第二章分式及分式方程复习学案(二)2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

分式及分式方程复习学案 二、分式方程 一、分式方程定义 分母中含有未知数的方程． “分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定分式方程的依据． 二、分式方程的解法 ⑴原理：将分式方程去分母转化成整式方程，然后解整式方程，解得的根代入分式方程的分母检验。 ⑵方法：通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程,然后求解。 ⑶步骤： ①去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 ②解整式方程，得到整式方程的解。 ③检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 例2-1 ①(2023大连)将方程＋3＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子为(　　) A．1＋3＝3x(1－x) B．1＋3(x－1)＝－3x C．x－1＋3＝－3x D．1＋3(x－1)＝3x ②(2022永州)解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是________． 答案：①B ②x(x+1) 例2-2 (2022无锡)分式方程＝的解是(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 答案：D 例2-3 (2023赤峰)方程＋＝1的解为__________． 答案：x＝4 (4)增根及产生条件： 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。 判断方法：如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。 (5)增根的产生的原因： 对于分式方程，本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，即方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。 (6)增根与无解 增根是分式方程转化为整式方程求出的，适合整式方程却使分式方程的分母为零的的根，当分式方程有增根时，分式方程无解。 无解可能是分式方程有增根，也可能是转化为整式方程后无解。 题型一、有增根的求参数问题： 分式方程有增根，说明解得的根使最简公分母为零，可以确定增根的值。将转化得到的整式方程解得的带参数的根的代数式与增根组成方程求待定字母的值。 步骤：①确定增根的值 ②带参数转化为整式方程，并求解 ③将带参数的解和增根组成一个新的方程或者直接把增根代入整式方程，求参数的值 例2-4 若方程有增根，则增根是 . 答案：x=7 例2-5 (2022遂宁)若关于x的方程＝无解，则m的值为(　　) A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 答案：D 例2-6 若关于x的分式方程＝＋2有增根，则m的值为________． 答案：5 题型二、已知解的范围求参数问题： 已知分式方程解的范围，将解得带参数的根的代数式与根的取值范围组成一个不等式求待定字母的取值范围。(不要忽略分式方程分母不为零的前提条件) 例2-7 (2022龙东)已知关于x的分式方程－＝1的解是正数，则m的取值范围是(　　) A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1 答案：C 例2-8 (2022重庆B卷)关于x的分式方程＋＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是(　　) A．13 B．15 C．18 D．20 答案：A 专题练： 1.当x=( )时,互为相反数. A. B. C. D. 2. (2022常德)方程＋＝的解为_________________． 3. (2023北京)方程＝的解为________． 4. (2020潍坊)若关于x的分式方程＝＋1有增根，则m＝ ． 5. 关于x的方程－＝0有解，则m的取值范围是(　　) A．m≠0 B．m≠1 C．m≠0或m≠1 D．m≠0且m≠1 6. (2023黑龙江)若分式方程＝1－的解为负数，则a的取值范围是(　　) A．a＜－1且a≠－2 B．a＜0且a≠－2 C．a＜－2且a≠－3 D．a＜－1且a≠－3 7. (2022宿迁)解方程：＝1＋. 题型三、分式方程解决实际问题 1、列方程应用题的步骤 (1)审：分析题意,找出对应的量，建立等量关系； (2)设：选择恰当的未知数,注意单位； (3)列：根据等量关系正确列出方程； (4)解：解分式方程； (5)检：检验解得未知数的值是否适合分式方程； (6)答：不要忘记写。 例3-1 （2023泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3 600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3 600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 解：设零售价为x元． ∵按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同， ∴批发价为x(元)． 根据题意可得＋60＝， 解得x＝12. 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴3 600÷12＝300(人)． 答：这个学校九年级学生有300人． 2、常见类型： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 例3-2 （2022济宁）一辆汽车开往距出发地420 km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10 km，则提前1小时到达目的地，设这辆汽车原计划的速度是 x km/h，根据题意所列方程是（　　） A.＝＋1 B.＋1＝ C.＝＋1 D.＋1＝ 答案：C 顺水逆水问题： v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水 例3-3 已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米? 解：设江水的流速为xkm/h，则v顺水=20+x，v逆水=20-x 由题意得： = ；解得：x=4 经检验x=4为原分式方程的解，且符合题意。 答：江水每小时的流速是4千米。 (2)浓度问题：基本公式： M溶质=M溶液×C 溶液稀释问题：稀释前后溶液中溶质质量不变 例3-4 （2022临沂）将5 kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精.设需要加水x kg，根据题意可列方程为（　　） A.0.98×5＝0.75x B.＝0.75 C.0.75×5＝0.98x D.＝0.98 答案：B (3) 工程问题: 基本公式：工作量=工时×工效。 例3-5 （2020威海）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m的步行道.由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度. 解：设计划平均每天修建步行道的长度为x m，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m. 由题意得－＝5，解得x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意． 答：计划平均每天修建步行道的长度为80 m. (4)商品经济问题：基本公式：总利润＝总售价－总成本 例3-6 （2021威海）六一儿童节来临之际，某商店用3 000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3 000 元购进的数量比第一次少了10件. （1）求第一次每件的进价为多少元； （2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？ 解：(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1＋20%)x元． 根据题意得－＝10，解得x＝50. 经检验，x＝50是方程的解，且符合题意． 答：第一次每件的进价为50元． (2)[＋]×70－3 000×2＝1 700(元)． 答：两次的总利润为1 700元． 专题练： 1. (2023宜昌)某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是(　　) A．0.2 km/min B．0.3 km/min C．0.4 km/min D．0.6 km/min 2. (2023深圳)某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同．设每辆大货车运货x吨，则所列方程正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3. (2022菏泽)某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3 600元购进篮球的数量比用3 200元购进排球的数量少10个． (1)篮球、排球的进价分别为每个多少元？ (2)该健身器材店决定用不多于28 000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？ 4. (2023长春)随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3 000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？ 5. (2023徐州)随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为12 km，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少10 min，求甲路线的行驶时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$