4.2.3对数函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 学 习 目 标 1. 理解对数函数的概念， 会判断一个函 数是不是对数函数 . 2. 初步掌握对数函数的图象与性质 . 3. 掌握对数函数的定义域、 值域的求法 . 要 点 精 析 要点 1 对数函数的概念 一般地 ， 函数 y=log a x 称为对数函数 ， 其中 a 是常数， a>0 且 a≠1. 思考 一个函数是对数函数， 需要满 足几个条件呢？ 例 1 若函数 y=log （ 2a-1 ） x+a 2 -5a+4 是对数 函数， 则 a= . 分析 判断一个函数是对数函数的 方法： 解析： ∵y=log （ 2a-1 ） x+a 2 -5a+4 是对数函数， ∴ 2a-1>0 ， 2a-1≠1 ， a 2 -5a+4=0 0 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 解得 a=4. 变式训练 1 下列函数表达式中 ， 是对数函数的 有 （ ） ①y=log x 2 ； ②y=log a x （ a∈R ）； ③y=log 8 x ； ④y=lnx ； ⑤y=log x （ x+2 ）； ⑥y=2log 4 x ； ⑦y= log 2 （ x+1 ） . A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 要点 2 对数函数的图象及性质 （ 1 ） 明确图象位置： 对数函数图象都在 y 轴右侧， 当 x 趋近于 0 时， 函数图象会越 来越靠近 y 轴， 但永远不会与 y 轴相交 . （ 2 ） 强化讨论意识： 画对数函数图象之 前要对底数 a 的取值范围是 a>1 还是 0<a<1 进行判断 . （ 3 ） 牢记特殊点： 对数函数 y=log a x （ a> 0 且 a≠1 ） 的图象经过点 （ 1 ， 0 ）， （ a ， 1 ） 和 1 a ， - - ( 1 . 思考 底数互为倒数的两个对数函数 的图象有什么关系？ 你能否得出 y=f （ x ）与 y=-f （ x ）的图象的位置关系呢？ 例 2 已知函数 y=log a （ x+ c ） （ a ， c 为常数， 其中 a>0 且 a≠1 ） 的图象如图 4-2-1 所示， 则下列结论成立的是 （ ） 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 1课时 对数函数的概念与图象 系数 底数 真数 对数的系数为 1 对数的底数大于零且不等于 1 对数的真数仅有自变量 x 同时 成立 对数 函数 图 4-2-1 x y O 1 15 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 A. a>1 ， c>1 B. a>1 ， 0<c<1 C. 0<a<1 ， c>1 D. 0<a<1 ， 0<c<1 分析 借助对数函数的图象， 结合平 移的知识进行判断 . 解析： 由题图知函数单调递减， ∴0<a<1. 当 x=1 时， log a （ x+c ） =log a （ 1+c ） <0 ， 即 1+c> 1 ， ∴c>0 ， 当 x=0 时， log a （ x+c ） =log a c>0 ， 即 c<1 ， ∴0<c<1 ， 故选 D. 反思感悟 例 2 需要先作出基本函数 （对数函数） 的图象， 再由平移变换作出函 数图象 . 变式训练 2 设 f （ x ） =|ln （ x+1 ） | ， 已知 f （ a ） =f （ b ） （ a< b ）， 则 （ ） A. a+b>0 B． a+b>1 C. 2a+b>0 D． 2a+b>1 要点 3 对数函数的定义域、 值域问题 求对数函数值域的方法： （ 1 ） 求对数函数的值域时， 一般根据对 数函数的单调性及真数的取值范围求解 . （ 2 ） 求对数函数的值域时， 一定要注意 定义域对它的影响， 然后结合函数的单调性 求解， 当函数中含有参数时， 有时需讨论参 数的取值范围 . 例 3 求函数的定义域： y=log （ 2x-1 ） （ -4x+8 ） . 分析 借助对数函数的定义列出相应 的不等式 . 解： 由题意得 -4x+8>0 ， 2x-1>0 ， 2x-1≠1 1 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 解得 x<2 ， x> 1 2 ， x≠1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % . 故函数 y=log （ 2x-1 ） （ -4x+8 ） 的定义域为 1 2 ， ， ( 1 ∪ （ 1 ， 2 ） . 反思感悟 对数型函数要满足真数大 于 0 、 底数大于 0 且不等于 1 这两个条件， 然后取交集即为定义域 . 变式训练 3 函数 y = log 0.5 （ 4x 2 -3x ） 姨 的 定 义 域 为 （ ） A. - 1 4 ， ， 0 0 ∪ 3 4 ， ， 1 1 B． - 1 4 ， 1 ( 0 ∪ 3 4 ， ， 1 1 C. - 1 4 ， ， 0 ( ∪ 3 4 ， 1 ( 1 D． - 1 4 ， 1 ( 0 ∪ 3 4 ， 1 ( 1 例 4 求函数的值域： y=log 1 2 （ 3+2x-x 2 ） . 分析 先弄清原函数是由哪些函数复 合到一起的， 然后按照求值域的方法进行 解答 . 解： 令 t=3+2x-x 2 ， 则 t=- （ x-1 ） 2 +4≤4 ， 且 y=log 1 2 t 为减函数 ， ∴log 1 2 （ 3+2x-x 2 ） ≥ log 1 2 4=-2. 即函数 y=log 1 2 （ 3+2x-x 2 ）的值域为［ -2 ， +∞ ） . 16 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 反思感悟 求对数型函数的值域， 一 方面， 要抓住对数函数的定义域和单调性， 另一方面要抓住中间变量的取值范围 . 变式训练 4 （多选题） 已知函数 f （ x ） =lg （ ax 2 +4x-a+ 5 ）， 若对任意的 m∈R ， 均存在 x 0 使得 f （ x 0 ） =m ， 则 a 的可能取值为 （ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 数 学 文 化 最早传入我国的对数著作是 《比例与对 数 》， 它是由波兰的穆尼斯 （ 1611 — 1656 ） 和我国的薛凤祚在 17 世纪中叶合编而成的 . 当时在 lg2=0.301 0 中 ， 2 称为 “真数 ” ， 0.301 0 称为 “假数”， 真数与假数对列成表， 故称对数表 . 后来改 “假数” 为 “对数” . 例 中国科学院院士吴文俊在研究中国 古代数学家刘徽著作的基础上， 把刘徽常用 的方法概括为 “出入相补原理”： 一个图形 不论是平面的还是立体的， 都可以切割成有 限多块， 这有限多块经过移动再组合成另一 个图形， 则后一图形的面积或体积保持不 变 . 利用这个原理， 解决下面问题： 已知函 数 f （ x ）满足 f （ 4-x ） =f （ x ）， 且当 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 时的解析式为 f （ x ） = -log 2 （ 2-x ）， 0≤x≤1 ， log 2 x ， 1<x≤2 2 ， 则函数 y=f （ x ）在 x∈ ［ 0 ， 4 ］ 的图象与直线 y=-1 围成的封闭图形的面积是 （ ） A. 2 B． 2log 2 3 C． 4 D． 4log 2 3 解析： 由题意知， f （ x ）关于 x=2 对称， 而 f （ x ） = -log 2 （ 2-x ）， 0≤x≤1 ， log 2 x ， 1<x≤2 2 ， 且 f （ 0 ） =f （ 4 ） =-1 ， f （ 2 ） =1 ， ∴ 在 x∈ ［ 0 ， 4 ］， f （ x ）， f （ 4-x ）及 y=-1 的图象如图 4- 2-2. ∴ 将所围成的图形在 x 轴下半部分阴影 区域分成两部分相补到 x 轴上半部分阴影区 域， 可得到图示由 x 轴、 y 轴、 y=1 、 x=4 所围 成的矩形的面积， ∴ 函数 y=f （ x ）在 x∈ ［ 0 ， 4 ］ 的图象与直线 y=-1 围成封闭图形的面积为 4. 故选 C. x y O y=-1 y=1 x=2 x=4 f （ x ） f （ 4-x ） 图 4-2-2 17 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能利用对数函数的单调性解决与之有 关的比较大小、 求单调区间等问题 . 2. 掌握对数函数的性质及其应用 . 要 点 精 析 要点 1 对数值的大小比较 比较对数值大小的方法： 比较对数值的大小主要依据对数函数的 单调性 . （ 1 ） 若底数为同一常数， 则可由对数函 数的单调性直接进行比较 . （ 2 ） 若底数为同一字母， 则根据底数对 对数函数单调性的影响， 对底数进行分类 讨论 . （ 3 ） 若底数不同， 真数相同， 则可以先 用换底公式化为同底后， 再进行比较， 也可 以利用顺时针方向底数增大画出函数的图 象， 再进行比较 . （ 4 ） 若底数与真数都不同， 则常借助 1 ， 0 等中间量进行比较 . 思考 如何比较 log 4 2 姨 与 log 3 2 的 大小？ 例 1 （ 1 ） 下列大小关系正确的是 （ ） A. 0.4 3 <3 0.4 <log 4 0.3 B. 0.4 3 <log 4 0.3<3 0.4 C. log 4 0.3<0.4 3 <3 0.4 D. log 4 0.3<3 0.4 <0.4 3 （ 2 ） 比较下列各组中两个值的大小： ①log 5 3 4 与 log 5 4 3 ； ②log 2 3 与 log 5 4. 分析 利用指数幂的性质和对数函数 的单调性进行解答 . 解析： （ 1 ） 0<0.4 3 <1 ， 3 0.4 >1 ， log 4 0.3< 0 ， 故选 C. （ 2 ） ① 方法一： ∵ 对数函数 y=log 5 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函数， 且 3 4 < 4 3 ， ∴log 5 3 4 <log 5 4 3 . 方法二： ∵log 5 3 4 <0 ， log 5 4 3 >0 ， ∴log 5 3 4 <log 5 4 3 . ②∵log 2 3>log 2 2=1=log 5 5>log 5 4 ， ∴log 2 3>log 5 4. 反思感悟 若已知的数值是同一函数 的不同函数值， 则依据单调性即可比较大 小； 若已知的数值不是同一个函数的函数 值， 则设法找到中间值， 然后比较大小， 也可以根据图象比较大小 . 变式训练 1 设 a =log 6 3 ， b =log 12 6 ， c =log 24 12 ， 则 （ ） A. b<c<a B． a<c<b C． a<b<c D． c<b<a 要点 2 求解对数不等式 常见的三种类型的对数不等式： （ 1 ） 形如 log a x>log a b 的不等式， 借助 y= 第 2课时 对数函数的性质 18 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 log a x 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定， 那么需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论 . （ 2 ） 形如 log a x>b 的不等式， 应先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式， 再借助 y= log a x 的单调性求解 . （ 3 ） 形如 log a x>log b x 的不等式， 可利用 函数图象求解 . 例 2 已知 log 0.7 （ 2x ） <log 0.7 （ x-1 ）， 则 x 的取值范围是 . 分析 形如 log a x>log a b 的不等式， 借 助 y=log a x 的单调性求解， 如果 a 的取值不 确定 ， 那么需分 a>1 与 0<a<1 两种情况 讨论 . 解析： ∵ 函数 y=log 0.7 x 在（ 0 ， +∞ ）上为 减函数， ∴ 由 log 0.7 2x<log 0.7 （ x-1 ）， 得 2x>0 ， x-1>0 ， 2x>x-1 1 # # # # # " # # # # # $ ， 解得 x>1 ， 即 x 的取值范 围是（ 1 ， +∞ ） . 变式训练 2 （多选题） 已知正实数 x ， y 满足 log 2 x+ log 1 2 y< 1 2 2 & x - 1 2 2 & y ， 则下列结论正确的是 （ ） A. 1 x < 1 y B． x 3 <y 3 C. ln （ y-x+1 ） >0 D． 2 x-y < 1 2 要点 3 对数函数的单调性 抓两个要点： （ 1 ） 单调区间必须是定义域的子集 . （ 2 ） 若 f （ x ）， g （ x ）的单调性相同 ， 则 f （ g （ x ））为增函数； 若 f （ x ）， g （ x ）的单调性相 异， 则 f （ g （ x ））为减函数， 简称 “同增异减” . 思考 判断 y=log a f （ x ）的单调性， 首先 要考虑的是定义域， 要注意什么条件的限 制呢？ 例 3 求函数 y=log 1 2 （ -x 2 +2x+1 ）的值域 和单调区间 . 分析 若 f （ x ）， g （ x ）的单调性相同 ， 则 f （ g （ x ））为增函数； 若 f （ x ）， g （ x ）的单调 性相异， 则 f （ g （ x ））为减函数， 简称 “同增 异减” . 解： 设 t=-x 2 +2x+1 ， 则 t=- （ x-1 ） 2 +2. ∵y=log 1 2 t 为减函数， 且 0<t≤2 ， ∴y min =log 1 2 2=-1 ， 即函数的值域为［ -1 ， +∞ ） . 由 -x 2 +2x+1>0 ， 得 1- 2 姨 <x<1+ 2 姨 . 易知 t=-x 2 +2x+1 在 （ 1- 2 姨 ， 1 ］上单调 递增， 在（ 1 ， 1+ 2 姨 ）上单调递减， 又 y= log 1 2 t 为减函数， ∴ 函数 y=log 1 2 （ -x 2 +2x+1 ） 的单调增区间 为（ 1 ， 1+ 2 姨 ）， 单调减区间为 （ 1- 2 姨 ， 1 ］ . 反思感悟 求值域时， 先求中间变量 的取值范围， 再利用对数函数的单调性求 其值域 . 变式训练 3 若函数 f （ x ） =log 0.5 （ x 2 -ax-2a 2 ） 在区间 （ 2 ， 4 ） 上单调递减， 则实数 a 的取值范围 是 . 19 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 例 4 若 f （ x ） =ln a+ 1 1-x +b 是奇函数， 则 a= ， b= . 分析 奇函数的代数特征是 f （ -x ） =-f （ x ）， 几何特征是其图象关于原点对称 . 因为要求 的参数有两个， 所以利用函数的代数特征， 寻找两个关于参数的方程， 列方程组求解 . 解析： ∵f （ x ） =ln a+ 1 1-x +b 是奇函数， ∴ f （ 0 ） =ln|a+1|+b=0 ， f （ 2 ） =ln|a-1|+b=-f （ -2 ） =-ln a+ 1 3 -b b # # # # " # # # # $ ， 解得 a=- 1 2 ， b=ln2 b # # # # " # # # # $ . 数 学 文 化 我国清代的数学家戴煦 （ 1805 — 1860 ） 发现了多种求对数的解法， 著有 《对数简 法 》 （ 1845 ）、 《续对数简法 》 （ 1846 ） 等 . 1854 年， 英国的数学家艾约瑟 （ 1825 — 1905 ） 看到这些著作后， 大为叹服 . 例 数学家已经证明： 指数函数 f （ x ） =a x 与对数函数 g （ x ） =log a x （ a>0 且 a≠1 ） 的图 象当且仅当 1<a<e 1 e 时有两个不同的公共点 . 若对任意的 x>0 ， 都有 e bx > lnx b 恒成立， 则实 数 b 的取值范围是 . （注： e 是自然 对数的底数） 解析： “若对任意的 x>0 ， 都有 e bx > lnx b 恒成立” 等价于 “函数 y=e bx = （ e b ） x 恒在函数 y= lnx b =log e b x 的上方”， ∴e b >e 1 e ， 即 b> 1 e ． 故 答案为 1 e ， + + ' ∞ ． 20 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 A 错误； 当 M=N=1 时， log a M · log a N=log a （ MN ）成立， 故 B 正确； 当 a ， b<0 时， ln （ ab ） =lna+lnb 不成立， 故 C 错误； 当 a ， b>0 时 ， lga lgb =lgalgb=lgb lga ， 则 a lgb =b lga ， 故 D 正确 . 故选 BD. * 15. 4+2 3 姨 3 【解析】 ∵x>0 ， y>0 ， ∴log 2 3 x +log 2 3 2y = log 2 3 4 log 2 4 ， log 2 （ 3 x ×3 2y ） = 1 2 log 2 3 4 ， ∴3 x ×3 2y =3 2 ， ∴x+2y=2 ， 即 1 2 （ x+2y ） =1 ， ∴ 2 x + 1 3y = 1 2 （ x+2y ） 2 x + 1 3y y # = 1 2 2+ 2 3 + 4y x + x 3y y y ≥ 1 2 8 3 +2 4y x · x 3y 姨 姨 y = 1 2 8 3 + 4 3 姨 3 姨 y = 4+2 3 姨 3 . 当 且 仅 当 4y x = x 3y 时 取 等 号 ， 即 4y x = x 3y ， x+2y=2 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 此 时 x=3- 3 姨 ， y= 3 姨 -1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . ∴ 最小值为 4+2 3 姨 3 . * 16. 4 ４ 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， ab=8 ， ∴log 2 a ·（ log 2 2b ） =log 2 a · log 2 16 a y y =log 2 a ·（ 4-log 2 a ） . 令 t=log 2 a∈R ， y=t （ 4-t ） =-t 2 +4t=- （ t-2 ） 2 +4 ， 当且仅当 t=2 时 ， y=t （ 4-t ）取最大值 4 ， 即 log 2 a · （ log 2 2b ）取最大值 4. 此时 log 2 a=2 ， 则 a=4. 4.2.3 对数函数的性质与图象 第 1 课时 对数函数的概念与图象 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由于 ① 中自变量出现在底数上， ∴① 不是 对数函数； 由于 ② 中底数 a∈R 不能保证 a>0 且 a≠1 ， ∴② 不是对数函数 ； 由于 ⑤⑦ 的真数分别为 （ x+2 ）， （ x+1 ）， ∴⑤⑦ 也不是对数函数； 由于 ⑥ 中 log 4 x 的系数 为 2 ， ∴⑥ 也不是对数函数； 只有 ③④ 符合对数函数的 定义 . 故选 B. 变式训练 2 A 【解析 】 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜= -ln （ x+1 ）， -1<x<0 ， ln （ x+1 ）， x≥0 0 ， 作 函数 f （ x ） =｜ln （ x+1 ） ｜ 的图象如图所示 . 由 f （ a ） =f （ b ）， 可得 ｜ln （ a+1 ） ｜=｜ln （ b+1 ） ｜ ， 且 -1<a<0 ， b>0 ， ∵a<b ， ∴-ln （ a+1 ） =ln （ b+1 ）， ∴ （ a+1 ）（ b+1 ） =1 ， 即 ab+a+b=0. ∵ab< （ a+b ） 2 4 ， ∴0=ab+a+b< （ a+b ） 2 4 +a+b ， 即 （ a+b ）（ a+ b+4 ） >0. ∵-1<a<0 ， b>0 ， ∴a+b+4>0 ， ∴a+b>0. 故选 A. 变式训练 3 A 【解析】 由题可知 ， log 0.5 （ 4x 2 -3x ） ≥0 ， 由对数函 数的单调性， 可得 0<4x 2 -3x≤1 ， 解得 - 1 4 ≤x<0 或 3 4 <x≤1 ， ∴y= log 0.5 （ 4x 2 -3x ） 姨 的定义域为 - 1 4 ， y 0 0 ∪ 3 4 ， ， 1 姨 . 故选 A. 变式训练 4 ABD 【解析】 依题意知， 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 +4x-a+5 ） 的值域为 R ， 则 a=0 或 a>0 ， Δ=16-4a （ -a+5 ） ≥0 0 ， 解得 0≤ a≤1 或 a≥4 ， 故选 ABD． 随堂练习 1. A 【解析】 设函数解析式为 y＝log a x （ a>0 且 a≠ 1 ） ． ∵ 对数函数的图象过点 M （ 125 ， 3 ）， ∴3＝log a 125 ， 得 a＝5. ∴ 对数函数的解析式为 y＝log 5 x. 故选 A. 2. C 【解析】 设 t＝x 2 ＋8 ， 则 t≥8. 又 ∵ 函数 y＝log 2 t 在 （ 0 ， ＋∞ ） 上为增函数， ∴ f （ x ） ≥log 2 8＝3． 故选 C． 3. A 【解析】 由对数函数 y＝log a x （ a＞0 且 a≠1 ） 与 二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 可知， ① 当 0＜a＜1 时， 此时 a-1＜0 ， 对数函数 y＝log a x 为减 函数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向下， 且其对称轴 为 x＝ 1 2 （ a-1 ） <0 ， 故排除 C 与 D ； ② 当 a＞1 时， 此时 a-1＞0 ， 对数函数 y＝log a x 为增函 数， 而二次函数 y＝ （ a-1 ） x 2 -x 开口向上， 且其对称轴为 x＝ 1 2 （ a-1 ） >0 ， 故 B 错误， 而 A 符合题意 ． 故选 A． 4. B 【解析】 由题意知 2 a +a=log 2 b+b=log 3 c+c=k （ k< 1 ）， 可得 2 a =-a+k ， log 2 b=-b+k ， log 3 c=-c+k ， 且 k<1. 分别作出函数 y=2 x ， y=log 2 x ， y=log 3 x 和 y=-x+k 的 图象如图所示， 结合图象， 可得 a<c<b. 故选 B. 变式训练 2 答图 x y O a b c y=2 x y=log 2 x y=log 3 x y=-x+k （ k<1 ） 第 4 题答图 x y O -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 36 参 考 答 案 5. （ 2 ， 3 ） 【解析】 ∵y=lg （ x-2 ） + 1 9-x 2 姨 ， ∴ x-2>0 ， 9-x 2 >0 0 ， 解得 2<x<3 ， ∴ 函数的定义域为 （ ２ ， ３ ） . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 y=a x （ a>0 且 a≠1 ） 的定义域为 R ， y= log a x （ a>0 且 a≠1 ） 的定义域为 {x|x>0} ， A 错误； y=x 的定义域为 R ， y= x 姨 的定义域为 {x|x≥0} ， B 错误； 两函数的定义域均为 {x|x>0} ， C 正确； y=x 2 的定义域为 R ， y=lgx 2 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0} ， D 错误 . 故选 C. 2. B 【解析】 由题意得 x+2≥0 ， 1-x>0 0 ， 解得 -2≤x<1. 故选 B. 3. B 【解析 】 设对数函数为 y=log a x （ x>0 ， a>0 且 a≠1 ） . ∵ 对数函数的图象过点 M （ 9 ， 2 ）， ∴2=log a 9 ， ∴a 2 =9. ∵a>0 ， ∴a=3. ∴ 此对数函数的解析式为 y=log 3 x. 故选 B. 4. C 【解析】 由题意得 x 2 -x>0圯x>1 或 x<0 ， 故函数 f （ x ）的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故选 C. 5. ABC 【解析】 函数 f （ x ） =lg （ 1-x ）的定义域为（ -∞ ， 1 ）， 故 A 说法错误； f （ x ）的值域为 R ， 故 B 说法错误； 易知 y=1-x 单调递减 ， y=lgx 单调递增 ， 故函数 f （ x ） = lg （ 1-x ）在定义域上单调递减， 故 C 说法错误， D 说法正 确 . 故选 ABC. 6. ［ 2 ， +∞ ） 【解析】 当 x≥1 时， log 2 x≥0 ， ∴y=2+ log 2 x≥2. 7. 1 27 【解析 】 由 题 意 得 f 1 8 ) * =log 2 1 8 =-3 ， 则 f f 1 8 8 ,) , =f （ -3 ） =3 -3 = 1 27 . 8. （ 2 ， 1 ） 【解析】 当 2x-3=1 ， 即 x=2 时， 对任意 的 a>0 且 a≠1 ， 都有 y=log a 1+1=0+1=1 ， ∴ 函数 y=log a （ 2x- 3 ） +1 的图象恒过定点 （ 2 ， 1 ）， 故点 P 的坐标是 （ 2 ， 1 ） . 9. 解： 由 1+x 2 姨 -x>0 ， 可得 x∈R ， ∴ 函数 f （ x ）的定义域为 R ， 关于原点对称 . 方法一： ∵f （ -x ） =lg （ 1+x 2 姨 +x ） =lg （ 1+x 2 姨 +x ）（ 1+x 2 姨 -x ） 1+x 2 姨 -x =lg 1 1+x 2 姨 -x =-lg （ 1+x 2 姨 -x ） =-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ）是奇函数 . 方法二： ∵f （ x ） +f （ -x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ） +lg （ 1+x 2 姨 +x ） =lg ［（ 1+x 2 姨 -x ）（ 1+x 2 姨 +x ）］ =lg （ 1+x 2 -x 2 ） =0 ， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ） =lg （ 1+x 2 姨 -x ）是奇函数 . 10. 解： （ 1 ） 要使函数 f （ x ）有意义， 则有 x+1 x-1 >0 ， 即 x+1>0 ， x-1> > 0 或 x+1<0 ， x-1<0 0 ， 解得 x>1 或 x<-1 ， ∴ 函数 f （ x ）的定义域为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知函数 f （ x ）的定义域关于原点对称， 又 f （ -x ） =log a -x+1 -x-1 =log a x-1 x+1 =-log a x+1 x-1 =-f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数 . 提升练习 11. D 【解析】 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ）的定义域为 R ， 则 a=0 时， f （ x ） =lg1=0 符合 . a≠0 时， 需满足 a>0 ， Δ=4a 2 -4a< > 0 圯0<a<1. 综上所述， 函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ） 的定义域为 R ， 则 a 的取值范围是 ［ 0 ， 1 ） . ∴ 使函数 f （ x ） =lg （ ax 2 -2ax+1 ） 的定义域为 R 的实数 a 取值的一个充分不必要条件是 （ 0 ， 1 ） . 故选 D. 12. C 【解析】 当 x≤2 时， -x+6≥4 ， 当且仅当 x=2 时取等号 . 依题意得 ， {f （ x ） ｜x>2}哿 ［ 4 ， +∞ ） . 当 0 <a <1 时 ， log a x<0 ， 3+log a x<3<4 ， 不符合要求， ∴a>1 ， f （ x ）在 （ ２ ， +∞ ） 上 递 增 ， ∴ （ 3 +log a 2 ， +∞ ） 哿 ［ 4 ， +∞ ） ， 则 3 + log a 2≥4 ， 解得 1<a≤2 ， ∴ 实数 a 的取值范围是 （ 1 ， 2 ］ . 故选 C. 13. BD 【解析】 设对数函数 f （ x ） =log a x ， ∵ 点 8 ， 3 2 , 在对数函数 f （ x ）的图象上， ∴ 3 2 =log a 8 ， 解得 a=4 ， ∴ f （ x ） =log 4 x ， f （ 0.5 ） =log 4 0.5 =- 1 2 <0 ， 故 A 错误 ； 0 <f （ 2 ） = log 4 2<f （ 5 ） =log 4 5 ， ∴ 1 f （ 2 ） > 1 f （ 5 ） ， 故 B 正确； f （ x ） =log 4 x 在 x∈ 1 4 ， ， 1 2 上是增函数， ∴ f 1 4 8 * <f （ x ） <f （ 2 ）， 而 f 1 4 8 * =log 4 1 4 =-1 ， f （ 2 ） =log 4 2= 1 2 ， ∴ f （ x ） ∈ -1 ， 1 2 ， 2 ， 故 C 错误； 令 t=x 2 -2x-3>0 ， 解得 x<-1 或 x>3 ， ∴t 在 （ ３ ， +∞ ） 上单调递增 . 又 ∵f （ t ） =log 4 t 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增 ， ∴ 函数 f （ x 2 -2x-3 ）的单调递增区间为 （ 3 ， +∞ ）， 故 D 正 确 . 故选 BD. 14. ACD 【解析】 作出函数 f （ x ） =｜log 2 （ x-1 ） ｜ 的图象， 如图所示 . ∵x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） =f （ x 2 ）， 由图象可知 1<x 1 <2<x 2 ， 故 A 正确， B 错误； 由 f （ x 1 ） =f （ x 2 ） ， 得 ｜log 2 （ x 1 -1 ） ｜=｜log 2 （ x 2 -1 ） ｜ ， 即 -log 2 （ x 1 -1 ） =log 2 （ x 2 -1 ）， ∴ （ x 1 -1 ）（ x 2 -1 ） =1 ， 即 x 1 x 2 =x 1 +x 2 ， 37 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 1 x 1 + 1 x 2 =1 ， 故 C 正确； ∵x 1 +2x 2 -3= （ x 1 -1 ） +2 （ x 2 -1 ） ≥2 （ x 1 -1 ）· 2 （ x 2 -1 ） 姨 = 2 2 姨 ， 当且仅当（ x 1 -1 ） =2 （ x 2 -1 ）时， 等号成立 . ∵x 1 <x 2 ， ∴ （ x 1 -1 ） <x 2 -1<2 （ x 2 -1 ）， ∴ 取不到等号， 故 D 正确 . 故选 ACD. * 15. 5+4 3 姨 【解析】 在函数 f （ x ） =1+log a （ x-2 ） （ a> 0 且 a≠1 ） 中， 令 x-2=1 ， 可得 x=3 ， 代入函数可得 y= 1 ， ∴ 定点 A 的坐标为 （ ３ ， １ ）， 代入 m x + n y =1 可得 3 x + 1 y =1 ， 那么 x y =x-3. 又 ∵x>0 ， y>0 ， 则 x y +x+2y=2x+2y-3= （ 2x+2y ） 3 x + 1 y y % - 3= 6y x + 2x y +5≥2 6y x · 2x y 姨 +5=2 12 姨 +5=5+4 3 姨 . 当且仅当 6y x = 2x y ， 即 x=3+ 3 姨 ， y=1+ 3 姨 时取等 号， ∴ x y +x+2y 的最小值为 5+4 3 姨 . * 16. ［ 0 ， 1 ］ 【解析】 设函数 f （ x ）， g （ x ）的值域分别 为集合 A ， B. 当 x∈R 时， f （ x ） ∈ ［ 2 ， +∞ ）， ∴A= ［ 2 ， +∞ ） . ∵ 对任意的 x 1 ∈R ， 总存在实数 x 2 ∈ ［ 0 ， +∞ ）， 使得 f （ x 1 ） =g （ x 2 ）成立， ∴ 应有 A哿B ， 故当 a<0 显然不合要求 ． 当 a=0 时 ， 在 ［ 0 ， +∞ ） 上 g （ x ） =2x+1∈ ［ 1 ， +∞ ） 符合要求 ． 当 a>0 时， g （ x ） =a x+ 1 a y % 2 +a+1- 1 a 在 ［ 0 ， +∞ ） 上 递增， ∴g （ x ） ∈ ［ a+1 ， +∞ ）， 故 a+1≤2 ， 解得 a≤1. 综上所述， a∈ ［ 0 ， 1 ］ . 第 2 课时 对数函数的性质 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵a ， b ， c 都是正数， ∴ 1 a =log 3 6=1+log 3 2 ， 1 b =log 6 12=1+log 6 2 ， 1 c =log 12 24=1+log 12 2. ∵log 3 2= lg2 lg3 ， log 6 2= lg2 lg6 ， log 12 2= lg2 lg12 ， 且 lg3<lg6< lg12 ， ∴lg 3 2>lg 6 2>log 12 2 ， 即 1 a > 1 b > 1 c ， ∴a<b<c. 故选 C. 变式训练 2 BC 【解析】 原不等式可变形为 log 2 x- 1 2 y % x <log 2 y- 1 2 y % y ， 设 f （ x ） =log 2 x- 1 2 y % x ， 则 f （ x ） <f （ y ） . 又 ∵y=log 2 x 是增函数， y= 1 2 y % x 是减函数， ∴ f （ x ） = log 2 x- 1 2 y % x 是增函数， ∴x<y ， 即 0<x<y ， 则 1 x > 1 y ， A 错误； x 3 <y 3 ， B 正确； y-x+1>1 ， ln （ y-x+1 ） >0 ， C 正确； x-y<0 ， 2 x-y <2 0 =1 ， 不能得出 2 x-y < 1 2 ， 例如 x=1 ， y= 3 2 ， 则 2 x-y =2 - 1 2 = 2 姨 2 > 1 2 ， D 错误 ． 故选 BC． 变式训练 3 ［ -2 ， 1 ］ 【解析】 令 t （ x ） =x 2 -ax-2a 2 ， 对称轴为 x= a 2 ， 开口向上； ∵0.5<1 ， ∴y=log 0.5 t 在 （0 ， +∞ ） 上单调递 减， 则 t （ x ） =x 2 -ax-2a 2 在 （ 2 ， 4 ） 上单调递增， ∴ a 2 <2 ， t （ 2 ） ≥0 0 , , , + , , , - ， 即 a<4 ， 2 2 -2a-2a 2 ≥0 0 ， 解得 -2≤a≤1 ， ∴ 实数 a 的取值范围 是 ［ -2 ， 1 ］ . 随堂练习 1. C 【解析 】 ∵log a 3<0<log b 3 ， ∴log a 3<log a 1 ， log b 1< log b 3 ， 根据对数函数的单调性可知， 0<a<1 ， b>1. 故选 C. 2. D 【解析 】 由 -x 2 +2x+3>0 ， 得 x 2 -2x-3<0 ， 解得 -1<x<3 ， ∴ 函数的定义域为 {x｜-1<x<3}. 令 t=-x 2 +2x+3 （ -1<x<3 ）， 则 y=log 3 t. ∵t=-x 2 +2x+3 在 （ -１ ， １ ） 上递增， 在 （ １ ， ３ ） 上递 减 ， y=log 3 t 在 （ 0 ， +∞ ） 上递增 ， ∴ f （ x ）的增区间为 （ -1 ， 1 ） . 故选 D. 3. 充分不必要 【解析】 由 2 a >2 b 得 a>b ， 由 log 2 a>log 2 b 得 a>b>0 ， 即 “ log 2 a>log 2 b ” 是 “ 2 a >2 b ” 的充分不必要条件 . 4. a>b>c 【解析 】 由题意 ， a=log 3 仔>log 3 3=1 ， 1 2 = log 3 3 姨 >log 3 2 姨 =c ， 1 2 =log 2 2 姨 <b=log 2 3 姨 <log 2 2= 1 ， ∴c< 1 2 <b<1<a ， ∴a>b>c. 5. 解： 原不等式可变形为 log a （ x-4 ） 2 >log a （ x-2 ）， 当 a>1 时， 原不等式等价于 （ x-4 ） 2 >x-2 ， x-4>0 ， x-2>0 0 , , , + , , , , - ， 解得 x>6. x y O 1 2 3 4 5 3 2 1 -2 -1 -1 -2 f （ x ） =｜log 2 （ x-1 ） ｜ 第 14 题答图 38 参 考 答 案 当 0<a<1 时 ， 原不等式等价于 （ x-4 ） 2 <x-2 ， x-4>0 ， x-2>0 ! # # # " # # # # $ ， 解得 4<x<6. 综上所述， 当 a>1 时， 原不等式的解集为 （ 6 ， +∞ ）； 当 0<a<1 时， 原不等式的解集为 （ 4 ， 6 ） . 6. 解： （ 1 ） 由 x-1 x+1 >0 得 x<-1 或 x>1 ， 又 ∵f （ -x ） = ln -x-1 -x+1 =ln x+1 x-1 =ln x-1 x+1 =-f （ x ）， 故函数 f （ x ）是奇函数 . （ 2 ） 令 t= x-1 x+1 =1- 2 x+1 ， 其在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 又 ∵y=lnt 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 根据复合函数 的单调性可知 f （ x ）在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 又根据 （ 1 ）， 函数 f （ x ）为奇函数可得 f （ x ）在 （ -∞ ， -1 ） 上单调递增， ∴ 函数 f （ x ）的单调增区间为 （ -∞ ， -1 ）， （ 1 ， +∞ ） . （ 3 ） ∵f （ m 2 +2 ） >f （ 2m 2 ）， 且函数 f （ x ）在 （ 1 ， +∞ ） 上 单调递增得 m 2 +2>2m 2 >1 ， 解得 - 2 姨 <m<- 2 姨 2 或 2 姨 2 <m< 2 姨 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析 】 由于 b=log 5 3<a=log 5 4<1<log 4 5=c ， 故 b<a<c. 故选 D. 2. B 【解析】 当 a>1 时， log a 3 4 <0<1 ， 不等式恒成 立 . 当 0<a<1 时， y=log a x 为减函数， 由 log a 3 4 <1=log a a ， 得 0<a< 3 4 . 综上所述， 0<a< 3 4 或 a>1. 故选 B. 3. D 【解析】 函数 f （ x ）的图象如图所示， 由图象可 知其单调递增区间为 ［ 1 ， +∞ ） . 故选 D. 4. B 【解析 】 令 y=2-ax ， 由题意知 a>0 ， 且 a≠1 ， ∴y=2-ax 为减函数， 故要使 f （ x ） =log a （ 2-ax ） 在 ［ 0 ， 1 ］ 上是减函数， 则需 a>1 ， 且 y=2-ax>0 在 x∈ ［ 0 ， 1 ］ 上恒 成立， 即 2-a>0 ， 故 1<a<2. 故选 B. 5. AC 【解析】 当 a=0 时， f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）， 由 x 2 -1> 0 ， 得 x∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故 A 正确； 当 a=0 时， f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）， x 2 -1∈ （ 0 ， +∞ ）， 则 f （ x ） =lg （ x 2 -1 ）的值域 为 R ， 故 B 错 误 ， C 正 确 ； 若 f （ x ） 在 区 间 ［ 2 ， +∞ ）上单调递增， 则 y=x 2 +ax-a-1 的图象的对称轴方程 为 x=- a 2 ≤2 ， 解得 a≥-4. 但当 a=-4 时， f （ x ） =lg （ x 2 - 4x+3 ）在 x=2 时无定义， 故 D 错误 . 故选 AC. 6. < 【解析】 ∵y=log 0.2 x 在定义域上为减函数， 且 π> 3.14 ， ∴log 0.2 π<log 0.2 3.14. 7. （ 1 ， +∞ ） 【解析】 由 x 2 -1>0 ， 得 x∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 根据复合函数的单调性可得 ， x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， f （ x ）单调递增 . 8. ②③⑤ 【解析】 当 a=b=1 或 a= 1 2 ， b= 1 3 或 a=2 ， b=3 时， 都有 log 1 2 a=log 1 3 b. 故 ②③⑤ 均可能成立 . 9. 解： （ 1 ） 由 4 x -1>0 ， 解得 x>0 ， 因此 f （ x ）的定义域为（ 0 ， +∞ ） . （ 2 ） 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 0 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 0<4 x 1 -1<4 x 2 -1 ， ∴log 4 （ 4 x 1 -1 ） <log 4 （ 4 x 2 -1 ）， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 故 f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上单调递增 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 f （ x ）在区间 1 2 ， ， , 2 上单调递增， 又 f 1 2 2 . =0 ， f （ 2 ） =log 4 15 ， ∴ f （ x ）在区间 1 2 ， ， , 2 上的值域 为［ 0 ， log 4 15 ］ . 10. 解： （ 1 ） ∵f （ x ） =log a （ 1+x ）的定义域为 {x|x>-1} ， g （ x ） =log a （ 1-x ）的定义域为 {x|x<1} ， ∴h （ x ） =f （ x ） -g （ x ）的定义域为 {x|-1<x<1}. （ 2 ） h （ x ）为奇函数 . 理由 ： h （ x ）的定义域为 { x |-1<x<1} ， 关于原点 对称 . ∵h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） =log a （ 1+x ） -log a （ 1-x ）， ∴h （ -x ） = log a （ 1-x ） -log a （ 1+x ） =- ［ log a （ 1+x ） -log a （ 1-x ）］ =-h （ x ） ， ∴h （ x ）为奇函数 . （ 3 ） ∵f （ 3 ） =log a （ 1 +3 ） =log a 4 =2 ， ∴a =2. ∴h （ x ） = log 2 （ 1+x ） -log 2 （ 1-x ）， ∴h （ x ） <0 等价于 log 2 （ 1+x ） <log 2 （ 1- x ）， ∴ 1+x<1-x ， 1+x>0 ， 1-x>0 ! # # # " # # # # $ ， 解得 -1<x<0. 故使 h （ x ） <0 成立的 x 的取值范围是 {x|-1<x<0}. 提升练习 11. A 【解析】 由题意， 不等式 2 a -2 b >lnb-lna 可变形 为 2 a +lna>2 b +lnb. 设 f （ x ） =2 x +lnx ， 可得 f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∵f （ a ） >f （ b ）， 可得 a>b>0. 由 a-b>0 ， 可得 3 a-b >1 ， ∴A 正确； 由 a>b>0 ， 可得 1 3 2 . b > 1 3 2 . a ， ∴B 错误； 由 a>b>0 ， 可得 a b >1 ， ∴ln a b >0 ， ∴C 错误； 由 a>b>0 ， 可得 b a <1 ， ∴ln b a <0 ， ∴D 错误 . 故选 A. x y O 1 第 3 题答图 39 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 12. ACD 【解析】 f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ （ x≠0 ， x∈R ） 的定 义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 关于原点对称， 且满足 f （ -x ） =f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴对称， 故 A 是真命题； 当 x>0 时， f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ =lg x+ 1 x % ， 令 t （ x ） =x+ 1 x ， 则 f （ t ） =lgt ， 由对勾函数的性质可知 t （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是 减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 又 ∵f （ t ） =lgt 在定义 域上是增函数 ， ∴ 由复合函数的单调性可知 ， f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 故 B 是 假命题； 当 x>0 时， x+ 1 x ≥2 （当且仅当 x=1 时取等号）， 又 f （ x ）是偶函数， ∴ 函数 f （ x ）的最小值是 lg2 ， 故 C 是真命题； 当 x∈ （ 0 ， 1 ） 时， f （ x ）是减函数， 当 x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函数， 又 ∵f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴 对称， ∴ 当 -1<x<0 或 x>1 时， f （ x ）是增函数， 故 D 是真 命题 ． 故选 ACD． * 13. AC 【解析】 由题意知 mx 2 +4x+8>0 对 x∈R 恒成立 . 当 m=0 时， 不等式 4x+8>0 不恒成立， ∴m≠0 ； 当 m≠0 时， 由 m>0 ， Δ=16-32m<0 0 ， 解得 m> 1 2 ， ∴A 正确； 若函数 f （ x ）的值域为 ［ 2 ， +∞ ）， 则 f （ x ） min =2 ， 显然 m 不为 0 ， 则函数 y=mx 2 +4x+8 的最小值为 4 ， ∴m>0 且当 x=- 2 m 时， y min =m - 2 m x % 2 +4× - 2 m x % +8=4 ， 解得 m=1 ， ∴B 错误； 若函数 f （ x ）在区间 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 则 y= mx 2 +4x+8 在 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 且在 ［ -3 ， +∞ ） 内 的函数值为正， ∴ m>0 ， - 2 m ≤-3 ， m× （ -3 ） 2 +4× （ -3 ） +8>0 0 + + + + + * + + + + + , ， 解得 4 9 <m≤ 2 3 ， ∴C 正确； 若 m=0 ， 则不等式 f （ x ） <15 等价于 log 2 （ 4x+8 ） <15 ， 则 0<4x+8<2 15 ， 解得 -2<x<2 13 -2 ， ∴D 错误 . 故选 AC. 14. ［ a 姨 ， 1 ］ 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴y=log a x 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 则根据函数 f （ x ）的图象可得， 当 0≤log a x≤ 1 2 时 ， g （ x ） =f （ log a x ）为减函数 ， 即 a 姨 ≤x≤1 ， 即 g （ x ） =f （ log a x ） （ 0<a<1 ） 的单调递减区 间为 ［ a 姨 ， 1 ］ . * 15. 1 3 ， 2 3 x % 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区 间 1 3 ， 2 3 3 / 上有意义， ∴2× 1 3 -a>0 ， 同时 a>0 且 a≠1 ， 解得 0<a< 2 3 ， ∴ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上单调递减 . ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上恒有 f （ x ） > 0 ， ∴log a 2× 2 3 -a x % >0 ， ∴0< 4 3 -a<1 ， 得 1 3 <a< 4 3 . 又 ∵0<a< 2 3 ， ∴ 1 3 <a< 2 3 . 4.3 指数函数与对数函数的关系 学习手册 变式训练 1 y=2- x+4 姨 （ x≥5 ） 【解析】 由 f （ x ） =y=x 2 -4x= （ x-2 ） 2 - 4 ， 可得（ x-2 ） 2 =y+4. ∵x≤-1 ， ∴x-2=- y +4 姨 ， 即 x=2- y +4 姨 ， 交换 x ， y 可得 y=2- x +4 姨 . ∵f （ x ） =x 2 -4x 的对称轴为 x=2 ， 开口向上， ∴ f （ x ） =x 2 - 4x 在 （ -∞ ， -1 ］ 上单调递减， ∴ f （ x ） ≥f （ -1 ） =1+4=5 ， ∴ 反函数的定义域为 ［ 5 ， +∞ ）， ∴ 函数 f （ x ） =x 2 -4x （ x≤-1 ） 的反函数为 y=2- x +4 姨 （ x≥5 ） . 变式训练 2 （ 5 ， 2 ） 【解析】 由题意可得 f （ 2 ） =3 ， 则 f -1 （ 3 ） =2 ， 即 f -1 （ 5-2 ） =2 ， 故函数 f -1 （ x-2 ）的图象必过点 （ 5 ， 2 ） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题意知， 反函数过点 A（-2k ， 2 ）， 则原 函数过点 （ 2 ， -2k ）， f（2 ） =3 2 +k=-2k圯k=-3 ， 则 f （ x ） = 3 x -3 ， 由 y=3 x -3圯3 x =y+3圯 x=log 3 （y+3 ） ， 即 f -1 （x）= log 3 （x+3 ）（x>-3 ） . （ 2 ） f -1 （x）=log 3 （x+3 ）向右平移 3 个单位长度 ， 得 g （ x ） =log 3 x （ x>0 ）， 则 2f -1 （x+ m 姨 -3 ） -g （ x ） ≥1 恒成立 圳 2log 3 （x+ m 姨 ） -log 3 x≥1 （x>0 ） 恒成立， ∴x+ m x +2 m 姨 ≥3 在 x>0 时恒成立， 只需 x+ m x +2 m 姨 % min ≥3. 又 ∵x+ m x ≥2 m 姨 （当且仅当 x= m x ， 即 x= m 姨 时等号成立）， ∴ x+ m x +2 m 姨 % min =4 m 姨 ， 即 4 m 姨 ≥3 ， ∴m≥ 9 16 . 随堂练习 1. B 【解析 】 由 y=1+2 -x 可得 1 2 x % x =y-1 ， 可得 x= log 1 2 （ y-1 ）， 则 g （ x ） =log 1 2 （ x-1 ）， 因此 g （ 5 ） =log 1 2 4=-2. 故选 B. 40