精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题

鹤岗一中2023-2024学年11月月考 高二上学期（数学） 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，40分） 1. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 2. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨（￢q）”为真命题 B. 命题“若a+b≠7，则a≠2且b≠5”为真命题 C. 命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x≠0，则x≠0且x≠1” D. 命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则￢p：∀x＞0，sinx≤2x﹣1 6. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知抛物线：（），过点且垂直于轴直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为9，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角的余弦值为 D. 若向量（，为实数），则 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的面积的最大值为2 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 12. 已知点在圆上，点在直线上，则下列各选项正确的是（ ） A. 点到直线的距离最小值为6 B. 点到直线的距离最大值为8 C. 直线与圆相切时，的最小值为 D. 直线与圆相切时，的最大值为 三、填空题（每题5分，20分） 13. 展开式中系数为______. 14. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________. 15. 已知函数，过原点作曲线切线，则切线的斜率为______． 16. 设椭圆左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______． 四、解答题 17. 已知椭圆，直线. （1）求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； （2）直线与椭圆交于两点，且，求的值. 18. 已知直线与直线交于点 （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长 19. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； （2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； （3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 20. 在四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为等边三角形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 21. 已知数列等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是递增的等比数列，且，，求． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点. （1）若直线l的斜率，求线段AB的长度； （2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； （3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗一中2023-2024学年11月月考 高二上学期（数学） 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，40分） 1. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 2. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解. 【详解】若曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 3. 三个顶点坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 4. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角 【详解】解：设直线的倾斜角为， 由直线得其斜率为， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题 5. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨（￢q）”为真命题 B. 命题“若a+b≠7，则a≠2且b≠5”为真命题 C. 命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x≠0，则x≠0且x≠1” D. 命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则￢p：∀x＞0，sinx≤2x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】由或和非的定义可判断A；取可判断B；由否命题的定义可判断C；由特称命题的否定可判断D 【详解】对于A：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨（￢q）”为真命题，故A正确； 对于B：当时a+b≠7，但a≠2且b≠5不正确，故B错误； 对于C：命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x≠0，则x≠0且x≠1”，故C正确； 对于D：命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则￢p：∀x＞0，sinx≤2x﹣1，故D正确； 故选：B 6. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列性质可知，即可求解，进而求出． 【详解】解：由等比数列性质可知，所以或， 但，可知，所以，则， 故选：B 7. 已知抛物线：（），过点且垂直于轴的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为9，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将代入抛物线方程，求出线段长，结合三角形面积求解即得. 【详解】将代入，得，由对称性不妨设在轴上方， 则点，，，， 因此，所以. 故选：A 8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果. 【详解】过作，交于点，交于，则底面 平面，平面， 平面平面，又平面 平面 又平面平面，平面 为中点 为中点，则为中点 即在线段上 ， ， 则线段长度的取值范围为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由，可得，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以，解得或1． 故选：BC. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角的余弦值为 D. 若向量（，为实数），则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，由空间向量平行的条件可判断；对于选项B，根据空间向量的模的计算公式可判断；对于选项C，由空间向量的夹角计算公式计算可判断；对于D选项，根据空间向量相等和线性运算可判断.. 【详解】解：对于选项A，由，故A选项不正确； 对于选项B，由，，故B选项正确； 对于选项C，由，得，故C选项正确； 对于D选项，由，得，解得，，有，故D选项错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的面积的最大值为2 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值. 【详解】选项A，由椭圆方程可知，， 所以的周长，故A正确； 选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点， 所以， 所以的面积， 当，即时， 即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确； 选项C，由，点，且， 因为， 当时，取最小值，且最小值为，故C错误； 选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为， 由得， ， 解得， 如图，当直线与椭圆C相切时，， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 12. 已知点在圆上，点在直线上，则下列各选项正确的是（ ） A. 点到直线的距离最小值为6 B. 点到直线的距离最大值为8 C. 直线与圆相切时，的最小值为 D. 直线与圆相切时，的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断A、B，求出切线长最小值及此时的值，即可判断C、D. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 又点在圆上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确； 当直线与圆相切时，的最小值为，故C正确； 当的最小值时， 所以直线与圆相切时，的最大值小于，故D错误； 故选：BC 三、填空题（每题5分，20分） 13. 展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】设的通项为， 当时，. 故答案为： 14. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值. 【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①， 设，，则， 两式相减得， 又，，所以②， 解①②得，所以， 所以上的点到焦点的距离的最大值为. 法二：将代入椭圆的方程得，所以①， 直线的方程是，即， 代入椭圆的方程并消去整理得， 则， 设，，则，即②， 解①②得，满足，所以， 所以上的点到焦点的距离的最大值为. 故答案为：. 15. 已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义运算即可. 【详解】由题意得，，设切点为， 则切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 解得，所以． 故答案为： 16. 设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及直角所对圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围． 【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点， 所以半径，即，且． 所以， 由于，令，则，则 ． 由于函数在上单调递减， 故在上单调递减， 故，即，满足，符合题意． 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可. 四、解答题 17. 已知椭圆，直线. （1）求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； （2）直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【小问1详解】 将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； 【小问2详解】 设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 18. 已知直线与直线交于点 （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长. 【小问1详解】 由 所以， 令，将代入得：. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以 19. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； （2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； （3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【答案】（1）中位数是，第80百分位数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解； （2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解； （3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解. 小问1详解】 由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是， ∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为． 所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为： ． 【小问3详解】 甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、． 记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个， ∴． 所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为. 20. 在四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为等边三角形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点， ，又， ， 四边形为平行四边形：， 平面平面， 平面. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，平面， 取中点，连接，则平面， 又因为三角形是等边三角形，所以， 则如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又因为， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， ,平面与平面所成的夹角的余弦为. 21. 已知数列是等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是递增的等比数列，且，，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程可得和的值，即可得的通项公式； （2）由等比数列的性质求得和的值，进而可得数列的公比和通项公式，再由分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知：，解得， 所以， （2）因为数列是递增的等比数列， 由已知可得，解得：， 所以，可得：所以， 所以， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点. （1）若直线l的斜率，求线段AB的长度； （2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； （3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1) 2 ; (2) 定值为0，证明见答案; (3) 存在， 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离以及勾股定理可得. （2）联立直线与圆，根据韦达定理以及斜率公式可得. （3）设点，由，以及韦达定理、中点公式可解得，再根据判别式可得答案． 【详解】(1) 直线l的斜率,则直线l的方程为： 圆心到直线l的距离为. 所以. (2)设直线l的方程为， 由,有 (*) ， 所以 ,。 . 所以为定值0. (3) 设点，由(2)有 , 所以 又，即. 所以. 即 则有. 整理得. 得 ,得. 则满足条件 所以满足条件的直线l为：.. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$