3.2 函数与方程、不等式之间的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 且 g （ 0 ） =m≤4 ， g 2- m 2 # =2-g m 2 2 2 = m 2 4 -m+2≤4 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解不等式得 2-2 3 姨 ≤m≤4 ， 又 ∵0<m<2 ， 此时 0< m<2 ， 当 m 2 ≥1 即 m≥2 时， g （ x ）在 ［ 0 ， 1 ］ 递减， 在 （ 1 ， 2 ］ 上亦递减， 由对称性知 g （ x ）在 ［ 0 ， ２ ］ 上递减， 于是 A= ［ 2-m ， m ］， ∵ ［ 2-m ， m ］ 哿 ［ -2 ， 4 ］， 故 2-m≥-2 ， m≤4 4 ， 解得 2≤ m≤4. 综上所述， 实数 m 的取值范围是 ［ -2 ， 4 ］ . 3.2 函数与方程、 不等式之间的 关系 第 1 课时 函数的零点、 二次函数的零点 及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 学习手册 变式训练 1 1 或 -1 【解析】 由 f （ x ） =0 得， x- 1 x =0圳x 2 =1 ， 解得 x=1 或 x=-1. 变式训练 2 解： 设 f （ x ） = （ x-1 ）（ x-2 ）（ x-3 ）（ x-4 ）， 分析各个因式 的符号， 画图如下： 结合图象可知， 原不等式的解集为 {x｜1<x<2 或 3<x<4}. 变式训练 3 D 【解析】 由不等式 ax 2 +bx+2>0 的解集为 {x｜-1<x< 2} ， 可知 x 1 =-1 ， x 2 =2 是不等式 ax 2 +bx+2>0 对应方程 ax 2 +bx+2=0 的两个根， ∴ 有 x 1 +x 2 =- b a =1 ， x 1 · x 2 = c a = 2 a =-2 ， 得 a=-1 ， b=1 ， ∴2x 2 +bx+a<0 即为 2x 2 +x-1<0 ， 即 （ 2x-1 ）（ x+1 ） <0 ， ∴ 不等式的解集为 x -1<x< 1 2 4 2 . 故选 D. 变式训练 4 解： 函数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点即为方程 f （ x ） -x=0 的 根 . 当 x∈ （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） 时， 方程 f （ x ） -x=0 ， 变 形为 x 2 -x-1=x ， 即 x 2 -2x-1=0 ， 解得 x=1+ 2 姨 或 x=1- 2 姨 ， ∵1- 2 姨 埸 （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ）， ∴x=1+ 2 姨 ； 当 x∈ （ -1 ， 2 ） 时， 方程 f （ x ） -x=0 ， 变形为 x=1 ， 符合题 意 . 综上， 函数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点为 1+ 2 姨 和 1. 变式训练 5 {a｜-2<a<-1 或 3<a<4} 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 7x 2 - （ a+13 ） x+a 2 -a-2=0 有两实数根 x 1 ， x 2 ， 且 0<x 1 <1<x 2 <2 ， 设对应二次函数为 f （ x ） =7x 2 - （ a+13 ） x+a 2 -a-2 ， 开口向上， 且 f （ 0 ） >0 ， f （ 1 ） <0 ， f （ 2 ） >0 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， ∴ a 2 -a-2>0 ， 7- （ a+13 ） +a 2 -a-2<0 ， 28-2 （ a+13 ） +a 2 -a-2>0 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 -2<a<-1 或 3<a<4. 变式训练 6 C 【解析】 设 g （ x ） = （ x-a ）（ x-b ）， 则 a ， b 是 g （ x ）的 两个零点； 函数 f （ x ）的图象可以看成 g （ x ）图象向下平移 2 个 单位长度得到， 且 a<b ， 琢<茁 ， 如图所示， ∴琢<a<b<茁. 故 选 C. 随堂练习 1. B 【解析】 由题意得 f （ 4 ） =4a+8=0 ， 即 a=-2. 故 选 B. 2. C 【解析】 令 f （ x ） =0 ， 则 x 2 -3x=0 ， 解得 x=0 或 3 ， ∴ 函数 f （ x ） =x 2 -3x 有 2 个零点 . 故选 C. 3. C 【解析 】 令 f （ x ） =｜x ｜-1=0 ， 解得 x=±1 ， ∴ 函数 f （ x ） =｜x｜-1 的零点个数是 2. 故选 C. 4. C 【解析】 当 x>0 时， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 x 2 =2x-1 ， 化简得 （ x-1 ） 2 =0 ， 解得 x=1 ； 当 x=0 时， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 0=-1 ， 无解 ； 当 x<0 时 ， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 -x 2 =2x-1 ， 化简得 x 2 +2x-1=0 ， 解得 x=-1+ 2 姨 （舍去） 或 x=-1- 2 姨 . 综上， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 的解是 1 或 -1- 2 姨 . 故选 C. 5. A 【解析】 令 f （ x ） =x 2 -2mx+4 ， ∵ 方程 x 2 -2mx+4=0 的两根满足一根大于 2 ， 一根小于 1 ， ∴ f（１ ） <0 ， f（２ ） <0 4 ， 即 1-2m+4<0 ， 4-4m+4<0 4 ， 解得 m> 5 2 . 故选 A. 6. AD 【解析】 由题设知， 2 ， 3 是 x 2 -ax+b=0 的两个 根， ∴a=2+3=5 ， b=2×3=6 ， ∴g （ x ） =6x 2 -5x-1 ， 若 g （ x ） =0 ， 可得零点为 x=1 或 x=- 1 6 . 故选 AD. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由 x 2 -6x+9= （ x-3 ） 2 =0 ， 解得 x=3 ， 故所 有元素之和为 3. 故选 B. 2. D 【解析 】 解方程 x 2 -5x+6=0 ， 即可求得 x 1 =2 ， x 2 =3 ， 代入可得 1 x 1 + 1 x 2 = 1 2 + 1 3 = 5 6 . 故选 D. x + ++ - - 1 2 3 4 变式训练 2 答图 x y 琢 茁 a b f （ x ） g （ x ） 变式训练 6 答图 60 参 考 答 案 3. D 【解析】 画出函数 y=f （ x ）与 y=m 的图象， ∵ 函 数 y=f （ x ） -m 有三个不同的零点， ∴ 函数 y=f （ x ）与 y=m 的 图象有 三 个 交 点 ， 由图象可 得 m 的 取 值 范 围 为 （ 1 ， 2 ） . 故选 D. 4. A 【解析】 由题意， 知 a＞0 ， 且 x=1 是 ax-b＝0 的 根， ∴a＝b＞0 ， ∴ （ ax＋b ）（ x-3 ） ＝a （ x＋1 ）（ x-3 ） ＞0 ， ∴x＜-1 或 x＞3 ， 因此原不等式的解集为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 3 ， ＋∞ ） . 故选 A. 5. B 【解析】 令 f （ x ） =2ax 2 -x-1. 当 a=0 时， 不符合 题意； 当 a≠0 时， 若 Δ=0 ， 即 a=- 1 8 ， 此时 x=-2 ， 不 符合题意； 若 Δ>0 ， 即 a>- 1 8 ， 则有 f （ 0 ）· f （ 1 ） =-1× （ 2a- 2 ） <0 ， ∴a>1. 故选 B. 6. D 【解析】 当 a＝2 时， -4＜0 恒成立 . 当 a≠2 时， a-2<0 ， 4 （ a-2 ） 2 ＋16 （ a-2 ） ＜0 0 ， ∴-2＜a＜2. 综上， 得 -2＜a≤2. 故选 D. 7. AB 【解析】 当 m=0 时， 函数 y=-4x+5 ， 令 -4x+ 5=0 ， 解得 x= 5 4 ， 此时方程只有一个实数根， 即函数只 有一个零点， A 正确； 当 m=1 时， 函数 y=x 2 -4x+4 ， 令 x 2 -4x+4=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4×1×4=0 ， ∴ 方程有两个相等的实 数根， 即函数只有一个零点， B 正确； 当 m=-1 时， 函 数 y=-x 2 -4x+6 ， 令 -x 2 -4x+6=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4× （ -1 ） ×6>0 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点， C 错误 ； 当 m=2 时 ， 函数 y=2x 2 -4x+3 ， 令 2x 2 -4x+3=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4×2×3<0 ， ∴ 方程无实数根， 即函数无零点， D 错误 . 故选 AB. 8. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝ |x|-3 ， x≤3 ， - （ x-3 ） 2 ， x＞3 0 ， ∴ f （ 3-x ） ＝ |3-x|-3 ， x≥0 ， -x 2 ， x＜0 0 ， 由 y＝f （ x ） -g （ x ） ＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） -b＝0 ， 得 b＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） . 令 h （ x ） ＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） ＝ -x 2 -x-3 ， x＜0 ， -3 ， 0≤x≤3 ， -x 2 ＋7x-15 ， x＞3 3 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 函数 y＝f （ x ） -g （ x ）恰有四个零点 ， 即 y＝b 与 h （ x ） ＝ f （ x ） ＋f （ 3-x ）的图象有四个不同的交点， 作出函数图象如图所示： 结合函数的图象可得， 当 -3＜b＜- 11 4 时， 函数 y＝f （ x ） -g （ x ）恰有四个零点， ∴ 实数 b 的取值范围是 -3 ， - 11 4 4 + . 故选 B. 9. 4 ， -１ 【解析】 由 f （ x ） =x 2 -3x-4=0 ， 即（ x-4 ）（ x+1 ） = 0 ， 解得 x 1 =4 ， x 2 =-1. 10. （ -∞ ， -5 ］ 【解析】 设 f （ x ） =x 2 +mx+4 ， 要使 x∈ （ 1 ， 2 ） 时， 不等式 x 2 +mx+4<0 恒成立， 则有 f （ 1 ） ≤0 ， f （ 2 ） ≤0 0 ， 即 1+m+4≤0 ， 4+2m+4≤0 0 ， 解得 m≤-5. 提升练习 11. BC 【解析】 令 t=g （ x ） =x 2 +4x+5 ， 则 f （ t ） =0 若只 有一个根， 这个根必须大于 1 ， 此时 a=1 ， t=1 ， 或者 a= 0 ， t= 1 2 ， 不符合题意； f （ t ） =0 若有两个根， 则一个根 大于 1 ， 另一个根小于 1 ， 解得 0<a<1. 故选 BC. 12. ［ -3 ， -1 ） ∪ ［ 3 ， +∞ ） 【解析】 由题意得 g （ x ） = x+3-2x ， x>a ， x 2 +6x+3-2x ， x≤a 0 ， 即 g （ x ） = 3-x ， x>a ， x 2 +4x+3 ， x≤a 0 . 如图所示， ∵ g （ x ）恰有两个不同的零点， 即 g （ x ）的 图象与 x 轴有两个交点 . 若当 x≤a 时， g （ x ） =x 2 +4x+3 有两个零点， 则令 x 2 + 4x+3=0 ， 解得 x=-3 或 x=-1 ， 则当 x>a 时， g （ x ） =3-x 没有零点， ∴a≥3. 若当 x≤a 时， g （ x ） =x 2 +4x+3 有一个零点， 则当 x>a 时， g （ x ） =3-x 必有一个零点， 即 -3≤a<-1. 综上 a∈ ［ -3 ， -1 ） ∪ ［ 3 ， +∞ ） . 13. 2 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 4 ） 【解析】 当 m=4 时， x+ 4 x =±4 ， 得到 x 2 ±4x+4=0 ， 方程有两个根； f （ x ） = x+ m x - 4 有四个零点 ， 即 x 2 ±4x+m=0 有四个根 ， 解得 m<4 且 m≠0 或者画函数 g （ x ） =x+ m x 的图象进行分析 4 + . 14. 解： （ 1 ） 由题意知 a≠0 ， F （ x ） ＝f （ x ） -x＝a （ x-m ） ·（ x-n ）， 当 m＝-1 ， n＝2 时， 不等式 F （ x ） ＞0 ， 即 a （ x＋1 ）（ x- 2 ） ＞0. 当 a＞0 时， 不等式 F （ x ） ＞0 的解集为 {x|x＜-1 或 x＞2} ； 当 a＜0 时， 不等式 F （ x ） ＞0 的解集为 {x|-1＜x＜2}. （ 2 ） f （ x ） -m＝F （ x ） ＋x-m＝a （ x-m ）（ x-n ） ＋x-m＝ （ x-m ）· x y O -3 3 y=- 11 4 第 8 题答图 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 x y O 第 12 题答图 -1 61 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ ax-an＋1 ）， ∵a＞0 ， 且 0＜x＜m＜n＜ 1 a ， ∴x-m＜0 ， 1-an＋ ax＞0 ， ∴ f （ x ） -m＜0 ， 即 f （ x ） ＜m. * 15. 解： （ 1 ） 函数 f （ x ）对称轴为 x=m ， 当 m≤0 时， f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上单调递增， 故 f （ x ） min =f （ 0 ） =2m+3. 当 0<m≤1 时， f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上先减后增， 故 f （ x ） min =f （ m ） =-m 2 +2m+3. 当 m>1 时 ， f （ x ）在 ［ 0 ， 1 ］上单调递减 ， 故 f （ x ） min = f （ 1 ） =4. ∴ f （ x ） min = 2m+3 （ m≤0 ）， -m 2 +2m+3 （ 0<m≤1 ）， 4 （ m>1 ） ） $ $ $ # $ $ $ % . （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 2 -2mx+2m+3 在区间 （ -2 ， 0 ）上只 有一个零点， f （ -2 ）· f （ 0 ） <0 ， 得 - 3 2 <m<- 7 6 . 考虑边界情况： 由 f （ -2 ） =0 ， 得 m=- 7 6 ， ∴ f （ x ） =x 2 + 7 3 x+ 2 3 ， ∴x=-2 或 x=- 1 3 ， ∴m=- 7 6 满足 . 由 f （ 0 ） =0 ， 得 m=- 3 2 ， ∴ f （ x ） =x 2 +3x ， ∴x=-3 或 x=0 ， ∴m≠- 3 2 . 综上， 得 - 3 2 <m≤- 7 6 . 第 2 课时 零点的存在性及其近似值的求法 学习手册 变式训练 1 1. D 【解析】 根据函数零点存在定理， 函数 y=f （ x ） 在区间 ［ a ， b ］ 上的图象是连续不断的一条曲线 ， 且 f （ a ）· f （ b ） <0 ， 那么函数 f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上至少存在 一个零点， 但不一定只存在唯一的零点； 反之， 由 “函 数 y=f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上有零点”， 也不一定有 f （ a ）· f （ b ） <0 ， 如函数 y=｜x｜ 在区间 （ -1 ， 1 ） 的零点是 0. 并不 满足 f （ -1 ）· f （ 1 ） <0 ， 故选 D. 变式训练 2 D 【解析】 ∵x=0 是函数 f （ x ）的零点， 则函数 f （ x ） = ｜x｜ x+2 -kx 2 （ k∈R ） 有四个不同的零点 ， 等价于方程 k= 1 ｜x｜ （ x+2 ） 有三个不同的根， 即方程 1 k =｜x｜ （ x+2 ）有三个不 同的根 . 记函数 g （ x ） =｜x｜ （ x+2 ） ＝ x 2 +2x ， x≥0 ， -x 2 -2x ， x<0 0 ， 由题意 y= 1 k 与 y=g （ x ）有三个不同的交点， 由图象可知 0< 1 k <1 ， ∴k>1. 故选 D. 变式训练 3 C 【解析 】 根据二 分 法 ， 结 合 表 中数据 ， 由 于 f （ 1.438 ） =0.165>0 ， f （ 1.406 5 ） =-0.052<0 ， ∴ 方程 x 3 +x 2 - 2x-2=0 的一个近似根所在区间为 （ 1.406 5 ， 1.438 ）， ∴ 符合条件的解为 1.4. 故选 C. 变式训练 4 D 【解析 】 由已知令 f （ x ） ＝x 3 -2x-1 ， ∴ f （ 1 ） ＝-2 ， f （ 2 ） ＝3 ； 由二分法知计算 f （ 1.5 ） ＝-0.625＜0 ， 故由 f （ 1 ） ＜ 0 ， f （ 2 ） ＞0 ； ∴ 方程的根位于区间 （ 1.5 ， 2 ） 内 . 故选 D. 随堂练习 1. B 【解析】 显然函数 f （ x ） =x 3 +3x-5 在 R 上单调递 增， f （ -2 ） <f （ -1 ） <f （ 0 ） <f （ 1 ） =-1<0 ， 而 f （ 2 ） =9>0 ， ∴ 零点 所在的区间可以为 （ 1 ， 2 ） . 故选 B. 2. B 【解析】 由表可知， f （ 2 ）· f （ 3 ） <0 ， f （ 3 ）· f （ 4 ） <0 ， f （ 4 ）· f （ 5 ） <0 ， ∴ 函数 f （ x ）在区间 ［ 1 ， 6 ］ 上至少有 3 个 零点 . 故选 B. 3. B 【解析】 依题意， 函数的零点在 （ 0.68 ， 0.72 ） 内， 四个选项中只有 0.7∈ （ 0.68 ， 0.72 ）， 且满足 |0.72- 0.68|<0.1 ， ∴ 所求的符合条件的近似值为 0.7. 故选 B. 4. A 【解析】 根据题意， 利用二分法求函数零点的 条件是函数在零点的左右两侧的函数值符号相反， 即穿 过 x 轴 . 据此分析， 选项 A 中函数不能用二分法求零点 . 故选 A. 5. C 【解析 】 x 3 ， x 4 是 f （ x ）的零点 ， f （ x 3 ） =f （ x 4 ） =0 ， f （ x 1 ） =f （ x 2 ） =-2 017<0 ， ∴x 3 <x 1 <x 2 <x 4 . 故选 C. 6. BD 【解析】 当 m=0 时， 方程变为 -2｜x｜-1=0 ， 即 ｜x｜= -1 2 ， 此时无解， 故 A 错误 . 当 m<-1 时， 首先， 0 显 然不是方程的根， 若方程有实根， 则由 mx 2 -2｜x｜-1=0 得 到 0>mx 2 =2｜x｜+1≥1 ， 矛盾， 于是当 m<-1 时， 方程没有 实数根， B 正确 . 由 B 选项的过程， 类似可知， 当 m<0 时方程无解， 故当 m≤0 时， 原方程均无解 . 当 m>0 时， mx 2 -2｜x｜-1=0=m｜x｜ 2 -2｜x｜-1 ， 设 t=｜x｜ ， 于是方程可转化成 关于 t 的方程 mt 2 -2t-1=0 ， Δ=4+4m>0 ， 则关于 t 的方程 必定两个解 t 1 ， t 2 ， 由韦达定理， t 1 t 2 = -1 m <0 ， 故两根一 正一负， 不妨设 t 1 >0>t 2 ， 那么 t 1 =｜x｜ 有两解， t 2 =｜x｜ 无解， 综上， 原方程有根时， 只可能有两个根， 于是 C 错误， D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）的图象是连续的曲线 ， 且 f （ ３ ） =5.4>0 ， f （ 4 ） =-5.5<0 ， ∴ f （ ３ ）· f （ 4 ） <0 ， 根据零点 存 在 定 理 可 得函数 y =f （ x ）必 定 存 在 零 点 位 于区 间 （ 3 ， 4 ） ， 故 方 程 f （ x ） =0 必 存 在 根 的 一 个 区 间 是 （ 3 ， 4 ） . 故选 C. 2. C 【解析】 由表格可得， 函数 f （ x ） ＝x 3 ＋2x-9 的零 点在 （ 1.75 ， 1.875 ） 之间 . 结合选项可知， 方程 x 3 ＋2x- 9＝0 的近似解可取为 （精确度为 0.1 ） 1.8 ， 故选 C. 3. C 【解析】 ∵f （ 0 ） =-6 ， f （ 2 ） =8 ， f （ 1 ） =-2 ， f 3 2 2 + = 62 参 考 答 案 15 8 . ∴ 可判断出 f （ x ）的零点所在区间为 ［ 1 ， 1.5 ］， 满足 精确度 0.5. ∴x 0 可以是 1.25. 故选 C. 4. C 【解析】 设须计算 n 次， 则 n 满足 1 2 n ≤0.1 ， 即 2 n ≥10. 故计算 4 次就可满足要求， ∴ 将区间 （ 1 ， 2 ）等 分的次数至少为 4 次 . 故选 C. 5. A 【解析】 ∵ 集合 A∩B 有 2 个子集， ∴A∩B 只 有一个元素 . 集合 A ， B 分别表示两个函数图象上的点 集， A∩B 只有一个元素， 即关于 x 的方程 x 2 -2x-1=kx- 1 有两个相同的实根 ， 方程整理为 x 2 - （ 2+k ） x=0 ， ∴Δ= （ k+2 ） 2 =0 ， 解得 k=-2. 故选 A. 6. ABD 【解析】 ∵f （ -3 ） =- 1 3 + 9 2 -2= 13 6 >0 ， f （ -2 ） =- 1 2 +2-2=- 1 2 <0 ， ∴ f （ -3 ） f （ -2 ） <0 ， ∴ （ -3 ， -2 ）内存在零点， A 正确； ∵f 1 2 2 % =2+ 1 8 -2= 1 8 >0 ， f （ １ ） =1+ 1 2 -2=- 1 2 <0 ， ∴ f 1 2 2 % f （ 1 ） <0 ， ∴ 1 2 ， 2 % 1 内存在零点， B 正确； ∵f （ ２ ） = 1 2 +2-2= 1 2 >0 ， f （ 3 ） = 1 3 + 9 2 -2= 17 6 >0 ， ∴ f （ ２ ） f （ 3 ） >0 ， ∴ （ 2 ， 3 ）内不存在零点， C 错误； ∵f （ -１ ） =-1+ 1 2 -2=- 5 2 <0 ， f 1 2 2 % =2+ 1 8 -2= 1 8 >0 ， ∴ f （ -1 ） f 1 2 2 % <0 ， ∴ -1 ， 1 2 2 % 内存在零点， D 正确 . 故选 ABD. 7. ABC 【解析】 D 选项虽然有零点， 但是在零点左 右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点， 而 A ， B ， C 三项符合利用二分法求函数零点的条件 . 故 选 ABC. 8. 3 2 ， 2 % 2 【解析 】 令函数 f （ x ） =x 3 -2x-1 ， 则可得 f （ 1 ） =1 3 -2×1-1=-2<0 ， f （ 2 ） =2 3 -2×2-1=3>0 ， 又 ∵f 3 2 2 % = 3 2 2 % 3 -2× 3 2 -1=- 5 8 <0 ， 则下一步可判定该根所在区间 为 3 2 ， 2 % 2 . 9. 9 【解析】 f （ x ） ＝x 2 ＋6x＋c 有零点， 但不能用二分法 求出， 则 x 2 ＋6x＋c＝0 有两个相等的实数根， 则 Δ＝36-4c＝ 0 ， 解得 c＝9. 10. （ 1 ） 证明： ∵f （ 0 ） ＝1>0 ， f （ 2 ） ＝- 1 3 <0 ， ∴ f （ 0 ）· f （ 2 ） <0 ， 由函数的零点存在定理可得， 方程 f （ x ） ＝0 在 区间 （ 0 ， 2 ） 内有实数解 . （ 2 ） 解： 取 x 1 ＝ 1 2 （ 0＋2 ） ＝1 ， 得 f （ 1 ） ＝ 1 3 >0 ， 由此可得 f （ 1 ） f （ 2 ） <0 ， 下一个有解区间为（ 1 ， 2 ） . 再取 x 2 ＝ 1 2 （ 1＋2 ） ＝ 3 2 ， 得 f 3 2 2 % ＝- 1 8 <0 ， ∴ f （ 1 ） f 3 2 2 % <0 ， 下一个有解区间为 1 ， 3 2 2 % . 再取 x 3 ＝ 1 2 1+ 3 2 2 % ＝ 5 4 ， 得 f 5 4 2 % ＝ 17 192 >0 ， ∴ f 5 4 2 % f 3 2 2 % <0 ， 下一个有解区 间为 5 4 ， 3 2 2 % . 综上所述， 所求的实数解 x 0 在区间 5 4 ， 3 2 2 % 内 . 提升练习 11 . A 【解析 】 当 a=-2 时 ， 函数 f （ x ） =x- 2 x 在 （ 1 ， 2 ） 上单调递增， 又 f （ 1 ） =1-2<0 ， f （ 2 ） =2-1=1>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上恰有一个零点， 满足题意， 故 A 正确； 当 a=0 时， 函数 f （ x ） =x 在 （ 1 ， 2 ） 上单调递增 ， 又 f （ 1 ） =1>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上没有零点， 故 B 错误； 当 a=1 时， 函数 f （ x ） =x+ 1 x 在 （ 1 ， 2 ） 上单 调递增， 又 f （ 1 ） =1+1=2>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上没 有零点， 故 C 错误； 当 a=3 时， 函数 f （ x ） =x+ 3 x ， ∴ f （ x ） 在 （ 1 ， 3 姨 ） 上单调递减， 在 （ 3 姨 ， 2 ） 上单调递 增 ， 又 f（ 3 姨 ） =2 3 姨 >0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上 没有零点， 不满足题意， 故 D 错误 . 故选 A. 12. ABD 【解析】 对函数 f （ x ） =x 2 ， f （ -1 ） f （ 1 ） >0 ， 但 f （ 0 ） =0 ， 故 A 错误； 对于函数 f （ x ） =x 3 -x ， f （ -2 ） f （ 2 ） <0 ， 但 f （ 0 ） =f （ -1 ） =f （ 1 ） =0 ， 故 B 错误； 函数 f （ x ） =x 2 满足 C ， 故 C 正确； 由函数零点存在定理知 D 错误 . 故选 ABD. 13. B 【解析】 图象经过（ 0 ， 0 ）， （ -2 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ） 3 个点 . 由图象过原点（ 0 ， 0 ）， 知 d=0. 由图象过另外两点， 可知 f （ x ） =ax （ x+2 ）（ x-1 ）， 即 f （ x ） =ax 3 +ax 2 -2ax. 又由图象， 得 f （ 2 ） =2a （ 2+2 ） × （ 2-1 ） >0 ， 可得 a>0. 又 ∵f （ x ） =ax 3 +bx 2 +cx+d ， ∴b=a>0 ， c=-2a<0. 综上可知 a>0 ， b>0 ， c<0. 故选 B. 14. ①②③ 【解析】 设 f （ x ） ＝x 3 ＋x 2 -2x-1 ， 则 f （ -2 ） ＝-1＜0 ， f （ -1 ） ＝1＞0 ， f （ 0 ） ＝-1＜0 ， f （ 1 ） ＝-1＜0 ， f （ 2 ） ＝7＞0 ， 则 f （ x ）在（ -2 ， -1 ）， （ -1 ， 0 ）， （ 1 ， 2 ） 内均有零 点， 即 ①②③ 正确 . 当 x>2 时 ， x 3 ＋x 2 -2x-1＝x 3 -1+x （ x-2 ） >0 ， ∴ 在 （ 2 ， ＋∞ ） 内没有实数根 . * 15. 解： （ 1 ） f （ x ）在 ［ -1 ， 1 ］ 上是增函数 . 证明如下 ： 任取 x 1 ， x 2 ∈ ［ -1 ， 1 ］ ， 且 x 1 <x 2 ， 则 -x 2 ∈ ［ -1 ， 1 ］， 又 ∵f （ x ）为奇函数， 63 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） =f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） = f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 -x 2 ·（ x 1 -x 2 ） . 由已知得 f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 + （ -x 2 ） >0 ， x 1 -x 2 <0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . ∴ f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增 . （ 2 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增， ∴ x+ 1 2 >2x- 1 2 ， -1≤x+ 1 2 ≤1 ， -1≤2x- 1 2 ≤1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， ∴ - 1 4 ≤x≤ 1 2 ， ∴ 不等式的解集为 x - 1 4 ≤x≤ 1 2 2 ' . （ 3 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上是增函数， ∴ f （ x ） ≤f （ 1 ） =1 ， 即 1 是 f （ x ）的最大值 . 若 m 2 -2ax+1≥f （ x ）对所有 x∈ ［ -1 ， 1 ］， a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒 成立， 则有 m 2 -2am+1≥1 ， 对 a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒成立， 即 m 2 -2am≥0 恒成立 . 令 g （ a ） =-2ma+m 2 ， 它的图象是一条线段， 则 g （ -1 ） =m 2 +2m≥0 ， g （ 1 ） =m 2 -2m≥0 2 ， 解得 m∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪{0}∪ ［ 2 ， +∞ ） . 3.3 函数的应用 （一） 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由题意， 手机所存话费余额 y （元） 与主 叫时间 t （ min ） 之间的函数关系满足一次函数， 不妨设 为 y=at+b ， 可知当 t=0 时 ， y=100+3.5-20=83.5 ， 故 b= 83.5 ， 且主叫每分钟 0.2 元， 故 a=-0.2 ， 故函数关系为 y=83.5-0.2t. 故选 B. 变式训练 2 C 【解析】 由题意， 设该商品定价为 x 元， 利润为 f （ x ）， 故 f （ x ） = （ x-4 ）［ １00-１0 （ x-6 ）］ -20=-10x 2 +200x- 660 （ 0<x≤16 ）， f （ x ）为开口向下的二次函数， 对称轴为 x=10 ， 故当 x=10 时， f （ x ）取得最大值， 因此若要利润最 大， 则该商品每件的价格应该定为 10 元 . 故选 C. 变式训练 3 解 ： （1 ） ∵ 当 0≤t≤8 时 ， 图象过点 （ 8 ， 206 ）， ∴206=8a+118 ， ∴a=11. ∵ 函数连续， ∴2×8 2 -64×8+b=206 ， ∴b=590. ∴a=11 ， b=590. （ 2 ） ① 该同学应该戴防雾霾口罩 . ∵ 当 t=7 时， y=11×7+118=195>150 ， ∴ 该同学应该 戴防雾霾口罩 . ② 令 2t 2 -64t+590≤150 ， 即 t 2 -32t+220≤0 ， 解得 10≤t≤22. ∵22-10=12 ， ∴ 该行业可以施工作业的时间最长为 12 小时 . 变式训练 4 解： （1 ） 设该项目获得的利润为 Q （元）， 当 x∈ ［ 200 ， 300 ］ 时 ， 则 有 Q =200x - 1 2 x 2 +200x -80 000 = - 1 2 （ x-400 ） 2 ， x∈ ［ 200 ， 300 ］ . 显然， Q<0 ， ∴ 该项目不 会获利 . 当 x=300 时， Q max =- 1 2 × （ 300-400 ） 2 =-5 000. ∴ 政府 每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损 . （ 2 ） 设每吨的平均处理成本为 z （元）， 则有 z= y x = 1 3 x 2 -80x+5 040 ， x∈ ［ 120 ， 144 ）， 1 2 x+ 80 000 x -200 ， x∈ ［ 144 ， 500 ） ） $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 当 x∈ ［ 120 ， 144 ） 时， z= 1 3 （ x-120 ） 2 +240. ∴z min =240 ； 当 x ∈ ［ 144 ， 500 ） 时 ， z = x 2 + 80 000 x -200 ≥ 2 x 2 · 80 000 x 姨 -200=200 . 当且仅当 x 2 = 80 000 x ， 即 x= 400 时， 等号成立 . ∴z min =200. ∵240>200 ， ∴ 项目每月处理量为 400 t 时， 才能使 每吨的平均处理成本最低 . 随堂练习 1. B 【解析 】 2020 年 的 增 长 率 大 约 为 100-50 50 = 100% ， 2021 年的增长率约为 300-100 100 =200% ， 2022 年 的增长率约为 510-300 300 =70% ， 2023 年的增长率约为 950-510 510 ≈85% ， ∴ 年增长率最高的为 2021 年 . 故选 B. 2. A 【解析】 由题意得 （ 150-2x ） x- （ 50+30x ） ≥1 300 ， 化简得 x 2 -60x+675≤0 ， 解得 15≤x≤45. 故选 A. 3. A 【解析】 设矩形的宽为 x m ， 则该矩形的长为 （ 200-4x ） m ， ∴ 矩形的面积为 S=x （ 200-4x ） =-4 （ x 2 -50x ） =-4 （ x-25 ） 2 +2 500 ， 其中 0<x<50 ， 故当 x=25 时 ， S 取 得最大值 2 500 m 2 . 故选 A. 4. AC 【解析】 P 在 AB 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP｜ 2 =3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， P 在 BC 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， P 在 CA 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 15 ） 2 （ 12≤x≤18 ）， ∴ f （ x ） =｜OP｜ 2 = 3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， 3+ （ x-9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， 3+（x-15 ） 2 （ 12≤x≤18 ） ） $ $ $ ） $ $ $ % . 由图象可得， 方程 f （ x ） =kx+3 最多有 6 个实数根， 64 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3.2 函数与方程、 不等式之间的关系 第 1课时 函数的零点、 二次函数的零点及其 与对应方程、 不等式解集之间的关系 效 果 评 价 1. 集合 {x|x 2 -6x+9=0} 中的所有元素之 和为 （ ） A． 0 B． 3 C． 6 D． 9 2． 若 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -5x+6=0 的两个根， 则 1 x 1 + 1 x 2 的值为 （ ） A． - 1 2 B． - 1 3 C． - 1 6 D． 5 6 3． 已知函数 f （ x ） = x+1 ， x≥0 ， -x 2 -2x+1 ， x<0 0 ， 若函 数 y=f （ x ） -m 有三个不同的零点， 则实数 m 的 取值范围是 （ ） A． ［ 1 ， 2 ］ B． ［ 1 ， 2 ） C． （ 1 ， 2 ］ D． （ 1 ， 2 ） 4. 若关于 x 的不等式 ax-b＞0 的解集是 （ 1 ， +∞ ）， 则关于 x 的不等式（ ax+b ）（ x-3 ） ＞0 的解集是 （ ） A. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 3 ， +∞ ） B. （ -1 ， 3 ） C. （ 1 ， 3 ） D. （ -∞ ， 1 ） ∪ （ 3 ， +∞ ） 5. 若方程 2ax 2 -x-1=0 在（ 0 ， 1 ）内恰有一 解， 则 a 的取值范围是 （ ） A. a<-1 B. a>1 C. -1<a<1 D. 0≤a<1 6. 对于任意实数 x ， 不等式 （ a-2 ） x 2 - 2 （ a-2 ） x-4＜0 恒成立， 则实数 a 的取值范围 是 （ ） A. （ -∞ ， 2 ） B. （ -∞ ， 2 ］ C. （ -2 ， 2 ） D. （ -2 ， 2 ］ 7. （多选题） 关于函数 y=mx 2 -4x-m+5 的零点， 以下说法正确的有 （ ） A． 当 m=0 时， 该函数只有一个零点 B． 当 m=1 时， 该函数只有一个零点 C． 当 m=-1 时， 该函数没有零点 D． 当 m=2 时， 该函数有两个零点 8. 已知函数 f （ x ） = |x|-3 ， x≤3 ， - （ x-3 ） 2 ， x>3 3 ， 函数 g （ x ） =b-f （ 3-x ）， 其中 b∈R ， 若函数 y=f （ x ） - g （ x ） 恰有四个零点， 则实数 b 的取值范围 是 （ ） A. - 11 4 ， + + ) ∞ B. -3 ， - 11 4 + 4 C. -∞ ， - 11 4 4 4 D. （ -3 ， 0 ） 9. f （ x ） =x 2 -3x-4 的零点是 . 10. 当 x∈ （ 1 ， 2 ） 时， 不等式 x 2 +mx+4< 0 恒成立， 则 m 的取值范围是 . 提 升 练 习 11. （多选题） 已知函数 f （ x ） =ax 2 -2x+ 1 ， g （ x ） =x 2 +4x+5 ， 若 f （ g （ x ）） =0 有且只有两 个不等的实数根， 则 a 的取值可以为 （ ） A. 0 B. 1 3 46 第三章 函 数 练 C. 1 2 D. 1 12. 已知函数 f （ x ） = x+3 ， x>a ， x 2 +6x+3 ， x≤a a ， 若函 数 g （ x ） =f （ x ） -2x 恰有两个不同的零点， 则实 数 a 的取值范围为 . 13. 已知函数 f （ x ） = x+ m x -4 ， 若 m=4 ， 则函数 f （ x ）的零点个数为 ； 若函数 f （ x ）有四个零点， 则实数 m 的取值范围是 . 14. 设二次函数 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 函数 F （ x ） =f （ x ） -x 的两个零点为 m ， n （ m＜n ） . （ 1 ） 若 m=-1 ， n=2 ， 求不等式 F （ x ） ＞0 的 解集； （ 2 ） 若 a＞0 ， 且 0＜x＜m＜n＜ 1 a ， 比较 f （ x ）与 m 的大小 . * 15. 已知二次函数 f （ x ） =x 2 -2mx+2m+3. （ 1 ） x∈ ［ 0 ， 1 ］ 时 ， 求函数 f （ x ）的最 小值； （ 2 ） 若函数 f （ x ）有两个零点 ， 在区间 （ -2 ， 0 ） 上只有一个零点， 求实数 m 的取值 范围 . 47 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 第 2课时 零点的存在性及其近似值的求法 效 果 评 价 1. 已知函数 y=f （ x ）的图象是连续的曲线， 且部分对应值表如下： 则方程 f （ x ） =0 必存在根的一个区间是 （ ） A． （ 1 ， 2 ） B． （ 2 ， 3 ） C． （ 3 ， 4 ） D． （ 4 ， 5 ） 2. 用二分法求方程的近似解， 求得 f （ x ） =x 3 +2x-9 的部分函数值数据如下表所示： 则当精确度为 0.1 时， 方程 x 3 +2x-9=0 的 一个近似解可取为 （ ） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 3. 已知函数 f （ x ） =x 3 +3x-6 ， 利用二分法 求 f （ x ）的零点的近似值 x 0 ， 若给定精确度 0.5 ， 零点的初值区间为 ［ 0 ， ２ ］， 则 x 0 可以 是 （ ） A． 0.25 B． 0.75 C． 1.25 D． 1.75 4. 已知函数 y=f （ x ）为［ 0 ， 1 ］上的连续函 数， 且 f （ 0 ） f （ 1 ） ＜0 ， 使用二分法求函数零 点， 要求近似值和准确值误差不超过 0.1 ， 则需对区间至少等分的次数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知集合 A={ （ x ， y ） |y=x 2 -2x-1} ， B= { （ x ， y ） |y=kx-1} ， 若 A∩B 恰有两个子集 ， 则实数 k 的值为 （ ） A． －2 B． －1 C． 1 D． 2 6. （多选题） 已知函数 f （ x ） = 1 x + 1 2 x 2 - 2 ， 利用零点存在定理确定各零点所在的范 围 . 下列区间中存在零点的有 （ ） A. （ -3 ， -2 ） B. 1 2 ， ， # 1 C. （ 2 ， 3 ） D. -1 ， 1 2 ， 2 7. （多选题） 以下函数图象中， 能用二 分法求函数零点的有 （ ） 8. 在用二分法求方程 x 3 -2x-1=0 的一个 近似解时， 已经将一根锁定在区间 （ 1 ， 2 ） 上， 则下一步可判定该根所在区间为 . 9. 已知 f （ x ） =x 2 +6x+c 有零点， 但不能用 二分法求出， 则 c 的值是 . x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f （ x ） -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3 x 1 2 3 4 5 y 1.4 3.5 5.4 -5.5 -6.7 x y O 1 2 x y O 1 2 1 2 x y O 1 2 3 4 x y O BA DC 48 第三章 函 数 练 10. 已知函数 f （ x ） = 1 3 x 3 -x 2 +1. （ 1 ） 证明： 方程 f （ x ） =0 在区间（ 0 ， 2 ）内 有实数解； （ 2 ） 使用二分法， 取区间的中点三次， 指出方程 f （ x ） =0 （ x∈ ［ 0 ， 2 ］） 的实数解 x 0 在 哪个较小的区间内 . 提 升 练 习 11. 若函数 f （ x ） =x+ a x （ a∈R ） 在区间 （ 1 ， 2 ） 中恰好有一个零点， 则 a 的值可能 是 （ ） A． -2 B． 0 C． 1 D． 3 12. （多选题） 若函数 y=f （ x ）在区间［ a ， b ］ 上的图象为连续不断的一条曲线， 则下列说 法中错误的有 （ ） A. 若 f （ a ） f （ b ） >0 ， 则不存在实数 c∈ （ a ， b ）， 使得 f （ c ） =0 B. 若 f （ a ） f （ b ） <0 ， 则存在且只存在一个 实数 c∈ （ a ， b ）， 使得 f （ c ） =0 C. 若 f （ a ） f （ b ） >0 ， 则有可能存在实数 c∈ （ a ， b ）， 使得 f （ c ） =0 D. 若 f （ a ） f （ b ） <0 ， 则有可能不存在实数 c∈ （ a ， b ）， 使得 f （ c ） =0 13. 函数 f （ x ） =ax 3 +bx 2 +cx+d 的图象如图 所示， 则 （ ） A. a>0 ， b>0 ， c>0 B. a>0 ， b>0 ， c<0 C. a<0 ， b<0 ， c>0 D. a<0 ， b<0 ， c<0 14. 对于方程 x 3 +x 2 -2x-1=0 ， 有下列判断： ① 在（ -2 ， -1 ）内有实数根； ② 在（ -1 ， 0 ）内有实数根； ③ 在（ 1 ， 2 ）内有实数根； ④ 在（ 2 ， +∞ ）内有实数根 . 其中正确的有 （填序号） . * 15. 已知 f （ x ）是定义在 ［ -1 ， 1 ］ 上的奇 函数且 f （ 1 ） =1 ， 若 a ， b∈ ［ -1 ， 1 ］， a+b≠0 ， 有 f （ a ） +f （ b ） a+b >0 成立 . （ 1 ） 判断函数 f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上是增函 数还是减函数， 并加以证明； （ 2 ） 解不等式： f x+ 1 2 2 $ >f 2x- 1 2 2 & ； （ 3 ） 若对所有 x∈ ［ -1 ， 1 ］， a∈ ［ -1 ， 1 ］， m 2 -2am+1≥f （ x ）恒成立， 求实数 m 的取值 范围 . x y O -2 -1 1 2 第 13 题图 49