【北师大版 八年级】 第一次月考测试卷（考试范围：第一章～第二章）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练

第一次月考测试卷 【北师大版 八年级】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章--第2章 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 4．已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 5．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．2，5，6 D．9，40，41 6．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（   ） A．42 B．27 C．12 D．10 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 10．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．9 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，小明从点出发向正北方向走米到达点，接着向正东方向走了米到点，此时小明离点 米． 12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 13．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 14．如图中，于点D，若，，，则 ． 15．如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 16．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，长比长大，，是上一点，且，，求长． 18．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 19．计算： (1)． (2)． 20．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，，…… (1)填空 ___________ ； ______________． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 22．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分 ； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求的值； (3)已知，其中x是正整数，，则的值是 ． 23．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 25．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考测试卷 【北师大版 八年级】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章--第2章 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法计算，求一个数的立方根，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 3．实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 4．已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根定义，无理数估算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方根定义及无理数的估算得到a，b的值是解题的关键． 根据平方根定义得到，利用无理数估算得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是25的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，； 当时，； 故选：C． 5．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．2，5，6 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； B、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； C、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； D、，能构成勾股数，故该选项符合题意． 故选：D． 6．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先得分别在哪两个连续整数之间，再求出的值，最后比较，，的大小关系． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（   ） A．42 B．27 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：． 故选：C． 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简二次根式，根据非负数的性质得到，则，据此计算出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 10．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理．先求出，，，再根据进行计算即可． 【详解】解：直角三角形中，，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，小明从点出发向正北方向走米到达点，接着向正东方向走了米到点，此时小明离点 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．根据题意运用勾股定理进行列式、求解． 【详解】解：由题意得，米，米 由勾股定理，得， （米）， 故答案为：． 12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，算术平方根，掌握是解题的关键． 由数轴得，则，可化为，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故答案为：． 13．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，算术平方根的非负性，先根据和互为相反数，得出，求出，，然后再求出的值，最后求出的平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 14．如图中，于点D，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，线段的和差计算，是解题关键． 根据勾股定理求出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵于点D，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由题意得，，则， ∴，（平行线间间距相等）， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 16．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了新定义题型，二次根式混合运算，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算． 根据※的定义转化为一般的式子，然后进行化简即可求解． 【详解】解∶ ． 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，长比长大，，是上一点，且，，求长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，在中，由勾股定理得进而得在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 在中，， ∴ ∵长比长大，， ∴ 在中， ∴即， 解得 18．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 【答案】水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺．根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：如图，依题意得，，． ∵ G为的中点， 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺． 在中，根据勾股定理可得， 即 解得， ． 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义和立方根定义进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)15或 【分析】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键． （1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出的值； （2）根据，得到a、b异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴或， 即a+b的值为或； （2）解：∵， ∴a，b异号， ∴，或，， ∴当，，时，， 当 ，，时，， ∴或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，，…… (1)填空 ___________ ； ______________． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算以及分母有理化，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分子，分母同乘以有理化因式即可得到答案； （2）利用分母有理化得到，然后合并后利用平方差公式计算； （3）先分子有理化，再比较即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）∵， ， 又 ∴． 22．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分 ； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求的值； (3)已知，其中x是正整数，，则的值是 ． 【答案】(1)2 (2)0 (3)8 【分析】本题主要考查二次根式的加减及估算无理数的大小． （1）估算出的取值范围，进而可得出结论； （2）估算出的取值范围，然后求出，的值，再代入即可得出答案； （3）由（1）和已知条件可得出，的值，然后代入即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2． 故答案为：2． （2）解：， ， 的整数部分3， 的小数部分， ∴， ． （3）解：∵， ∴， ，其中是正整数，， ，， ． 23．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【答案】(1)2， (2)①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：2，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 25．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何表示形式，勾股定理几何意义，圆面积公式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形分别表示出图2中的大正方形的面积和图3中的大正方形的面积即可； （2）根据结论进行等量代换，即可解题； （3）根据图形和圆的面积公式分别表示出，，，再根据建立等式，结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ， 故答案为：，． （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：； ，即， 所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：； 故答案为：，； （3）解：由图知， ，， ， ， ， ， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$