3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第3课时空间中的距离问题练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第3课时　空间中的距离问题 一、选择题 1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D.3 2.已知A(0,0,1),B(3,0,0),C(0,2,0),则原点O到平面ABC的距离是 (　 ) A. B. C.1 D. 3.已知直线l过定点A(2,3,1),且其一个方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为 (　 ) A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是A1B1,AD,CC1的中点,则直线AC到平面EMN的距离为 (　 ) A. B. C. D. 6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上.若点P到直线AA1和CD的距离相等,则A1P的最小值是 (　 ) A. B. C.2 D. 7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则 (　 ) A.点A1到直线B1E的距离为 B.直线AE到直线FC1的距离为2 C.点B到平面AB1E的距离为 D.直线FC1到平面AB1E的距离为 8.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 (　 ) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 二、填空题 9.已知点P(5,3,6),直线l过点A(2,3,1),且l的一个方向向量为l=(1,0,-1),则点P到直线l的距离为　　　　.  10.在正四棱锥P-ABCD中,=(1,-1,4),=(3,-2,2),则该正四棱锥的体积为　　　　.  11.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x=　　　　.  12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线 CC1的距离的最小值为　　　　.  三、解答题 13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为BB1的中点. (1)求点D到平面AD1E的距离; (2)求直线BC1到平面AD1E的距离. 14.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点. (1)求证:D1F∥平面A1EC1; (2)求直线D1F到平面A1EC1的距离. 15.定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫作两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫作这两条异面直线的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长度,叫作这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与BC1之间的距离是 (　 ) A. B. C. D. 16.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=.则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离为　　　　.  第3课时　空间中的距离问题 1.A　[解析] ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),∴=(1,2,3),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d===.故选A. 2.B　[解析] 由题知,=(3,0,-1),=(0,2,-1),设m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,∴令y=1,则m=.易知=(0,0,1),设原点到平面ABC的距离为d,则d===,故选B. 3.A　[解析] 因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1),||=,则=,所以点P到直线l的距离d==,故选A. 4.B　[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z),则即取z=1,则m=(1,1,1).易知平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d==. 5.B　[解析] 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1),所以=(1,1,2),=(-1,2,1),=(-2,2,0).设平面EMN的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,可得y=1,z=-1,所以m=(1,1,-1).因为·m=-2×1+2×1-1×0=0,所以⊥m,又AC⊄平面EMN,所以AC∥平面EMN,故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离,又=(1,0,0),所以点A到平面EMN的距离为==,即直线AC到平面EMN的距离为.故选B. 6.B　[解析] 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设P(1,m,n),其中m,n∈[0,2],A1(1,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0),则点P到直线AA1的距离为m,点P(1,m,n)到直线CD的距离为= =,故m=,则||===,因为n∈[0,2],所以当n=1,m=时,A1P取得最小值,最小值为.故选B. 7.AD　[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(0,0,1),F(2,2,1),C1(0,2,2),A(2,0,0),B(2,2,0).易知=(-2,-2,-1),=(0,2,0),设u1==,则·u1=-,所以点A1到直线B1E的距离为==,故A正确;因为=(-2,0,1),=(-2,0,1),所以∥,即AE∥FC1,所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离,设u2==,又=(0,2,1),则=5,·u2=,所以直线FC1到直线AE的距离为=,故B错误;设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z),易知=(0,2,2),=(-2,0,1),=(0,-2,0),由令z=2,则y=-2,x=1,即n=(1,-2,2),设点B到平面AB1E的距离为d,则d==,即点B到平面AB1E的距离为,故C错误;因为AE∥FC1,FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离,易知=(2,0,0),由C选项得平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),所以点C1到平面AB1E的距离为=,所以直线FC1到平面AB1E的距离为,故D正确.故选AD. 8.BC　[解析] 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,所以=(-1,0,0),=.设∠ABE=θ,则cos θ==,sin θ==,故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.易知=,平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===,因为平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.因为=++,所以=,又=(1,0,0),所以=,所以点P到直线AB的距离d4===,故D错误.故选BC. 9.4　[解析] 由题知=(3,0,5),∴|cos<,l>|===,故sin<,l>=,∴P到直线l的距离为||·sin<,l>=×=4. 10.24　[解析] ∵在正四棱锥P-ABCD中,=(1,-1,4),=(3,-2,2),∴AB=||==3,AP=||==5,∴正方形ABCD对角线长的一半为×3×=3,∴该正四棱锥的高为=4,∴该正四棱锥的体积为×3×3×4=24. 11.-1或-11　[解析] 由题意得=(x+2,2,-4),则点P到平面α的距离d==,即=,解得x=-1或-11. 12.　[解析] 点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.则D1(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),∴=(1,2,-2),=(0,0,2).设n=(x,y,z),n⊥,n⊥,则取y=-1,则x=2,z=0,即n=(2,-1,0),又=(1,0,0),∴异面直线D1E与CC1的距离d==. 13.解:(1)以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1), 所以=(0,2,1),=(-2,0,2).设平面AD1E的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=2,得x=2,y=-1,所以平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2),又 =(0,0,2), 所以点D到平面AD1E的距离d===. (2)由(1)可得平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2),因为B(2,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,0,2),所以·n=2×(-2)+(-1)×0+2×2=0,所以⊥n,所以BC1∥平面AD1E,所以直线BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离.因为=(0,2,0),所以直线BC1到平面AD1E的距离d1===. 14.解:(1)证明:以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,可得D1(0,2,2),F(1,2,0),A1(0,0,2),E(2,1,0),C1(2,2,2),则=(1,0,-2),=(2,1,-2),=(2,2,0).设平面A1EC1的法向量为n=(x,y,z), 则取x=2,则n=(2,-2,1).易知·n=0,又D1F⊄平面A1EC1,所以D1F∥平面A1EC1. (2)结合(1)可知直线D1F到平面A1EC1的距离等于点D1到平面A1EC1的距离.可得=(2,0,0),所以点D1到平面A1EC1的距离d==,所以直线D1F到平面A1EC1的距离为. 15.B　[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),所以=(-1,1,0),=(0,1,0),=(-1,0,1).设=λ,=μ,0≤λ≤1,0≤μ≤1,连接MN,所以=++=-++=-λ++μ=(λ-μ,1-λ,μ).设⊥且⊥,则易知MN的长即为直线AC与BC1之间的距离.由⊥,得·=0,所以(λ-μ,1-λ,μ)·(-1,0,1)=0,即λ=2μ,则=(μ,1-2μ,μ).由⊥,得·=0,所以-μ+1-2μ=0,解得μ=,所以MN=||=,即直线AC与BC1之间的距离是,故选B. 16.　[解析] 作出正四棱锥P-A'B'C'D',以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PA'B'的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),将以上3个坐标代入,计算得A=0,B=-D,C=-D,所以平面PA'B'的一般方程为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d==. 学科网（北京）股份有限公司 $$