专题06 二次函数（考题猜想，易错必刷60题20种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题06 二次函数（易错必刷60题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的相关概念 题型二 根据二次函数的定义求参数 题型三 二次函数的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综判 题型六 求抛物线的函数值 题型七 求抛物线的对称轴 题型八 二次函数图象的平移问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数与坐标轴交点问题 题型十一 利用不等式求自变量或函数值范围 题型十二 根据交点确定不等式解集 题型十三 二次函数最值 题型十四 图形问题 题型十五 图形运动问题 题型十六 拱桥、投球、喷水问题 题型十七 销售问题 题型十八 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十九 二次函数中指定面积计算问题 题型二十 二次函数中旋转45度角问题 一．二次函数的相关概念 1．下列式子中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 二．根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 2．已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． 三．二次函数的图象与性质 1．已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 3．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 4．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ． 6．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 7．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接，若，，则a的值是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为．若，则的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果点都在该抛物线上，比较与大小． 10．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当时，y的取值范围是 ． 11．已知二次函数． (1)画出它的图象； (2)当x_______时，y随x增大而减小； (3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔ (4)当时，y的取值范围是__________． 四．二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 2．如图为二次函数的图像，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（    ） A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥ 3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 五．一次函数、二次函数图象综判 1．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 六．求抛物线的函数值 1．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A．5 B． C． D． 2．抛物线经过点，对称轴是直线，则 ． 七．求抛物线的对称轴 1．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ． 八．二次函数图象的平移问题 1．将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为 ． 4．已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 九．待定系数法求二次函数解析式 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 3．抛物线与轴交点的坐标为 ，将抛物线向下平移 个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 4．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点； (2)已知抛物线与x轴交于点、，且与y轴交于点． 一十．二次函数与坐标轴交点问题 1．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    3．已知二次函数的图象顶点为．      (1)请直接写出点的坐标______； (2)请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； (3)当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 一十一．利用不等式求自变量或函数值范围 1．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 3．已知二次函数的图像为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为______； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 一十二．根据交点确定不等式解集 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 2．直线和抛物线 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是 ． 一十三．二次函数最值 1．已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 一十四．图形问题 1．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 2．为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米．    (1)当种花的面积为平方米时，求的值； (2)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 一十五．图形运动问题 1．如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 一十六．拱桥、投球、喷水问题 1．如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 2．掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 3．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 一十七．销售问题 1． 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在高于40元而低于60元范围内(售价为整数)，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯(用含x的代数式表示)； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 2．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 一十八．铅垂高、水平宽求面积最值 1．如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 2．若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 一十九．二次函数中指定面积计算问题 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 2．如图抛物线经过点，点，且．    (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点P为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点P的坐标． 二十．二次函数中旋转45度角问题 1．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 4．如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动． (1)求出抛物线的解析式； (2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题06 二次函数（易错必刷60题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的相关概念 题型二 根据二次函数的定义求参数 题型三 二次函数的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综判 题型六 求抛物线的函数值 题型七 求抛物线的对称轴 题型八 二次函数图象的平移问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数与坐标轴交点问题 题型十一 利用不等式求自变量或函数值范围 题型十二 根据交点确定不等式解集 题型十三 二次函数最值 题型十四 图形问题 题型十五 图形运动问题 题型十六 拱桥、投球、喷水问题 题型十七 销售问题 题型十八 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十九 二次函数中指定面积计算问题 题型二十 二次函数中旋转45度角问题 一．二次函数的相关概念 1．下列式子中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、是一元二次方程，不符合题意； D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 二．根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 2．已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出k的值； （2）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数， ∴，且， 解得：且， ∴； （ 2 ）∵函数为二次函数， ∴， ∴． 故答案为：；． 三．二次函数的图象与性质 1．已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 3．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 4．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 5．已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值结合二次函数的对称性可知抛物线的顶点到x轴的距离为3，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：∵的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3， ∴抛物线的顶点到x轴的距离为3， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴顶点一定在x轴下方， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为：， ∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴当时，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，勾股定理，过点P作于H，则，利用勾股定理求出，设，则，则抛物线解析式为，把点A坐标代入解析式中求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于H，则， ∵， ∴， 设，则，则抛物线解析式为， ∴， 解得， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据顶点坐标公式得到点的纵坐标为，点为图像与轴交点得到点纵坐标为，然后根据，结合三角形面积公式，可得，求解即可得值，掌握二次函数的顶点坐标公式，利用三角形面积关系列方程是解本题关键． 【详解】解：由题意得，，， 顶点为， ， 点为二次函数图像与轴交点， ， ， ， 解得， 故答案为：6． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； (2)如果点都在该抛物线上，比较与大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）把一般式化为顶点式，即可作答． （2）分别代入，整理与的式子，即可作答． 【详解】（1）解： ， 抛物线顶点坐标为； （2）解：， ∵点都在该抛物线上 ， 10．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)该抛物线的开口向上，顶点坐标为 (2)当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的y随x的增大而减小时x的值； （3）再分别求出，时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为 （2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）解：∵当时，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 11．已知二次函数． (1)画出它的图象； (2)当x_______时，y随x增大而减小； (3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔ (4)当时，y的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据列表法作出函数图象； （2）根据函数图象即可得出结论； （3）根据轴对称的性质即可求解． （4）根据函数图象即可得出结论； 【详解】（1）解：列表如下， 描点，连线如图所示： （2）解：由图象得，当时，的值随值的增大而减小， 故答案为：； （3）解：，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是: ， 故答案为：； （4）解：当时，；当时，，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查画二次函数的图象、抛物线与轴的交点问题以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质． 四．二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， 那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：C． 2．如图为二次函数的图像，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（    ） A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，根据二次函数的图像确定系数以及代数式的值是解题关键． 根据抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点的位置，判断a、c的值，即可判断①；先求出对称轴可得出2a和b关系判断②；根据时函数值的大小判断③即可；再根据x的取值与对称轴的关系讨论函数值的大小即可判断④；根据时，，再将代入判断⑤；当时，，再比较即可判断⑥. 【详解】解：由抛物线的开口向上，则， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∴，则①正确； ∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∴，即，则②正确； 当时，，则③不正确； 当时，函数值随着y的增大而减小，之后函数值y随x的增大而增大，则④不正确． 由②得，当时，， ∴，即，则⑤正确； 当时，， ∴对于任意实数m，， ∴对于任意实数m，均有，则⑥正确． 所以正确的有①②⑤⑥． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故①错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；故②正确； ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵点在此抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为：， 由图象可知：当时，；故④正确； 故答案为：②③④． 五．一次函数、二次函数图象综判 1．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，符合题意； C、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意； 故选B． 2．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，分别根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，以及一次函数经过的象限判断出a的符号以及对称轴的位置，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，互相矛盾，不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，一次函数经过第一、三、四象限，则，不符合题意； C、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，一次函数经过第一、三、四象限，则，符合题意； D、二次函数开口向下，则，一次函数经过第一、三、四象限，则，互相矛盾，不符合题意； 故选：C． 六．求抛物线的函数值 1．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， ∴和的函数值相同，为； 故选D． 【点睛】本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴． 2．抛物线经过点，对称轴是直线，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求得关于直线对称的点的坐标即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴点，关于直线对称的点的坐标为， 当时， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 七．求抛物线的对称轴 1．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据纵坐标相等的两个点关于对称轴对称轴，即可求得对称轴为直线，进而即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴对称轴为直线， 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ． 【答案】（−6，0） 【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和−3， ∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（−3，0）， ∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝ ∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0）， ∴函数y＝与直线y＝−m的一个交点的横坐标为4， ∴函数y＝与直线y＝−m的另一个交点的横坐标为−6， ∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（−6，0）， 故答案为：（−6，0）． 【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根． 八．二次函数图象的平移问题 1．将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二函数图象与几何变换，直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即． 故选：D． 3．将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质以及二次函数的平移性质，先根据平移性质得出抛物线的顶点坐标，根据关于x轴对称，得出抛物线的顶点坐标，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线， ∴ 此时抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的顶点坐标， ∴开口方向向下，开口大小不变， 则抛物线的解析式为， 故答案为：． 4．已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 九．待定系数法求二次函数解析式 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 2．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可． 【详解】解：设此函数的解析式为， 图象过点、， ， 解得， 这个函数表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．抛物线与轴交点的坐标为 ，将抛物线向下平移 个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 【答案】 2或11/11或2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数的平移．计算对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标为，根据二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为，然后分抛物线顶点在x轴上和抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点求解即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当抛物线顶点在x轴上时，抛物线与坐标轴有2个交点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当抛物线向下平移2个单位时，平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，顶点在x轴上，与y轴的交点坐标为； 当抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点， 此时当抛物线向下平移11个单位，平移后的抛物线解析式为，即，抛物线与坐标轴的交点为，． 综上所述，抛物线向下平移2或11个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 故答案为：，2或11． 4．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点； (2)已知抛物线与x轴交于点、，且与y轴交于点． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了运算待定系数法求函数解析式，根据题意正确设出解析式成为解题的关键． （1）设二次函数解析式为．将点代入求得a的值即可解答； （2）设二次函数的解析式为，将点代入求得a的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意设二次函数解析式为． 二次函数的图象与y轴交于点， ， 解得：． 二次函数解析式为； （2）解：由题意设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数解析式为． 一十．二次函数与坐标轴交点问题 1．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 2．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可． 【详解】解：由图象可知， 当时，函数值的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．已知二次函数的图象顶点为．      (1)请直接写出点的坐标______； (2)请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； (3)当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象以及二次函数的性质等知识． （1）用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）列出表格，通过顶点坐标与对称轴向左右两方取值，再描点即可得出； （3）结合二次函数图象，当时，则的取值范围． 【详解】（1）； 点的坐标为：． 故答案为：； （2）列表得： 0 1 0 0 描点、连线画出函数图象如图：      （3）时，；时，， 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 一十一．利用不等式求自变量或函数值范围 1．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 2．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围． 由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可． 【详解】解：由得：， ∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∵两图像交于，两点， ∴， 故答案为：． 3．已知二次函数的图像为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为______； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2)不经过，说明见解析 (3) 【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可． （2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点． （3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围． 【详解】（1）解：化成顶点式为 ∴顶点坐标为 故答案为：． （2）解：由题意知抛物线的解析式为 将代入解析式解得 ∴不经过点． （3）解：∵对称轴直线在中 ∴最小的函数值 将代入解析式得 将代入解析式得 ∵ ∴函数值的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式． 一十二．根据交点确定不等式解集 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，把整理得，由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 【详解】解：依题意， 因为 所以 因为抛物线与直线交于，两点， 结合图象性质： 所以的解集为 即不等式的解集为， 故选：C 2．直线和抛物线 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集，旨在考查学生的数形结合能力，将不等式转化为对应函数图象的位置关系是解题关键． 【详解】解：由题意得：不等式表示直线在抛物线 下方的部分， ∵两图象的交点横坐标为：， ∴不等式的解集是：或 故答案为：或 一十三．二次函数最值 1．已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数对称轴为直线， 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 综上所述，或， 故选：B． 3．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当时，，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵当时，y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 一十四．图形问题 1．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)3米或5米 (2)米或4米 (3)当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）设的长为x米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设的长为m米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可； （3）设AB的长为米，围成面积为平方米，列出二次函数关系式，求出最值，进行判断即可． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得：， 解得 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是3米或5米； （2）解：设的长为m米，则的长为米， 根据题意得：， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意； ∴的长是米或4米； （3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下： 设AB的长为米，围成面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为a为15米， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴时，w取最大值，最大值为48平方米， 此时， 答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米． 2．为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米．    (1)当种花的面积为平方米时，求的值； (2)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 【答案】(1)当种花的面积为平方米时，的值为， (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握全等三角形的判定和性质，二次函数最值的计算方法，根与系数的关系的运用是解题的关键． （1）根据题意，可用含的式子表示四个三角形的面积，根据二次函数的性质即可求解； （2）运用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵种花的面积为， ∴余下的四块面积为， 设米， ∴，且， ∴， ∴（），则， ∵，， ∴（米），（米），且， ∴， ∴，则， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴当种花的面积为平方米时，的值为，． （2）解：根据题意，，由上述计算可得，四块三角形的面积为， ∵种花的面积为平方米， ∴四块三角形的面积与种花的面积和为，整理得，， ∵的值有且只有一个， ∴， 解得，； 当方程有两个不相等的实数根时， ∴， 解得，； 由此可得，（不符合题意，舍去），， ∴， 解得，； 综上所述，或． 一十五．图形运动问题 1．如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 【答案】(1)4 (2)， (3)3秒或5秒 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是通过图形获取信息，要理清图象的含义即会识图． （1）由这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，求出边长即可得出的长； （2）依题意，求出每段的函数解析式，运用函数解析式求出，的值； （3）把代入函数关系式为，求出时间即要可． 【详解】（1）解：当这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，得出小正方形的边长为， 所以． 故答案为：4． （2）依题意，可知 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是． 当时，得或，解得（负号舍去）或（正号舍去）， 即，． （3）当时，得，解得或． 所以正方形出发3秒或5秒时，重叠部分面积为． 一十六．拱桥、投球、喷水问题 1．如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【分析】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 2．掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法； （1）设y关于x的函数表达式为，把代入上式得，即可求解； （2）令，解方程，可求出该女生的成绩，即可求解； 理解和的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入上式得， ， 解得， ； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分． 理由：令， 即， 解得，（舍去）， ， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 3．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 一十七．销售问题 1． 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在高于40元而低于60元范围内(售价为整数)，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯(用含x的代数式表示)； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 【答案】(1)； (2)台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个； (3)台灯售价定为59元时，每月销售利润最大． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系， 正确列出方程和函数关系． （1）根据售价上涨x元后，销售量减少个，列代数式即可； （2）根据售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，列一元二次方程 ，求解即可； （3）设销售利润为W元， 求得W与x的函数关系，再根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：售价上涨x元后，销售量减少个，此时的销售量为个， 故答案为：； （2）解：由题意可得： ， 化简得：， 解得：或， ∵售价在高于40元而低于60元范围内(售价为整数)， ∴， ∴舍去， ∴， ∴， ∴， 答：台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个； （3）解：设每月的销售利润为，根据题意得： ， ∵，取整， 当时，有最大值， 最大值为， 此时售价为： (元)， 答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大． 2．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 【答案】(1)，为正整数 (2)当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，理解题意，根据实际问题列出等量关系，再根据二次函数特点求值是解题的关键． （1）销售利润等于销售价格乘以销售数量，因为上涨元，则销量为件，每件利润为，由此即可求解； （2）根据二次函数的特点，求二次函数的最大值，即求二次函数的对称轴对应的函数值，由此即可求解； （3）根据每件商品都有元的其他费用，售价每件不低于元，先求出涨价后去除其他费用和进价才是利润，由此可得出二次函数，再根据二次函数的特点即可求出答案． 【详解】（1）解：进价为每件元，当售价为每件元时，每个月可卖件，售价每上涨元，则每个月少卖件，设每件商品的售价上涨元（为正整数）， ∴，且，为正整数， 答：，为正整数． （2）解：根据销售利润的函数可得， 二次函数的系数分别是，，， 函数的对称轴， ∵为整数， ∴当或时，（元）， ∴当时，销售价格是元， 当时，销售价格是元，销售利润最大，最大为元， 答：当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； （3）解：根据题意得，， ∴二次函数的系数分别是，，， 该函数的对称轴是， ∵当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小， ∴，即，且x为整数， ∴， 解得，， ∵， ∴． 一十八．铅垂高、水平宽求面积最值 1．如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 2．若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)当时，最大，最大为，这时点P的坐标为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为，这时点P的坐标为． 一十九．二次函数中指定面积计算问题 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可； （3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可； 【详解】（1）解：把、代入二次函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、， ， 当点P在第一象限时， ∵点的横坐标为， ∴， 对于二次函数，令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：当P在第一象限时，若， 则， 解得：， ∴P点坐标为， 当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为， 所以直线l的表达式为， 联立方程组方程组， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为 综上，P的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，三角形面积，等定系数法求一次函数的式，一次函数图象平称等知识，（3）问要注意分类讨论． 2．如图抛物线经过点，点，且．    (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点P为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)P的坐标为或 【分析】(1）由，可求点，则抛物线的表达式为：，即可求解； (2）由 ，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴点， 则抛物线的表达式为：， 故，解得：， 故抛物线的表达式为：①， 函数的对称轴为：； （2）如图，设直线交x轴于点E， 直线把四边形的面积分为两部分， 又∵， 则或， 则或， 即：点E的坐标为或， 将点E的坐标代入直线的表达式：， 解得：或， 故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图像面积计算等，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 二十．二次函数中旋转45度角问题 1．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为． 【分析】（1）先求解点，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解，如图，过点作．记与轴的交点为，，同理可得：的解析式为．再进一步求解交点坐标即可． 【详解】（1）解： ， 点，， ，解得； 二次函数的解析式为． 设直线的解析式为．将点，代入， 得解得 直线AC的解析式为． （2）∵， ∴， 解得：，， ∴， 如图，过点作． ， ， ． 记与轴的交点为， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为． 联立得， 解得（舍去）或； 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与角度的综合应用，函数交点的求法，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，得到的长，进一步得到点A和点B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线与x的交点坐标及函数图象进行判断即可； （3）求出顶点坐标即函数最大值，求出当和时的函数值，根据二次函数的图象即可得到答案； 此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标是， 把点B，点A代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解由抛物线图象可知，当时，则的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为： 3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质，利用数形结合思想解答； （1）根据题意得出再由且即可求解； （2）由（1）得抛物线的解析式为,将和代入解析式，将两式相加和相减即可求得； （3）设点P坐标为，根据题意可确定当为与对称轴交点时，可使得根据，即可求解； 【详解】（1）令 则， 解得：， 令，解得： 点A在点B的左侧, ∴， ∵ 且 ； （2）由（1）得抛物线的解析式为, 将和代入解析式得： ， 两式相减可得：，两式相加可得：， 即，或， 将代入可得：， ； （3）由（1）得： 抛物线对称轴为设点P坐标为， ∴， 则直线方程：, 设点坐标， ，， 可得，当为与对称轴交点时，可使得 ， 点的坐标为．    4．如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动． (1)求出抛物线的解析式； (2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，． 【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式即可； （2）先过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，构建等腰直角三角形，得出，点D作轴，利用全等三角形的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立成方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点（在上方），使得； 过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，过点D作轴， ∵垂直于， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴，与抛物线联立得： ， 解得：或， ∴， 故存在点，使得． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，函数图象的交点等知识，解题的关键是能否正确构建等腰直角三角形，得出，从而求解． $$