1.1.3 直线的方程 第3课时 直线方程的一般式 练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第3课时　直线方程的一般式 一、选择题 1.直线x+3y+4=0的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.[2024·辽宁大连高二期中] 已知直线l经过点A(3,2),且n=(3,-4)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为 (　 ) A.4x-3y-6=0 B.4x+3y-18=0 C.3x+4y-17=0 D.3x-4y-1=0 4.若直线l过点A(1,0),B(2,3),则它的方程的点法式为 (　 ) A.(x-1)+3y=0 B.3(x-1)+y=0 C.-3(x-1)+y=0 D.(x-1)-3y=0 5.关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是 (　 ) A B C D 6.已知直线l的方程为xsin α+y-1=0,α∈R,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 ) A.∪ B.∪ C. D. 7.(多选题)已知直线l:mx+y+1=0,A(1,2),B(3,3),则下列结论正确的是 (　 ) A.直线l恒过定点(0,-1) B.当m=0时,直线l的斜率为0 C.当m=1时,直线l的倾斜角为45° D.当m=2时,直线l与直线AB的斜率相同 8.(多选题)已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值可能是 (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题 9.若直线l的方程为x-y+3=0,则直线l的一个法向量的坐标是　　　　.  10.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  11.直线l经过点P(2,3),且与向量n=(-8,4)垂直,则直线l的方程为　　　　　　.  12.[2024·黑龙江哈尔滨高二期末] 不论k为何值,直线l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过定点A,若直线mx+ny=2过点A,且m,n是正实数,则+的最小值是　　　　.  三、解答题 13.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)斜率为,且经过点A(5,3); (2)过点B(-3,0),且垂直于x轴; (3)斜率为4,且在y轴上的截距为-2; (4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴; (5)经过点(1,2),且与直线x+2y=0垂直. 14.已知直线l:kx-y+2+k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程. 15.[2024·福建漳州高二期中] 已知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,则实数m的取值范围是 (　 ) A.∪[4,+∞) B. C. D. 16.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列说法中正确的是 　　　　(写出所有正确说法的序号).  ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②若k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点; ③若直线l经过两个不同的整点,则直线l必经过无穷多个整点; ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 第3课时　直线方程的一般式 1.A　[解析] 由x+3y+4=0得y=-x-,故直线的斜率为-,又倾斜角的取值范围为[0,π),所以倾斜角为.故选A. 2.D　[解析] 由题易知B≠0,由Ax+By+C=0可得y=-x-,因为AB<0,BC<0,所以->0,->0,故直线不经过第四象限.故选D. 3.D　[解析] 设P(x,y)为直线l上异于点A的任意一点,因为n=(3,-4)是直线l的一个法向量,所以·n=0,又因为=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y-2)=0,整理可得3x-4y-1=0,又点A坐标满足上式,所以直线l的方程为3x-4y-1=0.故选D. 4.C　[解析] 因为直线l过点A(1,0),B(2,3),且=(1,3),所以直线l的一个法向量为n=(-3,1),所以该直线方程的点法式为-3(x-1)+y=0. 5.D　[解析] 关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的是直线,且直线的斜率为a,在y轴上的截距为-,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1.对于A,直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数,不满足题意,所以排除A;对于B,直线的斜率小于1,它在y轴上的截距大于-1且小于0,不满足题意,所以排除B;对于C,直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数,不满足题意,所以排除C;对于D,直线的斜率小于-1,它在y轴上的截距大于0且小于1,能满足题意.故选D. 6.B　[解析] 由xsin α+y-1=0,α∈R,得直线l的斜率k=-sin α∈,设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π),则k=tan θ∈.当k∈时,直线l的倾斜角θ∈;当k∈时,直线l的倾斜角θ∈.综上所述,直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选B. 7.AB　[解析] 直线l:mx+y+1=0的方程可化为y=-mx-1,当x=0时,y=-1,故直线l恒过定点(0,-1),选项A正确;当m=0时,直线l:y+1=0的斜率为0,选项B正确;当m=1时,直线l:x+y+1=0的斜率为-1,故倾斜角为135°,选项C错误;当m=2时,直线l:2x+y+1=0的斜率为-2,又kAB==,所以直线l与直线AB的斜率不相同,选项D错误.故选AB. 8.AC　[解析] 若直线过原点,则-2+a=0,解得a=2;若直线不过原点,则a≠0且a≠2,直线在x轴上的截距为,在y轴上的截距为2-a,由=2-a,可得a=1.综上,a的值是1或2.故选AC. 9.(1,-1)(答案不唯一)　[解析] 因为直线l的方程为x-y+3=0,所以n=(1,-1)是直线l的一个法向量. 10.(-∞,1)∪(1,+∞)　[解析] 若所给方程表示一条直线,则2m2+m-3与m2-m不同时为0,由 得m=1,故实数m的取值范围是(-∞,1)∪(1,+∞). 11.2x-y-1=0　[解析] ∵直线l与向量n=(-8,4)垂直,∴直线l的一个法向量为n=(-8,4),又直线l过点P(2,3),∴直线l的方程的点法式为-8(x-2)+4(y-3)=0,化为一般式得2x-y-1=0. 12.　[解析] 当k≠-3时,直线l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的方程可整理得y-3=(x-2),所以直线过定点(2,3);当k=-3时,直线方程为x=2,此时直线也过点(2,3).综上,直线l恒过定点A(2,3).因为直线mx+ny=2过点A,且m,n是正实数,所以2m+3n=2,则+=(2m+3n)=≥=,当且仅当=,即m=3n=时取等号,所以+的最小值是. 13.解:(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),整理得x-y+3-5=0. (2)因为直线过点B(-3,0),且垂直于x轴, 所以其方程为x=-3,即x+3=0. (3)因为直线的斜率为4,且在y轴上的截距为-2, 所以直线的方程为y=4x-2,即4x-y-2=0. (4)因为直线在y轴上的截距为3,且平行于x轴,所以直线方程为y=3,即y-3=0. (5)由x+2y=0得y=-x,即直线x+2y=0的斜率k=-,所以a=为所求直线的一个法向量,又所求直线过点(1,2),所以所求直线的方程为1×(x-1)-(y-2)=0,即2x-y=0. 14.解:(1)证明:直线l:kx-y+2+k=0的方程可化为y-2=k(x+1),由直线方程的点斜式可得直线l:kx-y+2+k=0过定点(-1,2). (2)直线l:kx-y+2+k=0,即y=kx+2+k, 因为直线l不经过第四象限,所以解得k≥0, 故k的取值范围是[0,+∞). (3)因为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,所以k>0.对于直线l的方程kx-y+2+k=0,令y=0,解得x=-,令x=0,解得y=2+k,所以△AOB的面积S=×|OA|×|OB|=××(2+k)= =++2≥2+2=4,当且仅当=,即k=2时等号成立.所以S的最小值为4,此时直线l的方程为2x-y+4=0. 15.A　[解析] 直线l:mx+y-m-1=0的方程可化为y-1=-m(x-1),∴直线l必过定点P(1,1).由A(2,-3),B(-3,-2),可得kPA==-4,kPB==.∵直线l:mx+y-m-1=0与线段AB相交,∴由图可知,-m≥kPB或-m≤kPA,解得m≤-或m≥4,则实数m的取值范围是∪[4,+∞).故选A. 16.①③⑤　[解析] 对于①,令y=x+,则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点,故①正确.对于②,取k=,b=-,则直线y=x-经过整点(1,0),故②错误.对于③,设直线经过整点(x1,y1),(x2,y2),x1,y1,x2,y2∈Z,当x1=x2时,直线方程为x=x2,此时直线经过无穷多个整点;当x1≠x2时,直线的斜率k=∈Q,不妨设为k=(p,q∈Z,q≠0),则直线l:y-y1=(x-x1),它经过点(x1+qn,y1+pqn-1)(n∈N*),这些点是无数个整点,故③正确.对于④,当k,b都为有理数时,可取k=,b=,此时直线y=x+不经过整点,故④错误.对于⑤,直线y=x只经过一个整点(0,0),故⑤正确.故填①③⑤. 学科网（北京）股份有限公司 $$