专题07 实数（考题猜想，易错必刷63题19种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题07 实数（易错必刷63题19种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的概念理解 题型二 求一个数的（算术）平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 与算术平方根有关的规律探究 题型六 利用平方根解方程 题型七 平方根的应用 题型八 立方根的概念理解 题型九 求一个数的立方根 题型十 立方根的实际应用 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用题型十二 实数概念理解 题型十三 实数的分类 题型十四 无理数整数部分的有关计算 题型十五 程序设计与实数运算 题型十六 新定义实数运算 题型十七 与实数运算相关的规律题 题型十八 近似数 题型十九 实数运算汇总 一．平方根的概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 2．平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为 ． 3．与是同一个正数的平方根，求a的值． 二．求一个数的（算术）平方根 1．化简的结果是（    ） A．3 B． C． D．9 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 三．利用算术平方根的非负性解题 1．已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 3．解答下列各题 (1)已知，求的平方根． (2)已知为实数，且．求的值． 四．估计算术平方根的取值范围 1．已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 3．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 五．与算术平方根有关的规律探 1．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 2．按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 3．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 六．利用平方根解方程 1．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得． 解决问题： （1）解⽅程． 解：， ，或 ． ． （2）解⽅程：的根为 ． 3．解方程： (1)； (2) 七．平方根的应用 1．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 2．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 3．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 八．立方根的概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 2．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 3．如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根． 九．求一个数的立方根 1．一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 2．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 3．（1） 已知的平方根是，的平方根是，求的算术平方根； （2） 若x，y都是实数， 且，求的立方根． 一十．立方根的实际应用 1．地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据： 地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：） 地球仪A 地球仪B 已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（    ） A． B． C． D． 2．如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 3．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 一十一．算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 2．若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 3．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 一十二．实数概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 3．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 一十三．实数的分类 1．下列说法：①所有无限小数都是无理数，②所有无理数都是无限小数，③不是有限小数的不是有理数，④绝对值最小的实数是0，⑤数轴上的每一个点都表示一个有理数，⑥带根号的数都是无理数，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ． （2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 一十四．无理数整数部分的有关计算 1．的整数部分是a，的整数部分是b，则a、b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知实数a、b互为倒数，c是的整数部分，d是的小数部分，则的值为 ． 3．阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 一十五．程序设计与实数运算 1．根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 2．小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 3．一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 一十六．新定义实数运算 1．定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 2．定义为不大于x的最大整数，若，则x的最大整数为 ． 3．阅读理解，并解决问题： 若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①． (1)填空： ， ， ； (2)利用题中不等式①，求出满足的所有解． 一十七．与实数运算相关的规律题 1．有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列等式： …… 则的值为 ． 3．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 一十八．近似数 1．用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千位） D．万（精确到万位） 2．用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为 ． 3．按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 一十九．实数运算汇总 1．求值： (1)； (2)． 2．已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 3．计算： （1）； （2）； 求等式中x的值： （3）； （4） 4．计算 (1) (2) 5．计算 6．求下列各式的值： (1) (2) 7．计算下列各题 (1) (2) 8．计算： (1) (2) 9．计算： (1)； (2)； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题07 实数（易错必刷63题19种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的概念理解 题型二 求一个数的（算术）平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 与算术平方根有关的规律探究 题型六 利用平方根解方程 题型七 平方根的应用 题型八 立方根的概念理解 题型九 求一个数的立方根 题型十 立方根的实际应用 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用题型十二 实数概念理解 题型十三 实数的分类 题型十四 无理数整数部分的有关计算 题型十五 程序设计与实数运算 题型十六 新定义实数运算 题型十七 与实数运算相关的规律题 题型十八 近似数 题型十九 实数运算汇总 一．平方根的概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性． 根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1， ∴或1， ∴或1， 故答案为：0或1． 3．与是同一个正数的平方根，求a的值． 【答案】或 【分析】 本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有2个，互为相反数，可知与相等或互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或． 二．求一个数的（算术）平方根 1．化简的结果是（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根计算．根据题意先将根式中计算出来，再开根号即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴得到，，再根据算术平方根的定义化简后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a，再求出这个数即可； （2）先根据a的值，求出的值，再求出其算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：由（1）知， ∴． 三．利用算术平方根的非负性解题 1．已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式是解题关键． 先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 2．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴解得 ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 3．解答下列各题 (1)已知，求的平方根． (2)已知为实数，且．求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了算术平方根与平方根、一元一次不等式组，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）先根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先根据算术平方根的被开方数的非负性可得，代入可求出的值，再求算术平方根即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 四．估计算术平方根的取值范围 1．已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 2．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【详解】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 【答案】x在10和11之间 【分析】本题考查勾股定理和确定实数的取值范围，先利用勾股定理求出x，再根据确定算术平方根的取值范围的方法即可得解． 【详解】解：由勾股定理得，． 因为，，且， 所以， 即x在10和11之间． 五．与算术平方根有关的规律探 1．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【答案】 0.02 0.2 2 20 26.83 0.02683 3800 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ，； ， ， ∵， ． 故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800． 3．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 六．利用平方根解方程 1．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方根应用，根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键．令，得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 2．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得． 解决问题： （1）解⽅程． 解：， ，或 ． ． （2）解⽅程：的根为 ． 【答案】 0 2， 【分析】本题考查了利用平方根性质进行求解方程，熟练掌握平方根性质是解题关键． （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用开平方的方法解方程即可． 【详解】解：（1）解：， ，或． 0． （2）， ， ， ，或． ． 故答案为：；0；，． 3．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 七．平方根的应用 1．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 2．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 12 【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（），矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，进而求出a值，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（）， 由图②可得，小正方形的边长为b， ，即， ∴围成的矩形长为：， ∴围成的矩形面积为：， ∵矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 矩形的周长为：， 故答案为：2，12． 【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间关系进行求解． 3．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 八．（立方根的概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． 2．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则． 故答案为：2；；． 3．如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出a、b，再代入A、B求出结果，进而得到的平方根． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 九．求一个数的立方根 1．一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据一个整数a的两个平方根是和，得到，求得，结合，计算的立方根即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个整数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．（1） 已知的平方根是，的平方根是，求的算术平方根； （2） 若x，y都是实数， 且，求的立方根． 【答案】（1）5 （2）3 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、平方根和立方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的非负性求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的平方根是， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 一十．立方根的实际应用 1．地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据： 地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：） 地球仪A 地球仪B 已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义及性质即可求得答案．本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】解：设地球仪的半径为， 则， 那么， ， 由表格数据可得， 则， 即它的半径约为， 故选：B． 2．如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故答案为：36． 3．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 一十一．算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 2．若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 3．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根、算术平方根、不等式的相关知识，读懂题目中得变换是解题的关键． （1）根据A变换的方式进行，要理解不小于三个字的意思； （2）先求出m经过一次B变换得到，再得到等式求解即可； （3）根据x经过一次A变换得到a，得到不等式组，再根据经过一次B变换得到1，算出即可求解， 【详解】（1）解：11经过一次A变换， ， 得到的数是， 故答案为：； （2）解：m经过一次B变换得到b， ， ， 即， 解得：， ； （3）解：x经过一次A变换得到a， ， 再经过一次B变换得到1， ， 解得：， 一十二．实数概念理解 1．下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 3．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 一十三．实数的分类 1．下列说法：①所有无限小数都是无理数，②所有无理数都是无限小数，③不是有限小数的不是有理数，④绝对值最小的实数是0，⑤数轴上的每一个点都表示一个有理数，⑥带根号的数都是无理数，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数，无理数的含义，绝对值的含义，数轴上的点表示的数，掌握以上基础知识是解题的关键．整数与分数统称有理数，无限不循环的小数是无理数，一个数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的绝对值，数轴上的点与实数一一对应，根据以上知识逐一分析即可判断． 【详解】解：无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，原说法错误，故①不符合题意； 所有的无理数都是无限小数，正确，故②符合题意； 无限循环小数也是有理数，例如不是有限小数，但是它是有理数，原说法错误，故③不符合题意； 绝对值最小的实数是0，正确，故④符合题意； 数轴上的每一个点都表示一个实数，原说法错误，故⑤不符合题意； 带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，故⑥不符合题意； 综上分析可知：正确的个数有2个，故C正确． 故选：C． 2．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ． （2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个． 【答案】 30 2 【分析】本题考查实数及估算无理数的大小，能够熟记个位数的平方数是解答本题的关键． （1）由有理数去估算无理数，然后根据，是两个连续的整数，得到与值，最后求出； （2）根据整数的意义，即可解答． 【详解】（1）解：，且，是两个连续的整数， ，， ． 故答案为：30． （2）解：，， 在实数，0，，1.010010001，4.21，，中，整数有0，， 共有2个， 故答案为：2． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 【答案】，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数、无理数、正数和负数的定义即可判断求解，掌握实数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：有理数集合{，，，，，，}； 无理数集合{，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 正数集合{，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 负数集合{，，}； 故答案为：，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 一十四．无理数整数部分的有关计算 1．的整数部分是a，的整数部分是b，则a、b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，正确估算是解答本题的关键．通过估算求出a、b的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2．已知实数a、b互为倒数，c是的整数部分，d是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据倒数的定义可得，再利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可．本题考查实数的运算及估算无理数的大小，结合已知条件求得，，的值是解题的关键． 【详解】解：实数、互为倒数， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 3．阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估测，解题的关键是熟练掌握无理数的估测方法，准确进行计算． （1）根据即可得出的整数部分和小数部分； （2）根据题意求出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）解：∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∵， ∴． 一十五．程序设计与实数运算 1．根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式． 【详解】解：， ． 故选：D． 2．小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序图的运算，求算术平方根和立方根，无理数的判断，相反数的概念等知识，解题的关键是根据题意列出算式． 根据程序图将代入利用算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】当输入的x值为2时， ∴64的算术平方根为8，是有理数 ∴8的立方根为2，是有理数， ∴2的算术平方根为，是无理数 ∴输出 ∴y的相反数为． 故答案为：． 3．一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 一十六．新定义实数运算 1．定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 2．定义为不大于x的最大整数，若，则x的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的最大整数为35， 故答案为：35． 3．阅读理解，并解决问题： 若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①． (1)填空： ， ， ； (2)利用题中不等式①，求出满足的所有解． 【答案】(1)4，， (2)或 【分析】本题考查了新定义下的解一元一次不等式组， 根据新定义即可求得对应的答案； 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：4，，； （2）解：依题意，得， 解得， ，， 是整数，即是整数， 或， 解得或． 的所有解为或． 一十七．与实数运算相关的规律题 1．有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 2．观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 一十八．近似数 1．用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千位） D．万（精确到万位） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，只需要对下一位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，原选项正确，不符合题意； 、精确到百位为，原选项错误，符合题意； 、精确到千位是，原选项正确，不符合题意； 、精确到万位是万，原选项正确，不符合题意； 故选：． 2．用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为 ． 【答案】1.83 【分析】本题考查近似数．根据近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，即可得到答案． 【详解】解：1.825精确到0.01的值为1.83. 故答案为：1.83 ． 3．按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 【答案】(1)（精确到十分位）； (2)0.0041（精确到0.0001）； (3)9.0（精确到0.1）； (4)（精确到十位）； (5)（精确到千位）； (6)（精确到千位） 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1 ）先用科学记数法表示，然后把百分位上的数进行四舍五入即可； （2 ）把十万分位上的数7进行四舍五入即可； （3 ）把百分位上的数7进行四舍五入即可； （4 ）先用科学记数法表示，然后把个位上的数7进行四舍五入即可； （5 ）先用科学记数法表示，然后把百位上的数进行四舍五入即可； （6 ）把3进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）； （2）解：（精确到0.0001）； （3）解：（精确到0.1）； （4）解：（精确到十位）； （5）解：（精确到千位）； （6）解：（精确到千位）． 一十九．实数运算汇总 1．求值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根与立方根是解题的关键． （1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解：由原方程得：， 解得：或； （2）解：原方程整理得：， 则， 解得：． 2．已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)这个正数是25 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义得出，求解即可； （2）根据平方根的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ． （2）解：x，y是同一个正数的两个不同的平方根， ， ， 这个正数是， 这个正数是25． 3．计算： （1）； （2）； 求等式中x的值： （3）； （4） 【答案】（1）12；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查了实数的混合运算、利用平方根和立方根的意义解方程等知识. （1）利用算术平方根、立方根、零指数幂进行计算即可； （2）利用算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算即可； （3）变形后利用平方根的意义解方程即可； （4）变形后利用立方根的意义解方程即可. 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ∴， 则， ∴； （4） ∴， 则， 解得 4．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求立方根和算术平方根再加减计算； （2）先求立方根和算术平方根再加减计算． 【详解】（1）解： =； （2）解： ． 5．计算 【答案】 【分析】先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、算术平方根、绝对值、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 6．求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值的运算． （1）先利用算术平方根、立方根的性质进行化简，再进行加减即可； （2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的定义化简，再求值是解题的关键． （1）先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可； （2）先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： （2） 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． $$