4.4 幂函数-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 4.4 幂 函 数 学 习 目 标 1. 了解幂函数的概念， 会求幂函数的解 析式 . 2. 结合幂函数 y=x -1 ， y=x ， y=x 2 ， y=x 3 ， y=x 1 2 的图象， 掌握幂函数的性质 . 3. 能利用幂函数的单调性比较幂值的 大小 . 要 点 精 析 要点 1 幂函数的概念 一般地， 函数 y=x α 称为幂函数， 其中 α 是常数 . 思考 幂函数和指数函数的区别是 什么？ 例 1 已知函数 f （ x ） = （ m 2 -m-1 ） x m 2 +m-3 是幂 函数， 且当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函 数， 求 f （ x ）的解析式 . 分析 判断函数是幂函数的依据 ： （ 1 ） 指数为常数 ； （ 2 ） 底数为自变量 ； （ 3 ） 系数为 1. 解： 根据幂函数的定义得， m 2 -m-1=1 ， 解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时， f （ x ） =x 3 ， 在（ 0 ， +∞ ）上是增 函数， 符合要求； 当 m=-1 时， f （ x ） =x -3 ， 在（ 0 ， +∞ ）上是 减函数， 不符合要求 . ∴ f （ x ）的解析式为 f （ x ） =x 3 . 变式训练 1 已知幂函数 f （ x ） = （ n 2 +2n-2 ） x n 2 -3n （ n∈ Z ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 则 n 的值为 （ ） A. -3 B． 1 C． -1 D． 1 和 -3 要点 2 幂函数的图象及应用 五类常见幂函数的图象： 思考 你能通过上述图象， 总结幂函 数的图象在第一象限内直线 x=1 的右侧， 有什么规律吗？ 例 2 若点（ 2 姨 ， 2 ）在幂函数 f （ x ）的 图象上， 点 -2 ， 1 4 # $ 在幂函数 g （ x ）的图象 上， 则当 x 为何值时： （ 1 ） f （ x ） =g （ x ）； （ 2 ） f （ x ） <g （ x ） . 分析 注意本题中对 f （ x ） >g （ x ）， f （ x ） = g （ x ）， f （ x ） <g （ x ） 的几何解释 . 这种几何解 释帮助我们从图象的角度解读不等式方程， 是以后常用的方法 . x y O -1 -2 -2 -1 y=x 2 2 1 1 2 y=x 3 y=x 2 y=x y=x -1 y=x -1 y=x 1 2 24 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 解： 设 f （ x ） =x α ， ∵ 点（ 2 姨 ， 2 ）在幂函 数 f （ x ）的图象上， ∴ 将（ 2 姨 ， 2 ）代入 f （ x ） =x α 中， 得 2= （ 2 姨 ） α ， 解得 α=2 ， 则 f （ x ） =x 2 . 同 理可求得 g （ x ） =x -2 . 在同一平面直角坐标系中作出函数 f （ x ） =x 2 和 g （ x ） =x -2 的图象， 如图 4-4-1 所示： 观察图象可得： （ 1 ） 当 x=1 或 x=-1 时， f （ x ） =g （ x ）； （ 2 ） 当 -1<x<1 且 x≠0 时， f （ x ） <g （ x ） . 反思感悟 要善于运用函数的性质， 如定义域、 值域、 单调性、 奇偶性等， 熟 练作图 . 变式训练 2 幂函数 y=x α （ α≠0 ）， 当 α 取不同的正 数时， 在区间 ［ 0 ， 1 ］ 上它们的图象是一簇 曲线 （如图 4-4-2 ） . 设点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ）， 连接 AB ， 线段 AB 恰好被其中的两个幂函 数 y=x m ， y=x n 的图象三等分， 即有 BM=MN= NA ， 则 mn 等于 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 无法确定 要点 3 幂函数性质的应用 思考 y=x 1 2 为什么是非奇非偶函数呢？ 例 3 比较下列各组数的大小： （ 1 ） 3 - 5 2 与 3.1 - 5 2 ； （ 2 ） 0.7 0.8 与 0.8 0.7 . 分析 比较幂值大小， 若指数相同 ， 底数不同， 则考虑利用幂函数来比较大小； 若指数不同， 底数相同， 则考虑利用指数 函数来比较大小； 若指数与底数都不同， 则考虑引入中间值比较 . 解： （ 1 ） 函数 y=x - 5 2 在（ 0 ， +∞ ）上为 减函数 . ∵3<3.1 ， ∴3 - 5 2 >3.1 - 5 2 . （ 2 ） ∵y=x 0.8 在 ［ 0 ， +∞ ）上是增函数 ， 0.7<0.8 ， ∴0.7 0.8 <0.8 0.8 . 又 ∵y=0.8 x 在 R 上是减函数， 0.7<0.8 ， ∴0.8 0.8 <0.8 0.7 . ∴0.7 0.8 <0.8 0.8 <0.8 0.7 ， 即 0.7 0.8 <0.8 0.7 . 图 4-4-1 x y O -1 1 f （ x ） =x 2 1 g （ x ） =x -2 g （ x ） =x -2 定 义 域 R R R ［ 0 ， +∞ ） {x|x≠0} 值 域 R ［ 0 ， +∞ ） R ［ 0 ， +∞ ） {y|y≠0} 奇 偶 性 奇 函 数 偶 函 数 奇 函 数 非奇 非偶 函数 奇 函 数 单 调 性 单调 递增 在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 在 （ -∞ ， 0 ］ 上单调递减 单调 递增 单调 递增 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递减 性 质 函数 y=x y=x 2 y=x 3 y=x 1 2 y=x -1 图 4-4-2 x y O A B M N 25 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 反思感悟 在比较大小选择中间量时， 要注意中间量选取原则： 一是能与已知数 中任意一个比较大小， 二是中间量应介于 这两个数之间 . 变式训练 3 已知函数 f （ x ）为 R 上的偶函数， 对任意 x 1 ， x 2 ∈ （ -∞ ， 0 ）， 均有 （ x 1 -x 2 ）［ f （ x 1 ） -f （ x 2 ）］ <0 成立， 若 a=f （ 2 姨 ）， b=f 3 1 3 3 $ ， c=f e 1 3 3 & ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 （ ） A. c<b<a B． a<c<b C． a<b<c D． c<a<b 数 学 文 化 1607 年， 利马窦和徐光启合译欧几里 得的 《几何原本》， 在译本中徐光启重新使 用了 “幂” 字 . 他说： “自乘之数曰幂 . ” 这 是第一次给幂这个概念下定义 . 另一方面， 幂的概念的形成还受到国外的影响 . 1591 年， 法国数学家韦达的代数名著 《分析方法 入门》 中曾经用拉丁文字表达 “幂”， 以后 译成英文相当于 “ power ” . 1935 年， 我国 出版 《数学名词》， 把 “ power ” 译成 “幂”， 这个术语从此才算确定下来 . 例 （多选题） 我国著名的数学家华罗 庚先生曾说： 数缺形时少直观， 形缺数时难 入微； 数形结合百般好， 隔裂分家万事休 . 在数学学习和研究中， 常用函数的图象来研 究函数的性质 . 下列函数中， 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增且图象关于 y 轴对称的是 （ ） A． f （ x ） =x 3 B． f （ x ） =x 2 C． y=x -2 D． f （ x ） =|x| 解析： f （ x ） =x 3 的定义域为 R ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上显然单调递增， 但 f （ -x ） =-x 3 ≠f （ x ）， 即 f （ x ） =x 3 不是偶函数， 其图象不关于 y 轴对 称， A 排除； f （ x ） =x 2 的定义域为 R ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上显 然单调递增， 且 f （ -x ） = （ -x ） 2 =x 2 =f （ x ）， ∴f （ x ） =x 2 是偶函数 ， 图象关于 y 轴对称 ， 即 B 正确； y=x -2 的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 在 （ 0 ， +∞ ） 上显然单调递减， C 排除； f （ x ） =|x| 的定义域为 R ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上 显然单调递增， 且 f （ -x ） =|-x|=|x|=f （ x ）， ∴f （ x ） =|x| 是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 即 D 正 确 . 故选 BD. 26 参 考 答 案 式可得 lg4 lg3 · lg8 lg4 · lgm lg8 =-1 ， ∴lgm=-lg3 ， 故 m= 1 3 . 10. ［ -2 ， 4 ） 【解析 】 函 数 f （ x ） ＝lg （ x 2 +2ax -5a ） 在 ［ 2 ， +∞ ） 上是增函数 ， 可得 -a≤2 ， 4+4a-5a>0 0 ， 解得 a∈ ［ -2 ， 4 ） ． 11. 7 【解析】 ∵f （ x ）的反函数的图象经过点 （ 3 ， 1 ）， ∴ 函数 f （ x ） =log 2 （ x+a ）的图象经过点 （ 1 ， 3 ）， ∴log 2 （ 1+a ） = 3 ， 解得 a=7． 12. （ 0 ， 1 ） ∪ 1 ， 3 2 2 & 【解析】 原问题等价于 f （ x ） = 2a 与 g （ x ） =｜a x -3 ｜ （ a>0 ， a≠1 ） 的图象有两个不同的 交点， 当 a>1 时， 如图 1 所示 . 此时， 0<2a<3 ， 即 0<a< 3 2 ， 又 ∵a>1 ， ∴1<a< 3 2 ； 当 0<a<1 时， 如图 2 所示 . 此时， 0<2a<3 ， 即 0<a< 3 2 . 又 ∵0<a<1 ， ∴0<a<1. 综上， a∈ （ 0 ， 1 ） ∪ 1 ， 3 2 2 & . 13. 解： （ 1 ） 根据题意， 函数 f （ x ） = 3 x +a 3 x +1 ， 其定义 域为 R. 若 f （ x ）为奇函数， 则 f（0 ） = 3 0 +a 3 0 +1 =0 ， 解得 a=-1 （经 检验适合）， 故 a=-1. （ 2 ） 根据题意， f （ x ） < a+3 3 ， 即 3 x +a 3 x +1 < a+3 3 ， 变形可得 a-1 3 x +1 < a 3 ， 即 3 （a-1 ） <a （ 3 x +1 ） . ① 分三种情况讨论： 当 a=0 时， ① 变形为 -3＜0 ， 恒成立； 当 a＞0 时， ① 变形为 3a-3 a <3 x +1 ， 若 3a-3 a <3 x +1 恒成立， 必有 3a-3 a ≤1 ， 解得 a≤ 3 2 ， 此时 a 的取值范围为 0 ， 3 2 22 ； 当 a＜0 时， ① 变形为 3a-3 a >3 x +1 ， 不可能恒成立 . 综上可得， a 的取值范围为 0 ， 3 2 2 2 ． * 14. 解： （ 1 ） 当 t≥1 时， c=k 1 2 2 & t ， 函数图象过点 （ 2 ， 10 ）， ∴k 1 2 2 & 2 =10 ， 得 k=40 ， ∴ 当 t=1 时， c=40× 1 2 2 & 1 =20. 当 0≤t≤1 时， c=m （ 2 t -1 ）， 函数图象过点 （ 1 ， 20 ）， ∴m=20 ， ∴c=20×2 t -20. 由 20×2 t -20≥10 ， 得 2 t ≥ 3 2 ， ∴t≥log 2 3 2 = lg3-lg2 lg2 ≈ 0.477-0.3 0.3 =0.59 ， 则药物有疗效时间为 2-0.59=1.41 （ h ） . （ 2 ） 设再次服用同等规格的药物 x h 后的药物浓度 为 y ， 当 0≤x≤1 时， y=20×2 x -20+40× 1 2 2 & x+1 =20 （ 2 x +2 -x ） -20. ∵ 函数 y 在 ［ 0 ， 1 ］ 内单调递增， ∴ 当 x=1 时， y max =30. 当 x>1 时， y=40× 1 2 2 & x +40× 1 2 2 & x+1 =60× 1 2 2 & x <30 ， ∵30<32 ， ∴ 首次服药后 1 h ， 可以立即再次服用同 等规格的药物 . 4.4 幂 函 数 学习手册 变式训练 1 B 【解析 】 ∵ 函数 f （ x ）是幂函数 ， ∴n 2 +2n-2=1 ， ∴n=-3 或 n=1. 当 n=-3 时， f （ x ） =x 18 在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函数， 不 合题意 . 当 n=1 时， f （ x ） =x -2 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 成 立 . 故选 B. 变式训练 2 A 【解析 】 由题知 A （ 1 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ）， BM=MN= NA ， ∴M 1 3 ， 2 3 2 & ， N 2 3 ， 1 3 2 & ， ∴ 1 3 = 2 3 2 & m ， 2 3 = 1 3 2 & n ， ∴ 1 3 2 & mn = 1 3 2 & n 2 2 m = 2 3 2 & m = 1 3 ， ∴mn=1. 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 x y O g （ x ） =｜a x -3｜ f （ x ） =2a 图 1 x y O -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 3 2 1 g （ x ） =｜a x -3｜ f （ x ） =2a 图 2 第 12 题答图 43 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 3 D 【解析】 ∵ 对任意 x 1 ， x 2 ∈ （ -∞ ， 0 ）， 均有（ x 1 -x 2 ）· ［ f （ x 1 ） -f （ x 2 ）］ <0 成立， ∴ 此时函数在区间 （ -∞ ， 0 ） 上 为减函数 . ∵f （ x ）是偶函数 ， ∴ 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时 ， f （ x ）为增 函数， e 1 3 " # 6 =e 2 ， （ 2 姨 ） 6 =8 ， 3 1 3 & 6 =9 ， ∵e 2 <8 ， ∴e 1 3 < 2 姨 . ∵8<9 ， ∴ 2 姨 <3 1 3 ， ∴0<e 1 3 < 2 姨 <3 1 3 ， ∴ f e 1 3 3 & <f （ 2 姨 ） <f 3 1 3 & ， 即 c<a<b. 故选 D． 随堂练习 1. B 【解析】 根据幂函数的定义： 幂函数是形如 y= x 琢 （ 琢 为常数） 的函数 . 在函数中： ①y= 1 x 是 琢=-1 的情形， 是幂函数； ②y=3x 3 系数是 3 ， 不是幂函数； ③y=2x+1 系数是 2 ， 是一次函数， 不是幂函数； ④y=1 不是幂函数； ⑤y=x 3 是 琢=3 的情形， 是幂函数； ⑥y=x - 1 2 是 琢=- 1 2 的情形， 是幂函数 . 故是幂函数的有 ①⑤⑥ ， 故选 B. 2. C 【解析】 当幂指数 琢＝－1 时， 幂函数 y＝x －1 的图 象不经过原点， 故 A 错误； ∵ 所有的幂函数在区间 （ 0 ， ＋∞ ） 上都有定义， 且 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， y＝x 琢 （ 琢∈R ） >0 ， ∴ 幂函数的图象 不可能出现在第四象限， 故 B 错误； 当 琢>0 时， y＝x 琢 是增函数， 故 C 正确； 当 琢＝－1 时， y＝x －1 在区间 （ －∞ ， 0 ）， （ 0 ， ＋∞ ） 上 是减函数， 但在整个定义域上不是减函数， 故 D 错误 ． 故选 C. 3. A 【解析 】 由图象可得曲线 ① 为对数函数 y= log c x ， 在定义域上为增函数， 则 c>1. 曲线 ② 为指数函数 y=b x ， 为减函数， 则 0<b<1. 曲线 ③ 为幂函数 y=x a ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上为减函数 ， 则 a<0. ∴a<0<b<1<c. 故选 A. 4. A 【解析】 ∵ 幂函数 y=x 0.8 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递 增， 又 ∵仔>3>1 ， 则有 仔 0.8 >3 0.8 >1 0.8 =1 ， 指数函数 y= 1 3 3 & x 在 R 上单调递减， 而 e>0 ， 于是 得 1 3 3 & e < 1 3 3 & 0 =1 ， 从而有 1 3 3 & e <1<3 0.8 <仔 0.8 ， ∴c<a<b. 故 选 A. 5. CD 【解析】 若幂函数的图象经过点 1 8 ， 3 & 2 ， 则 解析式为 y=x - 1 3 ， 故 A 错误； 函数 f （ x ） =x - 4 5 是偶函数且在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递增， B 错误； 幂函数 y=x 琢 （ 琢>0 ） 始终经过点 （ 0 ， 0 ） 和 （ 1 ， 1 ）， C 正确； 对 任 意 的 x 1 ， x 2 ∈ ［ 0 ， +∞ ） ， 要 证 f （ x 1 ） +f （ x 2 ） 2 ≤ f x 1 +x 2 2 3 & ， 即 x 1 姨 + x 2 姨 2 ≤ x 1 +x 2 2 姨 ， 即 x 1 +x 2 +2 x 1 x 2 姨 4 ≤ x 1 +x 2 2 ， 即 （ x 1 姨 - x 2 姨 ） 2 ≥0 ， 易知成立， 故 D 正确 . 故选 CD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 根据幂函数定义判断 C 不是幂函数 . 故选 C. 2. A 【解析】 ∵ 底数为正数时， 幂值一定为正， 故 选 A. 3. A 【解析】 ∵f （ x ） = （ m 2 -m-1 ） x 1-m 为幂函数， ∴m 2 - m-1=1 ， 解得 m=-1 或 m=2. 又 ∵f （ x ）是偶函数， ∴1- m 为偶数， 故 m=-1. 故选 A. 4. ACD 【解析】 将（ 4 ， 2 ）代入 f （ x ） =x 琢 得 2=4 琢 ， 则 琢= 1 2 ， ∴ f （ x ） =x 1 2 ， 显然 f （ x ）在定义域［ 0 ， +∞ ）上为增 函数， ∴A 正确； f （ x ）的定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， ∴ f （ x ）不具有奇偶性 ， ∴B 不正确； 当 x>1 时， x 姨 >1 ， 即 f （ x ） >1 ， ∴C 正确； 当 0<x 1 <x 2 时， f （ x 1 ） +f （ x 2 ） 2 3 # 2 -f x 1 +x 2 2 3 # 2 = x 1 姨 + x 2 姨 2 3 # 2 - x 1 +x 2 2 姨 3 # 2 = x 1 +x 2 +2 x 1 x 2 姨 4 - x 1 +x 2 2 = 2 x 1 x 2 姨 -x 1 -x 2 4 =- （ x 1 姨 - x 2 姨 ） 2 4 <0. x y O ① ③ ② 1 1 第 3 题答图 44 参 考 答 案 即 f （ x 1 ） +f （ x 2 ） 2 <f x 1 +x 2 2 2 " ， ∴D 正确 . 故选 ACD. 5. C 【解析】 ∵ 幂函数 f （ x ） =x α 的图象过点 2 ， 1 2 " ， ∴2 α = 1 2 ， 解得 α=-1 ， ∴ f （ x ） = 1 x ， 则 g （ x ） = x-2 x =1- 2 x 在 区间 1 2 ， ， $ 1 上单调递增， ∴g （ x ） min =g 1 2 2 " =-3. 故选 C. 6. 2 【解析 】 设 f （ x ） =x α （ α 为常数 ） ， 则有 2 α = 2 姨 ， ∴α= 1 2 ， ∴ f （ 4 ） =4 1 2 =2. 7. > 【解析】 ∵y=x -1 在 （ 0 ， +∞ ）上是减函数， 5.25< 5.26 ， ∴5.25 -1 >5.26 -1 . ∵y=5.26 x 在 R 上是增函数， -1>-2 ， ∴5.26 -1 >5.26 -2 . 综上， 5.25 -1 >5.26 -2 . 8. -1 【解析】 ∵f （ x ） = （ m 2 -m-1 ） x 2m-3 为幂函数， ∴m 2 -m-1=1 ， ∴m=2 或 m=-1. 当 m =2 时 ， f （ x ） =x ， 在 （ 0 ， +∞ ）上 为 增 函 数 ， 不符合题意， 舍去； 当 m=-1 时， f （ x ） =x -5 ， 符合题意 . 综上可知， m=-1. 9. 解： （ 1 ） 由 f （ x ）为幂函数知 -2m 2 +m+2=1 ， 解得 m=1 或 m=- 1 2 . 当 m=1 时， f （ x ） =x 2 ， 符合题意； 当 m=- 1 2 时， f （ x ） =x 1 2 ， 不是偶函数， 舍去 . ∴ f （ x ） =x 2 . （ 2 ） 当 a≤2 时， y=f （ x ） -2ax+1 在区间（ 2 ， 3 ）上单调 递增 . 由 （ 1 ） 得 y=x 2 -2ax+1. 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 2 ， 3 ）， 且 x 1 < x 2 ， 则有 x 1 -x 2 <0 ， ∴y 1 -y 2 =x 2 1 -x 2 2 +2a （ x 2 -x 1 ） = （ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 -2a ） = （ x 1 -x 2 ）· （ x 1 -a+x 2 -a ） . ∵x 1 -x 2 <0 ， a≤2 ， x 1 -a>0 ， x 2 -a>0 ， ∴y 1 -y 2 <0 ， ∴y=f （ x ） -2ax+1 在区间（ 2 ， 3 ）上单调递增 . 10. 解： ∵m∈ （ -2 ， 2 ） 且 m∈Z ， ∴m=-1 ， 0 ， 1. 又 ∵ 对任意的 x∈R ， 都有 f （ -x ） +f （ x ） =0 ， 即 f （ -x ） =-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数 . 当 m=-1 时 ， f （ x ） =x 2 只满足条件 ① 而不满足条 件 ② ； 当 m=1 时， f （ x ） =x 0 ， 条件 ①② 都不满足； 当 m=0 时， f （ x ） =x 3 ， 条件 ①② 都满足 . 故 f （ x ）的解析式为 f （ x ） =x 3 . 又 ∵f （ x ） =x 3 在区间［ 0 ， 3 ］上是增函数， ∴x∈ ［ 0 ， 3 ］ 时， 函数 f （ x ）的值域为［ 0 ， 27 ］ . 提升练习 11. A 【解析】 由题意， 令 t=log m n ， 故 2t+ 6 t =13 ， 解 得 t= 1 2 或 t=6 （舍去）， 故 n= m 姨 ， 故 m n 2 =1 ， 故 f （ x ） =x 的大致图象为 A ， 故选 A. 12. D 【解析 】 ∵x 1 >0 ， x 2 >0 ， x 2 f （ x 1 ） -x 1 f （ x 2 ） x 2 -x 1 >0 ， ∴ f （ x 1 ） x 1 - f （ x 2 ） x 2 x 2 -x 1 >0 ， 即 x 1 <x 2 时， f （ x 1 ） x 1 > f （ x 2 ） x 2 ， ∴ 函数 y= f （ x ） x 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数 . 又 ∵0.2 0.3 <0.3 0.3 <1 ， 0.2 -0.2 >1 ， 即 0.2 0.3 <0.3 0.3 <0.2 -0.2 ， ∴a>b>c． 故选 D． 13. ACE 【解析】 f （ x ） =x n m = x n m 姨 ， 当 m ， n 是奇数 时， 幂函数 f （ x ）是奇函数， 故 A 正确； 当 m 是偶数， n 是奇数时， 幂函数 f （ x ）在 x<0 时无 意义， 故 B 错误； 当 m 是奇数， n 是偶数时， 幂函数 f （ x ）是偶函数， 故 C 正确； 当 0< m n <1 时， 幂函数 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函 数， 故 D 错误； 当 m ， n 是奇数时， 幂函数 f （ x ） = x m n 姨 在 R 上恒有 意义， 故 E 正确 . 故选 ACE. 14. BC 【解析 】 ∵f （ x ） = （ m 2 -m-1 ） x m 2 +m-3 为幂函数 ， ∴m 2 -m-1=1 ， 解得 m=2 或 m=-1. ∵ 任意 x 1 ， x 2 ∈ （ 0 ， +∞ ） 且 x 1 ≠x 2 ， 都满足 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 ， 不妨设 x 1 >x 2 ， 则有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） >0 ， ∴y=f （ x ）为增函 数， ∴m=2 ， 此时 f （ x ） =x 3 . ∵f （ -x ） = （ -x ） 3 =-x 3 =-f （ x ）， ∴f （ x ） =x 3 为奇函数 ， 且 f （ x ）在 R 上单调递增 . ∵a ， b∈R 且 f （ a ） +f （ b ） <0 ， ∴ f （ a ） <f （ -b ） . ∵y=f （ x ）为增函数， ∴a<-b ， ∴a+b<0. 故 B ， C 正确 . 故选 BC. 15. 1 3 ， 7 3 ， 3 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） = （ m-1 ） 2 x m 2 -4m+2 为 幂函数， 则（ m-1 ） 2 =1 ， ∴m=0 或 m=2. 当 m=2 时 ， f （ x ） =x -2 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减 ， 舍去； 当 m=0 时 ， f （ x ） =x 2 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， ∴ f （ x ） =x 2 . 当 x∈ ［ 1 ， 5 ） 时， f （ x ） =x 2 ∈ ［ 1 ， 25 ）， 故 g （ 5 ） =2 5 -3t≥25 ， ∴t≤ 7 3 ； 45 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 g （ 1 ） =2-3t≤1 ， ∴t≥ 1 3 . 综上所述， t∈ 1 3 ， 7 3 3 % . * 16. 解： （ 1 ） ∵f （ x ）是幂函数， 则 m 2 -2m+2=1 ， m= 1. 又 ∵f （ x ）是偶函数 ， ∴3k-k 2 =k （ 3-k ）是偶数 ， f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 则 3k-k 2 >0 ， 0<k<3 ， ∴k=1 或 2 ， ∴ f （ x ） =x 2 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知函数 f （ x ）为偶函数， 且在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增 ， ∴ 由 f （ 2x-1 ） <f （ 2-x ）可得 ， f （ ｜2x-1 ｜ ） < f （ ｜2-x｜ ）， ∴｜2x-1｜ 2 <｜2-x｜ 2 ， 解得 -1<x<1． ∴x 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 m=1 ， ∴2a+3b=7 ， 2 （ a+1 ） +3 （ b+1 ） = 12 ， a>0 ， b>0. 3 a+1 + 2 b+1 = 1 12 3 a+1 + 2 b+1 1 ' ［ 2 （ a+1 ） +3 （ b+1 ）］ = 1 12 12+ 9 （ b+1 ） a+1 + 4 （ a+1 ） b+1 3 % ≥ 1 12 12+2 9 （ b+1 ） a+1 · 4 （ a+1 ） b+1 姨 ' =2 ， 当且仅当 9 （ b+1 ） a+1 = 4 （ a+1 ） b+1 ， 即 a=2 ， b=1 时等号成立 ． ∴ 3 a+1 + 2 b+1 的最小值是 2． 4.5 增长速度的比较 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 由题意结合函数的解析式有： k 1 = f （ x 0 +Δx ） -f （ x 0 ） Δx = （ x 0 +Δx ） 2 - （ x 0 ） 2 Δx =2x 0 +Δx ， k 2 = f （ x 0 ） -f （ x 0 -Δx ） Δx = （ x 0 ） 2 - （ x 0 -Δx ） 2 Δx =2x 0 -Δx ， 则 k 1 -k 2 =2Δx ， ∵Δx>0 ， ∴k 1 >k 2 . 故选 A. 变式训练 2 C 【解析】 比较指数函数、 对数函数、 幂函数的增 长速率， 指数函数增长最快， 对数函数增长最慢， 由题 中表格可知， y 1 是幂函数， y 2 是指数函数， y 3 是对数函 数， 故选 C． 随堂练习 1. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变化 率为 m 1 = 1-0 1-0 =1 ； 函数 g （ x ） =x 2 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变化 率为 m 2 = 1 2 -0 2 1-0 =1 ； 函数 h （ x ） =x 3 在 ［ 0 ， 1 ］ 上的平均变 化率为 m 3 = 1 3 -0 3 1-0 =1 ； ∴m 1 =m 2 =m 3 . 故选 A. 2. B 【解析】 ∵ 指数函数 y= e 2 1 ' x 是几何级数增长， 当 x 越来越大时， 增长速度最快 . 故选 B． 3. B 【解析】 根据表格中的数据， 四个变量 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 都是越来越大， 但是增长速度不同， 其中变量 y 2 的增长速度最快， 符合指数函数的增长特点 . 故选 B. 4. ③④⑤ 【解析】 路程 f i （ x ） （ i=1 ， 2 ， 3 ， 4 ） 关于 时间 x （ x≥0 ） 的函数关系是： f 1 （ x ） =2 x -1 ， f 2 （ x ） =x 2 ， f 3 （ x ） =x ， f 4 （ x ） =log 2 （ x+1 ）， 它们相应的函数模型分别是指数型函数 、 二次函 数、 一次函数和对数型函数模型 ． 当 x=2 时， f 1 （ 2 ） =3 ， f 2 （ 2 ） =4 ， ∴ 命题 ① 不正确； 当 x=4 时， f 1 （ 5 ） =31 ， f 2 （ 5 ） =25 ， ∴ 命题 ② 不正确； 根据四种函数的变化特点， 对数型函数的变化是先 快后慢， 当 x=1 时， 甲、 乙、 丙、 丁四个物体又重合， 从而可知当 0＜x＜1 时， 丁走在最前面， 当 x＞1 时， 丁走 在最后面， 命题 ③ 正确； 指数函数变化是先慢后快， 当运动的时间足够长， 最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体， 即一 定是甲物体， ∴ 命题 ⑤ 正确 ． 结合对数型和指数型函数的图象变化情况， 可知丙 不可能走在最前面， 也不可能走在最后面， 命题 ④ 正确 ． 故答案为 ③④⑤． ５. ②④ 【解析】 由图可知， 前 3 年的产量增长的速 度越来越慢， 故 ① 错误， ② 正确； 第三年后这种产品的产量保持不变， 故 ③ 错误， ④ 正确； 综上所述， 正确的为 ②④. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 ∵ 自变量 x 由 x 0 改变到 x 0 ＋Δx ， 当 x＝x 0 时， y＝f （ x 0 ）， 当 x＝x 0 ＋Δx 时， y＝f （ x 0 ＋Δx ）， ∴Δy＝f （ x 0 ＋Δx ） -f （ x 0 ）， 故选 D. 2. C 【解析】 当 x＝1 时， y＝3 ， 当 x＝2 时， y＝5 ， 故 平均变化率为 5-3 2-1 ＝2. 故选 C. 3. B 【解析】 Δy Δx ＝ 1-3 3-1 ＝-1. 故选 B. 4. ABC 【解析】 由题图可知， 投资 3 天以内 （含 3 天）， 方案一的回报最高， 故 A 说法正确； 投资 4 天， 方案一的回报约为 40×4=160 （元）， 方 案二的回报约为 10+20+30+40=100 （元）， 都高于方案三 的回报， 故 B 说法正确； 投资 6 天， 方案一的回报约为 40×6=240 （元）， 方 案二的回报约为 10+20+30+40+50+60=210 （元）， 都高 于方案三的回报， 且方案一的回报最高， 故 C 说法正确； 投资 12 天， 明显方案三的回报最高， ∴ 此时采用 方案三， 故 D 说法错误 . 故选 ABC. 46