第六章 幂函数、指数函数和对数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第六章　幂函数、指数函数和对数函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第六章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．设函数，若，则a的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义及初等函数的单调性判断求解. 【详解】对于A，的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，根据幂函数的性质可知，在上为增函数，且， 又，所以是奇函数，故B正确； 对于C，，，且，所以是偶函数，故C错误； 对于D，显然是偶函数，故D错误. 故选：B. 6．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 8．已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解． 【详解】     ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为4 B．的图象关于对称 C． D．当时， 【答案】AB 【分析】由已知可得，结合，可求周期判断A；由已知可得的图象关于对称，结合对称性与周期性可得的图象关于对称，判断B；由已知可得，，结合已知可求判断C；利用对称性可求当时，的解析式判断D. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 又，所以，所以， 所以的周期为4，故A正确； 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 因为，所以关于对称，所以的图象关于对称， 又的周期为4，所以可得的图象关于对称，故B正确； 因为关于对称，所以， 又的图象关于对称，所以，所以， ， 又，所以，解得, 所以当时，， ，故C错误； 当，则， 因为，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数的对称性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应解析式. 10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】代入法求出，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D． 【详解】将点代入函数得：，则． 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确． 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确． 当时，，即，所以C正确． 当时， 即成立，所以D正确． 故选：ACD． 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由对数运算可得，，借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D. 【详解】由，则，由，则，即； 对A：，故，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：由，，则， 即，则，故C正确； 对D：由，则， 由，，则，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12． . 【答案】 【分析】根据幂的运算化简求值. 【详解】原式. 故答案为： 13．设是以1为周期的周期函数.若当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数周期及函数在区间上的解析式得解. 【详解】， 故答案为： 14．对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】结合对数函数画出分段函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 又， 所以点是两个函数的交点， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 可得的大致图象，如下图， 故答案为：2. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值. 【详解】（1）由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以，即， 所以值域为. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 16．(本小题满分15分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递增，. 【分析】（1）根据对称性的定义证明或者由函数的对称性进行证明； （2）利用对称性把不等式化为，再根据单调性转化求解. 【详解】（1）解法1：显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 由题意，， 所以， 所以函数的图象关于点对称. 解法2：由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. （2）由复合函数单调性可知单调递增， （证明：设，则，，从而， 所以，即，所以是增函数.） 由（1）知函数的图象关于点对称，故有，即， 所以， 因为，所以， 因为是单调递增函数，所以，即， 解得，所以实数的取值范围为. 17．(本小题满分15分)已知函数. (1)若，试用表示； (2)是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用换底公式和对数运算法则得到答案； （2）参变分离得到在区间上有解，构造，求出其最大值，从而得到，结合为正整数，得到答案. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式可化为， 即在区间上有解. 令，则， 因为，所以， 又是正整数，故的最大值为2. 18．(本小题满分17分)已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 【分析】（1）先根据求出的值，再由复合函数单调性可得单调区间； （2）的最小值为0，转化为的最小值为，结合二次函数图象与性质即可求解的值. 【详解】（1）因为，所以，因此，则. 这时 由得，即函数f（x）的定义域为. 令，由，， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）若的最小值为0，则有最小值，且最小值为1， 因此有，解得 故a的值为. 19．(本小题满分17分)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， （2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； （3）， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　幂函数、指数函数和对数函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第六章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．设函数，若，则a的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为4 B．的图象关于对称 C． D．当时， 10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12． . 13．设是以1为周期的周期函数.若当时，，则 . 14．对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 16．(本小题满分15分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 17．(本小题满分15分)已知函数. (1)若，试用表示； (2)是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 18．(本小题满分17分)已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 19．(本小题满分17分)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$