4.2.2换底公式练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.2　换底公式 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.lg 2·log210的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.若=,则7a= (　 ) A. B. C.5 D.7 3.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为 (　 ) A. B.9 C.18 D.27 4.[2024·上海青浦高级中学高一期中] 现有下列计算式: ①loga(b2-c2)=2logab-2logac; ②=2loga3; ③=lg 5; ④logax2=2loga|x|; ⑤logab·logba=1. 其中正确的是 (　 ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.④⑤ 5.已知log147=a,log145=b,则log3528用a,b表示为 (　 ) A. B. C. D. 6.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.若3x=5y=k,且+=2,则k的值为 (　 ) A.2 B. C.15 D.225 8.(多选题)下列各式中正确的是(各字母均为不等于1的正数) (　 ) A.logab·logba=1 B.logcd= C.logcd·logdf=logcf D.logab= 9.(多选题)[2024·宁夏吴忠秦宁中学高一月考] 以下式子中正确的是 (　 ) A.logab=(c>0且c≠1) B.= C.×=2 D.log39+log42=0 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.+log164=　　　　.  11.已知实数a,b,c,d满足2a=3,3b=5,5c=7,7d=16,则abcd=　　　　.  12.太阳光通过一层普通玻璃时,其中的紫外线只会损失原来强度的,而某型号的防紫外线玻璃则能将通过的太阳光中的紫外线过滤为原来强度的.设太阳光中紫外线的强度为k(k>0),则要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果,至少需要的普通玻璃的层数为　　　　.(参考数据:lg 3≈0.477)  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)计算: (1)log34·log249·log79; (2)(log43+log29)(log92-log278). 14.(10分)已知alog918=1,18b=5. (1)求18a+18-a的值; (2)试用a,b表示log365. 15.(5分)对于幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,设幂函数y=xa,y=xb的图象与线段AB分别交于点M,N,那么ab= (　 ) A. B.2 C.1 D. 16.(15分)(1)设a,b,c分别是直角三角形三边的长,其中c为斜边的长,c+b≠1,c-b≠1,且a≠1.求证:log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a. (2)已知lob1=lob2=…=lobn=λ,ai>0且ai≠1,其中i∈N*,i≤n,求证:lo(b1b2…bn)=λ. 2.2　换底公式 1.C　[解析] lg 2·log210=lg 2·=lg 10=1,故选C. 2.C　[解析] ∵=,∴log75=a,则7a=5.故选C. 3.B　[解析] 由题意得··=log416=log442=2,所以=2,即lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9,故选B. 4.D　[解析] 对于①,右边=logab2-logac2=loga≠左边,故①不正确;对于②,当a=3时,(loga3)2=1≠2loga3=2,故②不正确;对于③,=log315>1,lg 5<1,则≠lg 5,故③不正确;对于④,由对数的运算性质知logax2=loga|x|2=2loga|x|,故④正确;对于⑤,由换底公式知logab·logba=·=1,故⑤正确.其中正确的是④⑤.故选D. 5.A　[解析] log3528====,故选A. 6.A　[解析] ∵logax==2,∴logxa=.同理可得logxb=,logxc=,则logabcx====1. 7.B　[解析] 由3x=5y=k,得x=log3k,y=log5k,易知k>0且k≠1,所以+=+=logk3+logk5=logk15=2,则k2=15,k=(负值舍去).故选B. 8.ABC　[解析] 根据对数换底公式可知A,B,C均正确;D中,logab=,故D错误.故选ABC. 9.BC　[解析] 对于A,取a=2,b=4,c=2,则logab=2,=,logab≠,故A不正确;对于B,===,故B正确;对于C,×=log2×log5=log25×log54=log24=2,故C正确;对于D,log39+log42=2+≠0,故D不正确.故选BC. 10.　[解析] +log164=log84+lo22=+=. 11.4　[解析] ∵2a=3,∴a=log23.同理b=log35,c=log57,d=log716.则由换底公式可得abcd=log23·log35·log57·log716=···==4. 12.11　[解析] 设需要的普通玻璃的层数为n(n∈N*),由题意可得k·≤,可得≥3,所以n≥lo3==≈10.37,又n∈N*,所以n≥11,因此,至少需要的普通玻璃的层数为11. 13.解:(1)log34·log249·log79=··=··=8. (2)(log43+log29)(log92-log278)==-. 14.解:(1)因为alog918=1, 所以a=log189,18a+18-a=1+1=9+=. (2)由18b=5得log185=b, 所以log365=====. 15.C　[解析] 由题知,M,N为线段AB的三等分点,易得M,N,将点M,N的坐标分别代入y=xa,y=xb,得=,=,解得a=lo,b=lo,所以ab=lo×lo=×=1.故选C. 16.证明:(1)由勾股定理得a2+b2=c2.又a≠1,∴log(c+b)a+log(c-b)a=+= == =2log(c+b)a·log(c-b)a,∴原等式成立. (2)∵lob1=lob2=…=lobn=λ,∴b1=,b2=,…,bn=,∴b1b2…bn=… =(a1a2…an)λ, ∴lo(b1b2…bn)=λ. 学科网（北京）股份有限公司 $$