24.5（2）相似三角形的性质课件 2024-2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.5(2)相似三角形的性质 相似三角形的性质定理： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 复习回顾—相似三角形的性质定理1 ∵△ABC ∽△A1B1C1 ， AD、AE、AH分别是△ABC角平分线、中线、高线 A1D1、A1E1、A1H1分别是△A1B1C1角平分线、中线、高线 ∴===k 复习回顾 1、已知△ABC ∽△A1B1C1 ，且相似比k=2，AC与A1C1为对应边， AC边上的中线长为9， A1C1边上的中线长为 . 2、如果在△ABC 中，E、D分别是AB、AC上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G， AF⊥DE于点F， 若AD=3，AB=5，则= . 三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见相似三角形的周长比和面积比与相似比之间有直接的关系. 4.5 ③ 填表 相似比 周长比 面积比 ②与① ③与① 【思考】图中①、②、③分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似． ① ② 1、相似三角形的周长比等于 . 2、相似三角形的面积比等于 . 相似比 相似比的平方 1、相似三角形的周长比 已知：如图，△ABC ∽△A1B1C1，且相似比是k. 顶点 A、B、C 分别与A1、B1、C1对应. 求证： =k 证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比是k 顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应 ∴ ∴ ∴ = 相似三角形的性质定理2： 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的性质定理2 ∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比是k ∴ =k 相似三角形的性质定理1和2可以概括为： 相似三角形中对应线段(高、中线、角平分线)及周长的比都等于相似比 ∴ = 2、相似三角形的面积比 已知：如图，△ABC ∽△A1B1C1，且相似比是k. 顶点 A、B、C 分别与A1、B1、C1对应. 求证： =k2 证明：作AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 ∵△ABC∽△A1B1C1 ∴==k 则S△ABC =BC∙AD，S△A1B1C1=B1C1 ∙ A1D1 D ┐ D1 ┐ ∴ =kk=k2 相似三角形的性质定理3： 相似三角形的面积比等于相似比的平方 相似三角形的性质定理3 ∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比是k ∴ ==k2 【练习】1、已知两个三角形相似，根据下表数据填表： 相似比 = 5 周长比 = = 面积比 = 100 0.01 2、（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍， 那么这个三角形面积扩大为原来的 倍； （2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍， 那么这个三角形的边长扩大为原来的 倍. 【例1】已知：△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应， 它们的周长分别是48和60，且AB=12，B1C1=25. 求BC、A1B1的长 ∵△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应 ∴ （相似三角形周长的比等于相似比） ∵ =48, =60, AB=12，B1C1=25 ∴ ∴ A1B1=15，BC=20 【例2】如图，已知点D、E分别在△ABC的边 AB和AC上，DE//BC， DE=6，BC=9， S△ADE =16 . 求S△ABC的值. 问1、由DE//BC你能得出什么结论？ △ADE∽△ABC 问2：由△ADE∽△ABC又能得出什么结论？ = ∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC ∵ DE=6，BC=9， S△ADE =16 ∴ = ∴S△ABC=36 ∴ = （相似三角形的面积比等于相似比的平方） 【变式1】如图，已知点D、E分别在△ABC的边 AB和AC上，DE//BC， = . 求的值. ∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC ∵ = ∴= ∴ = ∴ = 【变式2】如图，已知点D、E分别在△ABC的边 AB和AC上，DE//BC，过点E作EF∥AB，与边AB相交于点F，DE=6，BC=9， S△ADE =16 . 求S四边形BFED的值. F $$