 x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， y 1 大于 y 3 ， y 3 再也追不上 y 1 ， y 1 的增长速度有时快于 y 3 ， C 错误 ． 故选 BD． 15. ABD 【解析】 在平面直角坐标系中画出 f （ x ）与 g （ x ）的图象如图所示 . 由图象可判断出衰减情况为： f （ x ）的衰减速度越来 越慢， g （ x ）的衰减速度越来越慢 . 故选 ABD. 16. ②④ 【解析 】 Δf Δx = f （ a+1 ） -f （ a ） a+1-a =ln （ a+1 ） -lna= ln a+1 a =ln 1+ 1 a a " ， ∵a>1 ， ∴ln 1+ 1 a a " <ln （ 1+1 ） =ln2<1 ， ∴① 错误 ， ② 正确 . 当 a>1 时， 1+ 1 a 随着 a 的增大而减小， ln 1+ 1 a a " 随 x y O f （ x ） g （ x ） 第 15 题答图 第 14 题答图 x y O y 2 =2 x y 1 =x 2 y 3 =x 47 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 着 1+ 1 a 的减小而减小， ∴ Δf Δx 随着 a 的增大而减小， ∴③ 错误， ④ 正确 . 4.6 函数的应用 （二） & 4.7 数学建模活动： 生长规律的描述 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 依题意可知， 经过 x 天沙漠蝗虫的数量 为 N 0 （ 1+5% ） x （ x∈N * ）， 由 N 0 （ 1+5% ） x =1 600N 0 ， 得 1.05 x =1 600 ， 两边取自然对数得 xln1.05=ln1 600 ， 得 x= ln1 600 ln1.05 ≈ 7.377 8 0.048 8 ≈151.18 ， ∴ 经过 152 天能达到最初的 1 600 倍 . 故选 A. 变式训练 2 C 【解析】 当 S N =1 000 时， C 1 =Wlog 2 1 000 ， 当 S N =8 000 时， C 2 =Wlog 2 8 000 ， ∴ C 2 C 1 = Wlog 2 8 000 Wlog 2 1 000 = lg8 000 lg1 000 = 3+3lg2 3 ≈1.3 ， ∴ 约增 加了 30%. 故选 C. 变式训练 3 解 ： 设平均每年的增长率为 x ， 则 由 题 意 ， 得 8 000 （ 1+x ） 5 =14 000 ， 即（ 1+x ） 5 = 14 8 =1.75 ， 两边同取常用 对数 ， 得 5lg （ 1+x ） =lg1.75 ， ∴lg （ 1+x ） = 1 5 lg1.75≈ 1 5 × 0.243 0≈0.048 6 ， ∴1+x≈1.118 ， 即 x≈0.118=11.8%. 随堂练习 1. B 【解析】 将 1 000 元钱按复利计算 ， 则存满 5 年后的本息和为 1 000×1.017 5 5 =1 091 ， 故可以获得利息 1 091-1 000=91 （元） . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知 2019 年为 y=800 （ 1+x% ）（ x> 0 ） ， 2020 年为 y=800 （ 1 +x% ） 2 （ x>0 ） ， 2021 年 为 y= 800 （ 1+x% ） 3 （ x>0 ） . 故选 B. 3. D 【解析 】 设山区第一年绿色植被的面积为 a ， 则 y=f （ x ） = a× （ 1+10.4% ） x a = （ 1+10.4% ） x ， 易知其定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， 值域为 ［ 1 ， +∞ ）， 且随 x 的增大， y 增长的 速度越来越快 ． 故选 D． 4. D 【解析】 由题目信息可得， 初期增长迅速， 后 来增长越来越慢， 故可用对数型函数模型来反映 y 与 x 的关系 . 故选 D. 5. 解： （ 1 ） 根据表中的数据描点画出图象， 观察 这个图象， 发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线， 因 此， 可以判断它不能用函数 y=ax+b 来近似反映 . 根据这 些点的走向趋势， 我们可以考虑用函数 y=a · b x 来近似拟合 . 选择表中两点 ， 如点 （ 70 ， 7.90 ）， （ 170 ， 58.05 ） 的坐标代入 y=a · b x ， 可得 a≈2 ， b≈1.02. ∴ 该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可 以选为 y=2×1.02 x . （ 2 ） 将 x=175 代入 y=2×1.02 x ， 得 y=2×1.02 175 ， 计算得 y≈63.98. 由于 78 63.98 ≈1.22>1.2 ， ∴ 这个男生体重偏胖 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由题意分析， 符合对数型函数的特点 . 故选 D. 2. A 【解析】 由题意把 N＝90 代入 t＝-144lg 1- N 100 0 $ 中， 得 t＝-144lg 1- 90 100 0 & ＝-144lg 10 100 ＝144. 故选 A. 3. D 【解析 】 经过 1 年， y＝a （ 1＋5% ）， 经过 2 年， y＝a （ 1＋5% ） 2 ， …， 经过 x 年， y＝a （ 1＋5% ） x . 故选 D. 4. BD 【解析】 由于函数的图象经过点 2 ， 4 9 0 & ， 故 函数的关系式为 y＝ 2 3 0 & t . 当 t＝3 时， y＝ 2 3 0 & 3 ＝ 8 27 ， 故 A 错误； 当 t＝4 时， y＝ 16 81 < 1 5 ， 故 B 正确； 当 t＝1 时， y＝ 2 3 ， 减少 1 3 ， 当 t＝2 时， y＝ 4 9 ， 减少 2 9 ， 故每月减少 的有害物质质量不相等， 故 C 错误； 分别令 y＝ 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 解得 t 1 ＝log 2 3 1 2 ， t 2 ＝log 2 3 1 4 ， t 3 ＝log 2 3 1 8 ， ∴t 1 ＋t 2 ＝t 3 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 5. AB 【解析 】 ∵ 花鲢鱼的游速 v 与 log 2 x 100 （ x ≥100 ） 成正比， ∴ 设 v＝klog 2 x 100 . 又 ∵ 当 x＝200 时， v＝ x y O 70 60 50 40 30 20 10 60 80 100 120 140 160 180 第 5 题答图 48