精品解析：广东省肇庆市肇庆中学2025届高三上学期10月月考数学试卷

广东肇庆中学2025届高三10月月考 数学 科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为 （ ） A. B. 0 C. D. 5 5. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 8 C. -16 D. 16 6. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 8. 已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则__________． 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 14. 若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为________．(ln3≈1.099，ln4≈1.386) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． （1）若a，b，c是等比数列，求； （2）若，求． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证． 17. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 18. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． （1）若，且，求； （2）当时，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东肇庆中学2025届高三10月月考 数学 科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可. 【详解】由题意得，故， 故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确. 故选：D 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增， 所以，即当时，可得，即充分性成立； 反之：若，可得，所以必要性不成立， 所以是充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，即， 即角的终边经过点，所以，， 所以. 故选：D 4. 已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为 （ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件根据等差数列性质求出，，，再利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则． 由，得． 又，则， 又，则， 所以， 因此可得． 故选：C. 5. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 8 C. -16 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系,直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联系,化简成公比的乘方式，直接代入即得. 【详解】设等比数列的公比为，则，即，. 故选:C. 6. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，则原问题转化为在R上恒成立，分离参数得恒成立，构造函数，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由于，故， 函数是定义在上的增函数， 故在R上恒成立，即恒成立， 令，为偶函数， 故考虑时的情况，，令， 即在上单调递增，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 实数的取值范围是， 故选：B 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】关键是角的构造，将构造成，再由正弦的和差角公式展开化简求解. 【详解】由题，， 则， ， ， ， 故选：A. 8. 已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的对称轴可得即可求得，利用函数的对称性可得，则，即可求得的值，得到函数解析式，代入即可求解． 【详解】当时，，又函数对称轴为，， 则函数周期，，函数，对称轴为，，与题干不符； 当时，，其中， 由函数图象的对称轴方程为，得的最小正周期，所以， 所以， 由函数图象的对称轴方程为，得， 令，得，即，得， 所以，则． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， ，所以C正确. ，所以B正确. 第10个倒“L”形的面积为，所以A错误. 由于， 所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤， (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则__________． 【答案】63 【解析】 【分析】先由等差数列的通项公式结合题意求出，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得， 解得，所以. 故答案为：63. 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算即得. 【详解】函数，求导得，依题意，， 所以. 故答案为：4 14. 若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为________．(ln3≈1.099，ln4≈1.386) 【答案】2 【解析】 【分析】令，，利用导数判断的单调性，作出，大致图象，求出，的交点，设，令，令，利用零点存在性定理可得，即求. 【详解】令，， ，， 令， ∴当时， ，单调递增； 当时，，单调递减， ，分别作出，大致图象如下： 联立，即， 设，，令，即， 令，知在上单调递减， ，， ，∴整数的最大值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． （1）若a，b，c是等比数列，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得； （2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为a，b，c是等比数列，所以，有， 因为，，是等差数列，所以. 故. 所以． 【小问2详解】 由（1）的过程可知，若，则. 又由，得， 故． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证． 【答案】（1） （2） 当，时，， 则有， 故只需证明当时，． 当时，函数在区间上单调递增， 又，， 故在区间上有唯一实根，且， 当时，； 当时，， 从而当时，取得最小值， 由，得，， 故， 综上，当时，． 【解析】 【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）当时，，只需证明当时，．求出导函数，再确定的单调性，从而确定的零点存在，得出极小值点，由得，代入并变形，根据已知条件即可得证． 【小问1详解】 当时，， 则， 又，， 所以切线方程为：， 即． 【小问2详解】 略 17. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求； （2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以，可知， 又由，可知，所以，故， 由，可得，即． 【小问2详解】 ， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，故长的最大值为． 18. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因为， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． （1）若，且，求； （2）当时，证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2） 因为，所以， 设，，则恒成立， 所以在上单调递增，，所以. （3） 令，当，， 在上单调递减，，时恒成立； 知当时，当且仅当时取等. ，， ，，， ， 累加得， 即， 得证. 【解析】 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到.（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【小问1详解】 因为，所以设， 又，代入上式可得，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与新定义的运算互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $