第六章 幂函数、指数函数和对数函数 知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第六章　幂函数、指数函数和对数函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、幂函数的概念 形如　y＝xα　的函数称为幂函数,其中x是　自变量　,α是　常数　. 二、幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象 2.幂函数y＝xα的性质 (1)当α＞0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(0,0)　和　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　上升　,函数在区间　[0,＋∞)　上单调递增. (2)当α＜0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　下降　,函数在区间　(0,＋∞)　上单调递减. 要点诠释：幂函数y＝xα(α为常数)的图象和性质的研究方法:①先研究五种常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象及图象恒过的定点,再研究α取其他一些值（如取0,4.5,-2,-3,,等）的图象和性质;②不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从下到上,相应的幂指数由小变大.即图象绕点(1,1)随着幂指数α的增大按逆时针旋转;③先研究幂函数在第一象限内的图象,再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质. 三、指数函数的概念 一般地,函数y＝　ax　(a＞0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是　R　. 要点诠释：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与幂函数y＝xα(α是常数)的区别:指数函数的自变量在指数位置,底数是常数a且限定a＞0且a≠1,所有指数函数的定义域都是R,值域都是(0,＋∞);幂函数的自变量在底数位置,指数α是常数,且α∈R,幂函数的定义域、值域由幂指数α的值确定,不同的幂函数的定义域不一定相同;(2)指数函数与幂函数的定义都是“形式”定义法,即只有满足y＝ax(a＞0且a≠1)这种表现形式的函数才是指数函数.有的函数如y＝22x＝4x,这时我们就说函数y＝22x不是指数函数,但它可化为指数函数y＝4x. 四、指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域:　R　 值域:　(0,＋∞)　 图象过定点:　(0,1)　,图象在x轴的　上方　 在(-∞,＋∞)上是　增　函数; 当x＞0时,y＞1; 当x＜0时,0＜y＜1 在(-∞,＋∞)上是　减　函数; 当x＞0时,0＜y＜1; 当x＜0时,y＞1 五、对数函数的概念 一般地,函数y＝　logax(a＞0,a≠1)　叫作对数函数,其中　x　是自变量,定义域是　(0,＋∞)　. 要点诠释：只有形如“y＝logax(a＞0且a≠1)”的函数才是对数函数.函数y＝log2x不是对数函数,但它可化为对数函数y＝log4x,函数y＝log2(x＋1)不是对数函数,但它可由对数函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度而得到,这样的函数称为对数型函数. 六、对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域:　(0,＋∞)　 值域:　R　 图象过点:　(1,0)　 在(0,＋∞)上是　增　函数; 当0＜x＜1时,y＜0; 当x＞1时,y＞0 在(0,＋∞)上是　减　函数; 当0＜x＜1时,y＞0; 当x＞1时,y＜0 2.反函数 当a＞0,a≠1时,y＝logax称为y＝ax的反函数.反之,y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地,如果函数y＝f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y＝　f-1(x)　. 要点诠释：(1)对数函数的图象和性质:①讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论;②对数函数图象的“记忆”:根据对数函数的性质可知,对数函数的图象都经过点,(1,0),(a,1),且图 象都在第一、四象限内,据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)的草图;③在对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)中,(ⅰ)若0＜a＜1且0＜x＜1,或a＞1且x＞1,则有y＞0;(ⅱ)若0＜a＜1且x＞1,或a＞1且0＜x＜1,则有y＜0.以上性质可以简称为:同区间为正,异区间为负.有了这个规律,我们判断对数函数值的正负就很简单了. (2)反函数的性质:①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域. 03 题型归纳 题型一　幂函数的概念 【例题】　已知幂函数y＝(m2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出定义域. 【点睛】　　判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 巩固训练 1.下列函数中不是幂函数的是(　　) A.y＝　　　　　　　　　　B.y＝ C.y＝22x　　D.y＝x-1 2.已知f(x)＝ax2a＋1-b＋1是幂函数,则a＋b＝(　　) A.2　　　　B.1　　C.　　　　D.0 题型二　幂函数图象及其应用 【例题】　点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有: (1)f(x)＞g(x);(2)f(x)＝g(x);(3)f(x)＜g(x). 【点睛】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,＋∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高); (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x-1或y＝或y＝x3）来判断. 巩固训练 1.如图是幂函数y＝xn的部分图象,已知n取,2,-2,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　) A.2,,-,-2　　B.-2,-,,2 C.-,-2,2,　　D.2,,-2,- 2.幂函数f(x)＝的大致图象为(　　) 3.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,),则f(x)＝　　　　.  题型三　幂函数性质及其应用 角度一:比较大小 【例题】　比较下列各组数的大小: (1)与; (2)与; (3)与. 【点睛】　　比较幂值大小的两种基本方法 角度二:幂函数性质的综合应用 【例题】　已知函数f(x)＝(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围. 【点睛】解决幂函数的综合问题,应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想. 巩固训练 1.若(3-2m＞(m＋1,求实数m的取值范围. 2.已知幂函数f(x)＝,其中m∈{x｜-2＜x＜2,x∈Z},满足: (1)在区间(0,＋∞)上单调递增; (2)对任意的x∈R,都有f(-x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1),(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域. 题型四　指数函数的概念 【例题】　(1)下列函数中是指数函数的是　　　　.(填序号)  ①y＝2·()x;②y＝2x-1;③y＝. (2)若函数y＝(k＋2)ax＋2-b(a＞0,且a≠1)是指数函数,则k＝　　　　,b＝　　　　.  【点睛】判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式:判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0,且a≠1)这一结构特征; (2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数. 巩固训练 1.若函数y＝(a2-3a＋3)ax是指数函数,则a＝　　　　.  2.若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(-1)＝　　　　.  题型五　指数型函数的定义域和值域 【例题】　求下列函数的定义域和值域: (1)y＝;(2)y＝;(3)y＝. 【点睛】函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域:形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合; (2)值域:①换元,令t＝f(x); ②求t＝f(x)的定义域x∈D; ③求t＝f(x)的值域t∈M; ④利用y＝at的单调性求y＝at,t∈M的值域. 注意　(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集; (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论. 巩固训练 1.函数f(x)＝＋的定义域是　　　　.  2.若函数f(x)＝的定义域是[1,＋∞),则a的取值范围是　　　　.  3.函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值. 题型六　指数函数的图象与性质 角度一:指数函数图象的辨识 【例题】　(1)如图所示是指数函数①y＝ax;②y＝bx;③y＝cx;④y＝dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c (2)已知0＜a＜1,b＜-1,则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A.第一象限　　　　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 【点睛】解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a＞1和0＜a＜1时,图象的大体形状; (2)在y轴右侧,指数函数的图象底大图高,即各图象以(0,1)为中心随底数a的增大按逆时针方向旋转. 角度二:指数函数的图象变换 【例题】　画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的. (1)y＝2x-1;(2)y＝2x＋1;(3)y＝2｜x｜; (4)y＝｜2x-1｜;(5)y＝-2x;(6)y＝-2-x. 【点睛】指数函数图象的变换 (1)平移规律:设b＞0, ①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象; ②y＝ax的图象y＝ax-b的图象; ③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象; ④y＝ax的图象y＝ax-b的图象. (2)对称规律 y＝ax(a＞0,且a≠1)的图象 与y＝a-x的图象关于y轴对称 与y＝-ax的图象关于x轴对称 与y＝-a-x的图象关于坐标原点对称 巩固训练 1.已知1＞n＞m＞0,则指数函数①y＝mx;②y＝nx的图象为(　　) 2.函数f(x)＝ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　) A.a＞1,b＜0　　B.a＞1,b＞0 C.0＜a＜1,b＞0　　D.0＜a＜1,b＜0 3.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数根,求m的取值范围. 题型七　对数函数的概念 【例题】　指出下列函数哪些是对数函数? (1)y＝3log2x;　　　　　　(2)y＝log6x; (3)y＝logx5;　　(4)y＝log2x＋1. 【点睛】判断一个函数是对数函数的方法 巩固训练 1.函数f(x)＝(a2-a＋1)log(a＋1)x是对数函数,则实数a＝　　　　.  2.若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1),则f(8)＝　　　　.  题型八　对数型函数的定义域与值域 【例题】　(1)求下列函数的定义域: ①y＝log5(1-x);②y＝; ③y＝. (2)求函数f(x)＝log2(4x)·lo,x∈的值域. 【点睛】1.求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 2.求对数型函数的值域(最值) (1)对数型函数的单调性与底数的范围有关;可以利用单调性求值域(最值); (2)对于一些复合函数,有时可以通过换元,转化为求外函数的值域(最值). 巩固训练 已知函数f(x)＝loga(1-x)＋loga(x＋3)(a＞0,且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)若函数f(x)有最小值为-2,求a的值. 题型九　对数型函数的图象问题 【例题】　(1)当a＞1时,在同一坐标系中,函数y＝a-x与y＝logax的图象为(　　) (2)作出函数y＝｜log2(x＋1)｜的图象. 【点睛】有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)＝1求出x,即得定点为(x,m); (2)给出函数解析式判断函数的图象,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出,解决此类题目常采用排除法; (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 巩固训练 1.函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx,y＝logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是(　　) A.c＜d＜1＜a＜b　　B.1＜d＜c＜a＜b C.c＜d＜1＜b＜a　　D.d＜c＜1＜a＜b 2.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 3.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为　　　　.  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、幂函数的概念 形如　y＝xα　的函数称为幂函数,其中x是　自变量　,α是　常数　. 二、幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象 2.幂函数y＝xα的性质 (1)当α＞0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(0,0)　和　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　上升　,函数在区间　[0,＋∞)　上单调递增. (2)当α＜0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　下降　,函数在区间　(0,＋∞)　上单调递减. 要点诠释：幂函数y＝xα(α为常数)的图象和性质的研究方法:①先研究五种常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象及图象恒过的定点,再研究α取其他一些值（如取0,4.5,-2,-3,,等）的图象和性质;②不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从下到上,相应的幂指数由小变大.即图象绕点(1,1)随着幂指数α的增大按逆时针旋转;③先研究幂函数在第一象限内的图象,再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质. 三、指数函数的概念 一般地,函数y＝　ax　(a＞0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是　R　. 要点诠释：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与幂函数y＝xα(α是常数)的区别:指数函数的自变量在指数位置,底数是常数a且限定a＞0且a≠1,所有指数函数的定义域都是R,值域都是(0,＋∞);幂函数的自变量在底数位置,指数α是常数,且α∈R,幂函数的定义域、值域由幂指数α的值确定,不同的幂函数的定义域不一定相同;(2)指数函数与幂函数的定义都是“形式”定义法,即只有满足y＝ax(a＞0且a≠1)这种表现形式的函数才是指数函数.有的函数如y＝22x＝4x,这时我们就说函数y＝22x不是指数函数,但它可化为指数函数y＝4x. 四、指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域:　R　 值域:　(0,＋∞)　 图象过定点:　(0,1)　,图象在x轴的　上方　 在(-∞,＋∞)上是　增　函数; 当x＞0时,y＞1; 当x＜0时,0＜y＜1 在(-∞,＋∞)上是　减　函数; 当x＞0时,0＜y＜1; 当x＜0时,y＞1 五、对数函数的概念 一般地,函数y＝　logax(a＞0,a≠1)　叫作对数函数,其中　x　是自变量,定义域是　(0,＋∞)　. 要点诠释：只有形如“y＝logax(a＞0且a≠1)”的函数才是对数函数.函数y＝log2x不是对数函数,但它可化为对数函数y＝log4x,函数y＝log2(x＋1)不是对数函数,但它可由对数函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度而得到,这样的函数称为对数型函数. 六、对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域:　(0,＋∞)　 值域:　R　 图象过点:　(1,0)　 在(0,＋∞)上是　增　函数; 当0＜x＜1时,y＜0; 当x＞1时,y＞0 在(0,＋∞)上是　减　函数; 当0＜x＜1时,y＞0; 当x＞1时,y＜0 2.反函数 当a＞0,a≠1时,y＝logax称为y＝ax的反函数.反之,y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地,如果函数y＝f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y＝　f-1(x)　. 要点诠释：(1)对数函数的图象和性质:①讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论;②对数函数图象的“记忆”:根据对数函数的性质可知,对数函数的图象都经过点,(1,0),(a,1),且图 象都在第一、四象限内,据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)的草图;③在对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)中,(ⅰ)若0＜a＜1且0＜x＜1,或a＞1且x＞1,则有y＞0;(ⅱ)若0＜a＜1且x＞1,或a＞1且0＜x＜1,则有y＜0.以上性质可以简称为:同区间为正,异区间为负.有了这个规律,我们判断对数函数值的正负就很简单了. (2)反函数的性质:①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域. 03 题型归纳 题型一　幂函数的概念 【例题】　已知幂函数y＝(m2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出定义域. 解　∵y＝(m2-m-1)为幂函数, ∴m2-m-1＝1,解得m＝2或m＝-1. 当m＝2时,m2-2m-3＝-3,则y＝x-3,且有x≠0; 当m＝-1时,m2-2m-3＝0,则y＝x0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x-3,定义域为{x｜x≠0}或y＝x0,定义域为{x｜x≠0}. 【点睛】　　判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 巩固训练 1.下列函数中不是幂函数的是(　　) A.y＝　　　　　　　　　　B.y＝ C.y＝22x　　D.y＝x-1 解析:C　显然C中y＝22x＝4x,不是y＝xα的形式,所以不是幂函数,而A、B、D中的α分别为,,-1,符合幂函数的结构特征,故选C. 2.已知f(x)＝ax2a＋1-b＋1是幂函数,则a＋b＝(　　) A.2　　　　B.1　　C.　　　　D.0 解析:A　因为f(x)＝ax2a＋1-b＋1是幂函数,所以a＝1,-b＋1＝0,即a＝1,b＝1,则a＋b＝2. 题型二　幂函数图象及其应用 【例题】　点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有: (1)f(x)＞g(x);(2)f(x)＝g(x);(3)f(x)＜g(x). 解　设f(x)＝xα,g(x)＝xβ. ∵()α＝2,(-2)β＝-, ∴α＝2,β＝-1, ∴f(x)＝x2,g(x)＝x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知, (1)当x∈(-∞,0)∪(1,＋∞)时,f(x)＞g(x); (2)当x＝1时,f(x)＝g(x); (3)当x∈(0,1)时,f(x)＜g(x). 【点睛】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,＋∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高); (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x-1或y＝或y＝x3）来判断. 巩固训练 1.如图是幂函数y＝xn的部分图象,已知n取,2,-2,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　) A.2,,-,-2　　B.-2,-,,2 C.-,-2,2,　　D.2,,-2,- 解析:A　法一:曲线C1,C2过点(0,0),(1,1),且在第一象限内为增函数,所以n＞0,n为,2,显然C1对应y＝x2,C2对应y＝.C3,C4过点(1,1),且在第一象限内为减函数,所以n＜0,n为-2,-,显然C3对应y＝,C4对应y＝x-2. 法二:取x＝2,分别代入y1＝x2,y2＝,y3＝,y4＝x-2,可求得y1＝4,y2＝,y3＝,y4＝,比较得y1＞y2＞y3＞y4,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为2,,-,-2. 2.幂函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析:B　由于f(0)＝0,所以排除C、D选项.而f(-x)＝(-x＝＝＝＝f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.故选B. 3.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,),则f(x)＝　　　　.  解析:设幂函数f(x)＝xα,把点(3,)代入得, 3α＝,解得α＝,即f(x)＝. 答案: 题型三　幂函数性质及其应用 角度一:比较大小 【例题】　比较下列各组数的大小: (1)与; (2)与; (3)与. 解　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0,＋∞)上单调递增, 又＞,∴＞. (2)∵幂函数y＝x-1在(-∞,0)上单调递减, 又-＜-,∴＞. (3)∵函数y1＝在(0,＋∞)上单调递增,又＞1, ∴＞＝1. 又∵函数y2＝在(0,＋∞)上单调递增,且＜1, ∴＜＝1,∴＞. 【点睛】　　比较幂值大小的两种基本方法 角度二:幂函数性质的综合应用 【例题】　已知函数f(x)＝(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围. 解　(1)∵m2＋m＝m(m＋1),m∈N*, ∴m与m＋1中必定有一个为偶数, ∴该函数的定义域为[0,＋∞), 由幂函数的性质,该函数在定义域上是增函数. (2)∵该函数图象过点(2,), ∴＝, ∴m2＋m＝2,∴m＝1(m∈N*). 由f(2-a)＞f(a-1),得解得1≤a＜. 故m的值为1,满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围为. 【点睛】解决幂函数的综合问题,应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想. 巩固训练 1.若(3-2m＞(m＋1,求实数m的取值范围. 解:因为y＝在定义域[0,＋∞)上是增函数,所以解得-1≤m＜. 故实数m的取值范围为. 2.已知幂函数f(x)＝,其中m∈{x｜-2＜x＜2,x∈Z},满足: (1)在区间(0,＋∞)上单调递增; (2)对任意的x∈R,都有f(-x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1),(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域. 解:因为m∈{x｜-2＜x＜2,x∈Z},所以m＝-1,0,1.因为对任意x∈R,都有f(-x)＋f(x)＝0,即f(-x)＝-f(x),所以f(x)是奇函数. 当m＝-1时,f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2); 当m＝1时,f(x)＝x0条件(1),(2)都不满足; 当m＝0时,f(x)＝x3条件(1),(2)都满足,且在区间[0,3]上单调递增,f(0)＝03＝0,f(3)＝33＝27,所以x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27]. 题型四　指数函数的概念 【例题】　(1)下列函数中是指数函数的是　　　　.(填序号)  ①y＝2·()x;②y＝2x-1;③y＝. (2)若函数y＝(k＋2)ax＋2-b(a＞0,且a≠1)是指数函数,则k＝　　　　,b＝　　　　.  解析　(1)①中指数式()x的系数不为1,故不是指数函数;②中y＝2x-1＝·2x,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;③是指数函数. (2)根据指数函数的定义,得解得 答案　(1)③　(2)-1　2 【点睛】判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式:判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0,且a≠1)这一结构特征; (2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数. 巩固训练 1.若函数y＝(a2-3a＋3)ax是指数函数,则a＝　　　　.  解析:由y＝(a2-3a＋3)ax是指数函数, 可得解得∴a＝2. 答案:2 2.若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(-1)＝　　　　.  解析:设f(x)＝ax(a＞0,且a≠1),将点(2,9)代入,得a2＝9,解得a＝3或a＝-3(舍去). 所以f(x)＝3x. 所以f(-1)＝3-1＝. 答案: 题型五　指数型函数的定义域和值域 【例题】　求下列函数的定义域和值域: (1)y＝;(2)y＝;(3)y＝. 解　(1)∵x应满足x-4≠0,∴x≠4, ∴定义域为{x｜x≠4,x∈R}. ∵≠0,∴≠1, ∴y＝的值域为{y｜y＞0,且y≠1}. (2)定义域为R. ∵｜x｜≥0,∴y＝＝≥＝1, ∴此函数的值域为[1,＋∞). (3)由题意知1-≥0,∴≤1＝, ∴x≥0, ∴定义域为{x｜x≥0,x∈R}. ∵x≥0,∴≤1. 又∵＞0,∴0＜≤1.∴0≤1-＜1, ∴0≤y＜1,∴此函数的值域为[0,1). 【点睛】函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域:形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合; (2)值域:①换元,令t＝f(x); ②求t＝f(x)的定义域x∈D; ③求t＝f(x)的值域t∈M; ④利用y＝at的单调性求y＝at,t∈M的值域. 注意　(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集; (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论. 巩固训练 1.函数f(x)＝＋的定义域是　　　　.  解析:依题意有解得x∈[2,4)∪(4,＋∞). 答案:[2,4)∪(4,＋∞) 2.若函数f(x)＝的定义域是[1,＋∞),则a的取值范围是　　　　.  解析:∵ax-a≥0,∴ax≥a,∴当a＞1时,x≥1.故函数定义域为[1,＋∞)时,a＞1. 答案:(1,＋∞) 3.函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值. 解:①当0＜a＜1时,函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a,最小值f(x)min＝f(2)＝a2, 所以a-a2＝,解得a＝或a＝0(舍去); ②当a＞1时,函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2,最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a,所以a2-a＝, 解得a＝或a＝0(舍去). 综上所述,a＝或a＝. 题型六　指数函数的图象与性质 角度一:指数函数图象的辨识 【例题】　(1)如图所示是指数函数①y＝ax;②y＝bx;③y＝cx;④y＝dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c (2)已知0＜a＜1,b＜-1,则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A.第一象限　　　　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 解析　(1)在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降,知c＞d＞1,b＜a＜1,所以b＜a＜1＜d＜c. (2)函数恒过点(0,1＋b),因为b＜-1,所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限. 答案　(1)B　(2)A 【点睛】解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a＞1和0＜a＜1时,图象的大体形状; (2)在y轴右侧,指数函数的图象底大图高,即各图象以(0,1)为中心随底数a的增大按逆时针方向旋转. 角度二:指数函数的图象变换 【例题】　画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的. (1)y＝2x-1;(2)y＝2x＋1;(3)y＝2｜x｜; (4)y＝｜2x-1｜;(5)y＝-2x;(6)y＝-2-x. 解　如图所示: (1)函数y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的; (2)函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的; (3)函数y＝2｜x｜的图象是由y＝2x位于y轴上及y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的; (4)函数y＝｜2x-1｜的图象是由y＝2x的图象先向下平移1个单位长度,然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的; (5)函数y＝-2x的图象是由y＝2x的图象关于x轴对称得到的; (6)函数y＝-2-x的图象是由y＝2x的图象关于原点对称得到的. 【点睛】指数函数图象的变换 (1)平移规律:设b＞0, ①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象; ②y＝ax的图象y＝ax-b的图象; ③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象; ④y＝ax的图象y＝ax-b的图象. (2)对称规律 y＝ax(a＞0,且a≠1)的图象 与y＝a-x的图象关于y轴对称 与y＝-ax的图象关于x轴对称 与y＝-a-x的图象关于坐标原点对称 巩固训练 1.已知1＞n＞m＞0,则指数函数①y＝mx;②y＝nx的图象为(　　) 解析:C　由于0＜m＜n＜1,所以y＝mx与y＝nx都是减函数,故排除A、B;作直线x＝1与两个曲线相交,交点在下面的是函数y＝mx的图象,故选C. 2.函数f(x)＝ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　) A.a＞1,b＜0　　B.a＞1,b＞0 C.0＜a＜1,b＞0　　D.0＜a＜1,b＜0 解析:D　从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0＜a＜1;从曲线位置看,是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移｜-b｜个单位长度得到,所以-b＞0,即b＜0. 3.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数根,求m的取值范围. 解:(1)f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以 又因为a＞0,且a≠1,所以a＝,b＝-3. (2)f(x)单调递减,所以0＜a＜1,又f(0)＜0. 即a0＋b＜0,所以b＜-1. 故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1). (3)画出｜f(x)｜＝｜()x-3｜的图象如图所示,要使｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数根,则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3,＋∞)∪{0}. 题型七　对数函数的概念 【例题】　指出下列函数哪些是对数函数? (1)y＝3log2x;　　　　　　(2)y＝log6x; (3)y＝logx5;　　(4)y＝log2x＋1. 解　(1)log2x的系数是3,不是1,不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式,是对数函数. (3)自变量在底数位置上,不是对数函数. (4)对数式log2x后又加上1,不是对数函数. 【点睛】判断一个函数是对数函数的方法 巩固训练 1.函数f(x)＝(a2-a＋1)log(a＋1)x是对数函数,则实数a＝　　　　.  解析:由a2-a＋1＝1,解得a＝0或1. 又a＋1＞0,且a＋1≠1,∴a＝1. 答案:1 2.若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1),则f(8)＝　　　　.  解析:依题意知1＝loga2, 所以a＝2, 所以f(x)＝log2x, 故f(8)＝log28＝3. 答案:3 题型八　对数型函数的定义域与值域 【例题】　(1)求下列函数的定义域: ①y＝log5(1-x);②y＝; ③y＝. (2)求函数f(x)＝log2(4x)·lo,x∈的值域. 解　(1)①要使函数式有意义,需1-x＞0,解得x＜1,所以函数y＝log5(1-x)的定义域为(-∞,1). ②要使函数式有意义,需解得x＜4,且x≠3,所以函数y＝的定义域为(-∞,3)∪(3,4). ③要使函数有意义,需满足即解得-1＜x＜0,因此函数y＝的定义域为(-1,0). (2)f(x)＝log2(4x)·lo ＝(log2x＋2)· ＝-[(log2x)2＋log2x-2]. 设log2x＝t. ∵x∈,∴t∈[-1,2], 则有y＝-(t2＋t-2),t∈[-1,2], 因此二次函数图象的对称轴为t＝-, ∴函数y＝-(t2＋t-2)在上单调递增,在上单调递减, ∴当t＝-时,有最大值,且ymax＝. 当t＝2时,有最小值,且ymin＝-2. ∴f(x)的值域为. 【点睛】1.求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 2.求对数型函数的值域(最值) (1)对数型函数的单调性与底数的范围有关;可以利用单调性求值域(最值); (2)对于一些复合函数,有时可以通过换元,转化为求外函数的值域(最值). 巩固训练 已知函数f(x)＝loga(1-x)＋loga(x＋3)(a＞0,且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)若函数f(x)有最小值为-2,求a的值. 解:(1)由得-3＜x＜1, 所以函数的定义域为{x｜-3＜x＜1}, f(x)＝loga(1-x)(x＋3), 设t＝(1-x)(x＋3)＝4-(x＋1)2, 所以t≤4,又t＞0,则0＜t≤4. 当a＞1时,y≤loga4,值域为{y｜y≤loga4}. 当0＜a＜1时,y≥loga4,值域为{y｜y≥loga4}. (2)由题设及(1)知当0＜a＜1时,函数有最小值,所以loga4＝-2,解得a＝. 题型九　对数型函数的图象问题 【例题】　(1)当a＞1时,在同一坐标系中,函数y＝a-x与y＝logax的图象为(　　) (2)作出函数y＝｜log2(x＋1)｜的图象. (1)解析　y＝a-x＝,∵a＞1,∴0＜＜1,则y＝a-x在(-∞,＋∞)上是减函数,过定点(0,1);对数函数y＝logax在(0,＋∞)上是增函数,过定点(1,0).故选C. 答案　C (2)解　第一步:作y＝log2x的图象,如图①所示. 第二步:将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y＝log2(x＋1)的图象,如图②所示. 第三步:将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y＝｜log2(x＋1)｜的图象,如图③所示. 【点睛】有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)＝1求出x,即得定点为(x,m); (2)给出函数解析式判断函数的图象,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出,解决此类题目常采用排除法; (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 巩固训练 1.函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx,y＝logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是(　　) A.c＜d＜1＜a＜b　　B.1＜d＜c＜a＜b C.c＜d＜1＜b＜a　　D.d＜c＜1＜a＜b 解析:A　在图中作出直线y＝1(图略),则1＝logax1,1＝logbx2,1＝logcx3,1＝logdx4,解得x1＝a,x2＝b,x3＝c,x4＝d,由图可知x2＞x1＞1＞x4＞x3,即c＜d＜1＜a＜b,故选A. 2.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 解析:B　在logax中x＞0,∴y＝logax＝logax(0＜a＜1),故选B. 3.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为　　　　.  解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c,得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a＞0,且a≠1时,loga1＝0恒成立, ∴c＝2,3＋b＝1,∴b＝-2,c＝2. 答案:-2,2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$