4.1.1 实数指数幂及其运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 学 习 目 标 1. 类比平方根与立方根的概念， 理解 n 次方根及根式的概念； 正确运用根式的运算 性质进行根式运算 . 2. 学会根式与分数指数幂之间的相互 转化 . 3. 掌握用有理指数幂的运算性质化简 求值 . 4. 了解无理指数幂的概念， 知道无理指 数幂可以用有理指数幂来逼近的思想方法 . 要 点 精 析 要点 1 n 次方根的化简与求值 （ 1 ）（ a n 姨 ） n =a. （ 2 ） a n n 姨 = a ， n 为奇数， |a| ， n 为偶数 数 . 思考 a 在实数范围内的 n 次方根有 几个？ 例 1 化简： （ 1 ） （ 3-π ） 4 4 姨 ； （ 2 ） （ a-1 姨 ） 2 + （ 1-a ） 2 姨 + （ 1-a ） 3 3 姨 （ a- 1≥0 ） . 分析 根据 n 次方根的化简原则进行 化简 . 解： （ 1 ） 原式 =|3-π|=π-3. （ 2 ） 原式 =a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a= a-1. 反思感悟 要注意 n 的奇偶性对 x n n 姨 的值的影响， 否则容易出错 . 变式训练 1 已知 a 4 4 姨 ＋ b 4 4 姨 ＝-a-b ， 求 （ a+b ） 4 4 姨 ＋ （ a+b ） 3 3 姨 的值 ． 例 2 已知 - 3 < x< 3 ， 求 x 2 - 2x+ 1 姨 - x 2 +6x+9 姨 的值 . 分析 根据 n 次方根的化简原则先化 简再求值 . 解： 原式 = （ x-1 ） 2 姨 - （ x+3 ） 2 姨 =|x-1|- |x+3| ， ∵-3<x<3 ， ∴ 当 -3<x<1 时， 原式 =- （ x-1 ） - （ x+3 ） =-2x-2 ； 当 1≤x<3 时， 原式 =x-1- （ x+3 ） =-4 ， 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 1 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 原式 = -2x-2 ， -3<x<1 ， -4 ， 1≤x<3 3 . 反思感悟 先将被开方数化成完全平 方式， 再化简 . 变式训练 2 用符号 “ ∈ ” 或 “ 埸 ” 填空： 2- 3 姨姨 + 2+ 3 姨姨 {x|x=a+ 6 姨 b ， a∈Q ， b∈Q}. 要点 2 根式与指数幂的互化 （ 1 ） a 1 n = a n 姨 （ a>0 ） . （ 2 ） a m n = （ a n 姨 ） m = a m n 姨 （ a>0 ， m ， n∈ N * ， 且 m n 为既约分数） . 思考 为什么要求分数指数幂中的指 数是既约分数？ 例 3 下列根式与分数指数幂的互化正 确的是 （ ） A. - x 姨 = （ -x ） 1 2 （ x>0 ） B. y 2 6 姨 =y 1 3 （ y<0 ） C. x - 3 4 = 1 x x ' 3 4 姨 （ x>0 ） D. x - 1 3 =- x 3 姨 （ x≠0 ） 分析 借助根式与分数指数幂的互化 原则进行判断 . 解析： A 选项， - x 姨 =-x 1 2 （ x>0 ）； B 选项， y 2 6 姨 = （ y 2 ） 1 6 =-y 1 3 （ y<0 ）； C 选项， x - 3 4 = （ x -3 ） 1 4 = 1 x x x 3 4 姨 （ x>0 ）； D 选项， x - 1 3 = 1 x 3 姨 （ x≠0 ） . 故选 C. 变式训练 3 把下列根式化成分数指数幂的形式 （其 中 a ， b>0 ）： 1 a 2 3 姨 = ； b a 2 3 姨 ＝ ． 要点 3 指数幂的化简与求值 当 s ， t 为任意有理数时， 则 a s a t =a s+t ； （ a s ） t =a st ； （ ab ） s =a s b s . 思考 对任意实数 s 和 t ， 类似有理指 数幂的运算法则仍然成立 . 那么， 在无理指 数幂中， 底数需要注意什么呢？ 例 4 化简： a a 姨 姨 （ a>0 ） . 分析 借助根式与分数指数幂的互化 原则以及指数幂的运算法则进行化简 . 解： a a 姨 姨 = a · a 1 2 姨 = a 3 2 姨 = a 3 2 x x 1 2 = a 3 4 . 反思感悟 在进行指数幂和根式的化 简时， 一般是先将根式化为指数幂的形式， 将指数为小数的指数幂化为分数指数幂， 并尽可能地统一成分数指数幂的形式， 再 利用指数幂的运算法则进行化简、 求值、 计算， 以达到化繁为简的目的 . 变式训练 4 计算： （ -4 ） 3 3 姨 - 1 2 x x 0 +0.25 1 2 × 1 2 姨 x x -4 . 2 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 例 5 已知 x+x -1 =3 ， 求 x 2 +x -2 的值 . 分析 借助完全平方公式和指数幂的 运算法则进行计算 . 解： ∵ （ x+x -1 ） 2 =x 2 +x -2 +2=9 ， ∴x 2 +x -2 = （ x+x -1 ） 2 -2=9-2=7. 反思感悟 解此类题目时， 应先将欲 求的式子进行化简， 再将已知条件代入 . 在 化简过程中， 要注意平方差公式及完全平 方公式、 立方和 （差） 公式的灵活运用 . 变式训练 5 已知 x 1 2 +x - 1 2 =3 ， 求 x 2 +x -2 -2 x+x -1 -3 的值 ． 数 学 文 化 17 世纪， 法国数学家笛卡儿 （ 1596 — 1650 ） 第一个使用了现今用的根号 “ 姨 ” . 在一本书中， 笛卡儿写道： “如果想求 n 的 平方根， 就写作 ± n 姨 ， 如果想求 n 的立方 根， 则写作 n 3 姨 . ” 有时候被开方数的项数较多， 为了避免 混淆， 笛卡儿就用一条横线把这几项连起 来， 前面放上根号 “ 姨 ” （不过， 它比路 多尔夫的根号多了一个小钩） 就为现在的根 号形式 . 立方根符号出现得很晚， 直到 18 世纪 才在一本书中看到符号 3 姨 的使用， 比如 25 的立方根用 25 3 姨 表示 . 此后， 诸如 “ 姨 ” 形式的根号渐渐使用开来 . 例 中国古代十进位制的算筹记数法， 在世界数学史上是一个伟大的创造 . 算筹记数 的方法是： 将个位、 百位、 万位…的数按纵 式的数码摆出； 十位、 千位、 十万位…的数 按横式的数码摆出 . 如 138 可用算筹表示为 . 1~9 这 9 个数字的纵式与横式表示数码 如图 4-1-1 所示， 则 16 3 4 ×27 2 3 的运算结果 可用算筹表示为 . 解： ∵16 3 4 ×27 2 3 =72 ， ∴ 从题中所给数码 知 72 可用算筹 表示 . 纵式： 横式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图 4-1-1 3 参 考 答 案 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 学习手册 变式训练 1 解： 由 a 4 4 姨 + b 4 4 姨 =-a-b ， 得 ｜a｜+｜b｜=-a-b ， 故a≤0 ， b≤0 ， 即a+b≤0 ， ∴ （ a+b ） 4 4 姨 + （ a+b ） 3 3 姨 =｜a+b｜＋a+b=- （ a+b ） +a+b=0. 变式训练 2 ∈ 【解析】 2- 3 姨姨 + 2+ 3 姨姨 = （ 3 姨 -1 ） 2 2 姨 + （ 3 姨 +1 ） 2 2 姨 = 2 姨 2 （ 3 姨 -1+ 3 姨 +1 ） = 6 姨 ， 此时 a=0 ， b=1 ， ∴x= 6 姨 是集合中的元素 . 变式训练 3 a - 2 3 a - 2 3 b 1 3 【解析】 1 a 2 3 姨 = （ a 2 ） - 1 3 =a - 2 3 . b a 2 3 姨 = （ a -2 b ） 1 3 =a - 2 3 b 1 3 . 变式训练 4 解： 原式 =-4-1+ 1 2 × （ 2 姨 ） 4 =-3. 变式训练 5 解： x 1 2 +x - 1 2 2 % 2 =x+x -1 +2=9 ， ∴x+x -1 =7. （ x+x -1 ） 2 =x 2 +x -2 +2=49 ， ∴x 2 +x -2 =47 ， ∴ 原式 = 47-2 7-3 = 45 4 . 随堂练习 1. C 【解析】 x 1 3 x - 2 3 姨 2 % - 8 5 = x 1 3 - 2 3 2 % 1 2 2 ' - 8 5 =x 1 3 × 1 2 × 8 5 = x 4 15 . 故选 C. 2. C 【解析】 当 a=0 时， A 和 B 不成立； 当 a<0 时， D 不成立； 且 10 -1 =0.1 ， 故 C 成立 . 故选 C. 3. B 【解析】 当 n 为奇数时， a 的 n 次方根只有 1 个， 为 x ； 当 n 为偶数时， 由于 （ ±x ） n ＝x n ＝a ， ∴a 的 n 次 方根有 2 个， 为 ±x. ∴ 说法 ②④ 是正确的， 故选 B. 4. 4 1 10 64 125 【解析】 8 2 3 = （ 2 3 ） 2 3 =2 3× 2 3 =2 2 =4 ， 100 - 1 2 = （ 10 2 ） - 1 2 =10 2× - 1 2 2% =10 -1 = 1 10 ， 1 4 2 % -3 = （ 2 -2 ） -3 =2 6 =64 ， 25 3 2 = （ 5 2 ） 3 2 =5 3 =125. 5. 4 3 +仔 【解 析 】 原 式 = 2 姨 +1 +1 - 2 3 2 % 2 2 2 0.5 + ｜ 2 姨 -仔｜= 2 姨 +1+1- 2 3 +仔- 2 姨 = 4 3 +仔. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由题意可得 9 4 2 % 1 2 = 3 2 2 % 2 2 2 1 2 = 3 2 2 % 2× 1 2 = 3 2 . 故选 B. 2. D 【解析】 a 2 · a 3 =a 5 ， A 错误； （ 3a ） 3 =27a 3 ， B 错误； 3a-2a=a ， C 错误； （ -2a 2 ） 3 =-8a 6 ， D 正确 . 故选 D. 3. C 【解析】 由 a< 1 2 ， 可得 2a-1<0 ， ∴ （ 2a-1 ） 2 4 姨 = （ 1-2a ） 2 4 姨 = 1-2a 姨 . 故选 C. 4. BD 【解析】 n m 2 % 7 =n 7 m -7 ， A 错误； （ -3 ） 4 12 姨 =3 1 3 = 3 3 姨 ， B 正确 ； x 3 +y 3 4 姨 = （ x 3 +y 3 ） 1 4 ， C 错误 ； 9 3 姨 姨 = 9 1 3 2 % 1 2 = 3 2 3 2 % 1 2 = 3 3 姨 ， D 正确 . 故选 BD. 5. CD 【解析 】 ∵- x 姨 =-x 1 2 （ x≥0 ） 或 （ -x ） 1 2 = -x 姨 （ x≤0 ）， ∴A 错误； ∵ y 2 6 姨 =-y 1 3 （ y<0 ）， ∴B 错误； ∵x - 1 3 = 1 x 3 姨 （ x≠0 ） 成立， ∴C 正确； 当 x>0 时， ［ （-x ） 2 3 姨 ］ 3 4 =｜-x｜ 2× 1 3 × 3 4 =x 2× 1 3 × 3 4 =x 1 2 ， ∴D 正确 . 故选 CD. 6. 2 【解析】 由指数运算法则， 容易得（ 2 4 姨 ） 4 =2. 7. a 1 2 【解析】 a · a 4 3 姨姨 a 1 3 2 % 2 = a · a 4 3 姨 a 2 3 = a 7 3 姨 a 2 3 = a 7 3 × 1 2 a 2 3 =a 7 6 - 2 3 =a 1 2 . 8. 15 【解析】 ∵m 1 2 +m - 1 2 =4 ， ∴m+m -1 = m 1 2 +m - 1 2 2 % 2 - 2=14 ， 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 参 考 答 案 27 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 由立方差公式得 m 3 2 -m - 3 2 m 1 2 -m - 1 2 =m+m -1 +1=15. 9. 解： （ 1 ） 原式 =1+ 1 4 × 4 9 9 " 1 2 - 1 100 9 " 1 2 =1+ 1 6 - 1 10 = 16 15 . （ 2 ） 原式 = 25 9 9 " 1 2 + 1 0.1 2 + 64 27 9 " - 2 3 -3+ 37 48 = 5 3 +100+ 9 16 -3+ 37 48 =100. （ 3 ） 原式 =0.4 -1 -1+ （ -2 ） -4 +2 -3 +0.1= 10 4 -1+ 1 16 + 1 8 + 1 10 = 143 80 . 10. 解： （ 1 ） 由 81 · 3 2x = 1 9 9 " x+２ 得， 3 4+2x =3 -2x-4 ， ∴4+2x=-2x-4 ， 解得 x=-2 ， ∴ 原方程的解集为 {-2}. （ 2 ） 由 2 2x+2 +3 · 2 x -1=0 得 4× （ 2 x ） 2 +3 · 2 x -1=0 ， 得（ 4 · 2 x -1 ）（ 2 x +1 ） =0 ， 得 4 · 2 x -1=0 ， 解得 x=-2 ， ∴ 原方程的解集为 {-2}. 提升练习 11． C 【解析 】 原式 ＝-6a 2 3 - - 1 3 9" b - 1 3 - 2 3 =-6ab -1 =- 6a b . 故选 C. 12． B 【解析】 ∵ 1+2 - 1 32 9 " 1-2 - 1 32 9 " =1-2 - 1 16， 1+2 - 1 16 9 " 1-2 - 1 16 9 " =1-2 - 1 8 ， 1+2 - 1 8 9 " 1-2 - 1 8 9 " =1-2 - 1 4 ， 1+2 - 1 4 9 " 1-2 - 1 4 9 " =1-2 - 1 2 ， 1+2 - 1 2 9 " 1-2 - 1 2 9 " =1-2 -1 = 1 2 ， ∴ 原式 ＝ 1 2 1-2 - 1 32 = 1 2 1-2 - 1 32 9 " -1 . 故选 B. 13． AD 【解析】 ∵a+ 1 a =3 ， ∴a 2 +a -2 = a+ 1 a 9 " 2 -2=3 2 - 2=7 ， A 正确； a 3 +a -3 = （ a+a -1 ）（ a 2 +a -2 -1 ） =3× （ 7-1 ） =18 ， B 错误； ∵ a 1 2 +a - 1 2 9 " 2 =a+a -1 +2=3+2=5 ， a>0 ， 解得 a 1 2 +a - 1 2 = 5 姨 ， C 错误； ∵a a 姨 + 1 a a 姨 = （ a +a -1 ） a 1 2 +a - 1 2 9 " - a 1 2 +a - 1 2 9 " = 3 5 姨 - 5 姨 =2 5 姨 ， D 正确 ． 故选 AD． 14． BC 【解析】 - x 姨 =-x 1 2 ， 故 A 错误； y 2 6 姨 =y 2 6 = y 1 3 （ y>0 ）， 故 B 正确； x - 3 4 = x -3 4 姨 = 1 x 9 " 3 4 姨 （ x>0 ）， 故 C 正确； ［ （ -x ） 2 3 姨 ］ 3 4 = （ -x ） 2 3 3 % 3 4 = （ -x ） 1 2 （ x<0 ）， 故 D 错误 . 故选 BC. 15． -1 【解析】 ∵ x 2 +2x+1 姨 + y 2 +6y+9 姨 =0. ∴ （ x+1 ） 2 姨 + （ y+3 ） 2 姨 =｜x+1｜+｜y+3｜=0. ∵｜x+1｜≥0 ， ｜y+3｜≥0 ， ∴ 由｜x+1｜+｜y+3｜=0 ， 得｜x+1｜=0 ， ｜y+3｜=0 ， 解得 x=-1 ， y=-3 ， ∴x 2 019 = （ -1 ） 2 019 =-1 ， （x 2 019 ） y = （ -1 ） -3 =-1. * 16. 2 3 - 16 姨 =4 【解析】 3- 16 姨 =4 2 只移动一个数字 可变为 2 3 - 16 姨 =4. 4.1.2 指数函数的性质与图象 第 1 课时 指数函数的概念与图象 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 根据指数函数的定义 y=a x （ a>0 且 a≠1 ）， 可得函数 y=2 · 3 x 不是指数函数； 函数 y=-3 x 不是指数函 数； 函数 y=3 -x 是指数函数； 函数 y=1 x 不是指数函数 . 故 选 C. 变式训练 2 解： ∵ 函数 y= （ a 2 -5a+5 ） a x 是指数函数， ∴ a 2 -5a+5=1 ， a>0 且 a≠1 1 ， ∴ a=1 或 a=4 ， a>0 且 a≠1 1 ， ∴a=4. 变式训练 3 （ 0 ， 1 ） 【解析 】 ∵ 函数 y＝a x －b 的图象经过第二、 三、 四象限， ∴ 函数 y＝a x －b 单调递减且其图象与 y 轴的 交点在 y 轴的负半轴上 . 令 x＝0 ， 则 y＝a 0 －b＝1－b ， 由题意得 0<a<1 ， 1-b<0 1 ， 解得 0<a<1 ， b>1 1 . 由指数函数的图象和性质得 a b ∈ （ 0 ， 1 ） . 变式训练 4 解： 由 x－2≥0 ， 得 x≥2 ， ∴ 定义域为 {x|x≥2} ． 当 x≥2 时， x-2 姨 ≥0 ， 又 ∵0＜ 1 3 ＜1 ， ∴y＝ 1 3 9 " x-2 姨 的值域为 {y|0＜y≤1}． 变式训练 5 解： ∵ 函数 y＝ 1 4 9 " x－1 －4 · 1 2 9 " x ＋2 ， ∴y＝4 · 1 4 9 " x －4 · 1 2 9 " x ＋2. 令 m＝ 1 2 9 " x ， 则 1 4 9 " x =m 2 ． 由 0≤x≤2 ， 知 1 4 ≤m≤1 ， ∴ f （ m ） ＝4m 2 －4m+2=4 m- 1 2 9 " 2 +1 ， ∴ 当 m＝ 1 2 ， 即当 x＝1 时， f （ m ）有最小值 1 ； 当 m＝1 ， 即 x＝0 时， f （ m ）有最大值 2． 28