第五章 函数概念与性质（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第五章 函数概念与性质（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第四章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．与函数相同的函数是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知是奇函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 7．已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．以下命题正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．，的值域为 C．若函数，则对，不等式恒成立 D．若，则函数的解析式为 10．已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．函数的值域是 . 13．已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)（1）解关于的不等式； （2）当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．(本小题满分15分)已知函数. (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 17．(本小题满分15分)设为实数，函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集． 18．(本小题满分17分)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 19．(本小题满分17分)在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关的思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数概念与性质（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第四章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即可. 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．与函数相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从定义域和对应关系上逐一判断即可； 【详解】对于A，定义域为，但，与的对应关系不同，故A错误； 对于B，定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C，定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D，定义域为,且，对应关系相同，故D正确； 故选：D. 4．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 5．已知是奇函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及单调性判定选项即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，则，， 所以A，B均错误． 因为在上单调递减， 所以，则，得，C错误，D正确． 故选：D 6．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 7．已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求. 【详解】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 故选：D. 8．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．以下命题正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．，的值域为 C．若函数，则对，不等式恒成立 D．若，则函数的解析式为 【答案】BC 【分析】对A，解分式不等式应该移项通分解决；对B选项，当时，分段函数的性质即可得到；对C选项，通过作差法即可判断不等式的大小；D选项，换元法求解方程表达式，注意换元后新的变量的取值范围. 【详解】对A，不等式，即，化简得， ，所以不等式的解集为，故A选项错误； 对B，当时，分段函数的值域即可为，故B选项正确； 对C，因为函数， 则， ， 则， 所以不等式不等式恒成立，故C选项正确； 对D，，令 ， 则，， 即，，故D选项错误. 故选：BC 10．已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由为奇函数可得到的图象关于点对称，由得到的图象关于直线对称，结合两者得到的周期为8，进而化简即可求解. 【详解】由为奇函数，可得，即， 则的图象关于点对称，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 结合得， 即，所以，所以 则是以8为周期的周期函数，所以， ，，， 故选：AB. 11．下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由同一函数的条件可得A正确；由抽象函数的定义域可得B正确；举反例可得C错误；由二次不等式的解集和对应方程的根的关系可得D正确； 【详解】对于A，的定义域为， 与的定义域相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，定义域为的范围，由函数的定义域为， 则， 所以，即， 即函数的定义域为，故B正确； 对于C，当时，不等式为，成立，故C错误； 对于D，由关于的不等式的解集为可得 ， 所以， 所以，化简可得， 解得或， 即不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数以及反比例函数性质计算可得结果. 【详解】易知函数的值域为， 再根据反比例函数性质可得的值域即为. 故答案为： 13．已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由得到函数的对称轴，从而得到方程，求出，再根据对称性和单调性比较出大小. 【详解】以为，所以为二次函数图象的对称轴， 所以，解得． 根据对称性知，，又函数在上单调递增，所以， 即． 故答案为： 14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得. 【详解】当时，得， 又函数是定义在上的偶函数， 故当时，由可得， 综上的解集为， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)（1）解关于的不等式； （2）当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）对原不等式因式分解为，即可对讨论，结合一元二次不等式的性质即可求解， （2）对的范围进行正负讨论，结合分离参数以及对勾函数的单调性，求解最值即可. 【详解】（1）函数，不等式， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，则； 若，则或； 若，则或， 所以， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； （2）当时，函数，不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，成立，； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则，所以实数的取值范围是. 16．(本小题满分15分)已知函数. (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，转化为存在，使得，由（1）得到在上为单调递减函数，求得的最大值，即可求解. 【详解】（1）证明：任取且， 则， 因为且，可得，且，所以， 所以，即， 所以函数在上为单调递减函数. （2）解：由，不等式可化为， 因为存在，使得成立，即， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围. 17．(本小题满分15分)设为实数，函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）对的符号进行判定后解不等式可得结果； （2）根据解析式并对的取值范围进行分类讨论后可得其最值； （3）讨论的取值范围解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，即． 由知， 因此的取值范围为． （2）记的最小值为． 我们有 （i）当时，．由①②知，此时． （ii）当时，． 若，则由①知；若，则． 由②知，此时． 综上得 （3）由可得； 所以等价于， 易知， 当，可得，则； 当时，可知，则， 当时，解得，此时， 当时，，此时； 当，可知，此时； 综上可知： （ⅰ）当时，解集为； （ⅱ）当时，解集为； （ⅲ）当时，解集为 18．(本小题满分17分)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出的增区间； （2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可； （3）由题意可得，对称轴为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当、、时的即可. 【详解】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 19．(本小题满分17分)在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关的思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据将点代入函数的解析式，求得的值，即可得到的解析式； （2）（i）求得对称轴的方程为，结合题意，得到，即可求解； （ii）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性，求得最值，进而得到的表达式. 【详解】（1）由过点，可得， 解得，所以函数的解析式为. （2）（i）由函数，可得对称轴的方程为， 因为函数在不单调，可得，解得， 即实数的取值范围为； （ii）由函数的对称轴的方程为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递递增，所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 所以， 综上可得， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$