精品解析：浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

金华一中2025届高三10月月考数学试卷 姓名 班级 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 2. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 3. 已知为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数积量运算法则求得，再利用向量夹角余弦公式即可得解. 【详解】因为为单位向量，， 所以，则， 所以. 故选：D. 4. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 560 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理可得，令运算求解即可. 【详解】由题意可知：的展开式通项为， 令，解得， 所以项的系数是. 故选：D． 5. 某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 7. 已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得，再由在上没有最小值得范围，建立不等式求解可得. 【详解】 ， 因为的图象关于直线轴对称， 所以， 故，即， 当，，, 即当时，函数取得最小值， 当时，为轴右侧第条对称轴. 因为在上没有最小值，所以，即， 故由，解得， 故，得． 故选：C. 8. 已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能，根据期望的定义分别求，进而分析判断. 【详解】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能， 因为可取0，2，5， 且， 所以． 又因为可取0，2，5， 且， 所以． 而可取2，5，且，则， 所以； 即，所以，故D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（ ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 与负相关 B. C. 预测第6个月的下载量是2.1万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据回归方程分析判断；对于B：根据线性回归方程必过样本中心点，运算求解；对于C：根据回归方程进而预测；对于D：根据题意结合残差的定义分析判断. 【详解】对于A：因为，所以变量与负相关，故正确； 对于B：， ， ，则， 解得，故错误； 对于C：当时，， 故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故正确； 对于D：当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 故残差绝对值的最大值为0.2，故正确. 故选：ACD. 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知可得，求解可得渐近线方程与焦点坐标，利用点到直线的距离可求焦点到渐近线的距离. 【详解】由双曲线的方程可得，解得， 所以，所以双曲线的焦点在轴，且， 所以，又双曲线的离心率为3，所以， 解得，所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，即可求a值. 【详解】由题设知：处的切线的斜率为，而， ∴，可得. 故答案为： 14. 已知集合，且 ，其中．若任意，均有，求实数的最大值______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性结合对数函数的单调性解不等式，即可得解. 【详解】因为 ，所以 在上恒成立， 设 ， 由题意，所以， 故实数m的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，， （1）求的值； （2）求的周长. 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）依题意用表示，结合为锐角即可求解； （2）用正弦定理结合等比例性质即可求解. 【小问1详解】 由得：， ∴， 由知，故为锐角，∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）知：，， 由正弦定理得：， ∴， 故的周长为14. 16. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又且，平面，所以平面， 且平面，故，同理，， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 在平面中， 设平面的一个法向量为， 则，可取 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则 故所求的夹角的余弦值为. 17. 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【小问1详解】 设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． 【小问2详解】 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设， 由（1）得区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 若数列满足，则称为E数列，记． （1）写出满足，且的一个E数列； （2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是； （3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）0，1，0，1，0； （2）证明见解析； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据与和可考虑写出交替的数列. （2）先证明必要性，根据数列是递增数列，可得，进而求得；再证明充分性，因为，再累加可得，证明即可. （3） 设，则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可． 【小问1详解】 数列0，1，0，1，0是一个满足条件的数列. 【小问2详解】 必要性：由数列是递增数列，得， 则是首项为2，公差为1的等差数列，所以； 充分性：由， 得，，……，， 于是，即，而，， 因此，上述各不等式都取等号， 即，从而是递增数列， 所以E数列是递增数列的充要条件是. 【小问3详解】 设，则， 有，，……，， 于是 ， 由，得为偶数（）， 于是为偶数， 则要使，必须使为偶数， 即4整除，亦即或， 当时，数列的项满足，，， 此时，有且成立， 当时，数列的项满足，， ，时，亦有且成立， 当或时，不能被4整除， 此时不存在数列，使得且成立， 所以对任意给定的整数，不存在首项为0的E数列，使得. 【点睛】关键点点睛：在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华一中2025届高三10月月考数学试卷 姓名 班级 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 3. 已知为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 560 D. 5. 某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某科技公司统计了一款App最近5个月下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（ ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 与负相关 B. C. 预测第6个月的下载量是2.1万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 11. 已知定义域为偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为_______． 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 14. 已知集合，且 ，其中．若任意，均有，求实数的最大值______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，， （1）求的值； （2）求的周长. 16. 如图，长方体中，点分别上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 18. 已知函数，其中为自然对数底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19. 若数列满足，则称为E数列，记． （1）写出满足，且的一个E数列； （2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是； （3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$