专题07 二次函数（考题猜想，压轴必刷52题14种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题07 二次函数（压轴必刷52题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的图象与各系数的关系 题型二 二次函数的图象与性质综合 题型三 二次函数的最值 题型四 二次函数的平移压轴 题型五 二次函数与不等式、方程综合 题型六 二次函数的图形问题 题型七 二次函数的存在性问题 题型八 二次函数含参应用题 题型九 二次函数翻折对称问题 题型十 二次函数有关“倍角”关系问题 题型十一 二次函数中特殊角度关系问题 题型十二 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十三 二次函数面积关系问题 题型十四 二次函数综合 一．二次函数的图象与各系数的关系 1．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为（-2，）下列结论：①；②；③；④若方程有两根为和，且<，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 二．二次函数的图象与性质综合 1．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．在平面直角坐标系中，将函数（x小于或等于2m，m为常数）的图象记为G．当图象G与x轴有两个交点时，设左侧交点的横坐标为a，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 5．如图①，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．    (1)当时，求点的坐标； (2)关于的函数解析式为，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出与的值； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 三．二次函数的最值 1．已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为 ． 3．已知函数，当时，有最大值5，则的值为 ． 四．二次函数的平移压轴 1．已知抛物线，当时，．若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线（是实数）的对称轴为直线，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ． 五．二次函数与不等式、方程综合 1．在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 2．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（    ） A． B． C．或 D．或 3．抛物线，对称轴为．下列说法：①一元二次方程有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式恒成立；③抛物线经过点；④若，且，则．正确的有 （填序号）． 4．已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 6．若关于的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：和是方程的对称解，则为对称解方程． (1)下列方程是对称解方程的有______； ①； ②； ③． (2)已知关于的方程恰好是对称解方程，若函数与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，求的面积； (3)已知为一元二次方程（为常数）的对称解，当．试求的值． 六．二次函数的图形问题 1．如图，在中，，为边上的中线，点与点关于点对称，连接，，． (1)求证四边形为平行四边形； (2)以为边在四边形同侧作等边，，分别交直线于点，，若，当的面积最小时，的值是否也最小？如果是，求出的面积最小值；如果不是，请说明理由； (3)若，求的最小值． 2．如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，． (1)如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积； (3)如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？ 七．二次函数的存在性问题 1．如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 2．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 八．二次函数含参应用题 1．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 2．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 3．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 九．二次函数翻折对称问题 1．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+5在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，将这个新函数的图像记为G（如图所示）．当直线y＝m与图像G有4个交点时，则m的取值范围是 ． 2．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ． 3．如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”． (1)求该抛物线的表达式； (2)若时，直线与图象有三个交点，求的值； (3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围． 一十．二次函数有关“倍角”关系问题 1．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 一十一．二次函数中特殊角度关系问题 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 2．如图，函数的图象交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点在抛物线上，求当时点的坐标． 3．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 4．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，过作轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接，当，，求点的坐标． 一十二．铅垂高、水平宽求面积最值 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求点C的坐标和直线l的解析式； (2)点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 3．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一十三．二次函数面积关系问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上一点且横坐标为，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合），直线平行于直线，以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴． (1)求的值； (2)当时，求的面积； (3)若坐标原点与的顶点的连线将的面积分成的两部分，求的值． 2．如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； (3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 一十四．二次函数综合 1．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 3．如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 4．已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图像与x轴交于点，与y轴交于点，连接． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式． ②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作轴，与线段AB交于点M，是否存在点P，能使得成立？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段有交点，求b的取值范围． 5．如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 6．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)代数式的最小值为 ； 【类比应用】 (3)试判断代数式与的大小，并说明理由． 【知识迁移】 (4)如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．    7．“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知，是平面直角坐标系内的两点，我们将称作，间的“型距离”，记作，即．已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标分别为，，点C在直线上运动，且满足． (1)求； (2)求抛物线的表达式； (3)已知是该坐标系内的一个一次函数．若D，E是图象上的两个动点，且，求面积的最大值． 8．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）． (1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的明德点是 ___________； (2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题07 二次函数（压轴必刷52题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的图象与各系数的关系 题型二 二次函数的图象与性质综合 题型三 二次函数的最值 题型四 二次函数的平移压轴 题型五 二次函数与不等式、方程综合 题型六 二次函数的图形问题 题型七 二次函数的存在性问题 题型八 二次函数含参应用题 题型九 二次函数翻折对称问题 题型十 二次函数有关“倍角”关系问题 题型十一 二次函数中特殊角度关系问题 题型十二 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十三 二次函数面积关系问题 题型十四 二次函数综合 一．二次函数的图象与各系数的关系 1．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 2．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为（-2，）下列结论：①；②；③；④若方程有两根为和，且<，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，即可求解； ②时，，即可求解； ③，即可求解； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，即可求解； ⑤若方程，即：若方程，当时，由一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，即可求解． 【详解】解：∵顶点为（，），设二次函数表达式为：， ①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，则，故①正确； ②函数在轴右侧与x轴的交点（1，0），当时，，故②正确； ③，故③错误； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，④正确； ⑤若方程，即：若方程，当时， 根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为， 同理当时，其两个根的和也为，则这四个根的和为，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 二．二次函数的图象与性质综合 1．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，解得． 又抛物线与轴的一个交点为， 把代入得，， 解得：． ． 对称轴，最大值． 如图所示， 顶点坐标为， 令， 即， 解得或． 当时，抛物线始终与轴交于与， ． 即常函数直线，由， ， 由图象得当时，，其中为整数时，，1，2． 一元二次方程的整数解有3个． 又与关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以值可以有2个． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，将函数（x小于或等于2m，m为常数）的图象记为G．当图象G与x轴有两个交点时，设左侧交点的横坐标为a，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，先根据图象G与x轴有两个交点可求得，再求出当抛物线顶点在x轴上时的m值，利用图象法判断即可． 【详解】解：设图象G的最低点为， 当时，如图， ∵， ∴图形G是抛物线在直线的左侧部分（包括点D）， 此时，图象G于x轴有两个交点，最低点为， 当时，函数为， 此时函数图象与x轴只有一个交点，显然不符合题意， 当时，如图， 图象G是抛物线在直线的左侧部分（包括点D）， 此时图形G与x轴的交点只有一个，不符合题意， ∴当图象与轴有两个交点时，， 当抛物线顶点在x轴上时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴当，即时，， ∴原抛物线过定点， 如下图所示， ∴观察图形可知，当图形G与x轴有两个交点时，， 故选：B． 3．如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数综合题，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．根据二次函数解析式求出点，的坐标，从而求出直线的解析式；由全等三角形得到，点代入，得从而求得点的坐标，第二种情况是过点作轴于点，过点作轴于点，由全等三角形得到，，点代入，得，求出的值，从而求出点的坐标． 【详解】解：， ， 令，得， ， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 线段绕点旋转后得到线段， ，， ， ，， ， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 同理，得， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 4．在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴、y轴的距离的较大值等于点N到x轴、y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“距轴等点”． (1)在点、、中与点互为“距轴等点”的是_______. (2)已知点与点 ①若点A、B分别在直线和直线上，且点A与点B始终互为“距轴等点”，求m的取值范围． ②若点A在二次函数的图像上，点B在过点且垂直于y轴的直线l上，当点A、B互为“距轴等点”时，证明：． 【答案】(1)， (2)①m的取值范围为或；②见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，理解题意，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据定义，逐一判断即可； （2）①求出直线和直线的交点横坐标和直线和直线的交点横坐标，结合图象即可解答； ②根据的大小不同，分类讨论，逐一论证即可． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴的距离的较大值为， 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点不与点互为“距轴等点”； 到x轴、y轴的距离的较大值为， 点与点互为“距轴等点”； 故答案为：，； （2）解：①如图， 当时， 解得：， 点的横坐标为2， 当时， 解得：， 由图可知：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为m，点到x轴、y轴的距离的较大值为m， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为，且， ∴点A与点B不互为“距轴等点”， 点的横坐标为， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B始终互为“距轴等点”， ∴m的取值范围为或． ②将点代入，得， ∴， ∵点在过点且垂直于y轴的直线l上， ， ， ， ∵函数与直线l都是以y轴为对称轴的轴对称图形， ∴不妨先设， 当时，， 当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∴点A与点B不互为“距轴等点”（舍）， 第二种情况：当时， 点到x轴、y轴的距离的较大值为，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ，互为“距轴等点”， 此时符合， 第三种情况：当时，点到x轴、y轴的距离的较大值为， ∵点A与点B为“距轴等点”， ∴且， ∴且， 综上：且时，点A与点B互为“距轴等点”， ， ∴且， ∴； 当时，同上； 当时，，点A与点B不互为“距轴等点”（舍）； 综上：． 5．如图①，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．    (1)当时，求点的坐标； (2)关于的函数解析式为，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出与的值； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，设直线分别交x轴于F、E，则，证明，进而证明是等腰直角三角形，如图所示，过点作于点，求出，在中，当时，，则； （2）把代入中解得：，过作轴，交于，得出的解析式为：，进而得出 点的坐标，根据三角形的面积公式得出，把代入，解方程即可求解； （3）同（1）方法求出，利用勾股定理得到， ，，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ，设直线分别交x轴于F、E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴点M为的中点， ∴， 在中，当时，， ∴；    （2） 解：由题可知：当时，， 把代入中得 解得：，    如图3， 过作轴，交于，    由(1)知：当时，，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 在中，当时， ， ， ， 把代入得：， 解得：； （3）解：如图所示，过点B作于M， 同理可得， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴ ∴， 解得或， ∴点A的坐标为或．      【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，从函数图象获取信息等等，正确作出辅助线表示出点B的坐标是解题的关键． 三．二次函数的最值 1．已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可；准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 故选：． 2．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式，根据题意，确定函数图象的开口和对称轴，分类讨论：；；根据函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：已知抛物线，则，对称轴为， ∴抛物线开口向下， 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，； ∴； 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，， ∴； 综上所述，的取值范围为， 故答案为： ． 3．已知函数，当时，有最大值5，则的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解． 【详解】解：由题意，的对称轴是直线， 当时，． ∵当时，有最大值5， ∴当时，，当时，， ∴最大值可能在这三个数处取得： ①当最大值为， 或， ∵当时，，此时函数有最小值，不符合题意， ②当最大值为， 或 ∵当时，，此时最大值在对称轴右侧取得，不符合题意， 当时，，此时最大值在处取得，不符合题意， ∴或均不合题意， ③当最大值为， 或， ∵当时，，此时最大值在对称轴处取得，不符合题意， ∴， 综上，或7． 故答案为：1或7． 四．二次函数的平移压轴 1．已知抛物线，当时，．若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及二次函数的性质，关键是掌握平移的性质和二次函数的性质．先根据平移的性质得出抛物线过点，然后求出抛物线对称轴，再根据二次函数的性质得出当时，y有最小值，从而得出结论． 【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点， ∴抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 又∵当时，， ∴当时，y有最小值， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知抛物线（是实数）的对称轴为直线，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的几何变换的平移变换，平移规律是“左加右减，上加下减”，解题的关键是写出平移后抛物线解析式． 解抛物线得或，对称轴为直线，即可得出，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，即可求得的值． 【详解】解：解抛物线， 可得：或， ∵抛物线（m，k是实数）的对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线． ∴将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：， ∴将代入上式， 得， 整理得， 将代入中， 则， 解得． 故答案为：． 五．二次函数与不等式、方程综合 1．在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出对称轴，再根据，求出，的坐标，可得到，从而得到顶点坐标为，再分两种情况讨论的取值范围即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点在点的左侧， ∴， ∴令，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴线段上有3个整点， ∵区域内有6个整点， 当时，， 即； 当时，， 即， 综上所述，的取值范围为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是根据二次函数的性质进行分类求解． 3．抛物线，对称轴为．下列说法：①一元二次方程有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式恒成立；③抛物线经过点；④若，且，则．正确的有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关键． ①根据二次函数对称轴是直线得出并结合条件得出，然后通过判断一元二次方程的符号解答即可；②通过分解因式得出，利用 解答；③把代入解答即可；④通过对分解因式得出结合条件判断即可． 【详解】∵中，对称轴为， ， ， ， ， 一元二次方程中，， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故①正确； ， ， ，故②错误； ， ， 把代入 得， ∴抛物线经过点，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④， 故答案为：①③④． 4．已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； （2）解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 5．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 6．若关于的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：和是方程的对称解，则为对称解方程． (1)下列方程是对称解方程的有______； ①； ②； ③． (2)已知关于的方程恰好是对称解方程，若函数与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，求的面积； (3)已知为一元二次方程（为常数）的对称解，当．试求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，理解对称解方程的定义是解题的关键． （1）分别求得各方程的解，即可判断； （2）解方程，得，，利用对称解方程的定义求得，再求得函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据对称解方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系求得，得到，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解：①，因式分解得， 即， 解得或或， 则为对称解方程； ②，因式分解得， 解得或， 则不是对称解方程； ③，解得或， 则为对称解方程； 故答案为：①③； （2）解：解方程，得，， 的方程恰好是对称解方程． 又，即， ， 则函数为， 令，则， 解得或， 令，则， 函数与轴的交点为，， 与轴的交点为， 的面积为； （3）解：为一元二次方程为常数）的对称解， ，， ， ， ， ， ． 六．二次函数的图形问题 1．如图，在中，，为边上的中线，点与点关于点对称，连接，，． (1)求证四边形为平行四边形； (2)以为边在四边形同侧作等边，，分别交直线于点，，若，当的面积最小时，的值是否也最小？如果是，求出的面积最小值；如果不是，请说明理由； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是， (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，二次函数的性质，三角形三边的关系，构造出最小值的图形和构造二次函数求最值是解题的关键． （1）先证，再证，根据平行四边形的判定求证即可； （2）作于点，交于点，连接，证是的中位线，当四边形为矩形时，最大，的值最小，的面积最小，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，于点，设，， 由得，进而得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）作于点，交于点，连接，如图所示， 当的面积最小时，最小， ∴最大时，最小，的面积最小时， 当四边形为矩形时，最大，此时， 在中，， ∵等边，， ∴，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 当四边形为矩形时，点，，重合，此时最小， ∴当的面积最小时，的值最小； 此时，， 即的面积最小值为：； （3）作交的延长线于点，于点，如图所示， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∵， ∴， 移项，得， 两边同时平方，得， 整理，得， 两边再平方，得， 整理，得， ∴ ∵， ∴当时，有最小值，最小值． 2．如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，． (1)如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积； (3)如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)．理由见解析 (2)18 (3)3 【分析】（1）过点B作，交于H，证明，由全等三角形的得出，则可得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的得出，则可得出答案； （3）作于F，则，且，证明，得出，设，得出由二次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：． 理由：过点B作，交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵，， ， ， ∴； （2）连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ， ， ∴； （3）作于F， 则，且， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， 设， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴ ，其中， ∴当时，， 此时，， 即时，四边形的面积最大． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了二次函数及二次函数的最值，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解题的关键是能用所学的性质进行证明和计算以及全等三角形的判定． 七．二次函数的存在性问题 1．如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为：或或或 【分析】（1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入求解即可； （2）分情况进行讨论，①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用各个相关知识，根据题意进行分类讨论． 2．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为 (3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或 【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）当时，，即，则，由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解；①当为边时，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于，证明，则，，设，则，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，当时，，即，由矩形的性质可求点的坐标；②当为对角线时，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则，设，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，即，设，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，，即， ∴， 由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解； ①当为边时，如图，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵以，，，为顶点的四边形是矩形， ∴点的坐标为； ②当为对角线时，如图，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则， 由①可知，直线的解析式为， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 八．二次函数含参应用题 1．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 2．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品的销售单价为25元 (3)m的值为5 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可． （2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可． （3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可． 【详解】（1）由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为25元． （3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ， 其对称轴为直线为：． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． 当时，． ∴， 解得． 答：m的值为5． 【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 3．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 【答案】(1)，为正整数 (2)当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，理解题意，根据实际问题列出等量关系，再根据二次函数特点求值是解题的关键． （1）销售利润等于销售价格乘以销售数量，因为上涨元，则销量为件，每件利润为，由此即可求解； （2）根据二次函数的特点，求二次函数的最大值，即求二次函数的对称轴对应的函数值，由此即可求解； （3）根据每件商品都有元的其他费用，售价每件不低于元，先求出涨价后去除其他费用和进价才是利润，由此可得出二次函数，再根据二次函数的特点即可求出答案． 【详解】（1）解：进价为每件元，当售价为每件元时，每个月可卖件，售价每上涨元，则每个月少卖件，设每件商品的售价上涨元（为正整数）， ∴，且，为正整数， 答：，为正整数． （2）解：根据销售利润的函数可得， 二次函数的系数分别是，，， 函数的对称轴， ∵为整数， ∴当或时，（元）， ∴当时，销售价格是元， 当时，销售价格是元，销售利润最大，最大为元， 答：当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； （3）解：根据题意得，， ∴二次函数的系数分别是，，， 该函数的对称轴是， ∵当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小， ∴，即，且x为整数， ∴， 解得，， ∵， ∴． 九．二次函数翻折对称问题 1．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+5在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，将这个新函数的图像记为G（如图所示）．当直线y＝m与图像G有4个交点时，则m的取值范围是 ． 【答案】-6＜m＜0 【分析】根据题意，先求出新函数的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图像，即可求出m的取值范围. 【详解】解：∵， ∴原函数的顶点坐标为：（1，6）， 如图，根据折叠的性质， 可得新函数图像G的顶点坐标为：（1，），即点D的坐标为（1，）， 当直线y=m与图像G有4个交点时，根据图像可知： m的取值范围是：； 故答案为：. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到抛物线G的顶点坐标是解题的难点． 2．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若新图象与直线无公共点，根据图象可得答案． 【详解】解：    ∵函数与轴有两个交点， 解得， 当取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象， 所以新图象的解析式为：． 因为的，所以它的图象从左到右是上升的， 当与相切时， 即， 解得：， 此时，，故不符合题意； 当它过时，把代入， 得， 所以， 当它与新图象无交点时，由图象可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键． 3．如图，已知抛物线（为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”． (1)求该抛物线的表达式； (2)若时，直线与图象有三个交点，求的值； (3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求得； （）利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论； （）求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况： 当直线过点时，与图象有三个交点，此时； 当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时， ， ∴， 由， 解得； 综上，的值是或； （3）解：将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，得到， 令，则， 由， ∴， 由，解得， ∴若直线与图象有四个交点，的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 一十．二次函数有关“倍角”关系问题 1．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； （2）解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 一十一．二次函数中特殊角度关系问题 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)最大值为，点的坐标为 (3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，由， ∴； 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 令，得， 解得：或， ∴； （2）解：连接，如图，    设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为； （3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 2．如图，函数的图象交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点在抛物线上，求当时点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论：①如图所示，连接，当在下方时，过点作交于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点，可证求出点的坐标，从而求出直线的解析式，根据直线与抛物线的交点坐标的计算方法即可求解；②如图所示，连接，过点作交于点，过点作轴于点，可证求出点的坐标，从而求出直线的解析式，再根据直线与抛物线的交点坐标的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象交轴于点，交轴于点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，， ∴令，则，， ∴，则， ∵， ∴， ①如图所示，连接，当在下方时，过点作交于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点，    ∴四边形是矩形，即，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，且点在第二象限， ∴， 设直线所在直线的解析式为，且，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点， ∴，解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； ②如图所示，连接，过点作交于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， 同理可证，， ∴，， ∴， 设直线所在直线解析式为，且，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∴，解得，（舍去）或， 当点的坐标为时，点在第四象限， ∵，， ∴，且， ∴， ∴当点的坐标为时不符合题意，舍去； 综上所述，点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图像的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接、，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线的交点即为点，同理可得直线的解析式为，联立，得，解得或(舍去)，则点的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为，设交于H， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线交y轴于点C． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为； 如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线的交点即为点G， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线的交点即为点G的位置， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理等知识点，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键． 4．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【分析】（1）用待定系数法解题； （2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点，，代入抛物线中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图中，连接，， ∵，，， ， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 把点的坐标代入， 得到，，解得或， ∴或． （3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接， 设，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线是对称点，连接交直线于， 连接，此时的值最小， 最小值． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，过作轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接，当，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)与的函数解析式为 (3) 【分析】（1）根据题意设，则，运用韦达定理可得出点坐标，把其中一个代入解析式即可解答； （2）如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点，根据题意得到点坐标，分别计算，最后根据即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，所以四边形 、四边形是矩形，，用含的式子表示出、、的长，最后在中，利用勾股定理得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， 把，代入二次函数，解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点      ∵抛物线与y轴正半轴交于点， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为，则，解得，，， ∴，即， ∵点是第四象限内抛物线上一点，点的横坐标的， ∴，即，，，且，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∴四边形，四边形是矩形，， ∵，且， ∴，则，且， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，函数图象与坐标轴的交点，解题关键是根据问题恰当作出辅助线． 一十二．铅垂高、水平宽求面积最值 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入中得， 解得， 二次函数得表达式为； （2）解：在中，当时，或， ∴, 又∵， ∴， ∵的面积等于10， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，此时，方程无解，不符合题意； 在中，当时，解得或， ∴点P的坐标为或， ∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点， 设， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 将代入，得， 点的坐标为，的面积的最大值为． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求点C的坐标和直线l的解析式； (2)点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【答案】(1)，直线l的解析式为； (2)点P坐标为； (3)，的面积最大值为． 【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； （3）解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键． 3．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． 一十三．二次函数面积关系问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上一点且横坐标为，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合），直线平行于直线，以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴． (1)求的值； (2)当时，求的面积； (3)若坐标原点与的顶点的连线将的面积分成的两部分，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）由抛物线对称轴，即可求解； （2）由平面直角坐标系中的面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则将的面积分成的两部分，即或，即可求解；当点在轴下方时，无解即可得到答案． 【详解】（1）解：的对称轴为直线， ，解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，，则点， 直线平行于直线，且过点， 设直线的表达式为，将代入得，解得， 直线的表达式为， 点为抛物线上一点，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合）， 联立抛物线和直线的表达式，则，即，则，解得或， 当时，，则， 以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴，如图所示： 轴，且， 、， 点， ； （3）解：设点， 直线平行于直线，且过点， 设直线的表达式为，将代入得，解得， 直线的表达式为， 点为抛物线上一点，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合）， 联立抛物线和直线的表达式，则，即，则，解得或， 当时，，则， 以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴，如图所示： 轴，且， 、， 点，则， 轴， 直线表达式为， 是直线与抛物线的另一个交点，且纵坐标为，则，即，则，解得或，即， 当点在轴上方时，如图所示： 将的面积分成的两部分，即或， 由、可得，直线表达式为， 设直线的表达式为， 将点、代入表达式可得，则直线的表达式为， 联立方程得，解得，则， 或，解得（舍去）或或； 当点在轴下方时，如图所示： 此时，不能将的面积分成的两部分，此种情况不存在，无解； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，涉及二次函数图象与性质、直线与二次函数综合、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数与图形面积综合等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 2．如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）；，即可求解； （3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当时，当时，y值最小，最小值为；当时，当时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， 故抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：设点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 则点的坐标为， 设四边形的面积为， 则； 则， 则， ，故有最大值． 当时，的最大值为． （3）解：∵，， 又∵， ∴当时，y有最大值4， ∵函数y在内最大值为p，最小值为q， ∴， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， 综上，m的值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)① ②或 【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出； （2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可； ②根据等高三角形的面积比等于底边长之比以及三个三角形的面积公式，可以得出，，根据，，，共线，所以它们的长度也可以转化为横坐标差的关系，设的表达式，根据交点得出，的横坐标，从而可以求出直线的表达阿是，最后根据是直线和抛物线的交点求解即可． 【详解】（1）解：令，， ， 抛物线的对称轴直线为：， ， ； （2）解：令，则或， ，， 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ， 联立直线和的表达式： ， ， ①过作于，如图： ， 又， ， 又， ， 为等腰三角形， ， 即， 解得：， ； ②到直线的距离为定值， ，，等高， ， ， ， ， 联立直线和抛物线： ， 整理得：， ， ， ， 解得：， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、等高三角形的面积关系是本题解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； (3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解； （2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解； （3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可． 【详解】（1）解：将 ，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， ，， ； ， 二次函数图象的顶点坐标为； ， 当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值， 此时点P的坐标为； （3）解：由（2）得， 二次函数图象的对称轴为直线， 当时，，y有最大值0， ，y有最小值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值0， 最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 一十四．二次函数综合 1．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意． 【详解】解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得：， ∴线段的表达式为：， 当， 化简得：， 则， 解得：， 当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当符合题意； 当时，且抛物线经过点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当时符合题意， 综上所述：当或满足题意． 故答案为：或． 3．如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据平行四边形的性质由，即可求解； （3）设的圆心为T，当圆T和抛物线对称轴相切时，最大，再根据半径处处相等列方程即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， 得，解得：， 所以抛物线函数表达式为：； （2）由题意得，， 由（1）令，则，可得， 图1 ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得：， 直线的表达式为， 又过点作轴交抛物线于另一个点，且抛物线对称轴为， ， 联立直线和抛物线解析式可得，即， 解得（不符合题意，舍去）； 当为时，四边形是平行四边形； （3）如图1， 在对称轴上取异于点的任意一点，连接交圆于点，连接， 则， 而， 即， 故当经过点的圆与对称轴相切于点时，最大． 当的外接圆与对称轴相切时，切点即为使最大的点，如图2，点是外接圆圆心，即对称轴，设的坐标为，则， 令，则，解得， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、平行四边形的性质等，熟悉圆切线的性质是本题解题的关键． 4．已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图像与x轴交于点，与y轴交于点，连接． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式． ②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作轴，与线段AB交于点M，是否存在点P，能使得成立？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段有交点，求b的取值范围． 【答案】(1)①；②存在， (2) 【分析】（1）①将，两点坐标代入抛物线的解析式求得，．从而得出结果； ②求出的解析式，设，则，从而表示出，，再列出关于m的方程，从而求得的值，进而求得点坐标； （2）分为和两种情形．进行讨论，求出的范围． 【详解】（1）由题意得， ①， ， ； ②设直线的函数表达式： ∵，， ，解得， ∴直线的函数表达式： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解之，得：，， ∵P与A不重合， ∴，即 （2）由题意得：，， ∴，，， ∴， ∵在上， ∴， ∴ ①当时，即时， ∵该抛物线与线段有交点 ∴， ∴   ②当时，令时， ∴，   ③当时， 令时，， ∴， ∴当时，该抛物线与线段有交点， 综上， 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合． 5．如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标； (3)将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，求的值； ②当的值最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①8；②． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点的横坐标为，则，点，则，即可求解； （3）①由点、的坐标得，直线的表达式为：，即可求解； ②作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，即可求解． 【详解】（1）将，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）过点作轴于点，交线段于点， 设直线的解析式为， 将，代入，得； ，解得： ∴直线的解析式为：； 设点的横坐标为， 则，点， ∴， ∵， 解得， ∴， 故答案为：； （3）①由题意得，点、、的坐标分别为：、、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故答案为：8； ②设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 由题意得，点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， ∵点关于直线对称的点是点， ∴， ∴， 设直线解析式是：， 将点，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键． 6．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)代数式的最小值为 ； 【类比应用】 (3)试判断代数式与的大小，并说明理由． 【知识迁移】 (4)如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．    【答案】(1)4； (2)； (3)，理由见解析； (4) 【分析】（1）根据完全平方公式的特征添加即可得解； （2） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （3）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴； （4）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 7．“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知，是平面直角坐标系内的两点，我们将称作，间的“型距离”，记作，即．已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标分别为，，点C在直线上运动，且满足． (1)求； (2)求抛物线的表达式； (3)已知是该坐标系内的一个一次函数．若D，E是图象上的两个动点，且，求面积的最大值． 【答案】(1)5 (2) (3)10 【分析】（1）根据题干中对于“L型距离”的定义，即可求解； （2）根据二次函数经过点A、B、C三点，所以只要求出C点坐标即可：根据点C在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出m的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式； （3）根据的一边长度固定等于4，所以只要求出顶点C到的最大距离即可：由所在的直线过固定点，故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点C到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵点C在直线上运动， ∴设点，且 由平面上两点间距离，利用勾股定理得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵二次函数的图像经过， ∴设 ∴代入解析式得： 解方程组得： ∴抛物线的表达式为； （3）∵ 令时， ∴直线恒过定点 ∴直线的图像是绕点旋转的直线， ∴当直线时，点C到的距离最大，面积也最大，即， ∵， ∴面积最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键． 8．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）． (1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的明德点是 ___________； (2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)①不是；②（2，4）或（0，0） (2)且 (3)或 【分析】（1）根据定义，即可得到结果； （2）根据抛物线上有两个“明德点”，可知，得到，求解一元二次不等式方程即可； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知 ，得到方程，再进行分类讨论即可求出值． 【详解】（1）①时无解， 不是“明德函数”； ②根据定义， 解得：，， 明德点是（2，4）或（0，0）； （2）抛物线是“明德函数”， ， 整理得：， 抛物线上有两个“明德点”， ， 即， 解得：， ， ， 的取值范围为且； （3）函数的图像上存在唯一的一个“明德点”， ，且， ， 即， ， 是关于的二次函数，对称轴为， ①若，则当，时，有最小值， ，即， 解得：或（舍去）； ②若 ，则当时，有最小值， ，即， ， 方程没有实数根； ③若，则当时，有最小值， ， 解得， 综上可知：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键． $$