第2章 等式与不等式 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 下列选项中正确的是 （ ） A. 若 ac>bc ， 则 a>b B. 若 a>b ， c>d ， 则 ac>bd C. 若 a>b ， 则 1 a < 1 b D. 若 ac 2 >bc 2 ， 则 a>b 2. 若关于 x 的方程 kx 2 ＋2x-1＝0 有两个不相 等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） A. k>-1 B. k<-1 C. k≥-1 且 k≠0 D. k>-1 且 k≠0 3. 已知集合 A＝ {x |x 2 ＜1} ， B＝ {x |x>0} ， 则 A∩B＝ （ ） A. （ 0 ， 1 ） B. （ -1 ， ＋∞ ） C. （ 1 ， ＋∞ ） D. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， ＋∞ ） 4. 关于 x 的不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 的解集为 {x｜-1<x<2} ， 则关于 x 的不等式 bx 2 -ax-c> 0 的解集为 （ ） A. {x｜-2<x<1} B. {x｜-1<x<2} C. {x｜x>2 或 x<-1} D. {x｜x>1 或 x<-2} 5. 已知 a ， b∈R ， 则 “ a>|b| ” 是 “ a|a|>b|b| ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正实数 a ， b 满足 4a＋b＝30 ， 使得 1 a ＋ 1 b 取最小值时， 实数对（ a ， b ） 是 （ ） A. （ 5 ， 10 ） B. （ 6 ， 6 ） C. （ 10 ， 5 ） D. （ 7 ， 2 ） 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了 “三斜求 积术”， 即已知三角形三边长求三角形面 积的公式： 设三角形的三条边长分别为 a ， b ， c ， 则三角形的面积 S 可由公式 S＝ p （ p-a ）（ p-b ）（ p-c ） 姨 求得， 其中 p 为三角 形周长的一半， 这个公式也被称为 “海 伦—秦九韶公式” . 现有一个三角形的边 长满足 a＝3 ， b＋c＝5 ， 则此三角形面积的 最大值为 （ ） A. 3 2 B. 3 C. 7 姨 D. 3 11 姨 8. 已知不等式（ x＋y ） 1 x + a y y ( ≥9 对任意正实 数 x ， y 恒成立， 则正实数 a 的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第二章章末测试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第二章章末测试卷 5 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 设不等式 x 2 -2ax＋a＋2≤0 的解集为 A ， 若 A哿 ［ 1 ， 3 ］， 则实数 a 的可能取值是 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 在数轴上， 若 A （ x ）， B （ 1 ）， 且 AB＝2 ， 则 （ ） A. x＝3 或 -1 B. x＝-3 或 1 C. AB 的中点 C （ 2 ） 或 （ 0 ） D. AB 的中点 C （ -1 ） 或 （ 1 ） 11. 若 0 <a <b ， 且 a ＋b ＝1 ， 则 在 1 2 ， a 2 ＋ b 2 ， 2ab ， a ， b 中 （ ） A. a 2 ＋b 2 >2ab B. a< 1 2 C. b< 1 2 D. b>a 2 ＋b 2 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 不等式 x 2 -5|x|-6<0 的解集是 . 13. 若关于 x 的不等式 tx 2 -6x＋t 2 <0 的解集为 （ -∞ ， a ） ∪ （ 1 ， ＋∞ ）， 则 a 的值为 . 14. 已知 a ， b ， c ， d 均为实数 ， 有下列命 题： ① 若 ab>0 ， bc-ad<0 ， 则 c a - d b <0 ； ② 若 ab<0 ， c a - d b <0 ， 则 bc-ad>0 ； ③ 若 bc-ad<0 ， c a - d b >0 ， 则 ab<0. 其中正 确的命题是 （填序号） . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知关于 x ， y 的方程组 y 2 -2x=0 ， y-kx+1= = 0 的解集中只有一个元素， 求实数 k 的值 . 16. （ 15 分） 已知关于 x 的不等式 a （ x-1 ） x-2 >1 （ a∈R ） . （ 1 ） 当 a＝1 时， 求此不等式的解集； （ 2 ） 当 a<1 时， 求此不等式的解集 . 6 17. （ 15 分） 已知 a＞0 ， b＞0 ， a＋b＝1. 求证： 1 2a+1 ＋ 4 2b+1 ≥ 9 4 . 18. （ 17 分） 已知关于 x 的不等式 kx 2 -2x＋ 6k<0 （ k≠0 ） . （ 1 ） 若不等式的解集为 {x|x<-3 或 x>-2} ， 求 k 的值； （ 2 ） 若不等式的解集为 R ， 求 k 的取值 范围 . 第二章章末测试卷 7 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 19. （ 17 分） 第一机床厂投资 A 生产线 500 万元， 每万元可创造利润 1.5 万元 . 该厂 通过引进先进技术， 在 A 生产线的投资 减少了 x （ x>0 ） 万元， 且每万元创造的 利润变为原来的 （ 1＋0.005x ）倍 . 现将在 A 生产线少投资的 x 万元全部投入 B 生产线， 且每万元创造的利润为 1.5 （ a- 0.013x ）万元， 其中 a>0. （ 1 ） 若技术改进后 A 生产线的利润不 低于原来 A 生产线的利润， 求 x 的 取值范围； （ 2 ） 若 B 生产线的利润始终不高于技术 改进后 A 生产线的利润， 求 a 的最 大值 . 8 参 考 答 案 ∴Q哿P ， ∴ 1-m≥-2 ， 1+m≤6 ， m>0 $ & & & % & & & ' ， 解得 0<m≤3 ， ∴m 的取值范围是 （ 0 ， 3 ］ . 18. 解： 由题意得 A={1 ， 2} . （ 1 ） ∵A∩B={2} ， ∴2∈B ， 将 x=2 代入方程 x 2 +2 （ a+ 1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a 2 +4a+3=0 ， 解得 a=-1 或 a=-3 ； 当 a=-1 时 ， B={-2 ， 2} ， 满足条件 ； 当 a=-3 时 ， B={2} ， 也满足条件 . 综上可得， 实数 a 的值为 -1 或 -3. （ 2 ） ∵A∪B=A ， ∴B哿A. 对于方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， ① 当 Δ=4 （ a+1 ） 2 -4 （ a 2 -5 ） =8 （ a+3 ） <0 ， 即 a<-3 时， B=芰 ， 满足条件； ② 当 Δ=0 ， 即 a=-3 时， B={2} ， 满足条件； ③ 当 Δ>0 ， 即 a>-3 时， B=A={1 ， 2} ， ∴ 方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 的两根为 1 ， 2 ， ∴ 3=-2 （ a+1 ）， 2=a 2 -5 5 ， a 无解 . 综上可知， 实数 a 的取值范围为 （ -∞ ， -3 ］ . （ 3 ） ∵ A∩ （ U B ） =A ， ∴A∩B=芰 ， 对于方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ： ① 当 Δ<0 ， 即 a<-3 时， B=芰 ， 满足条件； ② 当 Δ=0 ， 即 a=-3 时， B={2} ， A∩B={2} ， 不满足 条件； ③ 当 Δ>0 ， 即 a>-3 时， 只需要 1埸B 且 2埸B 即可 . 将 x=2 代入 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a=-1 或 a=-3. 将 x=1 代入 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a=-1± 3 姨 . ∴a≠-1 ， a≠-3 ， a≠-1± 3 姨 . 综上 ， 实数 a 的取值范围为 {a ｜a<-3 或 -3<a<-1- 3 姨 或 -1- 3 姨 <a<-1 或 -1<a<-1+ 3 姨 或 a>-1+ 3 姨 } . 19. （ 1 ） 解： 根据题意， 由 A={1 ， 3} ， 则 S={2 ， 4 ， 6} ， T={0 ， 2} . （ 2 ） 证明： 由于集合 A={x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 } ， x 1 <x 2 <x 3 < x 4 ， 且 T=A ， ∴T 中也只包含四个元素 ， 即 T={0 ， x 2 -x 1 ， x 3 -x 1 ， x 4 -x 1 } ， 剩下的 x 3 -x 2 =x 4 -x 3 =x 2 -x 1 ， ∴x 1 +x 4 =x 2 +x 3 . （ 3 ） 解： 设 A={a 1 ， a 2 ， …， a k } 满足题意， 其中 a 1 < a 2 < … <a k ， 则 2a 1 <a 1 +a 2 <a 1 +a 3 < … <a 1 +a k <a 2 +a k <a 3 +a k < … <a k-1 +a k < 2a k ， ∴｜S｜≥2k-1 ， a 1 -a 1 <a 2 -a 1 <a 3 -a 1 < … <a k -a 1 ， ∴｜T｜≥k. ∵S∩T=芰 ， ｜S∪T｜=｜S｜+｜T｜≥3k-1 ， S∪T 中最小的元 素为 0 ， 最大的元素为 2a k ， ∴｜S∪T｜≤2a k +1 ， ∴3k-1≤2a k +1≤4 041 （ k∈N * ）， ∴k≤1 347 ， 实际上当 A= {674 ， 675 ， 676 ， …， 2 020} 时满足 题意 . 证明如下： 设 A={m ， m+1 ， m+2 ， …， 2 020} ， m∈N ， 则 S={2m ， 2m+1 ， 2m+2 ， …， 4 040} ， T={0 ， 1 ， 2 ， …， 2 020-m} ， 依题意有 2 020-m<2m ， 即 m>673 1 3 ， 故 m 的最小值为 674 ， 于是当 m=674 时， A 中元素 最多， 即 A={674 ， 675 ， 676 ， …， 2 020} 时满足题意 . 综上所述， 集合 A 中元素的个数的最大值是 1 347. 第二章章末测试卷 1. D 【解析】 只有当 c>0 时， 才能由 ac>bc 推出 a> b ， 故 A 错误 ； 当 a=2 ， b=1 ， c=-1 ， d=-2 时 ， 推不出 ac>bd ， 故 B 错误 ； 当 a＝0 ， b＝-1 时 ， 显然 a>b 成立 ， 但是 1 a < 1 b 显然不成立， 因此 C 错误； ∵ac 2 >bc 2 ， ∴c≠ 0 ， 因此 D 正确 . 故选 D. 2. D 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 kx 2 ＋2x-1＝0 有两个不 相等的实数根， ∴k≠0 且 Δ＝4-4k× （ -1 ） >0 ， 解得 k>-1 ， ∴k 的取值范围为 k>-1 且 k≠0. 故选 D. 3. A 【解析 】 ∵A＝{x|x 2 ＜1}＝{x |-1＜x＜1} ， B＝{x|x>0} ， ∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝ （ 0 ， 1 ） . 故选 A. 4. D 【解析】 ∵ 不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 的解集为 {x｜-1< x<2} ， ∴a<0 ， - b a ＝1 ， c a ＝-2 ， 故 b＝-a ， c＝-2a ， ∴bx 2 - ax-c>0 可化为 -ax 2 -ax＋2a>0 ， 即 x 2 ＋x-2>0 ， 分解因式得 （ x＋2 ）（ x-1 ） >0 ， 解得 x<-2 或 x>1 ， ∴ 不等式的解集为 {x| x>1 或 x<-2}. 故选 D. 5. A 【解析】 由题意， 若 a>|b| ， 则 a>|b|≥0 ， 则 a>0 且 a>b ， ∴a|a|＝a 2 ， 则 a|a|>b|b| 成立 . 当 a＝1 ， b＝-2 时， 满 足 a|a|>b|b| ， 但 a>|b| 不一定成立， ∴a>|b| 是 a|a|>b|b| 的充 分不必要条件 . 故选 A. 6. A 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ 1 30 （ 4a＋b ）· 1 a + 1 b b 1 ＝ 1 30 5+ b a + 4a b b b ≥ 1 30 （ 5＋2 4 姨 ） ＝ 3 10 ， 当且仅 当 b a = 4a b ， 4a+b=3 5 0 时取等号， 即 a＝5 ， b＝10. 故选 A. 7. B 【解析】 由题意 p＝4 ， S＝ 4 （ 4-a ）（ 4-b ）（ 4-c ） 姨 ＝ 2 （ 4-b ）（ 4-c ） 姨 ≤2 · 4-b+4-c 2 ＝3 ， 当且仅当 4-b＝4-c ， 即 b＝c 时等号成立， ∴ 此三角形面积的最大值为 3. 故选 B. 8. B 【解析】 不等式 （ x＋y ） 1 x + a y b b ≥9 对任意正实 数 x ， y 恒成立 ， 则 1＋a＋ y x ＋ ax y ≥a＋2 a 姨 ＋1≥9 ， ∴ a 姨 ≥2 或 a 姨 ≤-4 （舍去）， ∴ 正实数 a 的最小值为 69 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 4. 故选 B. 9. BCD 【解析】 ∵ 不等式 x 2 -2ax＋a＋2≤0 的解集为 A ， 若 A哿 ［ 1 ， 3 ］， 若 A=芰 ， 则 Δ=4a 2 -4 （ a+2 ） <0 ， 解得 -1< a<2. 若 A≠芰 ， 则 Δ≥0 ， 1≤a≤3 ， 1 2 -2a+a+2≥0 ， 3 2 -2a×3+a+2≥0 0 ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ) ， 解得 a≤-1 或 a≥2 ， 1≤a≤3 ， a≤3 ， a≤ 11 5 0 ( ( ( ( ( ( * ( ( ( ( ( ( ) . 则 2≤a≤ 11 5 . 综上， -1<a≤ 11 5 ， 故选 BCD. 10. AC 【解析】 由题意 AB＝|x-1|＝2 ， ∴x-1＝±2 ， x＝3 或 -1 ， ∴AB 中点对应的数为 3+1 2 ＝2 或 -1+1 2 ＝0. 故选 AC. 11. ABD 【解析】 由于 0<a<b ， 则 a 2 ＋b 2 >2ab ， 又 a＋ b＝1 ， 则 0<a< 1 2 <b<1. 又 a 2 ＋b 2 -b＝ （ a＋b ） 2 -2ab-b＝1- 2ab-b＝a-2ab＝a （ 1-2b ） <0 ， 则 b>a 2 ＋b 2 . 故选 ABD. 12. （ -6 ， 6 ） 【解析】 x 2 -5|x|-6<0 ， 即 （ |x|-6 ）（ |x|＋ 1 ） <0 ， 即 |x|-6<0 ， |x|<6 ， 故 x∈ （ -6 ， 6 ） . 13. -3 【解析】 不等式 tx 2 -6x＋t 2 <0 的解集为 （ -∞ ， a ） ∪ （ 1 ， ＋∞ ）， ∴a 和 1 是方程 tx 2 -6x+t 2 =0 的两根且 t< 0 ， 可得 1+a= 6 t ， 1×a=t t ， ∴a＝2 或 -3. 又 ∵a<0 ， ∴a＝-3. 14. ①②③ 【解析】 对于 ① ， 若 ab>0 ， bc-ad<0 ， 不 等式两边同时除以 ab 得 c a - d b <0 ， ∴① 正确； 对于 ② ， 若 ab<0 ， c a - d b <0 ， 不等式两边同时乘 ab 得 bc-ad>0 ， ∴② 正确； 对于 ③ ， 若 c a - d b >0 ， 当两边同时乘 ab 时可 得 bc-ad<0 ， ∴ab<0 ， ∴③ 正确 . 综上， 正确的命题是 ① ②③. 15. 解： 把 y-kx＋1＝0 变形为 y＝kx-1 ， 代入 y 2 -2x＝0 化简得， k 2 x 2 -2 （ k＋1 ） x＋1＝0 ， 由题意， Δ＝4 （ k＋1 ） 2 -4k 2 ＝0 ， ∴k＝- 1 2 . 16. 解 ： （ 1 ） 根据题意 ， 当 a＝1 时 ， 不等式即为 x-1 x-2 >1 ， 变形可得 1 x-2 >0 ， 解得 x>2 ， 即该不等式的解集为 （ 2 ， ＋∞ ） . （ 2 ） 根据题意， 不等式 a （ x-1 ） x-2 >1 ， 即为 （ a-1 ） x- （ a-2 ） x-2 >0. 则有 ［（ a-1 ） x- （ a-2 ）］（ x-2 ） >0. 又 ∵a<1 ， 不等式可以变形为 x- a-2 a-1 1 / （ x-2 ） <0. 分三种情况讨论： ① 当 a<0 时， 不等式的解集为 a-2 a-1 ， 1 ， 2 ； ② 当 a＝0 时， 不等式为 0>1 ， 解集为空集； ③ 当 0<a<1 时， 不等式的解集为 2 ， a-2 a-1 1 ， . 17. 证明： ∵a＞0 ， b＞0 ， a＋b＝1 ， ∴ 1 2a+1 + 4 2b+1 1 ， ［（ 2a＋1 ） ＋ （ 2b＋1 ）］ ＝1＋4＋ 2b+1 2a+1 ＋ 4 （ 2a+1 ） 2b+1 ≥5＋2 2b+1 2a+1 · 4 （ 2a+1 ） 2b+1 姨 ＝9. 又 ∵ （ 2a＋1 ） ＋ （ 2b＋1 ） ＝4 ， ∴ 1 2a+1 + 4 2b+1 ≥ 9 4 . 18. 解： （ 1 ） ∵ 不等式 kx 2 -2x＋6k<0 的解集为 {x| x<-3 或 x>-2} ， ∴x 1 ＝-3 与 x 2 ＝-2 是方程 kx 2 -2x＋6k＝0 （ k≠0 ） 的两根， 且 k<0. ∴- -2 k ＝ 2 k ＝-3-2 ， ∴k＝- 2 5 . （ 2 ） 若不等式的解集为 R ， 即 kx 2 -2x＋6k<0 恒成立， 则满足 k<0 ， Δ=4-24k 2 <0 t ， ∴k<- 6 姨 6 ， ∴k 的取值范围是 k k<- 6 姨 6 t 6 . 19. 解： （ 1 ） 由题意， 得 1.5 （ 1＋0.005x ）（ 500-x ） ≥ 1.5×500 ， 整理得 x 2 -300x≤0 ， 解得 0≤x≤300 ， 又 x>0 ， 故 0<x≤300. （ 2 ） 由题意知， B 生产线的利润为 1.5 （ a-0.013x ） x 万元， 技术改进后， A 生产线的利润为 1.5 （ 1＋0.005x ）（ 500- x ）万元， 则 1.5 （ a-0.013x ） x≤1.5 （ 1＋0.005x ）（ 500-x ）恒成立 ， 又 ∵x>0 ， ∴a≤ x 125 ＋ 500 x ＋1.5 恒成立， 又 ∵ x 125 ＋ 500 x ≥2 x 125 · 500 x 姨 =4 ， 当且仅当 x＝250 时等号成立， ∴0<a≤5.5 ， 即 a 的最大值为 5.5. 第三章章末测试卷 1. B 【解析】 f （ 8 ） =f （ f （ 13 ）） =f （ 13-3 ） =f （ 10 ） =10-3=7. 故选 B. 2. A 【解析】 设 u＝x＋1 ， 由 -2≤x≤3 ， 得 -1≤x＋1≤ 4 ， ∴y＝f （ u ）的定义域为 ［ -1 ， 4 ］ . 再由 -1≤2x-1≤4 ， 解得 0≤x≤ 5 2 ， 即函数 y＝f （ 2x-1 ） 的定义域是 0 ， 5 2 2 4 . 故选 A. 3. A 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋1 是定义在 ［ -1- a ， 2a ］ 上的偶函数， ∴-1-a＋2a＝0 ， ∴a＝1 ， ∴ 函数的定义 域为［ -2 ， 2 ］ . ∵ 函数图象的对称轴为 x＝0 ， ∴b＝0 ， ∴f （ x ） ＝x 2 ＋1 ， ∴x＝±2 时函数取得最大值， 最大值为 5. 故选 A. 4. A 【解析】 令 x= 1 2 ， g 1 2 2 ， =f （ 1 ） - 1 4 ， 70