专题02 有理数（考题猜想，压轴必刷36题7种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题02 有理数（压轴必刷36题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上的动点问题 题型二 绝对值的化简求值 题型三 绝对值的几何意义求最值 题型四 有理数的混合运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 有理数运算的实际应用压轴 题型七 有理数新定义运算压轴 一．数轴上的动点问题 1．如图，在数轴上所对应的数为． （1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______． （2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． （3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 2．发现：如图，在数轴上，若点A对应的有理数为，点B对应的有理数4，则点B可以看作点A向右移动6个单位得到的，用式子可以表示成，点A可以看作点B向左移动6个单位得到的，用式子可以表示成____________． 应用：已知点A在数轴上对应的有理数为m，将点A向右移动10个单位长度，再向左移动2个单位长度与点B重合，点B对应的有理数为4． ①求m； ②以B为原点把数轴的单位长度扩大倍，若点C移动2个单位后，与单位长度扩大后的点O距离单位，求点C表示的数． 3．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 4．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． (1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； (2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； (3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 5．数学课上李老师和同学们玩一个找原点的游戏． (1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．    ①如果点A所表示的数是，那么点B所表示的数是______________； ②请在图1中标出原点O的位置； (2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮她标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；    (3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如），且．    ①试求a的值； ②若点D也在这条数轴上，且，设D点所表示的数为d，求d的值． 6．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是__________；数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3，则点表示的数是__________ （3）的几何意义是数轴上表示有理数__________的点与表示的点之间的距离； 【拓展延伸】 （4）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 7．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 8．若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 9．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 10．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 二．绝对值的化简求值 1．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 3．如果，且，那么 ． 4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 5．（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    三．绝对值的几何意义求最值 1．将1，2，3，…，16这16个数按某种顺序排成一列，使得任意相邻的三个数之和不小于，那么能取的最大值是(    )． A．25 B．26 C．27 D．28 2．学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则： ①表示的实际意义是 ． ②的最小值是 ． ③的最小值是 ． 3．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ； (2)①当代数式取最小值时，x的取值范围是 ． ②求的最小值为 ． (3)有理数，，，且． 在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：．    4．表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ； (3)若x为有理数，则的最小值为 ． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于. (1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求__________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______. (5)当_______时，的值最小，最小值是_______. (6)若x表示一个有理数，求的最小值是_______. 四．有理数的混合运算 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 五．有理数的规律计算问题 1．如图是一个“数值转换机”，若输入的数，则输出的结果为 ． 2．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 3．观察下面的变形规律： ，，，……， 解答下面的问题： （1） ， ． （2）若n为正整数，猜想 ． （3）求值． 4．请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 六．有理数运算的实际应用压轴 1．出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 2．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 （1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个． （2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 3．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： （1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩　 　个． （2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量． （3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？ （4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元． 星　期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8 七．有理数新定义运算压轴 1．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（　　） A．2023 B．2022 C． D． 2．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝ ． 3．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 4．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 5．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 6．在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”． (1)若，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且是的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 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若，重合， 则， 即， 解得． 综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键． 2．发现：如图，在数轴上，若点A对应的有理数为，点B对应的有理数4，则点B可以看作点A向右移动6个单位得到的，用式子可以表示成，点A可以看作点B向左移动6个单位得到的，用式子可以表示成____________． 应用：已知点A在数轴上对应的有理数为m，将点A向右移动10个单位长度，再向左移动2个单位长度与点B重合，点B对应的有理数为4． ①求m； ②以B为原点把数轴的单位长度扩大倍，若点C移动2个单位后，与单位长度扩大后的点O距离单位，求点C表示的数． 【答案】发现：4-6=-2；应用：①m=-4；②、、、． 【分析】根据题意可得向右移动几个单位就加几，向右移动几个单位就减几即可；①应用规律列出关于m的式子解答即可；②先确定以B为原点把数轴的单位长度扩大倍后A、O所表示的数，然后分点C在O的左侧向右移动两个单位或向左移动两个单位、点C在O的右侧向右移动两个单位或向左移动两个单位四种情况解答即可． 【详解】解：发现：由题意得：4-6=-2； 应用：①由题意得：m+10-2=4， 则m=4+2-10=-4； ②∵点A表示-4，点B表示4 ∴以B为原点把数轴的单位长度扩大倍后，点O表示-4×=-10,点A表示-8×=-20 当C在点O左侧时，点C向右移动2个单位长度，则有：-10-+2=； 当C在点O左侧时，点C向左移动2个单位长度，则有：-10--2=； 当C在点O右侧时，点C向右移动2个单位长度，则有：-10+-2=； 当C在点O右侧时，点C向右左移动2个单位长度，则有：-10++2=． 综上，点C表示、、、． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，发现规律并灵活运用数形结合思想是正确解答本题的关键． 3．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 4．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． (1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； (2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； (3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 【答案】(1)或1 (2) (3)经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心” 【分析】本题为新定义问题，考查了数轴上上的点表示有理数，绝对值方程等知识，理解新定义，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键． （1）先确定点A表示的数是﹣1，设M表示的数是x，根据“青春点”的定义得到绝对值方程，解方程即可求解； （2）设点N表示的数为y，即可得到，根据N表示的数是整数，得到y的值为，求和即可求解； （3）设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”，得到经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据“奋斗中心”的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点A表示最大的负整数， ∴点A表示的数是， 设M表示的数是x，则， 解得或1， ∴点A的“青春点”M表示的数是﹣3或1， 故答案为：或1； （2）解：设点N表示的数为y， ∵A，B间的距离为5， ∴， ∵N表示的数是整数， ∴y的值为， ∴满足条件的点N所表示的整数的和为； （3）解：设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 根据题意可知，经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 5．数学课上李老师和同学们玩一个找原点的游戏． (1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．    ①如果点A所表示的数是，那么点B所表示的数是______________； ②请在图1中标出原点O的位置； (2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮她标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；    (3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如），且．    ①试求a的值； ②若点D也在这条数轴上，且，设D点所表示的数为d，求d的值． 【答案】(1)①5；②见解析 (2)画图见解析，4 (3)①；②1或7 【分析】（1）①根据相反数的定义可得点表示的数，②根据、的位置可得原点的位置； （2）根据、所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点表示的数； （3）①由数轴可得，再结合可得的值；②根据的值可得，根据可得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①点所表示的数是，点、点所表示的数互为相反数， 所以点所表示的数是5， 故答案为：5； ②在图1中表示原点的位置如图所示：    （2）原点的位置如图所示，    点所表示的数是4． 故答案为：4； （3）①由题意得：， ∴， 又∵， ∴； ②设表示的数为， ∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的特点和两点间的距离公式是解题关键． 6．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是__________；数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3，则点表示的数是__________ （3）的几何意义是数轴上表示有理数__________的点与表示的点之间的距离； 【拓展延伸】 （4）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1）1，；（2）或5；（3）；（4）28 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离计算即可； （2）分点在点左边和点在点右边两种情况列式计算； （3）根据绝对值的几何意义分析即可； （4）先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数． 【详解】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）∵数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 即点表示的数是或5； （3）， 表示数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离； （4）A，B之间的距离为， 依题意有：秒，即12秒后相遇， 即相同时间Q点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动48个单位到数， 故C点对应的数是28． 【点睛】此题考查的是绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． 7．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 8．若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 9．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 10．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)①28；②当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 【分析】（1）根据最大的负整数是−1，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据与2的距离可得答案； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，c满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，5； （2）解：当与5重合时，折叠点是， ∴与点B重合的点表示的数为：， 故答案为：3； （3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， ∴ ； ②秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ∴ ， ∴的值随时间t的变化而变化； 当A在B的右侧，即时，， ∴ ； 综上，当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 二．绝对值的化简求值 1．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 3．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 5．（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    【答案】（1）①a ；②；（2）① ；②；（3）①② 【分析】本题考查了有理数的绝对值的性质，运用性质化简计算，有理数加减运算及整式的加减； 绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”．运用性质回答问题（1）（2）．观察数轴，判断，，的正负，利用（2）的结论，完成（3）； 关键是性质的灵活运用． 【详解】解：（1）①若，则； ②若，则； 故答案为：，． （2）①若， 则， 所以； ②若， 则， 所以； 故答案为：，． （3）① ． ②由数轴可知：，． ，，． ．    三．绝对值的几何意义求最值 1．将1，2，3，…，16这16个数按某种顺序排成一列，使得任意相邻的三个数之和不小于，那么能取的最大值是(    )． A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据题意16个数之和是，当不符题意，得出，进而当，进行验证，即可求解． 【详解】解：∵16个数之和是， 若，对某一符合要求的排列，前15个数之和不小于，则最后一个数是1，同理第一个数也是1，矛盾， 所以．当时，1，9，16，2，10，14，5，8，13，6，7，15，4，11，12，3是一个满足要求的排列． 故选：B． 2．学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则： ①表示的实际意义是 ． ②的最小值是 ． ③的最小值是 ． 【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4 【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可； ②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值； ③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值． 【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离； 故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离； ②分类讨论： 1）当时，， ∴当时，有最小值3； 2）当时，， ∴当x=2时，有最小值2； 3）当时，， 此时最小值大于2； 4）当时，， 此时最小值大于3； 综上可知，当时，且最小值为2； 故答案为：2； ③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和． 于是可分以下五个情况讨论： 1）当时，； 2）当时； 3）当时，； 4）当时，； 5）当时，； 综上所述，当时，有最小值4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键． 3．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ； (2)①当代数式取最小值时，x的取值范围是 ． ②求的最小值为 ． (3)有理数，，，且． 在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：．    【答案】(1) (2)①；②110 (3) 【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为，代入即可解答； （2）①求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值； ②原式表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和，根据两点的距离可得结论； （3）根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，又因为，，，所以即可确定这三个数的位置；根据数轴上点的位置，看绝对值里面的式子结果是正数还是负数，然后脱掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：A、B之间的距离可用含x的式子表示为； 故答案为：； （2）解：①的最小值为2，此时x的取值是； 故答案为：； ②表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和， ∴当时，最小值是： ． 故答案为：110； （3）解：根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0， 又因为，，，，且， 所以数轴为：   ； 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题． 4．表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ； (3)若x为有理数，则的最小值为 ． 【答案】(1)3，5 (2) (3)20 【分析】（1）根据条件可知两数在数轴上所对应的两点之间的距离即为两数之差的绝对值，即可求出距离； （2）根据条件可知两数在数轴上所对应的两点之间的距离即为两数之差的绝对值，即可求出距离； （3）把理解为：在数轴上表示x的数到和8的距离之和，然后计算最值即可． 【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：； 表示和2两点之间的距离是：； （2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； （3）由题意可知：指在数轴上数x到和8的距离之和， 当时，x越小，到和8的距离越大，则距离之和越大， 当时，x越大，到和8的距离越大，则距离之和越大， 当时，到和8的距离和为定值 ∴点x在与8之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于. (1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求__________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______. (5)当_______时，的值最小，最小值是_______. (6)若x表示一个有理数，求的最小值是_______. 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) (5)， (6)2500 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算解题； （2）利用两点间的距离公式解方程计算； （3）直接化简绝对值计算即可； （4）分不同的情况去掉绝对值解方程； （5）分在不同的取值范围时的最小值进行计算解题； （6）根据（5）中结论可以得到时，有最小值，计算解题即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， 即或， 解得：或， 故答案为：或； （3）∵数轴上表示数a的点位于和2两点之间， ∴， 故答案为：； （4）当时，原方程为，解得：（舍去）； 当时，原方程为，永远成立； 当时，原方程为，解得：（舍去）； 故满足的整数x为：，，， 他们的和为， 故答案为：； （5）当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是， 故答案为：，； （6）由（5）可得，当时，的最小值，最小为， 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 四．有理数的混合运算 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 五．有理数的规律计算问题 1．如图是一个“数值转换机”，若输入的数，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】把代入数值转换机中计算即可求出结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴输出的结果是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式． 2．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 3．观察下面的变形规律： ，，，……， 解答下面的问题： （1） ， ． （2）若n为正整数，猜想 ． （3）求值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差得出答案； （2）利用以上所得规律即可得出答案； （3）利用把 原式裂项，再进一步求和即可得． 【详解】解：（1），． 故答案为：，； （2）． 故答案为：； （3） = = =． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差的规律． 4．请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 【答案】，；（1）；（2） 【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可； （1）原式变形后，计算即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：第10个算式是， 第n个算式是； （1） = = =； （2）∵， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴ = = = = 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 六．有理数运算的实际应用压轴 1．出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)2 (2)在地的西方，离地有4千米 (3)可以不加油 (4)141元 【分析】（1）结合表中数据，分别计算每次里程后的位置，即可获得答案； （2）把表格中表示里程的数据相加即可得到答案； （3）先计算刘师傅这天上午行驶的总路程，再计算此时的耗油量，求解剩余的油量，与2升比较后可得结论； （4）由表格可知，第1次与第4次出租车为空载，根据收费规则列式求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：第1次里程后，距离地：千米， 第2次里程后，距离地：千米， 第3次里程后，距离地：千米， 第4次里程后，距离地：千米， 第5次里程后，距离地：千米， 第6次里程后，距离地：千米， 第7次里程后，距离地：千米， 第8次里程后，距离地：千米， 综上所述，刘师傅走完第2次里程后，他距离地最远． 故答案为：2； （2）， 由题意可知， 刘师傅走完第8次里程后，他在地的西方，离地有4千米； （3）千米， 升， 因为， 所以，刘师傅这天上午中途可以不加油； （4）由题意可知，上午第1和第4次里程空载， 所以元， 答：刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为141元． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用、有理数的加法的实际应用、绝对值的应用、分段收费的计算问题以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则并准确计算是解题的关键． 2．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 （1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个． （2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）元；（3）每日计件工资更多，理由见解析． 【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量． （２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额． （3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多． 【详解】（1） 小明妈妈星期三生产玩具个， （个）， 故本周实际生产玩具个， 故答案为：，． （2）（元） 答：小明妈妈这一周的工资总额是元 （3）元， 每周计件一周得元， 因为，所以每日计件工资更多． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负数及0的含义，才能列出正确算式． 3．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： （1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩　 　个． （2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量． （3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？ （4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元． 星　期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8 【答案】（1）291；（2）2111个；（3）1268.25元；（4）1267.1元． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量； （2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得； （3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得； （4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得． 【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个）， 故答案为：291； （2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个）， 则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个） 答：小王本周实际生产口罩数量为2111个； （3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个）， 所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15） ＝1260+11×0.75 ＝1260+8.25 ＝1268.25（元）， 答：小王这一周的工资总额是1268.25元； （4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）； 第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）； 第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）； 第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）； 第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）； 第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）； 第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）； 共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）． 答：小王这一周的工资总额是1267.1元． 【点睛】此题考查有理数的混合运算和正负数的意义，本题是实际生活中常见的一个表格，它提供了多种信息，但关键是从中找出解题所需的有效信息，构造相应的数学模型来解决问题． 七．有理数新定义运算压轴 1．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（　　） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算是解题关键． 【详解】解： ， 故选：B． 2．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝ ． 【答案】-1.4 【分析】根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解． 【详解】解：{3.9}+{﹣}=（3-3.9）+[-2-（-1.5）]=-0.9+(-0.5)=-1.4． 故答案为：-1.4 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，读懂题意，理解题目中的定义是解题关键． 3．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 4．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【答案】(1)5 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （3）根据题意列出式子，求其最小值，即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时， 即当可以取整数，，，0，1，共5个； 故答案为：5； （2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和， 则当时，的值最小，最小值为； 故答案为：7； （3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为：， 表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 5．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 6．在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”． (1)若，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且是的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 【答案】(1)2；③ (2) (3)或 【分析】（1）由，得，，则中点对应的数为：，利用“正比点”，“反比点”的定义直接判断即可； （2）先表示出点对应的数为：，分析出，，都同号，根据定义得，得，化简即可求解； （3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可；②，得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 为线段的中点． 对应的数为：， ①， 不是的“正比点”； ②， 不是的“反比点”； ③， 是的“正比点”； ④， 是的“反比点”； 故答案为：2；③； （2）为线段的中点， 点对应的数为：， ， ，，都同号， 是的“正比点”， ， ， ， ； （3）， ，异号， 既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ，或，， 化简都得出：， ， 分两种情况：①， ， 或， 解得：（舍去）或， ； ②， ， 或， 解得：（舍去）或， ， 的值为或． 【点睛】本题考查了阅读理解能力，非负数的性质，解决问题关键是分类讨论思想． $$