第5章 一元一次方程 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】新教材2024-2025学年七年级上册数学课时通(人教版 2024)

年级上册·RJ 数 学 第五章　一元一次方程 本章综合提升 1. 转化思想 本章的转化思想主要体现在用方程的概念求式子的值，将复杂的一元一次方 程通过去分母、去括号等过程，转化为一元一次方程的最简形式，将含绝对值的 一元一次方程转化为一般的一元一次方程求解等. 　　【例1】　（2024·河南濮阳期末）已知方程 － ＝ 是关于x的一元一 次方程. （1）当方程有解时，求k的取值范围. 思路分析：（1）先用含k的代数式表示x，然后根据方程有解，求出k的取 值范围. 解：（1） － ＝ ， 去分母，得x－4－2（kx－1）＝2， 去括号，得x－4－2kx＋2＝2， 移项、合并同类项，得（1－2k）x＝4， 因为方程有解，所以1－2k≠0，所以k≠ . （2）当k取什么整数值时，方程的解是正整数. 思路分析：（2）根据方程的解是正整数，结合（1）中x的表达式，即可求 出结果. 解：（2）因为这个方程的解是正整数，即x＝ 是正整数， 所以1－2k等于4的正约数，即1－2k＝1，2，4， 当1－2k＝1时，k＝0； 当1－2k＝2时，k＝－ （舍去）； 当1－2k＝4时，k＝－ （舍去）. 故k＝0. 【变式训练1】阅读理解　根据绝对值定义，若有｜x｜＝4，则x＝4或－ 4，若｜y｜＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值 方程，例如：｜2x＋4｜＝5. 解：方程｜2x＋4｜＝5可化为2x＋4＝5或2x＋4＝－5， 当2x＋4＝5时，则有2x＝1，所以x＝ ； 当2x＋4＝－5时，则有2x＝－9，所以x＝－ . 故方程｜2x＋4｜＝5的解为x＝ 或x＝－ . （1）解方程：｜3x－2｜＝4. 解：（1）｜3x－2｜＝4，3x－2＝4或3x－2＝－4， 解得x＝2或x＝－ ， 故方程｜3x－2｜＝4的解为x＝2或x＝－ . （2）已知｜a＋b＋4｜＝16，求a＋b的值. 解：（2）已知｜a＋b＋4｜＝16， a＋b＋4＝16或a＋b＋4＝－16， 解得a＋b＝12或a＋b＝－20， 所以a＋b＝12或20. 答：a＋b的值为12或20. 2. 建模思想 数学建模思想是一种解决问题的方法，它通过将现实世界的问题转化为数学 模型，并利用数学方法进行分析、求解和解释，从而解决该问题. 本章中通过列一元一次方程解决实际问题，体现了数学建模思想的运用. 　　【例2】　（2024·河南洛阳新安期中）学生问老师多少岁，老师说我像 你这么大时你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了.请你计算老师、学生 各多少岁？ 思路分析：设老师现在的年龄是x岁，则学生现在的年龄是 （x＋2） 岁，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解. 解：设老师现在的年龄是x岁，则学生现在的年龄是 （x＋2）岁，依 题意有 35－x＝x－ （x＋2）， 解得x＝24， （x＋2）＝ ×（24＋2）＝13. 答：老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是13岁. 【变式训练2】（2024·北京西城区模拟）某学校组织学生社团活动，打算恰 好用1 000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元.所购买围 棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套 数，若不能，请说明理由. 解：不能恰好用1 000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购 买象棋套数的2倍.理由如下： 设购买象棋x套，则购买围棋2x套. 根据题意得40×2x＋30x＝1 000， 解得x＝9 . 因为x是整数， 所以x＝9 不符合题意， 所以不能恰好用1 000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购 买象棋套数的2倍. 3. 数形结合思想 在本章中，列方程解决数轴动点、图形面积、等积变形等问题均体现了数形 结合思想的应用. 　　【例3】　几何直观　如图所示是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个 正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米. （1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正 方形F的边长＝ ，正方形E的边长＝ ，正方形C的边长 ＝ ⁠. 思路分析：（1）根据图形中最小的正方形的边长为1可 以得出正方形F，E和C的边长. x－1　 x－2　 或x－3　 （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的MN＝ PQ）.根据等量关系可求出x＝ ⁠. 思路分析：（2）设图中最大正方形B的边长是x米，分别表 示出QM和PN的值，由QM＝PN建立方程求出其解即可. （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙两个工程队单独 铺设分别需要10天、15天完成.如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2 天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙还要多少天完成？ 甲、乙两个工程队各铺设了多少米？ 7　 思路分析：（3）设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可. 解：（3）由（1）（2）可知，长方形MNPQ的长为13米，宽为11米，则长方形MNPQ的周长为2×（13＋11）＝48（米）. 设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成.由题意，得 ×2＋ y＝1， 解得y＝10. 则甲工程队铺设了 ×48＝9.6（米）. 乙工程队铺设了48－9.6＝38.4（米）. 答：乙还要10天完成，甲工程队铺设了9.6米，乙工程队铺设了38.4米. 【变式训练3】（2024·浙江台州玉环期末）如图所示，点A，B是数轴上的 两点，A表示－20，B表示100，动点P，Q分别从点A，B同时出发、相向而 行，若点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度每秒3个单位长度，当点Q到 达A点时，两点立即停止运动，设运动时间为t秒. （1）P点表示的数为 ；Q点表示的数为 .（用含t 的式子表示） －20＋2t　 100－3t　 （2）若aAP＋AQ的结果是一个定值，求a的值. 解：（2）aAP＋AQ ＝a[－20＋2t－（－20）]＋[100－3t－（－20）] ＝2at＋120－3t ＝（2a－3）t＋120， 因为aAP＋AQ为定值， 所以2a－3＝0， 解得a＝ . （3）当t为何值时，P，Q两点相距40个单位长度. 解：（3）当点P在点Q的左侧时，100－3t－（－ 20＋2t）＝40， 解得t＝16； 当点P在点Q的右侧时，（－20＋2t）－（100－ 3t）＝40， 解得t＝32， 综上分析可知，t＝16或32时，P，Q两点相距40个 单位长度. 1. （2024·河北石家庄裕华区模拟）如图所示，已知相同物体的质量相等，①中 天平保持平衡状态，则②中天平（　A　） A. 能平衡 B. 不能平衡，右边比左边低 C. 不能平衡，左边比右边低 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （2024·山东淄博高青模拟）下列是解一元一次方程2（x＋3）＝5x的步骤： 2（x＋3）＝5x 2x＋6＝5x 2x－5x＝－6 －3x＝－6 x＝2 其中说法错误的是（　C　） A. ①步的依据是乘法分配律 B. ②步的依据是等式的性质1 C. ③步的依据是加法结合律 D. ④步的依据是等式的性质2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （2024·浙江台州模拟）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个 阶梯.阶梯电费计价方式如下：（电价单位：元/千瓦时） 阶梯档次 年用电量（千瓦时） 电价 第一阶梯 2 760及以下部分 0.538 第二阶梯 2 761至4 800部分 0.588 第三阶梯 4 801及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500千瓦时，电费为319元，则小聪家去年全年用电量 为（　C　） A. 5 250千瓦时 B. 5 100千瓦时 C. 4 900千瓦时 D. 4 850千瓦时 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （2024·甘肃武威模拟）若方程（k＋2）x｜k＋1｜＋6＝0是关于x的一元一次方 程，则k＋2 024＝ ⁠. 5. （2024·陕西西安灞桥区模拟）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b，规定a△b＝a2b＋a－b，如：1△3＝12×3＋1－3＝1.若2△x＝x＋6（其 中x为有理数），则x的值为 ⁠. 6. （2024·浙江金华东阳期末）解方程： （1）6＋2（x－4）＝x； 解：6＋2x－8＝x， 2x－x＝8－6， x＝2. 2 024　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） ＝ － . 解： ＝ － ， 3（20x－10）＝7×10x－3， 60x－30＝70x－3， 60x－70x＝－3＋30， －10x＝27， x＝－2.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2023·湖南永州中考）关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m 的值为（　A　） A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 8. 学科融合　在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R 之间有以下关系：I＝ ，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　B　） A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 乘法交换律 D. 乘法结合律 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2023·四川德阳中考）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王 子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则：在九宫格中，除了已经 填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两 条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.小明抽取到的题目如图所示，他运 用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ ⁠. 39　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （2023·浙江丽水中考）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有 生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思 是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）.今有干丝 12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2023·北京中考）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示， 上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头 长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人 要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的 宽的4倍，求边的宽和天头长. 解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的 宽为x cm. 根据题意得100＋（6x＋4x）＝4×[27＋（6x－4x）]， 解得x＝4. 答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （2023·山东临沂中考）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月 （30天）的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金.当她工作满20天后因故结束 实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金. （1）这台M型平板电脑价值多少元？ 解：设这台M型平板电脑价值x元. 根据题意得 （x＋1 500）＝x＋300， 解得x＝2 100， 所以这台M型平板电脑价值2 100元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬？ （用含m的代数式表示） 解：（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2 100元， 所以工作一个月，她应获得的报酬为2 100＋1 500＝3 600（元）， 所以若工作m天，她应获得的报酬为 ×3 600＝120m（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$