第六章 幂函数、指数函数和对数函数 压轴题专练（5类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第六章　幂函数、指数函数和对数函数 压轴题专练（题型清单） 题型一　指数函数单调性的应用 角度一:指数式的大小比较 【例题】　比较下列各组数的大小: (1)1.52.5和1.53.2; (2)与; (3)1.50.3和0.81.2. 【点睛】比较指数式大小的3种类型及处理方法 角度二:指数不等式 【例题】　求解下列不等式: (1)已知3x≥,求实数x的取值范围; (2)若a-5x＞ax＋7(a＞0且a≠1),求x的取值范围. 【点睛】指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0,且a≠1)的解法:当a＞1时,f(x)＞g(x);当0＜a＜1时,f(x)＜g(x); (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1＝a0(a＞0,且a≠1),a-x＝(a＞0,且a≠1)等. 角度三:指数型函数的单调性 【例题】　判断f(x)＝的单调性,并求其值域. 【点睛】函数y＝af(x)(a＞0,a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a＞1还是0＜a＜1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y＝au,u＝f(x)复合而成; (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y＝f(u),u＝φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y＝f(φ(x))的单调性. 巩固训练 1.设a＝0.60.4,b＝0.40.6,c＝0.40.4,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c　　　　　　　　　　B.b＜c＜a C.c＜a＜b　　D.c＜b＜a 2.不等式≤2x的解集为　　　　.  3.求函数y＝4x-2×2x＋5的单调区间. 题型二　指数函数性质的综合应用 【例题】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数. (1)求a的值; (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由); (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)＋f(2t2-k)＜0恒成立,求实数k的取值范围. 【点睛】解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧; (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行; (3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论. 巩固训练 已知函数f(x)＝·x3. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明:f(x)＞0. 题型三　指数型函数的实际应用 【例题】　某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 【点睛】解决指数型函数应用题的流程 (1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息; (2)建模:据已知条件,列出指数函数的关系式; (3)解模:运用数学知识解决问题; (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论. 巩固训练 为了预防流感,某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y＝(a为常数).已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始,求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室? 【点睛】比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较; (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论; (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较; (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 角度二:求解对数不等式 【例题】　解不等式: (1)log2(2x＋3)≥log2(5x-6); (2)loga(x-4)-loga(2x-1)＞0(a＞0,且a≠1). 【点睛】常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式,借助y＝logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论; (2)形如logax＞b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y＝logax的单调性求解. 角度三:求对数型函数的单调区间 【例题】　求函数f(x)＝lo(x2-2x-3)的单调区间. 【点睛】1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域. 2.对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y＝logaf(x)(a＞0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y＝f(logax)(a＞0,且a≠1)型. 巩固训练 1.已知a＝,b＝log2,c＝lo,则(　　) A.a＞b＞c　　　　　　　　　　B.a＞c＞b C.c＞b＞a　　D.c＞a＞b 2.不等式lo(5＋x)＜lo(1-x)的解集为　　　　.  3.若y＝log(2a-3)x在(0,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围为　　　　.  题型五　对数函数性质的综合应用 【例题】　已知函数f(x)＝loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由. 【点睛】1.对数函数性质的综合应用注意以下3点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,＋∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 2.形如y＝logaf(x)的函数的单调性,首先要确保f(x)＞0, (1)当a＞1时,y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致; (2)当0＜a＜1时,y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反. 巩固训练 已知函数f(x)＝loga(a＞0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并求函数的单调区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 压轴题专练（题型清单） 题型一　指数函数单调性的应用 角度一:指数式的大小比较 【例题】　比较下列各组数的大小: (1)1.52.5和1.53.2; (2)与; (3)1.50.3和0.81.2. 解　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数,2.5＜3.2, ∴1.52.5＜1.53.2. (2)指数函数y＝与y＝的图象如图, 由图知＞. (3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1, 而0.81.2＜0.80＝1, ∴1.50.3＞0.81.2. 【点睛】比较指数式大小的3种类型及处理方法 角度二:指数不等式 【例题】　求解下列不等式: (1)已知3x≥,求实数x的取值范围; (2)若a-5x＞ax＋7(a＞0且a≠1),求x的取值范围. 解　(1)因为＝30.5,所以由3x≥可得3x≥30.5,因为y＝3x为增函数,故x≥0.5. (2)①当0＜a＜1时,函数y＝ax是减函数,则由a-5x＞ax＋7可得-5x＜x＋7,解得x＞-. ②当a＞1时,函数y＝ax是增函数,则由a-5x＞ax＋7可得-5x＞x＋7,解得x＜-. 综上,当0＜a＜1时,x＞-;当a＞1时,x＜-. 【点睛】指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0,且a≠1)的解法:当a＞1时,f(x)＞g(x);当0＜a＜1时,f(x)＜g(x); (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1＝a0(a＞0,且a≠1),a-x＝(a＞0,且a≠1)等. 角度三:指数型函数的单调性 【例题】　判断f(x)＝的单调性,并求其值域. 解　令u＝x2-2x,则原函数变为y＝. ∵u＝x2-2x＝(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,又∵y＝在(-∞,＋∞)上是减函数, ∴y＝在(-∞,1]上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减. ∵u＝x2-2x＝(x-1)2-1≥-1, ∴y＝,u∈[-1,＋∞), ∴0＜≤＝3, ∴原函数的值域为(0,3]. 【点睛】函数y＝af(x)(a＞0,a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a＞1还是0＜a＜1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y＝au,u＝f(x)复合而成; (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y＝f(u),u＝φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y＝f(φ(x))的单调性. 巩固训练 1.设a＝0.60.4,b＝0.40.6,c＝0.40.4,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c　　　　　　　　　　B.b＜c＜a C.c＜a＜b　　D.c＜b＜a 解析:B　∵a＝0.60.4,c＝0.40.4,由幂函数的性质可得a＞c. 又∵b＝0.40.6由指数函数的性质可得b＜c,∴b＜c＜a. 2.不等式≤2x的解集为　　　　.  解析:∵＝(2-1＝, ∴原不等式等价于≤2x. ∵y＝2x是R上的增函数,∴2-x2≤x, ∴x2＋x-2≥0,即x≤-2或x≥1, ∴原不等式的解集是{x｜x≥1或x≤-2}. 答案:{x｜x≥1或x≤-2} 3.求函数y＝4x-2×2x＋5的单调区间. 解:函数的定义域为R,令t＝2x,x∈R时,t∈(0,＋∞). y＝(2x)2-2×2x＋5＝t2-2t＋5＝(t-1)2＋4,t∈(0,＋∞). 当t≥1时,2x≥1,x≥0;当0＜t≤1时,0＜2x≤1,x≤0. ∵y＝(t-1)2＋4在[1,＋∞)上单调递增,t＝2x在[0,＋∞)上单调递增, ∴y＝(2x-1)2＋4的单调递增区间为(0,＋∞). 同理可得单调递减区间为(-∞,0]. 题型二　指数函数性质的综合应用 【例题】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数. (1)求a的值; (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由); (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)＋f(2t2-k)＜0恒成立,求实数k的取值范围. 解　(1)∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数, ∴f(0)＝0,即a＋＝0,∴a＝-. (2)由(1)知f(x)＝-＋, 故f(x)在R上为减函数. (3)∵f(x)为奇函数, ∴f(t2-2t)＋f(2t2-k)＜0可化为f(t2-2t)＜f(k-2t2). 由(2)知f(x)在R上为减函数, ∴t2-2t＞k-2t2, 即3t2-2t-k＞0对于一切t∈R恒成立, ∴Δ＝4＋12k＜0,得k＜-, ∴k的取值范围是. 【点睛】解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧; (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行; (3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论. 巩固训练 已知函数f(x)＝·x3. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明:f(x)＞0. 解:(1)由题意得2x-1≠0,即x≠0, ∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,＋∞). (2)由(1)知,f(x)的定义域关于原点对称. 令g(x)＝＋＝,φ(x)＝x3,则f(x)＝g(x)·φ(x). ∵g(-x)＝＝＝-g(x),φ(-x)＝(-x)3＝-x3＝-φ(x), ∴f(-x)＝g(-x)·φ(-x)＝[-g(x)]·[-φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x), ∴f(x)＝·x3为偶函数. (3)证明:当x＞0时,2x＞1, ∴2x-1＞0,∴＋＞0. ∵x3＞0,∴f(x)＞0. 由偶函数的图象关于y轴对称,知当x＜0时,f(x)＞0也成立.故对于x∈(-∞,0)∪(0,＋∞),恒有f(x)＞0. 题型三　指数型函数的实际应用 【例题】　某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解　(1)1年后该城市人口总数为: y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%); 2年后该城市人口总数为: y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2; 3年后该城市人口总数为:y＝100×(1＋1.2%)3; … x年后该城市人口总数为:y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为:y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人). 【点睛】解决指数型函数应用题的流程 (1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息; (2)建模:据已知条件,列出指数函数的关系式; (3)解模:运用数学知识解决问题; (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论. 巩固训练 为了预防流感,某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y＝(a为常数).已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始,求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室? 解:(1)依题意,当0≤t≤0.2时,可设y＝kt,且1＝0.2k,解得k＝5, 又由1＝,解得a＝0.2, 所以y＝ (2)令≤0.125,即≤,得5t-1≥3,解得t≥0.8, 即至少需要经过0.8 h后,学生才能回到教室. 题型四　对数型函数的单调性 角度一:比较对数值的大小 【例题】　比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a＞0,且a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3. 解　(1)因为函数y＝ln x在(0,＋∞)上是增函数,且0.3＜2,所以ln 0.3＜ln 2. (2)当a＞1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上是增函数, 又3.1＜5.2,所以loga3.1＜loga5.2; 当0＜a＜1时,函数y＝logax在(0,＋∞)上是减函数, 又3.1＜5.2,所以loga3.1＞loga5.2. 综上所述,当a＞1时,loga3.1＜loga5.2; 当0＜a＜1时,loga3.1＞loga5.2. (3)因为0＞log0.23＞log0.24,所以＜, 即log30.2＜log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数,且π＞3, 所以log3π＞log33＝1. 同理,1＝logππ＞logπ3,所以log3π＞logπ3. 【点睛】比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较; (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论; (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较; (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 角度二:求解对数不等式 【例题】　解不等式: (1)log2(2x＋3)≥log2(5x-6); (2)loga(x-4)-loga(2x-1)＞0(a＞0,且a≠1). 解　(1)原不等式等价于 解得＜x≤3. 所以不等式的解集为. (2)原不等式化为loga(x-4)＞loga(2x-1). 当a＞1时, 不等式等价于 无解. 当0＜a＜1时,不等式等价于解得x＞4. 综上可知,当a＞1时,解集为⌀;当0＜a＜1时,解集为{x｜x＞4}. 【点睛】常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式,借助y＝logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论; (2)形如logax＞b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y＝logax的单调性求解. 角度三:求对数型函数的单调区间 【例题】　求函数f(x)＝lo(x2-2x-3)的单调区间. 解　设t＝x2-2x-3＞0,得x＞3或x＜-1,由于 t＝(x-1)2-4在(3,＋∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,又y＝lot在定义域内是减函数,因而函数f(x)＝lo(x2-2x-3)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,＋∞). 【点睛】1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域. 2.对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y＝logaf(x)(a＞0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y＝f(logax)(a＞0,且a≠1)型. 巩固训练 1.已知a＝,b＝log2,c＝lo,则(　　) A.a＞b＞c　　　　　　　　　　B.a＞c＞b C.c＞b＞a　　D.c＞a＞b 解析:D　∵0＜a＝＜20＝1,b＝log2＜log21＝0,c＝lo＞lo＝1,∴c＞a＞b.故选D. 2.不等式lo(5＋x)＜lo(1-x)的解集为　　　　.  解析:因为函数y＝lox在(0,＋∞)上是减函数, 所以解得-2＜x＜1. 答案:(-2,1) 3.若y＝log(2a-3)x在(0,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:由y＝log(2a-3)x在(0,＋∞)上是增函数,所以2a-3＞1,解得a＞2. 答案:(2,＋∞) 题型五　对数函数性质的综合应用 【例题】　已知函数f(x)＝loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解　(1)∵a＞0且a≠1,设t(x)＝3-ax,则t(x)＝3-ax为减函数, ∴当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a. ∴3-2a＞0.∴a＜.又a＞0且a≠1, ∴a的取值范围为(0,1)∪. (2)令t(x)＝3-ax,∵a＞0,∴函数t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减, ∴y＝logat为增函数,∴a＞1. 当x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)＝loga(3-a), ∴即 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1. 【点睛】1.对数函数性质的综合应用注意以下3点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,＋∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 2.形如y＝logaf(x)的函数的单调性,首先要确保f(x)＞0, (1)当a＞1时,y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致; (2)当0＜a＜1时,y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反. 巩固训练 已知函数f(x)＝loga(a＞0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并求函数的单调区间. 解:(1)要使此函数有意义,则有或 解得x＞1或x＜-1,故此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,＋∞). (2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称. ∵f(-x)＝loga＝loga＝-loga＝-f(x),∴f(x)为奇函数. f(x)＝loga＝loga, 函数u＝1＋在区间(-∞,-1)和区间(1,＋∞)上单调递减,∴当a＞1时,f(x)＝loga在(-∞,-1),(1,＋∞)上单调递减;当0＜a＜1时,f(x)＝loga在(-∞,-1),(1,＋∞)上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$