4.2.1 对数运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对 数 运 算 学 习 目 标 1. 类比指数的学习过程， 学习对数的 概念 . 2. 理解对数的意义、 符号 . 3. 会用对数的定义进行对数式与指数式 的互化 . 4. 会利用对数恒等式求简单的对数值 . 要 点 精 析 要点 1 对数的概念 在表达式 a b =N （ a>0 且 a≠1 ， N∈ （ 0 ， +∞ ）） 中， 当 a 与 N 确定之后， 只有唯一的 b 能满足这个式子， 此时， 幂指数 b 称为以 a 为底 N 的对数， 记作 b=log a N ， 其中 a 称为 对数的底数， N 称为对数的真数 . 思考 为什么在对数式中规定 a>0 且 a≠1 呢？ 例 1 对数式 log （ x-2 ） （ x+2 ）中实数 x 的取 值范围是 . 解析： 由题意可得 x+2>0 ， x-2>0 ， x-2≠1 1 % % % % % $ % % % % % & ， 解得 x>2 ， 且 x≠3 ， ∴ 实数 x 的取值范围是 （ 2 ， 3 ） ∪ （ 3 ， +∞ ） . 反思感悟 在解决与对数有关的问题 时， 一定要注意： 对数的真数大于零， 对数 的底数大于零且不等于 1. 变式训练 1 若 log x+1 （ x+1 ） =1 ， 则 x 的取值范围是 （ ） A. （ -1 ， +∞ ） B． （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） C． （ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， +∞ ） D． （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） 要点 2 指数式与对数式的互化 思考 指数式 a b =N ， 根式 N b 姨 =a 和对 数式 log a N=b 之间的关系， 你能理解吗？ 例 2 将下列指数式与对数式互化： （ 1 ） log 2 16=4 ； （ 2 ） 4 3 =64. 分析 指数式化为对数式： 将指数式的 幂作为真数， 指数作为对数， 底数不变， 写 出对数式 . 对数式化为指数式： 将对数式的真数 作为幂， 对数作为指数， 底数不变， 写出 指数式 . 解： （ 1 ） ∵log 2 16=4 ， ∴2 4 =16. （ 2 ） ∵4 3 =64 ， ∴log 4 64=3. a b =N log a N=b 真数幂 对数指数 底数 10 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 反思感悟 对数的定义是对数形式和 指数形式互化的依据， 而对数形式与指数形 式的互化又是解决问题的重要手段 . 互化时 要弄清各字母或数字分别在指数式和对数 式中的位置 . 变式训练 2 求下列各式中的 x ： log x 1 64 =3 ， 则 x= . log 4 x= 3 2 ， 则 x= . 例 3 设 a=log 3 10 ， b=log 3 7 ， 求 3 a-b 的值 . 解： ∵a=log 3 10 ， b=log 3 7 ， ∴3 a =10 ， 3 b =7 ， ∴3 a-b = 3 a 3 b = 10 7 . 变式训练 3 若正数 a ， b 满足 log 2 a=log 5 b=lg （ a+b ）， 则 1 a + 1 b = . 要点 3 对数的性质与对数恒等式 1 的对数是 0 ， 底的对数是 1 ； 对数恒等 式： a log a N =N. 思考 对数恒等式的格式需要注意什 么问题？ 例 4 计算： 2 2+log 2 5 = . 解析： 2 2+log 2 5 =2 2 ×2 log 2 5 =4×5=20. 反思感悟 利用指数幂的运算法则， 将式子变形， 再利用对数恒等式求解 . 变式训练 4 计算： 5 log 5 2+log 5 1 2 = . 例 5 已知 log 2 019 （ log 3 （ log 2 a ）） =0 ， 计算 36 log 6 a 的值 . 解： 由 log 2 019 （ log 3 （ log 2 a ）） =0 ， 得 log 3 （ log 2 a ） =1 ， ∴log 2 a=3 ， 解得 a=8 ， ∴36 log 6 a = （ 6 log 6 8 ） 2 =8 2 =64. 变式训练 5 已知 log 2 （ log 3 （ log 4 x ）） =log 3 （ log 4 （ log 2 y ）） = 0 ， 求 x+y 的值 . 数 学 文 化 例 航天之父、 俄罗斯科学家齐奥科夫 斯基 （ K.E.Tsiolkovsky ） 于 1903 年给出火箭 最大速度的计算公式 v=v 0 ln 1+ M m 0 0 " . 其中， v 0 是燃料相对于火箭的喷射速度， M 是燃料的 质量， m 0 是火箭 （除去燃料） 的质量， v 是 火箭将燃料喷射完之后达到的速度 . 已知 v 0 = 2 km/s ， 则当火箭的最大速度 v 可达到 10 km/s 时， 火箭的总质量 （含燃料） 至少 是火箭 （除去燃料） 质量的 （ ） 倍 . A. e 5 B． e 5 -1 C． e 6 D． e 6 -1 解析： 由题意可知 v 0 =2 km/s ， v=10 km/s ， 代入 v=v 0 ln 1+ M m 0 0 " 可得， 10=2ln 1+ M m 0 0 " ， ∴ln 1+ M m 0 0 " =5 ， ∴1+ M m 0 =e 5 ， ∴M=m 0 （ e 5 -1 ）， 即 M+m 0 =e 5 m 0 ， ∴ M+m 0 m 0 =e 5 ， 故选 A. 11 参 考 答 案 当 x<0 时， 2 x <1 ， 则 f （ x ） =1-2 x ∈ （ 0 ， １ ） . 设 f （ a ） =f （ b ） =t （ a<b ）， 则 0<t<1 ， ∵f （ a ） =1-2 a ∈ （ 0 ， 1 ）， ∴0<2 a <1 ， ∴a<0 ， ∵f （ b ） =2 b -1∈ （ 0 ， 1 ）， ∴1<2 b <2 ， ∴0<b<1. 由 f （ a ） =f （ b ）， 可得 1-2 a =2 b -1 ， 则 2 a +2 b =2 ， A 错误， C 正确 . 由基本不等式可得 2=2 a +2 b >2 2 a · 2 b 姨 =2 2 a+b 姨 ， ∴2 a+b < 1 ， 则 a+b<0 ， B 错误， D 正确 . 故选 CD. 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对 数 运 算 学习手册 变式训练 1 B 【解析 】 ∵log x+1 （ x+1 ） =1 ， ∴ x+1=x+1 ， x+1>0 ， x+1≠1 1 & & & % & & & & ' ， ∴x>-1 且 x≠0. 故选 B. 变式训练 2 1 4 8 【解析】 log x 1 64 =3圯x 3 = 1 64 圯x= 1 64 3 姨 = 1 4 ； log 4 x= 3 2 圯x=4 3 2 =2 2× 3 2 =2 3 =8. 变式训练 3 1 【解析 】 设 log 2 a=log 5 b=lg （ a+b ） =x ， ∴a=2 x ， b=5 x ， a+b=10 x ， 因此 1 a + 1 b = a+b ab = 10 x 2 x · 5 x =1. 变式训练 4 1 【解析】 5 log 5 2+log 5 1 2 =5 log 5 2 ×5 log 5 1 2 =2× 1 2 =1. 变式训练 5 解： ∵log 2 （ log 3 （ log 4 x ）） =0 ， ∴log 3 （ log 4 x ） =1 ， ∴log 4 x= 3 ， ∴x=4 3 =64. 同理求得 y=16 ， ∴x+y=80. 随堂练习 1. B 【解析】 由 log b N=a ， 可得 b a =N. 故选 B. 2. C 【解析】 ∵log a x=1 ， ∴a 1 =x ， 即 x=a. 故选 C. 3. B 【解析】 根据对数式与指数式的互化， 得到 x 2 = 16 ， ∴x=±4. ∵x>0 ， ∴x=4. 故选 B. 4. B 【解析 】 由对数恒等式 ， 得 5 log 5 （ 2x-1 ） =2x-1=25 ， ∴x=13. 故选 B. 5. B 【解析】 由对数的概念知， 指数式 a x 中， 只有 a>0 且 a≠1 的指数式才可以化为对数式， 因此零和负数 没有对数； 把以 10 为底的对数称为常用对数， 以 e 为 底的对数称为自然对数 . 故选 B. 6. A 【解析】 ∵log 2 ［ log 0.5 （ log 2 x ）］ =0 ， ∴log 0.5 （ log 2 x ） = 1 ， ∴log 2 x=0.5 ， ∴x= 2 姨 . 故选 A. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由 log a b＝1 得 a>0 ， 且 a＝b≠1. 故选 D. 2. B 【解析】 ∵3 -4 ＝ 1 81 ， ∴log 3 1 81 ＝-4. 故选 B. 3. A 【解析】 ∵2 log 3 x ＝ 1 4 ， ∴2 log 3 x =2 log 2 1 4 ， ∴log 3 x＝log 2 1 4 ＝ -2 ， ∴x＝ 1 9 . 故选 A. 4. BCD 【解析】 对数的真数为正数， A 错误； ∵a 0 ＝ 1 ， ∴log a 1＝0 ， B 正确； ∵a 1 ＝a ， ∴log a a＝1 ， C 正确； 由对 数恒等式 a log a N ＝N ， 得 a log a 2 ＝2 ， D 正确 . 故选 BCD. 5. AB 【解析 】 lg （ lg10 ） ＝lg1＝0 ， ln （ lne ） ＝ln1＝0 ， 故 A ， B 正确； 若 10＝lgx ， 则 x＝10 10 ， 故 C 错误； 若 e＝lnx ， 则 x＝e e ， 故 D 错误 . 故选 AB. 6. -7 【解析】 由已知得 1-2x 5 ＝3 ， 解得 x＝-7. 7. -3 【解析 】 由题意知 1-x＝ （ 1＋x ） 2 ， 解得 x＝0 或 x＝-3. 验证知， 当 x＝0 时， log （ 1-x ） （ 1＋x ） 2 无意义， 故 x＝0 不符合题意， 应舍去 . ∴x＝-3. 8. 1 4 3 【解析】 ∵ 当 x>1 时， f （ x ） ＝log 81 x ， ∴ f （ 3 ） ＝log 81 3＝ 1 4 ； 由题意得 x≤1 ， 2 -x = 1 4 1 & & & % & & & ' ， ① 或 x>1 ， log 81 x= 1 4 1 & & & % & & & ' . ② 解 ① 得 x＝2 ， 与 x≤1 矛盾， 故舍去， 解 ② 得 x＝3 ， 符合 x>1 ， ∴x＝3. 9. 解： 3 1+log 3 5 -2 4+log 2 3 +10 3lg3 + 1 2 2 + log 2 5 =3×3 log 3 5 -2 4 ×2 log 2 3 + （ 10 lg3 ） 3 + （ 2 log 2 5 ） -1 =3×5-16×3+3 3 +5 -1 =- 29 5 . 10. 解 ： （ 1 ） 18 a ＝9 ， 18 b ＝54 ， ∴18 2a-b ＝ （ 18 a ） 2 18 b ＝ 9 2 54 ＝ 81 54 ＝ 3 2 . （ 2 ） log x 27＝3 1 ×3 log 3 2 ＝3×2＝6 ， ∴x 6 ＝27 ， ∴x＝27 1 6 ＝ （ 3 3 ） 1 6 = 3 姨 . 提升练习 11. A 【解析】 根据对数有意义可得 4-x>0 ， 4-x≠1 ， x 2 -2x>0 ， 5x-6>0 1 & & & & & % & & & & & ' ， 即 2< x<4 且 x≠3 ， 再根据题意可得 x 2 -2x=5x-6 ， 即 x 2 -7x+6= 0 ， 解得 x=1 或 x=6. 33 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∵x=1 和 x=6 均不满足 2<x<4 且 x≠3 ， ∴ 原方程解的个数为 0. 故选 A. 12. A 【解析 】 ∵ 1 3- 5 姨 = 3+ 5 姨 4 ， 而 2< 5 姨 < 3 ， 则 1 < 3+ 5 姨 4 <2 ， ∴a = 3+ 5 姨 4 -1 = 5 姨 -1 4 ， ∴log 2a （ 2a+1 ） =log 5 姨 -1 2 5 姨 -1 2 + + $ 1 =log 5 姨 -1 2 5 姨 +1 2 2 & = log 5 姨 -1 2 5 姨 -1 2 2 & -1 =-1. 故选 A. * 13. C 【解析】 由题意知， log 1 2 （ log 2 x x ( ） log 2 =0 ， ∴log 1 2 （ log 2 x ） =1 ， ∴log 2 x= 1 2 ， 解得 x=2 1 2 = 2 姨 ． 同理可解得 y=3 1 3 = 3 3 姨 ， z=5 1 5 = 5 5 姨 . 比较 x 和 y ： 取 x 6 = （ 2 姨 ） 6 =8 ， y 6 = （ 3 3 姨 ） 6 =9 ， ∴x 6 <y 6 ， ∴x<y. 比较 x 和 z ： 取 x 10 =32 ， z 10 =25 ， ∴x 10 >z 10 ， ∴x>z. 比较 y 和 z ： 取 y 15 =243 ， z 15 =125 ， ∴y 15 >z 15 ， ∴y>z. 综上所述， z<x<y ， 故选 C． 14. ABC 【解析】 log 2 4=2 ， 故 A 正确； 根据函数 y= 2.1 x 是单调递增函数可知 2.1 0.5 >2.1 -1.8 ， 故 B 正确； 根据 对数恒等式可知 3 log 3 2 =2 ， 故 C 正确； -lne=-1 ， 故 D 错 误 . 故选 ABC. 15. AB 【解析】 ∵lg10=lne=1 ， lg （ lg10 ） =lg1=0 ， lg （ lne ） = lg1=0 ， ∴①② 均正确； ③ 中若 e=lnx ， 则 x=e e ， 故 ③ 错 误； ④ 中 lg1=0 ， 而 ln0 没有意义， 故 ④ 错误 . 故选 AB. 4.2.2 对数运算法则 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） lg （ xyz ） =lgx+lgy+lgz. （ 2 ） lg xy 3 z 姨 =lg （ xy 3 ） -lg z 姨 =lgx+3lgy- 1 2 lgz. 变式训练 2 1 【解析】 原式 =log 5 2 log 2 10 - 3 3 2 + & 2 3 - x - 2 =log 5 （ 10-3-2 ） =1. 变式训练 3 解： ∵lg （ x+2y ） +lg （ x-y ） =lg2+lgx+lgy ， ∴lg （ x+2y ）（ x-y ） =lg （ 2xy ）， ∴ （ x+2y ）（ x-y ） =2xy ， x+2y>0 ， x-y>0 ， x>0 ， y>0 0 , , , , , , , + , , , , , , , - ， 可得 x>y>0 ， （ x+2y ）（ x-y ） =2xy y . 由（ x+2y ）（ x-y ） =2xy 可得 x 2 -xy-2y 2 =0. ∴ x y 2 & 2 - x y -2=0 ， 解得 x y =2 或 x y =-1 （舍）， ∴log 8 x y =log 8 2=log 8 8 1 3 = 1 3 . 变式训练 4 B 【解析 】 ∵a x =b y =2 ， ∴x=log a 2 ， y=log b 2 ， 则 1 x = log 2 a ， 1 y =log 2 b ， 则 2 x + 1 y =2log 2 a+log 2 b=log 2 （ a 2 · b ） . 又 ∵a 2 +b=4 ， ∴a 2 · b≤ a 2 +b 2 2 & 2 =4 ， 当且仅当 a 2 =b ， 即 a= 2 姨 ， b=2 时取等号， ∴log 2 （ a 2 · b ） ≤log 2 4=2 ， ∴ 2 x + 1 y 的最大值为 2. 故选 B. 变式训练 5 1 3 姨 【解析】 由题意知 a=log 2 6 ， 3 b =36 ， 可得 b= log 3 36 =2log 3 6 ， ∴ 1 a = 1 log 2 6 =log 6 2 ， 2 b = 1 log 3 6 =log 6 3 ， ∴ 1 a + 2 b =log 6 2 +log 6 3 =log 6 （ 2×3 ） =1. 又由 a b = log 2 6 2log 3 6 = 1 2 log 2 3=log 2 3 姨 ， ∴2 a b =2 log 2 3 姨 = 3 姨 . 随堂练习 1. D 【 解 析 】 log 2 3 +log 2 5 =log 2 （ 3 ×5 ） =log 2 15 ≠ log 2 （ 3+5 ）， A 错误； log 2 3 -2 =-2log 2 3≠ 1 2 log 2 3 ， B 错误； log 2 3 · log 2 5≠log 2 （ 3+5 ）， C 错误； log 2 3= log 3 3 log 3 2 = 1 log 3 2 ， D 正确 . 故选 D. 2. D 【解析】 由题意知 lgE 2 =4.8+1.5×7.4 ， lgE 1 =4.8+ 1.5×6.4 ， ∴lgE 2 -lgE 1 =lg E 2 E 1 =1.5 ， 解得 E 2 E 1 =10 1.5 ≈32. 故选 D. 3. 2 【解析 】 由 lg （ 4a ） +lgb=2lg （ a-3b ） ， 得 4ab= （ a-3b ） 2 ， 即 a 2 -10ab+9b 2 =0 ， 即 （ a-b ）（ a-9b ） =0 ， ∴a=b （舍去） 或 a=9b ， ∴log 3 a-log 3 b=log 3 a b =log 3 9=2. 4. 11 5 【解 析 】 原 式 = lg3+ 2 5 lg3 2 + 3 5 lg3 3 2 -lg3 1 2 lg3 4 -lg3 3 = lg3+lg3 2× 2 5 +lg3 3 2 × 3 5 -lg3 1 2 lg 3 4 3 3 = lg3+lg3 4 5 +lg3 9 10-lg3 1 2 lg3 = lg 3 · 3 4 5·3 9 10 3 1 2 lg3 = lg3 11 5 lg3 = 11 5 lg3 lg3 = 11 5 . 5. - 13 6 【解析】 ∵琢 ， 茁 是方程 lg 2 x-lgx-6=0 的两个 根， ∴t 1 =lg琢 ， t 2 =lg 茁 是方程 t 2 -t-6=0 的两个根， ∴lg琢= -2 ， lg 茁=3 ， log 琢 茁+log 茁 琢= lg 茁 lg琢 + lg琢 lg 茁 = 3 -2 + -2 3 =- 13 6 . （若 lg琢=3 ， lg 茁=-2 ， 答案不变） 34