2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 一 二 三 学习目标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，提升逻辑推理的核心素养. 能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学抽象的核心素养 判断点与圆的位置关系，并能解决相关问题. 学习目标 新课导入 2.确定一个圆的基本要素是什么？ 1.圆的定义是什么？ A r 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆. 圆心 半径 集合 3.在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了． 由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程． 新知探究 根据两点间距离公式,即 问题1 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？ 两边平方,得 |MC|与r的关系: |MA|=r M(x, y) A(a,b) 设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r. x y O 所以圆C就是集合： P＝{ M | |MA|＝r }. 这时我们把方程①称为以圆心为A(a,b), 半径为r的圆的标准方程. ① 由上述过程可知, 若点M（x,y）在A上，则点M的坐标就满足方程①, 反之, 若点M的坐标满足方程①, 这就说明点M与圆心A的距离为r, 即点M在A的圆上. 概念生成 圆的标准方程 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 r M x A(a,b) O y • • (x,y) 思考 该方程具有什么特征？ 1. 是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 圆心_______;半径_____ >0 3.括号内连接符号为____,括号外连接符号为___ >0 - + 4.圆心在坐标原点, 则圆方程为 跟踪演练 1.判断下列方程是圆的方程吗？ 2.根据圆的标准方程，求出圆心和半径. (1)圆 的圆心是______，半径是___ (2)圆 的圆心是______，半径是____ (3)圆 的圆心是_____，半径是____ (3, 4) (-3, 1) 3.根据已知条件，写出圆的标准方程 (1)圆心为(-1, 2),半径为1，__________________ (2)圆心为(1, -2),半径为 , ____________________ ±2 巩固练习 课本P85 1. 写出下列圆的标准方程: (1) 圆心为C(－3, 4), 半径是 (2) 圆心为C(－8, 3), 且经过点M(－5, －1). 典例解析 例1 求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. x A(2,-3) O y • M(-2,-1) • • M1(5,-7) 圆心为A(2, -3)，半径为5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5, -7)的坐标代入圆的方程，得 (5-2)2+(-7+3)2=25，即点M1的坐标满足圆的方程， 所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2, -1)的坐标代入圆的方程，得 (-2-2)2+(-1+3)2=20，即点M2的坐标不满足圆的方程， 所以点M2不在这个圆上 (如图示). 解： 追问 M1、M2两个点中，一个在圆上，一个点在圆内；那我们该如何判断点与圆的位置关系？ 新知探究 问题2 点M0(x0, y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么? 在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么? 方法：判断d与r的关系，d为点M0与圆心的距离。 新知探究 问题3 更一般的，如何确定点P(x0, y0)与圆 的位置关系？ |PC|<r |PC|=r |PC|>r 点在圆上 点在圆外 点在圆内 位置关系 图形 几何条件 代数形式 C P C C P P 巩固练习 课本P85 2. 已知圆的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝16, 借助计算工具计算, 判断下列各点在圆上、圆外, 还是在圆内. (1) M1(4.30, －5.72)；(2) M2(5.70, 1.08)；(3) M3(3,－6). 巩固练习 课本P85 3. 已知P1(4, 9), P2(6, 3)两点, 求以线段P1P2为直径的圆的标准方程, 并判断点M(6, 9), N(3, 3), Q(5, 3)在圆上, 圆内, 还是在圆外. 结论：以P1(x1, y1), P2(x2, y2) 为直径端点的圆的方程为 P2(x2, y2) x P1(x1, y1) O y • • M(x,y) 典例解析 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • • 解1：(待定系数法) △ABC的外接圆的圆心是△ABC的外心, 即△ABC三边垂直平分线的交点. 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上,只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了. 典例解析 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. △ABC的外接圆的圆心是△ABC的外心, 即△ABC三边垂直平分线的交点. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • r M • 解2： 方法归纳 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于的方程组； ③解——解方程组，求出； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． 巩固练习 课本P85 4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程. x O(0,0) y A(4,0) • • B(0,3) • • 解1：(待定系数法) 巩固练习 课本P85 4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程. x O(0,0) y A(4,0) • • B(0,3) • • 解2： 典例解析 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. • x O y A(1,1) • • B(2,-2) l C 由已知条件可得 设圆C的方程为 解1：(待定系数法) 典例解析 例3 已知知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. 分析: 设圆心C的坐标为（a,b）由已知条件可知|CA|=|CB|,且a-b+1=0,由此可求出圆心坐标和半径. • x O y A(1,1) • • B(2,-2) l 解2： 典例解析 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. 分析：另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法. • x O y A(1,1) • • B(2,-2) l 解3： 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 圆的标准方程 圆心、半径 点与圆的位置关系 圆外: 圆上: 圆内: 圆的基本要素 $$