1.1.6平面直角坐标系中的距离公式第2课时 点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式 一、选择题 1.若直线l1:2x+ay-2=0与直线l2:x-y+a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.[2024·四川内江高二期中] 已知点A(1,2)关于直线l对称的点为B(3,1),则直线l的方程为 (　 ) A.4x+2y-5=0 B.x-2y-5=0 C.x+2y-5=0 D.4x-2y-5=0 3.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为 (　 ) A.1 B.-1 C. D.± 4.已知直线l1:3x-y=0,l2:4x+y-7=0,l3:3x-4y-6=0,则l1,l2的交点A到l3的距离为 (　 ) A. B.3 C.2 D.4 5.[2024·广东佛山高二期中] 点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为 (　 ) A.(-2,5) B.(0,3) C.(0,-1) D.(-1,2) 6.[2024·江西抚州高二期末] 点(0,1)到直线kx+y+k=0的最大距离为 (　 ) A.2 B. C. D.1 7.若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a= (　 ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2或1 8.(多选题)[2024·浙江宁波高二期中] 下列说法中正确的为 (　 ) A.直线x+2y-2=0与直线2x+4y+1=0的距离为 B.点(1,2)到直线x+y-1=0的距离为 C.已知a∈R,则“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件 D.已知直线l1:3x-2y-1=0和直线l2:3x-2y-13=0,直线l与l1,l2的距离分别为d1,d2,若d1∶d2=1∶2,则直线l的方程为3x-2y-5=0 二、填空题 9.与直线l:3x-4y-1=0平行且到直线l的距离为2的直线的方程为　　　　　　　　　　　.  10.[2024·四川宜宾高二期中] 已知直线l:3x+2y-1=0与直线l1关于直线x+y=0对称,则l1的方程为　　　　　　　　　.  11.平行四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别为l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,则此平行四边形的面积是　　　　.  12.一条光线从点P(6,4)射出,经直线y=x-1反射,反射光线经过点Q(2,0),则反射光线所在直线方程为　　　　　　.  三、解答题 13.(1)求点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离; (2)求平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离. 14.已知直线l:x-2y+4=0,点A(0,4),点B(-2,-4),点P(m,n)在直线l上移动. (1)求m2+n2-2m+2n的最小值; (2)求||PB|-|PA||的最大值,以及取得最大值时点P的坐标. 15.从空中某个角度俯视某体育场顶棚所得的局部示意图如图,在平面直角坐标系中,下列直线系方程(其中θ为参数,θ∈R) 能形成这种效果的是 (　 ) A.x+ysin θ-3=0 B.xcos θ+y+3sin θ=0 C.xcos θ+ysin θ-3=0 D.xcos θ+y-3=0 16.(多选题)[2024·福建泉州高二期中] 已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则下列说法中正确的是 (　 ) A.存在点P,使得PM⊥PN B.若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3 C.|PM|+|PN|的最小值为 D.||PM|-|PN||的最大值为3 第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式 1.B　[解析] 因为直线l1和直线l2平行,所以=≠,解得a=-2,所以直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-y-2=0,则直线l1与l2之间的距离d==.故选B. 2.D　[解析] 因为点A(1,2)关于直线l对称的点为B(3,1),所以直线l为线段AB的中垂线,易知线段AB的中点为,且kAB==-,所以直线l的斜率k=2,所以直线l的方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.故选D. 3.D　[解析] 由题意,得=1,即|a|=,所以a=±. 4.B　[解析] 由解得即A(1,3),所以A到l3的距离d==3.故选B. 5.B　[解析] 设点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为(a,b),则解得故点(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为(0,3).故选B. 6.C　[解析] 由kx+y+k=0,得(x+1)k+y=0,所以该直线恒过定点(-1,0),则点(0,1)到直线kx+y+k=0的最大距离即为点(0,1)到定点(-1,0)的距离,为=.故选C. 7.A　[解析] ①当a=1时,可得l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,则两直线不平行,不符合题意.②当a≠1时,可得直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-.由=-,整理可得a2-a-2=0,解得a=2或-1.当a=2时,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,整理l2的方程可得x+y+=0,则两平行直线之间的距离为=≠,不符合题意;当a=-1时,可得l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,整理l2的方程可得x-2y-1=0,则两平行直线之间的距离为=,符合题意.综上可得a=-1.故选A. 8.ABC　[解析] 对于选项A,由2x+4y+1=0,得x+2y+=0,所以两直线间的距离为=,故A正确.对于选项B,点(1,2)到直线x+y-1=0的距离为=,故B正确.对于选项C,由直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直,得a(a+1)-4a=0,解得a=0或a=3,所以“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+a=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件,故C正确.对于选项D,设直线l的方程为3x-2y+c=0,由平行线间的距离公式可得2|c+1|=|c+13|,所以c=11或c=-5,所以直线l的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0,故D错误.故选ABC. 9.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0　[解析] 设所求直线方程为3x-4y+b=0(b≠-1),根据两平行直线间的距离公式得=2,解得b=9或b=-11,∴所求直线方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0. 10.2x+3y+1=0　[解析] 因为直线x+y=0与直线l:3x+2y-1=0不平行,所以l1经过直线x+y=0与直线l:3x+2y-1=0的交点.由解得 即点(1,-1)在直线l1上.取l:3x+2y-1=0上另一点(3,-4),设点(3,-4)关于直线x+y=0的对称点的坐标为(m,n),则解得所以l1过点(1,-1)和(4,-3),故l1的方程为=,即2x+3y+1=0. 11.9　[解析] 如图,易知l1∥l3,l2∥l4,设l1和l2的交点为A,l1和l4的交点为B.由解得则A(3,2);由解得则B(-1,1).∴|AB|=.l1:x-4y+5=0与l3:x-4y+14=0间的距离d==,∴平行四边形ABCD的面积为|AB|·d=9. 12.5x-3y-10=0　[解析] 设点P关于直线y=x-1的对称点为P1(a,b),则=-1,=-1,解得a=5,b=5,所以P1(5,5),所以反射光线所在直线的方程为=,整理得5x-3y-10=0. 13.解:(1)由点到直线的距离公式可得,点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离d1==. (2)由平行直线间的距离公式可得,直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离d2===. 14.解:(1)m2+n2-2m+2n=(m-1)2+(n+1)2-2,其几何意义是点(1,-1)与直线x-2y+4=0上的点的距离的平方减2,易知点(1,-1)与该直线上的点的距离的最小值为=,所以原式的最小值为-2=. (2)设点A(0,4)关于直线l:x-2y+4=0对称的点为A'(a,b),则-2×+4=0,且×=-1,解得a=,b=,即A'.则||PB|-|PA||=||PB|-|PA'||≤|A'B|,即||PB|-|PA||的最大值为=6. 此时,直线A'B的方程为y+4=(x+2),整理得y=x-,由得故P(4,4), 所以所求最大值为6,此时P(4,4). 15.C　[解析] 原点到直线x+ysin θ-3=0的距离d1==,不是定值,故A不满足题意;原点到直线xcos θ+y+3sin θ=0的距离d2=,不是定值,故B不满足题意;原点到直线xcos θ+ysin θ-3=0的距离d3==3,为定值,故C满足题意;原点到直线xcos θ+y-3=0的距离d4=,不是定值,故D不满足题意.故选C. 16.BCD　[解析] 对于A,设P(a,-a-2),则=(-1-a,a+3),=(2-a,a+3),假设存在点P,使得PM⊥PN,则方程·=(-1-a)(2-a)+(a+3)2=0存在实数解,整理方程得2a2+5a+7=0,由Δ=-31<0,可知该方程无解,故假设不成立,则不存在点P,使得PM⊥PN,A错误.对于B,若等腰三角形MNP的顶点为P,则P在线段MN的垂直平分线上,易知点P的横坐标为,此时P;当M为等腰三角形MNP的顶点时,因为点M到直线l:x+y+2=0的距离d1==<|MN|=3,所以直线l上必存在两点满足|PM|=|MN|=3,设这两点为P1,P2,因为l上纵坐标为1的点为(-3,1),该点与M的距离为2,所以P1,P2都不在直线MN上,符合题意;由点N到直线l:x+y+2=0的距离d2==>|MN|=3,可知以点N为顶点的等腰三角形MNP不存在.综上可知,若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3,B正确.对于C,设点M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),连接M'N,则解得即M'(-3,-1),故|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|==,当且仅当M',P,N三点共线时取得等号,即|PM|+|PN|的最小值为,C正确.对于D,易知||PM|-|PN||≤|MN|=3,当且仅当P为NM的延长线与l的交点时等号成立,即||PM|-|PN||的最大值为3,D正确.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$