第五章 函数概念与性质 知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第五章 函数概念与性质 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、函数的有关概念 1.定义:给定两个　非空　实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的　每一个　实数x,在集合B中都有　唯一　的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.记法:y＝f(x),x∈A. 3.定义域:　x　叫作自变量,集合　A　叫作函数的定义域. 4.值域:若A是函数y＝f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合　{y｜y＝f(x),x∈A}　称为函数的值域. 要点诠释： 对函数概念的3点说明: ①当A,B为非空数集时,符号f:A→B表示从集合A到集合B的一个函数; ②集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性; ③符号“f”表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样. 二、函数的图象 1.将自变量的一个值x0作为　横坐标　,相应的函数值f(x0)作为　纵坐标　,就得到坐标平面上的一个点　(x0,f(x0))　.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))｜x∈A},即{(x,y)｜y＝f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象. 2.作图、识图与用图 (1)画函数图象常用的方法是描点作图,其步骤是列表、描点、连线; (2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线,开口方向由a值符号决定,a＞0,图象开口向上,a＜0时,图象开口向下,对称轴为x＝-. 要点诠释： (1)函数的图象是由一系列点形成的点集,故函数的图象可以是一条完整的曲线,也可能是某条曲线的一部分,也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点.因此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域; (2)函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0),即横坐标为x0时的相应函数值; (3)每一个函数都有其相应的图象,但并不是每一个图象都能表示一个函数. 三、函数的表示方法 1.列表法:用　列表　来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 2.解析法:用　等式　来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法,　这个等式　通常叫作函数的解析表达式,简称解析式. 3.图象法:用　图象　表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. 要点诠释：函数表示的三种方法的优、缺点 四、分段函数 1.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的　解析表达式　,像这样的函数,通常叫作分段函数. 2.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象. 要点诠释：对分段函数的再理解: ①分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系; ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围; ③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式; ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集; ⑤分段函数的图象是拼接型,即把各段函数的图象画出后拼接在一起就得到这个分段函数的图象. 五、增函数、减函数的概念 　设函数y＝f(x)的定义域为A,区间I⊆A. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时,都有　f(x1)＜f(x2)　,那么称y＝f(x)在区间I上单调递增(图①),I称为y＝f(x)的增区间;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数; (2)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时,都有　f(x1)＞f(x2)　,那么称y＝f(x)在区间I上单调递减(图②),I称为y＝f(x)的减区间;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数. 要点诠释：对函数单调性的再理解: ①并非所有的函数都具有单调性.如函数f(x)＝它的定义域为R,但不具有单调性; ②函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数y＝(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,＋∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性; ③一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y＝(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,＋∞)上都单调递减,不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(-∞,0)∪(0,＋∞); ④函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括这些点. 六、函数的最大值与最小值 　一般地,设y＝f(x)的定义域为A. (1)如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有　f(x)≤f(x0)　,那么称　f(x0)　为y＝f(x)的最大值,记为ymax＝f(x0); (2)如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称　f(x0)　为y＝f(x)的最小值,记为ymin＝f(x0). 要点诠释： (1)对函数最大值和最小值的再理解: ①f(x0)首先是一个函数值,它是值域中的一个元素; ②最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立,也就是说,函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝f(x0)的上(下)方. (2)函数的最大(小)值与最大(小)值点的区别:函数的最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标,并且最大(小)值最多有一个,函数的最大(小)值点是函数图象上最高(低)点的横坐标,并且最大(小)值点可以有两个或多个甚至有无穷多个. 七、函数的奇偶性 　设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　f(-x)＝f(x)　,那么称函数y＝f(x)是偶函数; (2)如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　f(-x)＝-f(x)　,那么称函数y＝f(x)是奇函数; (3)如果函数f(x)是　奇函数　或　偶函数　,那么我们称函数f(x)具有奇偶性; (4)根据函数奇偶性的定义可知,偶函数的图象关于　y轴　对称,奇函数的图象关于　原点　对称. 要点诠释： (1)奇、偶函数定义域的特点:由于f(x)和f(-x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称. (2)函数按奇偶性分类:函数其中既奇又偶函数的解析式为f(x)＝0,但既奇又偶函数有无穷多个. (3)奇、偶函数的单调性:根据奇、偶函数的图象特征,我们不难得出以下结论:①奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”;②偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 03 题型归纳 题型一　函数概念的辨析 【例题】　(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A.f:把x对应到3x＋1 B.g:把x对应到｜x｜＋1 C.h:把x对应到 D.r:把x对应到 解析　A是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是:把x乘3再加1,对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应,如x＝-1,则3x＋1＝-2与之对应;同理B也是实数集R上的一个函数;C不是实数集R上的函数.因为当x＝0时,的值不存在;D不是实数集R上的函数.因为当x＜0时,的值不存在. 答案　AB 【点睛】1.判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B必须是非空数集; (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 2.根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内平行移动直线l; (3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 巩固训练 (多选)下列给出的对应关系f,不能确定从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A.A＝{1,4},B＝{-1, 1,-2, 2},对应关系:开平方 B.A＝{0,1,2},B＝{1,2},对应关系: x 0 1 2 y 1 2 1 C.A＝[0,2],B＝[0,1],对应关系如图所示: D.A＝R,B＝{1,0},∀x∈A,y∈B,对应关系为:当x为有理数时,对应的y为1,当x为无理数时,对应的y为0 答案:AC 题型二　同一个函数的判定 【例题】　(多选)下列式子表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝｜x｜,φ(t)＝ B.y＝,y＝()2 C.y＝·,y＝ D.y＝,y＝x-3 解析　A:f(x)与φ(t)的定义域相同,又φ(t)＝＝｜t｜,即f(x)与φ(t)的对应关系也相同,∴f(x)与φ(t)是同一个函数;B:y＝的定义域为R,y＝()2的定义域为{x｜x≥0},两者定义域不同,故y＝与y＝()2不是同一个函数;C:y＝·的定义域为{x｜-1≤x≤1},y＝的定义域为{x｜-1≤x≤1},即两者定义域相同.又∵y＝·＝,∴两函数的对应关系也相同.故y＝·与y＝是同一个函数;D:∵y＝＝｜x-3｜与y＝x-3的定义域相同,但对应关系不同,∴y＝与y＝x-3不是同一个函数. 答案　AC 【点睛】判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 注意　(1)在化简解析式时,必须是等价变形; (2)与用哪个字母表示无关. 巩固训练 1.给出下列三个说法:①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数;②y＝f(x),x∈R与y＝f(x＋1),x∈R可能是同一个函数;③y＝f(x),x∈R与y＝f(t),t∈R是同一个函数.其中正确的个数是(　　) A.3　　　　　　　　　　　B.2 C.1　　D.0 解析:B　①错误.函数f(x)＝x0的定义域为{x｜x≠0},函数g(x)＝1的定义域是R,不是同一个函数;②正确.y＝f(x),x∈R与y＝f(x＋1),x∈R两函数定义域相同,对应关系可能相同,所以可能是同一个函数;③正确.两个函数定义域相同,对应关系完全一致,是同一个函数.所以正确的个数有2个. 2.下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2 解析:B　对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为{x｜x≠1},不是同一个函数;对于选项B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;对于选项C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数. 题型三　函数的定义域 【例题】　求下列函数的定义域: (1)y＝-;(2)y＝. 解　(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1,且x≠-1, 即函数定义域为{x｜x≤1,且x≠-1}. (2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x≤5,且x≠±3, 即函数定义域为{x｜x≤5,且x≠±3}. 【点睛】求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零; (2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零; (3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合; (4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集; (5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝2＋;(2)y＝·; (3)y＝(x-1)0＋ . 解:(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数y＝2＋有意义,所以这个函数的定义域为{x｜x≠2}. (2)函数有意义,当且仅当解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x｜1≤x≤3}. (3)函数有意义,当且仅当 解得x＞-1,且x≠1, 所以这个函数的定义域为{x｜x＞-1,且x≠1}. 题型四　求函数值和值域 【例题】　(1)已知f(x)＝(x∈R,且x≠-1),g(x)＝x2＋2(x∈R),则f(2)＝　　　　,f(g(2))＝　　　　.  (2)求下列函数的值域: ①f(x)＝2x2-x,x∈{1,2,3}; ②f(x)＝x2-2x; ③f(x)＝2x＋1,x∈[1,2). ④y＝; ⑤y＝2x-. (1)解析　∵f(x)＝,∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2,∴g(2)＝22＋2＝6, ∴f(g(2))＝f(6)＝＝. 答案　　 (2)解　①函数的定义域为{1,2,3}, 因为f(1)＝2×12-1＝1,f(2)＝2×22-2＝6,f(3)＝2×32-3＝15. 所以该函数的值域为{1,6,15}. ②函数的定义域为R, 因为x2-2x＝(x-1)2-1≥-1, 所以该函数的值域为[-1,＋∞). ③函数的定义域为[1,2), 3≤2x＋1＜5, 所以该函数的值域为[3,5). ④y＝＝＝2＋, 显然≠0,所以y≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,＋∞). ⑤令t＝,则x＝t2＋1,且t≥0, 所以y＝2(t2＋1)-t＝2＋, 由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为. 【点睛】1.求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值; (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.求函数值域常用的4种方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域; (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域; (4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋(其中a,b,c,d为常数,且a≠0)型的函数常用换元法. 巩固训练 1.已知函数f(x)＝-1,且f(a)＝3,则a＝　　　　.  解析:因为f(x)＝-1,所以f(a)＝-1. 又因为f(a)＝3,所以-1＝3,a＝16. 答案:16 2.求下列函数的值域: (1)y＝＋1;(2)y＝. 解:(1)因为≥0,所以＋1≥1,即所求函数的值域为[1,＋∞). (2)因为y＝＝-1＋, 又函数的定义域为R,所以x2＋1≥1, 所以0＜≤2,则y∈(-1,1]. 所以所求函数的值域为(-1,1]. 题型五　函数图象的画法 【例题】　作出下列函数的图象并求出其值域: (1)y＝2x＋1,x∈[0,2]; (2)y＝,x∈[2,＋∞); (3)y＝x2＋2x,x∈[-2,2]. 解　(1)当x∈[0,2]时,图象是直线y＝2x＋1的一部分,观察图象可知,其值域为[1,5]. (2)当x∈[2,＋∞)时,图象是反比例函数y＝的一部分,观察图象可知其值域为(0,1]. (3)当-2≤x≤2时,图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分. 由图可得函数的值域是[-1,8]. 【点睛】画函数图象的两种常见方法 (1)描点法:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来; ②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点; ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. (2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等. 巩固训练 作出下列函数的图象,并根据图象求其值域: (1) x -4 -2 2 4 y 1 -3 2 3 (2)y＝-,x∈[-3,0)∪(0,1]; (3)y＝x2＋4x＋1,x∈[-3,0]. 解:(1)该函数的图象如图①所示,由图可知值域为{-3,1,2,3}. (2)作出函数y＝-,x∈[-3,0)∪(0,1]的图象,如图②所示, 由图象可知值域为(-∞,-4]∪. (3)作出函数y＝x2＋4x＋1,x∈[-3,0]的图象,如图③所示,由图象可知值域为[-3,1]. 题型六　利用函数图象求值或比较大小 【例题】　已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴; (2)已知f＝1,不计算函数值求f(0); (3)不直接计算函数值,试比较f与f的大小. 解　f(x)＝3x2＋2x＋1＝3＋. (1)顶点坐标为,对称轴是x＝-. (2)∵f＝1,又＝, ＝, 所以结合二次函数的对称性可知 f(0)＝f＝1. (3)由f(x)＝3＋知二次函数图象开口向上,且对称轴为x＝-,所以离对称轴越近,函数值越小. 又＜, ∴f＜f. 【点睛】1.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法,掌握抛物线的顶点坐标. 2.比较两个函数值的大小,先画出函数图象,再根据自变量的值找到图象上的对应点,自上向下看各点函数值由大到小,当两点连线平行于x轴时,函数值相等;也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系,结合图象判断函数值的大小关系. 巩固训练 已知二次函数y＝2x2-4x-6. (1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出函数图象; (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标,并求出以此三点为顶点的三角形面积; (3)x为何值时,y＞0,y＝0,y＜0? 解:(1)配方,得y＝2(x-1)2-8. ∵a＝2＞0, ∴函数图象开口向上,对称轴是直线x＝1,顶点坐标是(1,-8). 列表: x -1 0 1 2 3 y 0 -6 -8 -6 0 描点并画图,得函数y＝2x2-4x-6的图象,如图所示: (2)由图象得,函数图象与x轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0),与y轴的交点坐标为C(0,-6). S△ABC＝｜AB｜·｜OC｜＝×4×6＝12. (3)由函数图象知, 当x＜-1或x＞3时,y＞0;当x＝-1或x＝3时, y＝0;当-1＜x＜3时,y＜0. 题型七　利用函数图象求值域 【例题】　如果函数f(x)＝(x-1)2＋1定义在区间[t,t＋1]上,求f(x)的值域. 解　函数f(x)＝(x-1)2＋1,其对称轴方程为x＝1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上. 如图①所示,若顶点横坐标在区间[t,t＋1]左侧时,有t＞1, 此时,当x＝t时,函数值最小, f(t)＝(t-1)2＋1＝t2-2t＋2,当x＝t＋1时,函数值最大,f(t＋1)＝t2＋1. ∴函数的值域为[t2-2t＋2,t2＋1]. 如图②所示,若顶点横坐标在区间[t,t＋1]上时, 有t≤1≤t＋1,即0≤t≤1.当x＝1时,函数的最小值为f(1)＝1, 当≤t≤1时,最大值为f(t＋1)＝t2＋1, ∴函数的值域为[1,t2＋1];当0≤t＜时, f(x)在[t,t＋1]上的值域为[1,t2-2t＋2]. 如图③所示,若顶点横坐标在区间[t,t＋1]右侧时,有t＋1＜1,即t＜0.当x＝t＋1,函数的最小值为f(t＋1)＝t2＋1,最大值为f(t)＝t2-2t＋2. 综上:当t＞1时,函数f(x)的值域为[t2-2t＋2,t2＋1]; 当≤t≤1时,函数f(x)的值域为[1,t2＋1];当0≤t＜时,函数f(x)的值域为[1,t2-2t＋2]. 当t＜0时,函数f(x)的值域为[t2＋1,t2-2t＋2]. 【点睛】　　求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m,n]上的值域的步骤: (1)配方,找对称轴; (2)判断对称轴与区间的关系; (3)借助图象求值域. 巩固训练 求二次函数y＝-x2＋4x-2在区间[0,3]上的值域. 解:函数y＝-x2＋4x-2＝-(x-2)2＋2是定义在区间[0,3]上的二次函数,其对称轴方程是x＝2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,f(2)＝2,f(0)＝-2, 所以函数的值域为[-2,2]. 题型八　函数的表示法 【例题】　某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解　(1)列表法: x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法: (3)解析法:y＝3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. 【点睛】函数的三种表示法的选择和应用的注意点 　　解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. 在用三种方法表示函数时要注意: (1)解析法必须注明函数的定义域; (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系; (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 巩固训练 1.已知学校宿舍与办公室相距a m,某同学有重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3分钟来到办公室,停留2分钟,然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中,这位同学行走的路程是时间的函数,则这个函数图象是(　　) 解析:A　由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室,路程是递增的,停留2分钟,路程不发生变化,再匀速步行10分钟返回宿舍,总路程也是增加的,只有A符合.故选A. 2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为　　　　;  当g(f(x))＝2时,x＝　　　　.  解析:由于函数关系是用表格形式给出的,知g(1)＝3,∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2,∴f(x)＝2,∴x＝1. 答案:1　1 3.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x). 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y＝f(x)表示为 y＝5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数y＝f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y＝f(x)表示如图. 题型九　函数解析式的求法 角度一:用待定系数法求函数解析式 【例题】　(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝16x-25,求f(x); (2)已知f(x)是二次函数,且f(x＋1)＋f(x-1)＝2x2-4x,求f(x). 解　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0), 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x-25, ∴∴或 ∴f(x)＝4x-5或f(x)＝-4x＋. (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0), 则f(x＋1)＋f(x-1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x-1)2＋b(x-1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2-4x, ∴∴ ∴f(x)＝x2-2x-1. 【点睛】待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式. 角度二:利用换元法(配凑法)求函数解析式 【例题】　求下列函数的解析式: (1)已知f(＋1)＝x＋2,求f(x); (2)已知f(x＋2)＝2x＋3,求f(x). 解　(1)法一(换元法):令t＝＋1,则x＝(t-1)2,t≥1,所以f(t)＝(t-1)2＋2(t-1)＝t2-1(t≥1), 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2-1(x≥1). 法二(配凑法):f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1-1＝(＋1)2-1. 因为＋1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2-1(x≥1). (2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)-1, 所以f(x)＝2x-1. 【点睛】　　已知f(g(x))＝h(x)求f(x),常用的两种方法: (1)换元法:即令t＝g(x)解出x,代入h(x)中得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后新元的范围; (2)配凑法:即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 角度三:用方程组法求函数解析式 【例题】　已知f(x)＋2f(-x)＝x2＋2x,求f(x). 解　因为f(x)＋2f(-x)＝x2＋2x, 将x换成-x,得f(-x)＋2f(x)＝x2-2x, 联立,得 将①、②两式消去f(-x),得3f(x)＝x2-6x, 所以f(x)＝x2-2x. 【点睛】　　已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 角度四:赋值法求函数的解析式 【例题】　设f(x)是R上的函数,且满足f(0)＝1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)＝f(x)-y(2x-y＋1),求f(x)的解析式. 解　法一:由已知条件得f(0)＝1, 又f(x-y)＝f(x)-y(2x-y＋1), 设y＝x,则f(x-y)＝f(0)＝f(x)-x(2x-x＋1), 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二:令x＝0,得f(0-y)＝f(0)-y(-y＋1), 即f(-y)＝1-y(-y＋1), 将-y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1. 【点睛】　　利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.赋值法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值. 巩固训练 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2,求f(x); (2)已知f＝x2＋,求f(x); (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0),求f(x); (4)设f(x)是R上的函数,f(0)＝1,并且对于任意的实数x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1),求f(x). 解:(1)法一(换元法):令x＋1＝t,∴x＝t-1, ∴f(t)＝3(t-1)＋2＝3t-1,∴f(x)＝3x-1. 法二(配凑法):f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)-1, ∴f(x)＝3x-1. (2)∵f＝x2＋＝＋2, ∴f(x)＝x2＋2(x≠0). (3)∵f(x)＋2f＝x, 用代替x得f＋2f(x)＝, 消去f得f(x)＝-(x≠0), ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝-(x≠0). (4)由已知条件得f(0)＝1, 又f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1), 设y＝-x,则f(x-x)＝f(x)＋(-x)(2x＋1), ∴f(x)＝2x2＋x＋1. 题型十　分段函数求值问题 【例题】　已知函数f(x)＝ (1)求f的值; (2)若f(a)＝,求a的值. 解　(1)因为f＝-2＝-, 所以f＝f＝＝. (2)f(a)＝,若｜a｜≤1,则｜a-1｜-2＝, 得a＝或a＝-. 因为｜a｜≤1,所以a的值不存在; 若｜a｜＞1,则＝,得a＝±,符合｜a｜＞1. 所以若f(a)＝,a的值为±. 【点睛】分段函数求值问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值; (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验; (3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可. 巩固训练 1.f(x)＝则f(5)的值是(　　) A.24　　　　　　　　　　　　B.21 C.18　　D.16 解析:A　f(5)＝f(f(10)),f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21,∴f(5)＝f(21)＝24.故选A. 2.已知实数a≠0,函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1＋a),则a的值为　　　　.  解析:当1-a＜1,即a＞0时,a＋1＞1,由f(1-a)＝f(1＋a),得2(1-a)＋a＝-(1＋a)-2a,解得a＝-(舍去);当1-a＞1,即a＜0时,a＋1＜1,由f(1-a)＝f(1＋a),得2(1＋a)＋a＝-(1-a)-2a,解得a＝-,符合题意.综上所述,a＝-. 答案:- 3.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是　　　　.  解析:画出函数f(x)的图象如图所示,令f(x)＝f(1),得x＝-3,1,3,所以当f(x)＞f(1)时,必有x∈(-3,1)∪(3,＋∞). 答案:(-3,1)∪(3,＋∞) 题型十一　分段函数的图象及应用 【例题】　分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域. (1)y＝ (2)y＝ 解　各函数对应图象如图所示: 由图象知,(1)的定义域是(0,＋∞),值域是[1,＋∞); (2)的定义域是(-∞,＋∞),值域是(-6,6]. 【点睛】分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象; (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 巩固训练 1.设x∈R,定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝｜x｜sgn x的图象大致是(　　) 解析:C　函数f(x)＝｜x｜sgn x＝故函数f(x)＝｜x｜sgn x的图象为y＝x所在的直线,故选C. 2.设x∈R,则函数y＝2｜x-1｜-3｜x｜的值域为　　　　.  解析:当x≥1时,y＝2(x-1)-3x＝-x-2; 当0≤x＜1时,y＝-2(x-1)-3x＝-5x＋2; 当x＜0时,y＝-2(x-1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象,如图所示. 由图象可以看出,函数的值域为(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 题型十二　求函数的最值 角度一:利用函数的图象求最值 【例题】　函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-2,f(2)　　　　　　　　　　B.2,f(2) C.-2,f(5)　　D.2,f(5) 解析　由函数的图象知,当x＝-2时,有最小值-2;当x＝5时,有最大值f(5). 答案　C 【点睛】用图象法求最值的3个步骤 角度二:利用单调性求函数的最值 【例题】　函数y＝2x＋的最小值为　　　　.  解析　法一(单调性法):显然函数y＝2x＋的定义域为[1,＋∞),因为函数y＝2x与y＝在定义域[1,＋∞)上均是增函数,故y＝2x＋在[1,＋∞)上是增函数,所以当x＝1时,ymin＝2＋＝2,即函数y＝2x＋的最小值为2. 法二(换元法):令＝t,则t≥0,x＝t2＋1,所以原函数转化为f(t)＝2t2＋t＋2＝2＋,易知在t∈[0,＋∞)时,函数f(t)单调递增,所以当t＝0时,f(t)min＝2,故函数y＝2x＋的最小值为2. 答案　2 【点睛】函数最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间(b,c)上单调递减,则函数y＝f(x),x∈(a,c)在x＝b处有最大值f(b); (2)如果函数y＝f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间(b,c)上单调递增,则函数y＝f(x),x∈(a,c)在x＝b处有最小值f(b); (3)如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值. 巩固训练 1.函数f(x)＝ax＋(2-x),其中a＞0,记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a),则函数g(a)的最大值为(　　) A.　　B.0 C.1　　D.2 解析:D　f(x)＝ax＋(2-x)＝x＋, ①当a＞1时,a＞,f(x)是增函数, f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)＝, ∴g(a)＝(a＞1); ②当a＝1时,f(x)＝2,∴g(a)＝2(a＝1); ③当0＜a＜1时,a-＜0,f(x)是减函数, f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(2)＝2a, ∴g(a)＝2a(0＜a＜1). ∴g(a)＝ 因此g(a)的最大值为2. 2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  解析:作出f(x)的图象如图.由图象可知,当x＝2时,f(x)取最大值为2;当x＝时,f(x)取最小值为-.所以f(x)的最大值为2,最小值为-. 答案:2　- 题型十三　求二次函数在闭区间上的最值 【例题】　(多选)已知函数f(x)＝x2-2x＋2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　) A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1 B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值 C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5 D.当0＜a＜1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a),当a＞1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1 解析　函数f(x)＝x2-2x＋2＝(x-1)2＋1的图象开口向上,对称轴为直线x＝1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)＝2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)＝1,又因为f(-1)＝5,f(2)＝2,f(-1)＞f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)＝5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2,最大值为f(3)＝5,C正确;在选项D中,当0＜a＜1时,f(x)在区间[0,a]上单调递减,f(x)的最小值为f(a),当a＞1时,由图象(图略)知f(x)在区间[0,a]上的最小值为1,D正确,故选B、C、D. 答案　BCD 【点睛】1.含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式,再根据a的符号确定抛物线的开口方向,再由对称轴x＝-h得出顶点的位置,再根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值. 2.含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型 (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 巩固训练 已知二次函数f(x)＝x2-2x＋3. (1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值; (2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值. 解:f(x)＝x2-2x＋3＝(x-1)2＋2,其对称轴为x＝1,开口向上. (1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上单调递减, 故当x＝-2时,f(x)有最大值f(-2)＝11; 当x＝0时,f(x)有最小值f(0)＝3. (2)当x∈[-2,3]时,f(x)在[-2,3]上先减后增, 故当x＝1时,f(x)有最小值f(1)＝2. 又｜-2-1｜＞｜3-1｜, ∴f(x)的最大值为f(-2)＝11. 题型十四　判断函数的奇偶性 【例题】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)＝2-｜x｜; (2)f(x)＝ ＋ ; (3)f(x)＝; (4)f(x)＝ 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)＝2-｜-x｜＝2-｜x｜＝f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)＝0,又∵f(-x)＝-f(x),f(-x)＝f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域为{x｜x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.当x＞0时,-x＜0, f(-x)＝1-(-x)＝1＋x＝f(x); 当x＜0时,-x＞0, f(-x)＝1＋(-x)＝1-x＝f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,＋∞),都有f(-x)＝f(x),f(x)为偶函数. 【例题】　 (1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),求证:f(x)为奇函数; (2)若f(x)＝x2＋(x≠0,a∈R),判断其奇偶性. 解　(1)证明:令a＝0, 则f(b)＝f(0)＋f(b),∴f(0)＝0. 令a＝-x,b＝x,则f(0)＝f(-x)＋f(x), ∴f(-x)＝-f(x), 又∵f(x)定义域为R关于原点对称, ∴f(x)是奇函数. (2)①当a＝0时,f(x)＝x2,对任意x∈(-∞,0)∪(0,＋∞),f(-x)＝(-x)2＝x2＝f(x),则函数f(x)为偶函数; ②当a≠0时,f(x)＝x2＋(x≠0),取x＝1,得f(1)＝1＋a,取x＝-1,得f(-1)＝1-a,则f(-1)＋f(1)＝2≠0,f(-1)-f(1)＝-2a≠0,即f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述,当a≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 当a＝0时,函数f(x)为偶函数. 【点睛】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步; ②验证:f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x); ③下结论:若f(-x)＝-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)＝f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)＝±f(x),则f(x)是既奇又偶函数;若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:①若f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数; ②若f(x)图象关于y轴对称,则f(x)是偶函数; ③若f(x)图象既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数; ④若f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)性质法:①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 巩固训练 1.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且它们都恒不为0,则f(x)·g(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性不能确定 解析:A　令F(x)＝f(x)·g(x),则F(-x)＝f(-x)·g(-x)＝-f(x)·g(x)＝-F(x),∴F(x)是奇函数,即f(x)·g(x)是奇函数.故选A. 2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝; (3)f(x)＝｜x＋a｜-｜x-a｜(a∈R). 解:(1)∵x∈R,关于原点对称, 又∵f(-x)＝(-x)2[(-x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称, 又∵f(-x)＝＝-＝-f(x). ∴f(x)为奇函数. (3)函数的定义域为(-∞,＋∞),关于原点对称. ①当a≠0时,f(-x)＝｜-x＋a｜-｜-x-a｜＝｜x-a｜-｜x＋a｜＝-(｜x＋a｜-｜x-a｜)＝-f(x),所以函数f(x)为奇函数; ②当a＝0时,函数f(x)＝｜x＋a｜-｜x-a｜＝｜x｜-｜x｜＝0,此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 综上所述,当a≠0时,函数f(x)为奇函数;当a＝0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 题型十五　利用函数的奇偶性求参数 【例题】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a＝　　　　,b＝　　　　;  (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数,则实数a＝　　　　.  解析　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1＝-2a,解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(-x)＋f(x)＝0,得a(-x)2＋2(-x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0,故a＝0. 答案　(1)　0　(2)0 【点睛】利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数:奇偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a＋b＝0求参数; (2)解析式含参数:根据f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解. 巩固训练 1.设函数f(x)＝为奇函数,则a＝　　　　.  解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)＝-f(x), 即＝-. 显然x≠0,整理得x2-(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a, 故a＋1＝0,得a＝-1. 答案:-1 2.已知函数f(x)＝是奇函数,则a＝　　　　.  解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)＋f(1)＝0, 即(a-1)＋(-1＋1)＝0,故a＝1. 答案:1 题型十六　利用函数的奇偶性求解析式 【例题】　若f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝x2-2x＋3,求f(x)的解析式. 解　当x＝0时,f(0)＝0.当x＜0时,-x＞0, f(-x)＝(-x)2-2(-x)＋3＝x2＋2x＋3, 由于f(x)是奇函数,故f(x)＝-f(-x), 所以f(x)＝-x2-2x-3. 即当x＜0时,f(x)＝-x2-2x-3. 故f(x)＝ 【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设; (2)转化到已知区间上,代入已知的解析式; (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 巩固训练 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝2x＋x2,求函数f(x),g(x)的解析式. 解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 所以f(-x)＝f(x),g(-x)＝-g(x), 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ① 用-x代替x得f(-x)＋g(-x)＝-2x＋(-x)2, 所以f(x)-g(x)＝-2x＋x2, ② (①＋②)÷2,得f(x)＝x2. (①-②)÷2,得g(x)＝2x. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数概念与性质 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、函数的有关概念 1.定义:给定两个　非空　实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的　每一个　实数x,在集合B中都有　唯一　的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.记法:y＝f(x),x∈A. 3.定义域:　x　叫作自变量,集合　A　叫作函数的定义域. 4.值域:若A是函数y＝f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合　{y｜y＝f(x),x∈A}　称为函数的值域. 要点诠释： 对函数概念的3点说明: ①当A,B为非空数集时,符号f:A→B表示从集合A到集合B的一个函数; ②集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性; ③符号“f”表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样. 二、函数的图象 1.将自变量的一个值x0作为　横坐标　,相应的函数值f(x0)作为　纵坐标　,就得到坐标平面上的一个点　(x0,f(x0))　.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))｜x∈A},即{(x,y)｜y＝f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象. 2.作图、识图与用图 (1)画函数图象常用的方法是描点作图,其步骤是列表、描点、连线; (2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线,开口方向由a值符号决定,a＞0,图象开口向上,a＜0时,图象开口向下,对称轴为x＝-. 要点诠释： (1)函数的图象是由一系列点形成的点集,故函数的图象可以是一条完整的曲线,也可能是某条曲线的一部分,也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点.因此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域; (2)函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0),即横坐标为x0时的相应函数值; (3)每一个函数都有其相应的图象,但并不是每一个图象都能表示一个函数. 三、函数的表示方法 1.列表法:用　列表　来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 2.解析法:用　等式　来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法,　这个等式　通常叫作函数的解析表达式,简称解析式. 3.图象法:用　图象　表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. 要点诠释：函数表示的三种方法的优、缺点 四、分段函数 1.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的　解析表达式　,像这样的函数,通常叫作分段函数. 2.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象. 要点诠释：对分段函数的再理解: ①分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系; ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围; ③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式; ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集; ⑤分段函数的图象是拼接型,即把各段函数的图象画出后拼接在一起就得到这个分段函数的图象. 五、增函数、减函数的概念 　设函数y＝f(x)的定义域为A,区间I⊆A. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时,都有　f(x1)＜f(x2)　,那么称y＝f(x)在区间I上单调递增(图①),I称为y＝f(x)的增区间;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数; (2)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时,都有　f(x1)＞f(x2)　,那么称y＝f(x)在区间I上单调递减(图②),I称为y＝f(x)的减区间;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数. 要点诠释：对函数单调性的再理解: ①并非所有的函数都具有单调性.如函数f(x)＝它的定义域为R,但不具有单调性; ②函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数y＝(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,＋∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性; ③一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y＝(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,＋∞)上都单调递减,不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(-∞,0)∪(0,＋∞); ④函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括这些点. 六、函数的最大值与最小值 　一般地,设y＝f(x)的定义域为A. (1)如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有　f(x)≤f(x0)　,那么称　f(x0)　为y＝f(x)的最大值,记为ymax＝f(x0); (2)如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称　f(x0)　为y＝f(x)的最小值,记为ymin＝f(x0). 要点诠释： (1)对函数最大值和最小值的再理解: ①f(x0)首先是一个函数值,它是值域中的一个元素; ②最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立,也就是说,函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝f(x0)的上(下)方. (2)函数的最大(小)值与最大(小)值点的区别:函数的最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标,并且最大(小)值最多有一个,函数的最大(小)值点是函数图象上最高(低)点的横坐标,并且最大(小)值点可以有两个或多个甚至有无穷多个. 七、函数的奇偶性 　设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　f(-x)＝f(x)　,那么称函数y＝f(x)是偶函数; (2)如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　f(-x)＝-f(x)　,那么称函数y＝f(x)是奇函数; (3)如果函数f(x)是　奇函数　或　偶函数　,那么我们称函数f(x)具有奇偶性; (4)根据函数奇偶性的定义可知,偶函数的图象关于　y轴　对称,奇函数的图象关于　原点　对称. 要点诠释： (1)奇、偶函数定义域的特点:由于f(x)和f(-x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称. (2)函数按奇偶性分类:函数其中既奇又偶函数的解析式为f(x)＝0,但既奇又偶函数有无穷多个. (3)奇、偶函数的单调性:根据奇、偶函数的图象特征,我们不难得出以下结论:①奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”;②偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 03 题型归纳 题型一　函数概念的辨析 【例题】　(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A.f:把x对应到3x＋1 B.g:把x对应到｜x｜＋1 C.h:把x对应到 D.r:把x对应到 【点睛】1.判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B必须是非空数集; (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 2.根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内平行移动直线l; (3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 巩固训练 (多选)下列给出的对应关系f,不能确定从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A.A＝{1,4},B＝{-1, 1,-2, 2},对应关系:开平方 B.A＝{0,1,2},B＝{1,2},对应关系: x 0 1 2 y 1 2 1 C.A＝[0,2],B＝[0,1],对应关系如图所示: D.A＝R,B＝{1,0},∀x∈A,y∈B,对应关系为:当x为有理数时,对应的y为1,当x为无理数时,对应的y为0 题型二　同一个函数的判定 【例题】　(多选)下列式子表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝｜x｜,φ(t)＝ B.y＝,y＝()2 C.y＝·,y＝ D.y＝,y＝x-3 【点睛】判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 注意　(1)在化简解析式时,必须是等价变形; (2)与用哪个字母表示无关. 巩固训练 1.给出下列三个说法:①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数;②y＝f(x),x∈R与y＝f(x＋1),x∈R可能是同一个函数;③y＝f(x),x∈R与y＝f(t),t∈R是同一个函数.其中正确的个数是(　　) A.3　　　　　　　　　　　B.2 C.1　　D.0 2.下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2 题型三　函数的定义域 【例题】　求下列函数的定义域: (1)y＝-;(2)y＝. 【点睛】求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零; (2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零; (3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合; (4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集; (5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义. 巩固训练 求下列函数的定义域: (1)y＝2＋;(2)y＝·; (3)y＝(x-1)0＋ . 题型四　求函数值和值域 【例题】　(1)已知f(x)＝(x∈R,且x≠-1),g(x)＝x2＋2(x∈R),则f(2)＝　　　　,f(g(2))＝　　　　.  (2)求下列函数的值域: ①f(x)＝2x2-x,x∈{1,2,3}; ②f(x)＝x2-2x; ③f(x)＝2x＋1,x∈[1,2). ④y＝; ⑤y＝2x-. 【点睛】1.求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值; (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 2.求函数值域常用的4种方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域; (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域; (4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋(其中a,b,c,d为常数,且a≠0)型的函数常用换元法. 巩固训练 1.已知函数f(x)＝-1,且f(a)＝3,则a＝　　　　.  2.求下列函数的值域: (1)y＝＋1;(2)y＝. 题型五　函数图象的画法 【例题】　作出下列函数的图象并求出其值域: (1)y＝2x＋1,x∈[0,2]; (2)y＝,x∈[2,＋∞); (3)y＝x2＋2x,x∈[-2,2]. 【点睛】画函数图象的两种常见方法 (1)描点法:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来; ②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点; ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. (2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等. 巩固训练 作出下列函数的图象,并根据图象求其值域: (1) x -4 -2 2 4 y 1 -3 2 3 (2)y＝-,x∈[-3,0)∪(0,1]; (3)y＝x2＋4x＋1,x∈[-3,0]. 题型六　利用函数图象求值或比较大小 【例题】　已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴; (2)已知f＝1,不计算函数值求f(0); (3)不直接计算函数值,试比较f与f的大小. 【点睛】1.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法,掌握抛物线的顶点坐标. 2.比较两个函数值的大小,先画出函数图象,再根据自变量的值找到图象上的对应点,自上向下看各点函数值由大到小,当两点连线平行于x轴时,函数值相等;也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系,结合图象判断函数值的大小关系. 巩固训练 已知二次函数y＝2x2-4x-6. (1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出函数图象; (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标,并求出以此三点为顶点的三角形面积; (3)x为何值时,y＞0,y＝0,y＜0? 题型七　利用函数图象求值域 【例题】　如果函数f(x)＝(x-1)2＋1定义在区间[t,t＋1]上,求f(x)的值域. 【点睛】　　求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m,n]上的值域的步骤: (1)配方,找对称轴; (2)判断对称轴与区间的关系; (3)借助图象求值域. 巩固训练 求二次函数y＝-x2＋4x-2在区间[0,3]上的值域. 题型八　函数的表示法 【例题】　某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 【点睛】函数的三种表示法的选择和应用的注意点 　　解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. 在用三种方法表示函数时要注意: (1)解析法必须注明函数的定义域; (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系; (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 巩固训练 1.已知学校宿舍与办公室相距a m,某同学有重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3分钟来到办公室,停留2分钟,然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中,这位同学行走的路程是时间的函数,则这个函数图象是(　　) 2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为　　　　;  当g(f(x))＝2时,x＝　　　　.  3.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x). 题型九　函数解析式的求法 角度一:用待定系数法求函数解析式 【例题】　(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝16x-25,求f(x); (2)已知f(x)是二次函数,且f(x＋1)＋f(x-1)＝2x2-4x,求f(x). 【点睛】待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式. 角度二:利用换元法(配凑法)求函数解析式 【例题】　求下列函数的解析式: (1)已知f(＋1)＝x＋2,求f(x); (2)已知f(x＋2)＝2x＋3,求f(x). 【点睛】　　已知f(g(x))＝h(x)求f(x),常用的两种方法: (1)换元法:即令t＝g(x)解出x,代入h(x)中得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后新元的范围; (2)配凑法:即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 角度三:用方程组法求函数解析式 【例题】　已知f(x)＋2f(-x)＝x2＋2x,求f(x). 【点睛】　　已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 角度四:赋值法求函数的解析式 【例题】　设f(x)是R上的函数,且满足f(0)＝1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)＝f(x)-y(2x-y＋1),求f(x)的解析式. 【点睛】　　利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.赋值法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值. 巩固训练 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2,求f(x); (2)已知f＝x2＋,求f(x); (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0),求f(x); (4)设f(x)是R上的函数,f(0)＝1,并且对于任意的实数x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1),求f(x). 题型十　分段函数求值问题 【例题】　已知函数f(x)＝ (1)求f的值; (2)若f(a)＝,求a的值. 【点睛】分段函数求值问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值; (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验; (3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可. 巩固训练 1.f(x)＝则f(5)的值是(　　) A.24　　　　　　　　　　　　B.21 C.18　　D.16 2.已知实数a≠0,函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1＋a),则a的值为　　　　.  3.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是　　　　.  题型十一　分段函数的图象及应用 【例题】　分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域. (1)y＝ (2)y＝ 【点睛】分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象; (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 巩固训练 1.设x∈R,定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝｜x｜sgn x的图象大致是(　　) 2.设x∈R,则函数y＝2｜x-1｜-3｜x｜的值域为　　　　.  题型十二　求函数的最值 角度一:利用函数的图象求最值 【例题】　函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-2,f(2)　　　　　　　　　　B.2,f(2) C.-2,f(5)　　D.2,f(5) 【点睛】用图象法求最值的3个步骤 角度二:利用单调性求函数的最值 【例题】　函数y＝2x＋的最小值为　　　　.  【点睛】函数最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间(b,c)上单调递减,则函数y＝f(x),x∈(a,c)在x＝b处有最大值f(b); (2)如果函数y＝f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间(b,c)上单调递增,则函数y＝f(x),x∈(a,c)在x＝b处有最小值f(b); (3)如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值. 巩固训练 1.函数f(x)＝ax＋(2-x),其中a＞0,记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a),则函数g(a)的最大值为(　　) A.　　B.0 C.1　　D.2 2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  题型十三　求二次函数在闭区间上的最值 【例题】　(多选)已知函数f(x)＝x2-2x＋2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　) A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1 B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值 C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5 D.当0＜a＜1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a),当a＞1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1 【点睛】1.含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式,再根据a的符号确定抛物线的开口方向,再由对称轴x＝-h得出顶点的位置,再根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值. 2.含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型 (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 巩固训练 已知二次函数f(x)＝x2-2x＋3. (1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值; (2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值. 题型十四　判断函数的奇偶性 【例题】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)＝2-｜x｜; (2)f(x)＝ ＋ ; (3)f(x)＝; (4)f(x)＝ 【例题】　 (1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),求证:f(x)为奇函数; (2)若f(x)＝x2＋(x≠0,a∈R),判断其奇偶性. 【点睛】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步; ②验证:f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x); ③下结论:若f(-x)＝-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)＝f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)＝±f(x),则f(x)是既奇又偶函数;若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:①若f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数; ②若f(x)图象关于y轴对称,则f(x)是偶函数; ③若f(x)图象既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数; ④若f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)性质法:①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 巩固训练 1.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且它们都恒不为0,则f(x)·g(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性不能确定 2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝; (3)f(x)＝｜x＋a｜-｜x-a｜(a∈R). 题型十五　利用函数的奇偶性求参数 【例题】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a＝　　　　,b＝　　　　;  (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数,则实数a＝　　　　.  【点睛】利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数:奇偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a＋b＝0求参数; (2)解析式含参数:根据f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解. 巩固训练 1.设函数f(x)＝为奇函数,则a＝　　　　.  2.已知函数f(x)＝是奇函数,则a＝　　　　.  题型十六　利用函数的奇偶性求解析式 【例题】　若f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝x2-2x＋3,求f(x)的解析式. 【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设; (2)转化到已知区间上,代入已知的解析式; (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 巩固训练 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝2x＋x2,求函数f(x),g(x)的解析式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$