24.4（4）相似三角形的判定课件 2024-2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.4 (4) 相似三角形的判定 ——直角三角形相似的判定 1、相似三角形判定定理1 两角对应相等， 两个三角形相似 在△ABC和△A1B1C1中 ∠A=∠A1 ∠B=∠B1 ∴△ABC∽△A1B1C1 2、相似三角形判定定理2 两边对应成比例且夹角相等， 两个三角形相似 在△ABC和△A1B1C1中 = ∠A=∠A1 ∴△ABC∽△A1B1C1 复习回顾 3、相似三角形判定定理3 三边对应成比例， 两个三角形相似 在△ABC和△A1B1C1中 ∵ == ∴△ABC∽△A1B1C1 当两个三角形为直角三角形时： （1）由判定1可知：两角对应相等，两个三角形相似 A B C A1 B1 C1 有一对锐角对应相等的两个Rt△相似 在△ABC和△A1B1C1中 ∠A=∠A1 ∠C=∠C1 =90° ∴△ABC∽△A1B1C1 两直角边对应成比例的两个Rt△相似 在△ABC和△A1B1C1中 = ∠C=∠C1 =90° ∴△ABC∽△A1B1C1 ┐ ┐ （2）由判定2可知：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 A B C A1 B1 C1 ┐ ┐ 直角三角形相似的判定 问1：除了 (ASA、AAS、SAS、SSS) 四种全等判定的方法外， 判定直角三角形全等还有什么方法？ H·L 问2：如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1 中，已知∠C=∠C1 =90°， = ， 则△ABC与△A1B1C1相似吗？为什么？ 【分析】 已知：两边对应成比例 思路1：夹角相等(判定2) 思路2：三边对应成比例(判定3) ∠C=∠C1不是夹角 ╳ 由直角三角形→利用勾股定理 得三边对应成比例 斜边与直角边 对应成比例 ∥ ∥ ○ ○ 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1 中，已知∠C=∠C1 =90°， = ， 求证：△ABC∽△A1B1C1 ∵∠C= 90° ， ∠C1 =90° ∴BC2=AB2AC2 ，B1C12=A1B12A1C12 设 = =k，则=k， =k ∴BC2=k2(A1B12A1C12)=k2B1C12 ∴BC=kB1C1 即：=k ∴ = = 直角三角形相似的判定 直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三 角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似. 符号语言 在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中 ∵= ∴△ABC∽△A1B1C1 直角三角形相似的判定 A B C A1 B1 C1 【例1】已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠D=90，AD=a，BC=b，AC=， 求证：DC⊥BC a b 要证DC⊥BC ∠BCD=90 ∠DCA+∠ACB=90 ∠ACB+∠B=90 ∠BAC=90 ∠DCA=∠B ∴△ABC∽△ACD (题目已知“边”的条件) 【例1】已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠D=90，AD=a，BC=b，AC=， 求证：DC⊥BC a b 证：∵∠BAC=∠D=90 ∴△ABC和△ACD是直角三角形 ∵AD=a，BC=b，AC= ∴AC2=ADBC ∴= 在Rt△ABC和Rt△ ACD中 ∵ = ∴ Rt△ABC∽Rt△ACD ∴∠DCA=∠B ∵∠B+∠ACB=90 ∴∠DCA+∠ACB=90 ∴∠DCB=90 即：DC⊥BC 练习册P13 $$