第二章 分式及分式方程 复习学案(一)-2024-2025学年鲁教版（五四制）数学上册

分式及分式方程复习学案 一、分式及其运算 一、分式的定义 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 例1-1下列式子是分式的是(　　) A．5＋x B. C. ＋y D. 答案：B 例1-2 (怀化)代数式x，，，x2－，，中，属于分式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B 二、与分式有关的条件 (1)分式有意义 条件：分母不为0，即 例2-1 (凉山)分式有意义的条件是(　　) A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0 答案：B (2)分式无意义 条件：分母为0，即 例2-2若代数式无意义，则实数x的取值范围是(　　) A．x＝0 B．x＝4 C．x≠0 D．x≠4 答案：B (3)分式值为0 条件：分子为0且分母不为0，即 例2-3 (贵港)若分式的值等于0，则x的值为( ) A．±1 B．0 C．-1 D．1 答案：D (4)分式值为正 条件：分子分母同号，即或 例2-4当为何值时，分式为正 答案：x＞1或x＜-1 (5)分式值为负 条件：分子分母异号，即或 例2-5 当为何值时，分式为负 答案：x＞5 (6)分式值为1 条件：分子分母值相等，即A=B 例2-6 解方程=1 答案：增根x=-2 (7)分式值为-1 条件：分子分母值互为相反数，即A+B=0 例2-7解方程=－1 答案：x=-4或x≤0且x≠-2 专题练： 1. 下列代数式中：，，x+y，，-3x2，，是分式的有： 个。 2. 函数y＝ 中，x的取值范围是 ( ) A．x≠0 B．x＞－2 C．x＜－2 D．x≠－2 3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）。 A． B． C． D． 4. (贵州)当x＝1时，下列分式没有意义的是(　　) A. B. C. D. 5. 若分式的值为零，则a的值是________． 6. 解不等式 三、分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 (2)符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 例3-1 如果将分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值(　　) A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 答案：A 例3-2 与分式 值相同的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 专题练： 1. 若x、y的值扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A． B． C． D． 2. 不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） （2） 四、分式的约分 (1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 (2)最简分式： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 例4下列分式中，是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 答案：A 专题练： 约分下式： （1）； （2）. 五、分式的通分 (1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 (2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： ① 取各分母系数的最小公倍数； ②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； ③ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 ④ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 例5 (河北)若x和y互为倒数，则(x＋)·(2y－)的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 专题练： 通分： （1）； （2）,. 六：分式的四则运算与分式的乘方 (1)分式的乘除法法则： 分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 表示为： (2)分式的乘方：把分子、分母分别乘方。 表示为： (3)分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。 表示为： 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。 表示为： 整式与分式加减法：把整式当作一个整体，看作是分母为1的整式，再通分。 (4)分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，从左到右，有括号的先算括号，也要注意灵活应用运算律，提高解题质量。 注：在运算过程中，注意要规范书写，不要随便省略步骤，以便检验或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 例6-1 (贵州)化简－结果正确的是(　　) A．1 B．a C. D．－ 答案：A 例6-2 (临沂模拟)若y＝，则的值为(　　) A．－ B．－1 C. D．－ 答案：A 例6-2 (泰安)化简：(a－2－)÷. 答案：a²+2a 专题练： 1. (天津)计算＋的结果是(　　) A．1 B. C．a＋2 D. 2. (河北)化简x3()2的结果是(　　) A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6 3. (威海)试卷上一个正确的式子(＋)÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(　　) A. B. C. D. 4. (武汉)已知x2－x－1＝0，计算(－)÷的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 5. (内江)对于非零实数a，b，规定a*b＝－.若(2x－1)*2＝1，则x的值为________． 6. (成都)已知2a2－7＝2a，则代数式(a－)÷的值为________． 7. (福建)已知＋＝1，且a≠－b，则的值为________． 8. (成都)已知2a2－7＝2a，则代数式(a－)÷的值为________． 9.(常德) 先化简，再求值：，其中. (5)整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。下列m，n均为整数。 ★ ★ ★ ★ （） ★ ★ （） ★（） （零的零次幂无意义，任何不为零的数的零次幂都等于1） 例6-3 ①(-2)-3= ②(3x－2)0=1成立的条件是    . 答案：① ②x≠ 专题练： 计算： ①（a2b-1c）-2÷2a-1bc      ② (6)科学记数法 若一个数x是0<x<1的数，则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=7个0 若一个数x是x>10的数则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=9个数字 例6-4 ①用小数表示2.61×10－5= ②用科学记数法表示0.000695并保留两个有效数字为     . ③自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。 答案：①0.0000261 ②7.0×10－4 ③5.2×10－8 学科网（北京）股份有限公司 $$