1.4.1一元二次函数练习——2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修 第一册

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.不论m取何实数,抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.在直线y=x上 B.在直线y=-x上 C.在x轴上 D.在y轴上 2.[2024·江西南昌聚仁高级中学高一月考] 在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=bx+c(b≠0)的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 (　 ) A B C D 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0.其中正确结论的个数是(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数y=x2+bx+c的图象的对称轴方程是x=1,且图象经过点A(3,0),则当x=-1时,y的值为 (　 ) A.6 B.2 C.0 D.-4 5.已知函数y=-x2+2x,则当x∈[0,3]时,该函数的最小值和最大值分别为 (　 ) A.0,3 B.-3,0 C.-3,1 D.0,1 6.若函数y=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是 (　 ) A.b<1 B.b>1 C.0<b<1 D.b< 7.已知函数y=3x2-2(m+3)x+m+3的最小值为0,则实数m的取值集合为 (　 ) A.{0,-3} B.[-3,0] C.(-∞,-3)∪[0,+∞) D.{0,3} 8.(多选题)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0),…,求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息,下列关于题中的二次函数图象的说法正确的是 (　 ) A.截x轴所得线段的长度是2 B.与y轴交于点(0,3a) C.顶点是(-2,-2) D.过点(3,0) 9.(多选题)[2024·山西运城教育发展联盟高一月考] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下面结论中正确的是 (　 ) A.2a+b=0 B.4a+2b+c>0 C.a-b+c=0 D.当y>0时,-1<x<4 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知二次函数的图象过点(0,3),图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为　　　　　　　.  11.若函数y=(m-1)x2-x+1的图象总在x轴的上方,则实数m的取值范围为　　　　.  12.已知函数y=kx2-2kx(k≠0)在[0,3]上的最大值为3,则k=　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知抛物线y=ax2+6x-4与直线y=6x相交于点A(2,m). (1)求a的值; (2)请问该抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象? 14.(10分)已知点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值. (1)求该函数的解析式; (2)求函数在[-1,3]上的最大值与最小值. 15.(5分)[2024·湖南株洲二中高一月考] 函数y=|x2+bx|-4(b为常数)有下列结论: ①无论b为何值,该函数的图象都经过定点(0,-4);②若b=-2,则当x<1时,y随x的增大而减小;③该函数图象关于y轴对称;④若该函数图象与x轴有3个交点,则b=±4.其中正确的结论是　　　　(填序号).  16.(15分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象过A(0,1),B(1,5)两点,且该图象的对称轴的方程为x=-. (1)求该二次函数的表达式; (2)当2≤x≤6时,函数y=ax2+(b-2m)x+c的最大值为G(m),最小值为H(m),令h(m)=G(m)-H(m),求h(m)的表达式. §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 1.B　[解析] 抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点坐标为(-m,m),因此,不论m取何实数,该抛物线的顶点都在直线y=-x上.故选B. 2.D　[解析] 根据一次函数y=bx+c(b≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0,b>0,c<0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴方程为x=-<0,D正确.故选D. 3.C　[解析] 由题意可知图象的开口向下,可得a<0,所以①错误;图象与y轴交于正半轴,可得c>0,所以②正确;图象与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,所以③正确.所以正确的结论有2个,故选C. 4.C　[解析] 由函数图象的对称轴方程为x=-=1,得b=-2,由函数图象过点A(3,0),得9+3b+c=9-6+c=0,解得c=-3,∴y=x2-2x-3.则当x=-1时,y=(-1)2-2×(-1)-3=0. 5.C　[解析] 易知函数y=-x2+2x的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=1,所以易知当x=1时,函数y=-x2+2x取得最大值,最大值为1;当x=3时,y=-x2+2x取得最小值,最小值为-3.故选C. 6.C　[解析] 易知函数y=x2-2bx+3a的图象的对称轴为直线x=b,根据题意可得0<b<1,故选C. 7.A　[解析] ∵函数y=3x2-2(m+3)x+m+3的最小值为0,∴Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,∴m=-3或m=0,∴实数m的取值集合为{0,-3}. 8.ABD　[解析] 因为函数图象过点(1,0),且对称轴是直线x=2,所以函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),故D正确;因为函数图象与x轴交于点(1,0),(3,0),所以函数图象截x轴所得线段的长度为2,故A正确;因为函数图象的对称轴为直线x=2,故二次函数图象的顶点横坐标为2,故C错误;由题知得b=-4a,c=3a,所以y=a(x2-4x+3),令x=0,得y=3a,所以函数图象与y轴交于点(0,3a),故B正确.故选ABD. 9.ABC　[解析] 根据图象可得-=1,即b=-2a,A正确;由对称性知当x=-1或x=3时,y=0,所以当x=2时,y>0,所以4a+2b+c>0,a-b+c=0,当y>0时,-1<x<3,B,C正确,D错误.故选ABC. 10.y=(x-2)2+1　[解析] 因为二次函数的图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,所以二次函数的图象的顶点坐标为(2,1).设此二次函数的解析式为y=a(x-2)2+1(a≠0),又因为二次函数的图象过点(0,3),代入可得a=,所以此二次函数的解析式为y=(x-2)2+1. 11.　[解析] 当m=1时,y=-x+1,它的图象不总在x轴的上方,不符合题意;当m≠1时,由题意可得解得m>.综上,实数m的取值范围为. 12.1或-3　[解析] 易知函数y=kx2-2kx=k(x-1)2-k(k≠0)的图象的对称轴为直线x=1.当k>0时,函数的图象开口向上,所以当x=3时,y取得最大值,最大值为9k-6k=3,得k=1;当k<0时,函数的图象开口向下,所以当x=1时,y取得最大值,最大值为-k=3,得k=-3.综上,k=1或-3. 13.解:(1)∵点A(2,m)在直线y=6x上,∴m=6×2=12. 把x=2,y=12代入y=ax2+6x-4中,求得a=1,∴y=x2+6x-4. (2)y=x2+6x-4=(x+3)2-13,∴其图象的顶点坐标为(-3,-13).∴把抛物线y=x2+6x-4向右平移3个单位长度得到y=x2-13的图象,再把y=x2-13的图象向上平移13个单位长度得到y=x2的图象. 14.解:(1)因为点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值,所以有解得 所以该函数的解析式为y=-x2+4x-3. (2)易知该函数图象的开口向下,且对称轴为直线x=2∈[-1,3],所以当x=2时,y取得最大值,最大值为-4+8-3=1.因为直线x=-1离直线x=2更远,所以当x=-1时,y取得最小值,最小值为-1-4-3=-8. 15.①④　[解析] ①当x=0时,y=-4,所以①正确;②若b=-2,则y=|x2-2x|-4,设(x1,y1),(x2,y2)满足上式,取x1=0,则y1=-4,取x2=,则y2=-,此时x1<x2<1,但y1<y2,不满足y随x的增大而减小,所以②错误;③函数y=|x2+bx|-4的图象是把y=x2+bx在x轴上方的图象不动,下方的图象沿x轴翻折,之后再把图象向下平移4个单位得到的,上述翻折和平移不改变函数图象的对称轴,则函数图象的对称轴为直线x=-,所以③错误;④函数y=x2+bx的图象的顶点坐标为,则由③的变换知函数y=|x2+bx|-4的图象的顶点坐标为,若该函数图象与x轴有3个交点,则-4=0,解得b=±4,所以④正确.故正确的结论为①④. 16.解:(1)由题可得解得 即y=2x2+2x+1. (2)y=ax2+(b-2m)x+c=2x2+(2-2m)x+1,其图象的对称轴方程为x=. ①当<2,即m<5时,G(m)=85-12m,H(m)=13-4m,h(m)=72-8m; ②当2≤≤4,即5≤m≤9时,G(m)=85-12m,H(m)=,h(m)=m2-13m+; ③当4<≤6,即9<m≤13时,G(m)=13-4m,H(m)=,h(m)=m2-5m+; ④当>6,即m>13时,G(m)=13-4m,H(m)=85-12m,h(m)=8m-72. 综上,h(m)= 学科网（北京）股份有限公司 $$