3.2 函数与方程、不等式之间的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 且 g （ 0 ） =m≤4 ， g 2- m 2 # =2-g m 2 2 2 = m 2 4 -m+2≤4 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解不等式得 2-2 3 姨 ≤m≤4 ， 又 ∵0<m<2 ， 此时 0< m<2 ， 当 m 2 ≥1 即 m≥2 时， g （ x ）在 ［ 0 ， 1 ］ 递减， 在 （ 1 ， 2 ］ 上亦递减， 由对称性知 g （ x ）在 ［ 0 ， ２ ］ 上递减， 于是 A= ［ 2-m ， m ］， ∵ ［ 2-m ， m ］ 哿 ［ -2 ， 4 ］， 故 2-m≥-2 ， m≤4 4 ， 解得 2≤ m≤4. 综上所述， 实数 m 的取值范围是 ［ -2 ， 4 ］ . 3.2 函数与方程、 不等式之间的 关系 第 1 课时 函数的零点、 二次函数的零点 及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 学习手册 变式训练 1 1 或 -1 【解析】 由 f （ x ） =0 得， x- 1 x =0圳x 2 =1 ， 解得 x=1 或 x=-1. 变式训练 2 解： 设 f （ x ） = （ x-1 ）（ x-2 ）（ x-3 ）（ x-4 ）， 分析各个因式 的符号， 画图如下： 结合图象可知， 原不等式的解集为 {x｜1<x<2 或 3<x<4}. 变式训练 3 D 【解析】 由不等式 ax 2 +bx+2>0 的解集为 {x｜-1<x< 2} ， 可知 x 1 =-1 ， x 2 =2 是不等式 ax 2 +bx+2>0 对应方程 ax 2 +bx+2=0 的两个根， ∴ 有 x 1 +x 2 =- b a =1 ， x 1 · x 2 = c a = 2 a =-2 ， 得 a=-1 ， b=1 ， ∴2x 2 +bx+a<0 即为 2x 2 +x-1<0 ， 即 （ 2x-1 ）（ x+1 ） <0 ， ∴ 不等式的解集为 x -1<x< 1 2 4 2 . 故选 D. 变式训练 4 解： 函数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点即为方程 f （ x ） -x=0 的 根 . 当 x∈ （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） 时， 方程 f （ x ） -x=0 ， 变 形为 x 2 -x-1=x ， 即 x 2 -2x-1=0 ， 解得 x=1+ 2 姨 或 x=1- 2 姨 ， ∵1- 2 姨 埸 （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ）， ∴x=1+ 2 姨 ； 当 x∈ （ -1 ， 2 ） 时， 方程 f （ x ） -x=0 ， 变形为 x=1 ， 符合题 意 . 综上， 函数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点为 1+ 2 姨 和 1. 变式训练 5 {a｜-2<a<-1 或 3<a<4} 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 7x 2 - （ a+13 ） x+a 2 -a-2=0 有两实数根 x 1 ， x 2 ， 且 0<x 1 <1<x 2 <2 ， 设对应二次函数为 f （ x ） =7x 2 - （ a+13 ） x+a 2 -a-2 ， 开口向上， 且 f （ 0 ） >0 ， f （ 1 ） <0 ， f （ 2 ） >0 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， ∴ a 2 -a-2>0 ， 7- （ a+13 ） +a 2 -a-2<0 ， 28-2 （ a+13 ） +a 2 -a-2>0 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 -2<a<-1 或 3<a<4. 变式训练 6 C 【解析】 设 g （ x ） = （ x-a ）（ x-b ）， 则 a ， b 是 g （ x ）的 两个零点； 函数 f （ x ）的图象可以看成 g （ x ）图象向下平移 2 个 单位长度得到， 且 a<b ， 琢<茁 ， 如图所示， ∴琢<a<b<茁. 故 选 C. 随堂练习 1. B 【解析】 由题意得 f （ 4 ） =4a+8=0 ， 即 a=-2. 故 选 B. 2. C 【解析】 令 f （ x ） =0 ， 则 x 2 -3x=0 ， 解得 x=0 或 3 ， ∴ 函数 f （ x ） =x 2 -3x 有 2 个零点 . 故选 C. 3. C 【解析 】 令 f （ x ） =｜x ｜-1=0 ， 解得 x=±1 ， ∴ 函数 f （ x ） =｜x｜-1 的零点个数是 2. 故选 C. 4. C 【解析】 当 x>0 时， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 x 2 =2x-1 ， 化简得 （ x-1 ） 2 =0 ， 解得 x=1 ； 当 x=0 时， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 0=-1 ， 无解 ； 当 x<0 时 ， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 可化为 -x 2 =2x-1 ， 化简得 x 2 +2x-1=0 ， 解得 x=-1+ 2 姨 （舍去） 或 x=-1- 2 姨 . 综上， 方程 x 2 sgn （ x ） =2x-1 的解是 1 或 -1- 2 姨 . 故选 C. 5. A 【解析】 令 f （ x ） =x 2 -2mx+4 ， ∵ 方程 x 2 -2mx+4=0 的两根满足一根大于 2 ， 一根小于 1 ， ∴ f（１ ） <0 ， f（２ ） <0 4 ， 即 1-2m+4<0 ， 4-4m+4<0 4 ， 解得 m> 5 2 . 故选 A. 6. AD 【解析】 由题设知， 2 ， 3 是 x 2 -ax+b=0 的两个 根， ∴a=2+3=5 ， b=2×3=6 ， ∴g （ x ） =6x 2 -5x-1 ， 若 g （ x ） =0 ， 可得零点为 x=1 或 x=- 1 6 . 故选 AD. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由 x 2 -6x+9= （ x-3 ） 2 =0 ， 解得 x=3 ， 故所 有元素之和为 3. 故选 B. 2. D 【解析 】 解方程 x 2 -5x+6=0 ， 即可求得 x 1 =2 ， x 2 =3 ， 代入可得 1 x 1 + 1 x 2 = 1 2 + 1 3 = 5 6 . 故选 D. x + ++ - - 1 2 3 4 变式训练 2 答图 x y 琢 茁 a b f （ x ） g （ x ） 变式训练 6 答图 60 参 考 答 案 3. D 【解析】 画出函数 y=f （ x ）与 y=m 的图象， ∵ 函 数 y=f （ x ） -m 有三个不同的零点， ∴ 函数 y=f （ x ）与 y=m 的 图象有 三 个 交 点 ， 由图象可 得 m 的 取 值 范 围 为 （ 1 ， 2 ） . 故选 D. 4. A 【解析】 由题意， 知 a＞0 ， 且 x=1 是 ax-b＝0 的 根， ∴a＝b＞0 ， ∴ （ ax＋b ）（ x-3 ） ＝a （ x＋1 ）（ x-3 ） ＞0 ， ∴x＜-1 或 x＞3 ， 因此原不等式的解集为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 3 ， ＋∞ ） . 故选 A. 5. B 【解析】 令 f （ x ） =2ax 2 -x-1. 当 a=0 时， 不符合 题意； 当 a≠0 时， 若 Δ=0 ， 即 a=- 1 8 ， 此时 x=-2 ， 不 符合题意； 若 Δ>0 ， 即 a>- 1 8 ， 则有 f （ 0 ）· f （ 1 ） =-1× （ 2a- 2 ） <0 ， ∴a>1. 故选 B. 6. D 【解析】 当 a＝2 时， -4＜0 恒成立 . 当 a≠2 时， a-2<0 ， 4 （ a-2 ） 2 ＋16 （ a-2 ） ＜0 0 ， ∴-2＜a＜2. 综上， 得 -2＜a≤2. 故选 D. 7. AB 【解析】 当 m=0 时， 函数 y=-4x+5 ， 令 -4x+ 5=0 ， 解得 x= 5 4 ， 此时方程只有一个实数根， 即函数只 有一个零点， A 正确； 当 m=1 时， 函数 y=x 2 -4x+4 ， 令 x 2 -4x+4=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4×1×4=0 ， ∴ 方程有两个相等的实 数根， 即函数只有一个零点， B 正确； 当 m=-1 时， 函 数 y=-x 2 -4x+6 ， 令 -x 2 -4x+6=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4× （ -1 ） ×6>0 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点， C 错误 ； 当 m=2 时 ， 函数 y=2x 2 -4x+3 ， 令 2x 2 -4x+3=0 ， ∵Δ= （ -4 ） 2 -4×2×3<0 ， ∴ 方程无实数根， 即函数无零点， D 错误 . 故选 AB. 8. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝ |x|-3 ， x≤3 ， - （ x-3 ） 2 ， x＞3 0 ， ∴ f （ 3-x ） ＝ |3-x|-3 ， x≥0 ， -x 2 ， x＜0 0 ， 由 y＝f （ x ） -g （ x ） ＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） -b＝0 ， 得 b＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） . 令 h （ x ） ＝f （ x ） ＋f （ 3-x ） ＝ -x 2 -x-3 ， x＜0 ， -3 ， 0≤x≤3 ， -x 2 ＋7x-15 ， x＞3 3 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 函数 y＝f （ x ） -g （ x ）恰有四个零点 ， 即 y＝b 与 h （ x ） ＝ f （ x ） ＋f （ 3-x ）的图象有四个不同的交点， 作出函数图象如图所示： 结合函数的图象可得， 当 -3＜b＜- 11 4 时， 函数 y＝f （ x ） -g （ x ）恰有四个零点， ∴ 实数 b 的取值范围是 -3 ， - 11 4 4 + . 故选 B. 9. 4 ， -１ 【解析】 由 f （ x ） =x 2 -3x-4=0 ， 即（ x-4 ）（ x+1 ） = 0 ， 解得 x 1 =4 ， x 2 =-1. 10. （ -∞ ， -5 ］ 【解析】 设 f （ x ） =x 2 +mx+4 ， 要使 x∈ （ 1 ， 2 ） 时， 不等式 x 2 +mx+4<0 恒成立， 则有 f （ 1 ） ≤0 ， f （ 2 ） ≤0 0 ， 即 1+m+4≤0 ， 4+2m+4≤0 0 ， 解得 m≤-5. 提升练习 11. BC 【解析】 令 t=g （ x ） =x 2 +4x+5 ， 则 f （ t ） =0 若只 有一个根， 这个根必须大于 1 ， 此时 a=1 ， t=1 ， 或者 a= 0 ， t= 1 2 ， 不符合题意； f （ t ） =0 若有两个根， 则一个根 大于 1 ， 另一个根小于 1 ， 解得 0<a<1. 故选 BC. 12. ［ -3 ， -1 ） ∪ ［ 3 ， +∞ ） 【解析】 由题意得 g （ x ） = x+3-2x ， x>a ， x 2 +6x+3-2x ， x≤a 0 ， 即 g （ x ） = 3-x ， x>a ， x 2 +4x+3 ， x≤a 0 . 如图所示， ∵ g （ x ）恰有两个不同的零点， 即 g （ x ）的 图象与 x 轴有两个交点 . 若当 x≤a 时， g （ x ） =x 2 +4x+3 有两个零点， 则令 x 2 + 4x+3=0 ， 解得 x=-3 或 x=-1 ， 则当 x>a 时， g （ x ） =3-x 没有零点， ∴a≥3. 若当 x≤a 时， g （ x ） =x 2 +4x+3 有一个零点， 则当 x>a 时， g （ x ） =3-x 必有一个零点， 即 -3≤a<-1. 综上 a∈ ［ -3 ， -1 ） ∪ ［ 3 ， +∞ ） . 13. 2 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 4 ） 【解析】 当 m=4 时， x+ 4 x =±4 ， 得到 x 2 ±4x+4=0 ， 方程有两个根； f （ x ） = x+ m x - 4 有四个零点 ， 即 x 2 ±4x+m=0 有四个根 ， 解得 m<4 且 m≠0 或者画函数 g （ x ） =x+ m x 的图象进行分析 4 + . 14. 解： （ 1 ） 由题意知 a≠0 ， F （ x ） ＝f （ x ） -x＝a （ x-m ） ·（ x-n ）， 当 m＝-1 ， n＝2 时， 不等式 F （ x ） ＞0 ， 即 a （ x＋1 ）（ x- 2 ） ＞0. 当 a＞0 时， 不等式 F （ x ） ＞0 的解集为 {x|x＜-1 或 x＞2} ； 当 a＜0 时， 不等式 F （ x ） ＞0 的解集为 {x|-1＜x＜2}. （ 2 ） f （ x ） -m＝F （ x ） ＋x-m＝a （ x-m ）（ x-n ） ＋x-m＝ （ x-m ）· x y O -3 3 y=- 11 4 第 8 题答图 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 x y O 第 12 题答图 -1 61 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ ax-an＋1 ）， ∵a＞0 ， 且 0＜x＜m＜n＜ 1 a ， ∴x-m＜0 ， 1-an＋ ax＞0 ， ∴ f （ x ） -m＜0 ， 即 f （ x ） ＜m. * 15. 解： （ 1 ） 函数 f （ x ）对称轴为 x=m ， 当 m≤0 时， f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上单调递增， 故 f （ x ） min =f （ 0 ） =2m+3. 当 0<m≤1 时， f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上先减后增， 故 f （ x ） min =f （ m ） =-m 2 +2m+3. 当 m>1 时 ， f （ x ）在 ［ 0 ， 1 ］上单调递减 ， 故 f （ x ） min = f （ 1 ） =4. ∴ f （ x ） min = 2m+3 （ m≤0 ）， -m 2 +2m+3 （ 0<m≤1 ）， 4 （ m>1 ） ） $ $ $ # $ $ $ % . （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 2 -2mx+2m+3 在区间 （ -2 ， 0 ）上只 有一个零点， f （ -2 ）· f （ 0 ） <0 ， 得 - 3 2 <m<- 7 6 . 考虑边界情况： 由 f （ -2 ） =0 ， 得 m=- 7 6 ， ∴ f （ x ） =x 2 + 7 3 x+ 2 3 ， ∴x=-2 或 x=- 1 3 ， ∴m=- 7 6 满足 . 由 f （ 0 ） =0 ， 得 m=- 3 2 ， ∴ f （ x ） =x 2 +3x ， ∴x=-3 或 x=0 ， ∴m≠- 3 2 . 综上， 得 - 3 2 <m≤- 7 6 . 第 2 课时 零点的存在性及其近似值的求法 学习手册 变式训练 1 1. D 【解析】 根据函数零点存在定理， 函数 y=f （ x ） 在区间 ［ a ， b ］ 上的图象是连续不断的一条曲线 ， 且 f （ a ）· f （ b ） <0 ， 那么函数 f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上至少存在 一个零点， 但不一定只存在唯一的零点； 反之， 由 “函 数 y=f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上有零点”， 也不一定有 f （ a ）· f （ b ） <0 ， 如函数 y=｜x｜ 在区间 （ -1 ， 1 ） 的零点是 0. 并不 满足 f （ -1 ）· f （ 1 ） <0 ， 故选 D. 变式训练 2 D 【解析】 ∵x=0 是函数 f （ x ）的零点， 则函数 f （ x ） = ｜x｜ x+2 -kx 2 （ k∈R ） 有四个不同的零点 ， 等价于方程 k= 1 ｜x｜ （ x+2 ） 有三个不同的根， 即方程 1 k =｜x｜ （ x+2 ）有三个不 同的根 . 记函数 g （ x ） =｜x｜ （ x+2 ） ＝ x 2 +2x ， x≥0 ， -x 2 -2x ， x<0 0 ， 由题意 y= 1 k 与 y=g （ x ）有三个不同的交点， 由图象可知 0< 1 k <1 ， ∴k>1. 故选 D. 变式训练 3 C 【解析 】 根据二 分 法 ， 结 合 表 中数据 ， 由 于 f （ 1.438 ） =0.165>0 ， f （ 1.406 5 ） =-0.052<0 ， ∴ 方程 x 3 +x 2 - 2x-2=0 的一个近似根所在区间为 （ 1.406 5 ， 1.438 ）， ∴ 符合条件的解为 1.4. 故选 C. 变式训练 4 D 【解析 】 由已知令 f （ x ） ＝x 3 -2x-1 ， ∴ f （ 1 ） ＝-2 ， f （ 2 ） ＝3 ； 由二分法知计算 f （ 1.5 ） ＝-0.625＜0 ， 故由 f （ 1 ） ＜ 0 ， f （ 2 ） ＞0 ； ∴ 方程的根位于区间 （ 1.5 ， 2 ） 内 . 故选 D. 随堂练习 1. B 【解析】 显然函数 f （ x ） =x 3 +3x-5 在 R 上单调递 增， f （ -2 ） <f （ -1 ） <f （ 0 ） <f （ 1 ） =-1<0 ， 而 f （ 2 ） =9>0 ， ∴ 零点 所在的区间可以为 （ 1 ， 2 ） . 故选 B. 2. B 【解析】 由表可知， f （ 2 ）· f （ 3 ） <0 ， f （ 3 ）· f （ 4 ） <0 ， f （ 4 ）· f （ 5 ） <0 ， ∴ 函数 f （ x ）在区间 ［ 1 ， 6 ］ 上至少有 3 个 零点 . 故选 B. 3. B 【解析】 依题意， 函数的零点在 （ 0.68 ， 0.72 ） 内， 四个选项中只有 0.7∈ （ 0.68 ， 0.72 ）， 且满足 |0.72- 0.68|<0.1 ， ∴ 所求的符合条件的近似值为 0.7. 故选 B. 4. A 【解析】 根据题意， 利用二分法求函数零点的 条件是函数在零点的左右两侧的函数值符号相反， 即穿 过 x 轴 . 据此分析， 选项 A 中函数不能用二分法求零点 . 故选 A. 5. C 【解析 】 x 3 ， x 4 是 f （ x ）的零点 ， f （ x 3 ） =f （ x 4 ） =0 ， f （ x 1 ） =f （ x 2 ） =-2 017<0 ， ∴x 3 <x 1 <x 2 <x 4 . 故选 C. 6. BD 【解析】 当 m=0 时， 方程变为 -2｜x｜-1=0 ， 即 ｜x｜= -1 2 ， 此时无解， 故 A 错误 . 当 m<-1 时， 首先， 0 显 然不是方程的根， 若方程有实根， 则由 mx 2 -2｜x｜-1=0 得 到 0>mx 2 =2｜x｜+1≥1 ， 矛盾， 于是当 m<-1 时， 方程没有 实数根， B 正确 . 由 B 选项的过程， 类似可知， 当 m<0 时方程无解， 故当 m≤0 时， 原方程均无解 . 当 m>0 时， mx 2 -2｜x｜-1=0=m｜x｜ 2 -2｜x｜-1 ， 设 t=｜x｜ ， 于是方程可转化成 关于 t 的方程 mt 2 -2t-1=0 ， Δ=4+4m>0 ， 则关于 t 的方程 必定两个解 t 1 ， t 2 ， 由韦达定理， t 1 t 2 = -1 m <0 ， 故两根一 正一负， 不妨设 t 1 >0>t 2 ， 那么 t 1 =｜x｜ 有两解， t 2 =｜x｜ 无解， 综上， 原方程有根时， 只可能有两个根， 于是 C 错误， D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）的图象是连续的曲线 ， 且 f （ ３ ） =5.4>0 ， f （ 4 ） =-5.5<0 ， ∴ f （ ３ ）· f （ 4 ） <0 ， 根据零点 存 在 定 理 可 得函数 y =f （ x ）必 定 存 在 零 点 位 于区 间 （ 3 ， 4 ） ， 故 方 程 f （ x ） =0 必 存 在 根 的 一 个 区 间 是 （ 3 ， 4 ） . 故选 C. 2. C 【解析】 由表格可得， 函数 f （ x ） ＝x 3 ＋2x-9 的零 点在 （ 1.75 ， 1.875 ） 之间 . 结合选项可知， 方程 x 3 ＋2x- 9＝0 的近似解可取为 （精确度为 0.1 ） 1.8 ， 故选 C. 3. C 【解析】 ∵f （ 0 ） =-6 ， f （ 2 ） =8 ， f （ 1 ） =-2 ， f 3 2 2 + = 62 参 考 答 案 15 8 . ∴ 可判断出 f （ x ）的零点所在区间为 ［ 1 ， 1.5 ］， 满足 精确度 0.5. ∴x 0 可以是 1.25. 故选 C. 4. C 【解析】 设须计算 n 次， 则 n 满足 1 2 n ≤0.1 ， 即 2 n ≥10. 故计算 4 次就可满足要求， ∴ 将区间 （ 1 ， 2 ）等 分的次数至少为 4 次 . 故选 C. 5. A 【解析】 ∵ 集合 A∩B 有 2 个子集， ∴A∩B 只 有一个元素 . 集合 A ， B 分别表示两个函数图象上的点 集， A∩B 只有一个元素， 即关于 x 的方程 x 2 -2x-1=kx- 1 有两个相同的实根 ， 方程整理为 x 2 - （ 2+k ） x=0 ， ∴Δ= （ k+2 ） 2 =0 ， 解得 k=-2. 故选 A. 6. ABD 【解析】 ∵f （ -3 ） =- 1 3 + 9 2 -2= 13 6 >0 ， f （ -2 ） =- 1 2 +2-2=- 1 2 <0 ， ∴ f （ -3 ） f （ -2 ） <0 ， ∴ （ -3 ， -2 ）内存在零点， A 正确； ∵f 1 2 2 % =2+ 1 8 -2= 1 8 >0 ， f （ １ ） =1+ 1 2 -2=- 1 2 <0 ， ∴ f 1 2 2 % f （ 1 ） <0 ， ∴ 1 2 ， 2 % 1 内存在零点， B 正确； ∵f （ ２ ） = 1 2 +2-2= 1 2 >0 ， f （ 3 ） = 1 3 + 9 2 -2= 17 6 >0 ， ∴ f （ ２ ） f （ 3 ） >0 ， ∴ （ 2 ， 3 ）内不存在零点， C 错误； ∵f （ -１ ） =-1+ 1 2 -2=- 5 2 <0 ， f 1 2 2 % =2+ 1 8 -2= 1 8 >0 ， ∴ f （ -1 ） f 1 2 2 % <0 ， ∴ -1 ， 1 2 2 % 内存在零点， D 正确 . 故选 ABD. 7. ABC 【解析】 D 选项虽然有零点， 但是在零点左 右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点， 而 A ， B ， C 三项符合利用二分法求函数零点的条件 . 故 选 ABC. 8. 3 2 ， 2 % 2 【解析 】 令函数 f （ x ） =x 3 -2x-1 ， 则可得 f （ 1 ） =1 3 -2×1-1=-2<0 ， f （ 2 ） =2 3 -2×2-1=3>0 ， 又 ∵f 3 2 2 % = 3 2 2 % 3 -2× 3 2 -1=- 5 8 <0 ， 则下一步可判定该根所在区间 为 3 2 ， 2 % 2 . 9. 9 【解析】 f （ x ） ＝x 2 ＋6x＋c 有零点， 但不能用二分法 求出， 则 x 2 ＋6x＋c＝0 有两个相等的实数根， 则 Δ＝36-4c＝ 0 ， 解得 c＝9. 10. （ 1 ） 证明： ∵f （ 0 ） ＝1>0 ， f （ 2 ） ＝- 1 3 <0 ， ∴ f （ 0 ）· f （ 2 ） <0 ， 由函数的零点存在定理可得， 方程 f （ x ） ＝0 在 区间 （ 0 ， 2 ） 内有实数解 . （ 2 ） 解： 取 x 1 ＝ 1 2 （ 0＋2 ） ＝1 ， 得 f （ 1 ） ＝ 1 3 >0 ， 由此可得 f （ 1 ） f （ 2 ） <0 ， 下一个有解区间为（ 1 ， 2 ） . 再取 x 2 ＝ 1 2 （ 1＋2 ） ＝ 3 2 ， 得 f 3 2 2 % ＝- 1 8 <0 ， ∴ f （ 1 ） f 3 2 2 % <0 ， 下一个有解区间为 1 ， 3 2 2 % . 再取 x 3 ＝ 1 2 1+ 3 2 2 % ＝ 5 4 ， 得 f 5 4 2 % ＝ 17 192 >0 ， ∴ f 5 4 2 % f 3 2 2 % <0 ， 下一个有解区 间为 5 4 ， 3 2 2 % . 综上所述， 所求的实数解 x 0 在区间 5 4 ， 3 2 2 % 内 . 提升练习 11 . A 【解析 】 当 a=-2 时 ， 函数 f （ x ） =x- 2 x 在 （ 1 ， 2 ） 上单调递增， 又 f （ 1 ） =1-2<0 ， f （ 2 ） =2-1=1>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上恰有一个零点， 满足题意， 故 A 正确； 当 a=0 时， 函数 f （ x ） =x 在 （ 1 ， 2 ） 上单调递增 ， 又 f （ 1 ） =1>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上没有零点， 故 B 错误； 当 a=1 时， 函数 f （ x ） =x+ 1 x 在 （ 1 ， 2 ） 上单 调递增， 又 f （ 1 ） =1+1=2>0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上没 有零点， 故 C 错误； 当 a=3 时， 函数 f （ x ） =x+ 3 x ， ∴ f （ x ） 在 （ 1 ， 3 姨 ） 上单调递减， 在 （ 3 姨 ， 2 ） 上单调递 增 ， 又 f（ 3 姨 ） =2 3 姨 >0 ， 故 f （ x ）在区间 （ 1 ， 2 ） 上 没有零点， 不满足题意， 故 D 错误 . 故选 A. 12. ABD 【解析】 对函数 f （ x ） =x 2 ， f （ -1 ） f （ 1 ） >0 ， 但 f （ 0 ） =0 ， 故 A 错误； 对于函数 f （ x ） =x 3 -x ， f （ -2 ） f （ 2 ） <0 ， 但 f （ 0 ） =f （ -1 ） =f （ 1 ） =0 ， 故 B 错误； 函数 f （ x ） =x 2 满足 C ， 故 C 正确； 由函数零点存在定理知 D 错误 . 故选 ABD. 13. B 【解析】 图象经过（ 0 ， 0 ）， （ -2 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ） 3 个点 . 由图象过原点（ 0 ， 0 ）， 知 d=0. 由图象过另外两点， 可知 f （ x ） =ax （ x+2 ）（ x-1 ）， 即 f （ x ） =ax 3 +ax 2 -2ax. 又由图象， 得 f （ 2 ） =2a （ 2+2 ） × （ 2-1 ） >0 ， 可得 a>0. 又 ∵f （ x ） =ax 3 +bx 2 +cx+d ， ∴b=a>0 ， c=-2a<0. 综上可知 a>0 ， b>0 ， c<0. 故选 B. 14. ①②③ 【解析】 设 f （ x ） ＝x 3 ＋x 2 -2x-1 ， 则 f （ -2 ） ＝-1＜0 ， f （ -1 ） ＝1＞0 ， f （ 0 ） ＝-1＜0 ， f （ 1 ） ＝-1＜0 ， f （ 2 ） ＝7＞0 ， 则 f （ x ）在（ -2 ， -1 ）， （ -1 ， 0 ）， （ 1 ， 2 ） 内均有零 点， 即 ①②③ 正确 . 当 x>2 时 ， x 3 ＋x 2 -2x-1＝x 3 -1+x （ x-2 ） >0 ， ∴ 在 （ 2 ， ＋∞ ） 内没有实数根 . * 15. 解： （ 1 ） f （ x ）在 ［ -1 ， 1 ］ 上是增函数 . 证明如下 ： 任取 x 1 ， x 2 ∈ ［ -1 ， 1 ］ ， 且 x 1 <x 2 ， 则 -x 2 ∈ ［ -1 ， 1 ］， 又 ∵f （ x ）为奇函数， 63 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） =f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） = f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 -x 2 ·（ x 1 -x 2 ） . 由已知得 f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 + （ -x 2 ） >0 ， x 1 -x 2 <0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . ∴ f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增 . （ 2 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增， ∴ x+ 1 2 >2x- 1 2 ， -1≤x+ 1 2 ≤1 ， -1≤2x- 1 2 ≤1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， ∴ - 1 4 ≤x≤ 1 2 ， ∴ 不等式的解集为 x - 1 4 ≤x≤ 1 2 2 ' . （ 3 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上是增函数， ∴ f （ x ） ≤f （ 1 ） =1 ， 即 1 是 f （ x ）的最大值 . 若 m 2 -2ax+1≥f （ x ）对所有 x∈ ［ -1 ， 1 ］， a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒 成立， 则有 m 2 -2am+1≥1 ， 对 a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒成立， 即 m 2 -2am≥0 恒成立 . 令 g （ a ） =-2ma+m 2 ， 它的图象是一条线段， 则 g （ -1 ） =m 2 +2m≥0 ， g （ 1 ） =m 2 -2m≥0 2 ， 解得 m∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪{0}∪ ［ 2 ， +∞ ） . 3.3 函数的应用 （一） 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由题意， 手机所存话费余额 y （元） 与主 叫时间 t （ min ） 之间的函数关系满足一次函数， 不妨设 为 y=at+b ， 可知当 t=0 时 ， y=100+3.5-20=83.5 ， 故 b= 83.5 ， 且主叫每分钟 0.2 元， 故 a=-0.2 ， 故函数关系为 y=83.5-0.2t. 故选 B. 变式训练 2 C 【解析】 由题意， 设该商品定价为 x 元， 利润为 f （ x ）， 故 f （ x ） = （ x-4 ）［ １00-１0 （ x-6 ）］ -20=-10x 2 +200x- 660 （ 0<x≤16 ）， f （ x ）为开口向下的二次函数， 对称轴为 x=10 ， 故当 x=10 时， f （ x ）取得最大值， 因此若要利润最 大， 则该商品每件的价格应该定为 10 元 . 故选 C. 变式训练 3 解 ： （1 ） ∵ 当 0≤t≤8 时 ， 图象过点 （ 8 ， 206 ）， ∴206=8a+118 ， ∴a=11. ∵ 函数连续， ∴2×8 2 -64×8+b=206 ， ∴b=590. ∴a=11 ， b=590. （ 2 ） ① 该同学应该戴防雾霾口罩 . ∵ 当 t=7 时， y=11×7+118=195>150 ， ∴ 该同学应该 戴防雾霾口罩 . ② 令 2t 2 -64t+590≤150 ， 即 t 2 -32t+220≤0 ， 解得 10≤t≤22. ∵22-10=12 ， ∴ 该行业可以施工作业的时间最长为 12 小时 . 变式训练 4 解： （1 ） 设该项目获得的利润为 Q （元）， 当 x∈ ［ 200 ， 300 ］ 时 ， 则 有 Q =200x - 1 2 x 2 +200x -80 000 = - 1 2 （ x-400 ） 2 ， x∈ ［ 200 ， 300 ］ . 显然， Q<0 ， ∴ 该项目不 会获利 . 当 x=300 时， Q max =- 1 2 × （ 300-400 ） 2 =-5 000. ∴ 政府 每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损 . （ 2 ） 设每吨的平均处理成本为 z （元）， 则有 z= y x = 1 3 x 2 -80x+5 040 ， x∈ ［ 120 ， 144 ）， 1 2 x+ 80 000 x -200 ， x∈ ［ 144 ， 500 ） ） $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 当 x∈ ［ 120 ， 144 ） 时， z= 1 3 （ x-120 ） 2 +240. ∴z min =240 ； 当 x ∈ ［ 144 ， 500 ） 时 ， z = x 2 + 80 000 x -200 ≥ 2 x 2 · 80 000 x 姨 -200=200 . 当且仅当 x 2 = 80 000 x ， 即 x= 400 时， 等号成立 . ∴z min =200. ∵240>200 ， ∴ 项目每月处理量为 400 t 时， 才能使 每吨的平均处理成本最低 . 随堂练习 1. B 【解析 】 2020 年 的 增 长 率 大 约 为 100-50 50 = 100% ， 2021 年的增长率约为 300-100 100 =200% ， 2022 年 的增长率约为 510-300 300 =70% ， 2023 年的增长率约为 950-510 510 ≈85% ， ∴ 年增长率最高的为 2021 年 . 故选 B. 2. A 【解析】 由题意得 （ 150-2x ） x- （ 50+30x ） ≥1 300 ， 化简得 x 2 -60x+675≤0 ， 解得 15≤x≤45. 故选 A. 3. A 【解析】 设矩形的宽为 x m ， 则该矩形的长为 （ 200-4x ） m ， ∴ 矩形的面积为 S=x （ 200-4x ） =-4 （ x 2 -50x ） =-4 （ x-25 ） 2 +2 500 ， 其中 0<x<50 ， 故当 x=25 时 ， S 取 得最大值 2 500 m 2 . 故选 A. 4. AC 【解析】 P 在 AB 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP｜ 2 =3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， P 在 BC 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， P 在 CA 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 15 ） 2 （ 12≤x≤18 ）， ∴ f （ x ） =｜OP｜ 2 = 3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， 3+ （ x-9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， 3+（x-15 ） 2 （ 12≤x≤18 ） ） $ $ $ ） $ $ $ % . 由图象可得， 方程 f （ x ） =kx+3 最多有 6 个实数根， 64 第三章 函 数 学 学 习 目 标 1. 明确函数零点的概念 . 2. 能够通过二次函数理解函数的零点与 其对应方程、 不等式解集之间的关系 . 3. 能够利用图象解决一元二次方程根的 分布问题 . 要 点 精 析 要点 1 求函数的零点 思考 函数的零点是一个点吗？ 例 1 判断下列函数是否存在零点， 如 果存在， 请求出 . （ 1 ） f （ x ） =-x 2 -4x-4 ； （ 2 ） f （ x ） = （ x-1 ）（ x 2 -4x+3 ） x-3 . 分析 一般地， 如果函数 y=f （ x ）在实 数 α 处的函数值等于零， 即 f （ α ） =0 ， 则称 α 为函数 y=f （ x ）的零点 . 解： （ 1 ） 令 -x 2 -4x-4=0 ， 解得 x=-2 ， ∴ 函数 f （ x ）存在零点， 且零点为 -2. （ 2 ） 令 （ x-1 ）（ x 2 -4x+3 ） x-3 =0 ， 解得 x=1 ， ∴ 函数 f （ x ）存在零点， 且零点为 1. 反思感悟 求函数的零点就是求对应方程的根 . 变式训练 1 函数 f （ x ） =x- 1 x 的零点是 . 要点 2 二次函数的零点及其与对应方 程、 不等式解集之间的关系 思考 如果一个一元二次方程没有实 数根， 与其对应的一元二次不等式的解集 一定是空集吗？ 例 2 解下列不等式： （ 1 ） 2x 2 +5x-3＜0 ； （ 2 ） -3x 2 +6x≤2 ； （ 3 ） 4x 2 +4x+1＞0 ； （ 4 ） -x 2 +6x-10＞0. 分析 一般地 ， 对于二次函数 f （ x ） = ax 2 +bx+c （ a>0 ）， 二次函数的零点及其对应 方程、 不等式解集之间的关系： （ 1 ） 当 Δ=b 2 -4ac＞0 时， 方程 ax 2 +bx+c= 0 的解集中有两个元素 x 1 ， x 2 （其中 x 1 <x 2 ）， x 1 ， x 2 是 f （ x ）的两个零点， f （ x ）的图象与 x 轴有两个公共点（ x 1 ， 0 ）， （ x 2 ， 0 ）， f （ x ） <0 的解集为 {x |x 1 <x<x 2 } ， f （ x ） >0 的解集为 {x|x<x 1 或 x>x 2 } ； （ 2 ） 当 Δ=b 2 -4ac=0 时， 方程 ax 2 +bx+c= 0 的解集中只有一个元素 x 0 ， 且 x 0 是 f （ x ） 唯一的零点， f （ x ）的图象与 x 轴有一个公共 点， f （ x ） <0 的解集为空集， f （ x ） >0 的解集 3.2 函数与方程、 不等式之间的关系 第 1课时 函数的零点、 二次函数的零点及其 与对应方程、 不等式解集之间的关系 79 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 为 {x|x≠x 0 } ； （ 3 ） 当 Δ=b 2 -4ac＜0 时， 方程 ax 2 +bx+c= 0 没有实数根， 此时 f （ x ）无零点， f （ x ）的图 象与 x 轴没有公共点， f （ x ） <0 的解集为空 集， f （ x ） >0 的解集为 R. 解： （ 1 ） Δ=49＞0 ， 方 程 2x 2 +5x -3 =0 的 两 根 为 x 1 =-3 ， x 2 = 1 2 ， 作出函数 y= 2x 2 +5x-3 的图象 ， 如图 3- 2-1 （ A ） 所示 . 由图可得原 不等式的解集为 x -3<x< 1 2 2 # . （ 2 ） 原不等式等价于 3x 2 -6x+2≥0 ， Δ=12＞0 ， 解 方 程 3x 2 -6x +2 =0 ， 得 x 1 = 3- 3 姨 3 ， x 2 = 3+ 3 姨 3 ， 作 出函数 y=3x 2 -6x+2 的图象 ， 如图 3-2-1 （ B ） 所示 ， 由图可得原不等式的解集为 x x≤ 3- 3 姨 3 或 x≥ 3+ 3 姨 3 2 3 . （ 3 ） ∵Δ=0 ， ∴ 方程 4x 2 + 4x+1=0 有两个相等的实根 x 1 =x 2 =- 1 2 . 作出函数 y=4x 2 + 4x+1 的图象如图 3-2-1 （ C ） 所示 . 由图可得原不等式的解 集为 x x∈R 且 x≠- 1 2 2 3 . （ 4 ） 原 不 等 式 可 化 为 x 2 - 6x +10 ＜0 ， ∵Δ=-4＜0 ， ∴ 方程 x 2 -6x+10=0 无实根， ∴ 原 不等式的解集为 芰. 变式训练 2 求不等式 （ x-1 ）（ x-2 ）（ x-3 ）（ x-4 ） <0 的 解集 ． 例 3 （ 1 ） 若不等式 ax 2 +bx+2＞0 的解 集是 x - 1 2 <x< 1 3 2 3 ， 则 a+b 的值为 （ ） A. 14 B. -10 C. 10 D. -14 （ 2 ） 已知一元二次不等式 x 2 +px+q＜0 的 解集为 x - 1 2 <x< 1 3 2 3 ， 求不等式 qx 2 +px+1＞ 0 的解集 . 分析 已知不等式 ax 2 +bx+c>0 （或 <0 ） 的解集， 可利用二次函数的图象判断抛物 线的方向， 再结合韦达定理， 求出未知 . 解析： （ 1 ） 由已知得， ax 2 +bx+2=0 的 解为 - 1 2 ， 1 3 ， 且 a＜0 ， ∴ - b a =- 1 2 + 1 3 ， 2 a = - 1 2 2 + × 1 3 3 . . . . . . - . . . . . . / ， 解得 a=-12 ， b=-2 2 ， x y O 1 2 -3 -3 图 3-2-1 （ A ） x y O 1 x 1 x 2 x y O - 1 2 图 3-2-1 （ B ） 图 3-2-1 （ C ） 80 第三章 函 数 学 ∴a+b=-14. 故选 D. （ 2 ） ∵x 2 +px+q＜0 的解集为 x - 1 2 <x< 1 3 ! " ， ∴x 1 =- 1 2 与 x 2 = 1 3 是方程 x 2 +px+q=0 两个实数 根 ， 由根与系数的关系得 1 3 - 1 2 =-p ， 1 3 × - 1 2 2 $ =q q ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( ， 解得 p= 1 6 ， q=- 1 6 q ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( . ∴ 不等式 qx 2 +px+1＞0 ， 即 - 1 6 x 2 + 1 6 x+1＞0 ， 整理得 x 2 -x-6＜0 ， 解得 -2＜x＜3. 即不等式 qx 2 +px+1＞0 的解集为 {x|-2＜x＜3}. 变式训练 3 已知不等式 ax 2 +bx+2>0 的解集为 {x|-1< x <2} ， 则 不 等 式 2x 2 +bx +a <0 的 解 集 为 （ ） A． {x|x<-2 或 x>1} B． x x<-1 或 x> 1 2 ! " C． {x|-2<x<1} D． x -1<x< 1 2 ! " 要点 3 分段函数的零点 例 4 函数 f （ x ） = x-4 ， x≥姿 ， x 2 -4x+3 ， x<姿 ! ， 已知 姿∈R ， 当 姿=2 时， 不等式 f （ x ） <0 的解集是 ； 若函数 f （ x ）恰有两个零点， 则 姿 的取值范围是 . 分析 分段函数零点问题分段看， 要 灵活运用分类讨论思想和数形结合思想 . 解析： 当 姿=2 时， 由题意得 x≥2 ， x-4< ! 0 或 x<2 ， x 2 -4x+3<0 ! ， ∴2≤x<4 或 1<x<2 ， 即 1<x<4 ， 不等式 f （ x ） <0 的解集是（ 1 ， 4 ） . 若函数 f （ x ）恰有两个零点， 当 姿>4 时， f （ x ） =x-4>0 ， 此时 f （ x ） =x 2 -4x+3=0 ， x=1 或 x=3 ， 即在（ -∞ ， 姿 ）上有两个零点； 当 姿≤4 时， f （ x ） =x-4=0 ， x=4 ， 由 f （ x ） =x 2 -4x+3 在 （ -∞ ， 姿 ）上只能有一个零点得 1<姿≤3. 综 上， 姿 的取值范围为（ 1 ， 3 ］ ∪ （ 4 ， +∞ ） . 变式训练 4 若 f （ x ） = x 2 -x-1 ， x∈ （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ）， 1 ， x∈ （ -1 ， 2 ） ! . 求函数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点 ． 81 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 要点 4 一元二次方程根的分布问题 例 5 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2mx+2m+1=0. （ 1 ） 若方程有两根， 其中一根在区间 （ -1 ， 0 ） 内， 另一根在区间 （ 1 ， 2 ） 内， 求 m 的取值范围； （ 2 ） 若方程有两个不相等实根均在区间 （ 0 ， 1 ） 内， 求 m 的取值范围 . 分析 二次方程根的分布问题， 一定 要通过二次函数图象进行研究， 把根与区 间端点的关系转移到函数在区间端点的函 数值的符号， 并注意函数的开口、 判别式、 对称轴等问题 . 解： （ 1 ） 令 f （ x ） =x 2 +2mx+2m+1 ， 依题 意得函数 f （ x ） =x 2 +2mx+2m+1 的图象与 x 轴 的交点分别在区间（ -1 ， 0 ）和（ 1 ， 2 ）内， 画 出图象如图 3-2-2 （ A ） 所示： 由图象得 f （ -1 ） =2>0 ， f （ 0 ） =2m+1<0 ， f （ 1 ） =4m+2<0 ， f （ 2 ） =6m+5>0 0 # # # # # # # # " # # # # # # # # $ ， 即 m<- 1 2 ， m<- 1 2 ， m>- 5 6 0 # # # # # # # # # # " # # # # # # # # # # $ ， ∴- 5 6 ＜m＜- 1 2 ， 即 m 的取值范围是 - 5 6 ， - 1 2 2 & . （ 2 ） 根据函数图象与 x 轴的两个交点均 在区间（ 0 ， 1 ）内， 画出图象如图 3-2-2 （ B ） 所示： 由图象得 Δ>0 ， 0<-m<1 ， f （ 0 ） >0 ， f （ 1 ） >0 0 # # # # # # # # " # # # # # # # # $ ， 即 m>1+ 2 姨 或 m<1- 2 姨 ， -1<m<0 ， m>- 1 2 ， m>- 1 2 0 # # # # # # # # # # # " # # # # # # # # # # # $ ， ∴- 1 2 ＜m＜1- 2 姨 ， 即 m 的取值范围是 - 1 2 ， 1- 2 姨 2 & . 变式训练 5 设 a∈R ， 关于 x 的方程 7x 2 - （ a+13 ） x+ a 2 -a-2=0 有两实数根 x 1 ， x 2 ， 且 0<x 1 <1<x 2 < 2 ， 则实数 a 的取值范围是 . 例 6 设二次函数 f （ x ） =x 2 +ax+a ， 方程 f （ x ） -x=0 的两根 x 1 和 x 2 满足 0＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， 求 实数 a 的取值范围 . 分析 将方程 f （ x ） -x=0 转化为二次函 数 g （ x ） =f （ x ） -x 的零点问题， 根据 x 1 ， x 2 的 取值范围， 即可推导出 a 的取值范围 . 解： 令 g （ x ） =f （ x ） -x=x 2 + （ a-1 ） x+a ， 则由题意可得 Δ>0 ， 0< 1-a 2 <1 ， g （ 1 ） >0 ， g （ 0 ） >0 0 # # # # # # # # # " # # # # # # # # # $ ， ∴0＜a＜3-2 2 姨 . 故实数 a 的取值范围是（ 0 ， 3-2 2 姨 ） . x y O -1 1 2 x y O 1 图 3-2-2 （ A ） 图 3-2-2 （ B ） 82 第三章 函 数 学 变式训练 6 已知 f （ x ） = （ x-a ）（ x-b ） -2 （ a<b ）， 且 α ， β 是方程 f （ x ） =0 的两根 （ α<β ）， 则实数 a ， b ， α ， β 的大小关系是 （ ） A． a<α<b<β B． a<α<β<b C． α<a<b<β D． α<a<β<b 数 学 文 化 例 高斯是德国著名的数学家， 近代数 学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的称号， 为了纪念数学家高斯， 人们把函数 y= ［ x ］， x∈R 称为高斯函数， 其中 ［ x ］ 表示不超过 x 的最大整数 . 设 {x}=x- ［ x ］， 则函数 f （ x ） = 2x{x}-x-1 的所有零点之和为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 分析 由题意知， 当 x=0 时， f （ x ） =-1 ， 所以 0 不是函数 f （ x ）的零点 . 当 x≠0 时， 令 y 1 =2{x}=2x-2 ［ x ］， y 2 = 1 x +1 ， 作出函数 y 1 = 2{x}=2x-2 ［ x ］， y 2 = 1 x +1 的图象， 利用数形 结合思想， 结合函数零点的定义即可求解 . 解析： 由题意知， 当 x=0 时， f （ x ） =-1 ， ∴0 不是函数 f （ x ）的零点 . 当 x≠0 时 ， f （ x ） =2x{x}-x-1=0 可得 ， 2{x}= 1 x +1. 令 y 1 =2{x}=2x-2 ［ x ］， y 2 = 1 x +1 ， 作出函数 y 1 =2{x}=2x-2 ［ x ］， y 2 = 1 x +1 的 图象如图 3-2-3 所示： 由图象可知， 除点（ -1 ， 0 ）外， 函数 y 1 = 2{x}=2x-2 ［ x ］， y 2 = 1 x +1 的图象其余交点关于 （ 0 ， 1 ）中心对称， ∴ 横坐标互为相反数， 即 x 1 +x 2 +x 3 + … =0. 由函数零点的定义知， 函数 f （ x ） =2x{x}- x-1 的所有零点之和为 -1+x 1 +x 2 +x 3 + … =-1+ 0=-1. 故选 A. x y O -1 图 3-2-3 83 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能够利用函数零点存在定理判定函数 是否存在零点 . 2. 能够利用二分法求方程的近似解 . 要 点 精 析 要点 1 判断函数零点个数或所在区间 例 1 （ 1 ） 已知函数 y=f （ x ）的图象是连 续不断的一条曲线， 有如下的对应值表： 则下列关于函数 y=f （ x ）的说法正确的 是 （ ） A. 在区间［ 1 ， 6 ］上有三个零点 B. 在区间［ 1 ， 6 ］上至少有三个零点 C. 在区间［ 1 ， 6 ］上至多有三个零点 D. 在区间［ 1 ， 2 ］上无零点 （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 3 +x-5 的零点所在区间 为 （ ） A. （ 0 ， 1 ） B. （ 1 ， 2 ） C. （ 2 ， 3 ） D. （ 3 ， 4 ） 分析 由函数零点存在定理可知， 如 果函数 y=f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上的图象是 连续不断的， 并且 f （ a ）· f （ b ） ＜0 （即在区间 两个端点处的函数值异号）， 则函数 y=f （ x ） 在区间 （ a ， b ） 中至少有一个零点 ， 即 埚x 0 ∈ （ a ， b ）， f （ x 0 ） =0. 解析： （ 1 ） 由表可知 ， f （ 2 ） f （ 3 ） ＜0 ， f （ 3 ） f （ 4 ） ＜0 ， f （ 4 ） f （ 5 ） ＜0. 由函数零点存在定 理知， 函数 y=f （ x ）在区间（ 2 ， 3 ）， （ 3 ， 4 ）， （ 4 ， 5 ）上分别至少存在一个零点， ∴ 函数 y= f （ x ）在区间［ 1 ， 6 ］上的零点至少有三个 . 虽 然 f （ 1 ） f （ 2 ） ＞0 ， 但函数 y=f （ x ）在［ 1 ， 2 ］上也有 可能存在一个或多个零点 . 故选 B. （ 2 ） 由函数 f （ x ） =x 3 +x-5 ， 可得 f （ 1 ） =1+ 1-5=-3＜0 ， f （ 2 ） =8+2-5=5＞0 ， 故有 f （ 1 ） f （ 2 ） ＜0 ， 根据函数零点存在定理可得， 函数 f （ x ） 的零点所在区间为（ 1 ， 2 ）， 故选 B. 变式训练 1 已知函数 y=f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上的图 象是连续不断的一条曲线， 则 “ f （ a ）· f （ b ） < 0 ” 是 “函数 f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上恰有一 个零点” 的 （ ） A． 充分但不必要条件 B． 必要但不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 要点 2 根据函数零点求参数 例 2 （ 1 ） 已知 a 是实数， 函数 f （ x ） = 2|x-1|+x-a ， 若函数 y=f （ x ）有且仅有两个零 点， 则实数 a 的取值范围是 . （ 2 ） 函数 f （ x ） =ax 2 -2x+1 ， 若 y=f （ x ）在区 间 - 1 2 ， 1 2 2 $ 内有零点， 则实数 a 的取值范 围为 . 分析 已知函数有零点， 求参数取值 范围常用的方法和思路： （ 1 ） 直接法： 直接根据题设条件构建 第 2课时 零点的存在性及其近似值的求法 x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88 84 第三章 函 数 学 关于参数的不等式， 再通过解不等式确定 参数范围 . （ 2 ） 分离参数法： 先将参数分离， 转 化成求函数值域问题加以解决 . （ 3 ） 数形结合法： 先对解析式变形 ， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 然后数形结合求解 . 解析： （ 1 ） 函数 f （ x ） =2|x-1|+x-a 有且 仅有两个零点， 即函数 y=2|x-1|+x 与 y=a 有 且仅有两个交点 . 分别作出函数 y=2|x-1|+x 与 y=a 的 图象 ， 如图 3-2-4 所示 . 由图易知， 当 a>1 时， 两函数的图象有 两个不同的交点， 故实数 a 的取值范围是 （ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） f （ x ） =ax 2 -2x+1=0 ， ∵f （ 0 ） =1≠0 ， ∴a=- 1 x 2 + 2 x =- 1 x - - # 1 2 +1. 若 f （ x ）在 - 1 2 ， 1 2 2 % 内有零点， 则 f （ x ） =0 在区间 - 1 2 ， 1 2 2 % 内有解， 当 - 1 2 ≤x<0 或 0<x≤ 1 2 时， 可得 a=- 1 x 2 + 2 x ≤0. ∴ 实数 a 的取值范围为（ -∞ ， 0 ］ . 变式训练 2 已知函数 f （ x ） = |x| x+2 -kx 2 有四个不同的 零点， 则实数 k 的取值范围是 （ ） A． k<0 B． k<1 C． 0<k<1 D． k>1 要点 3 利用二分法求方程的近似解 例 3 用二分法求方程 x 2 -2x-1=0 的正 数解的近似值 . （精确度为 0.1 ） 分析 在函数零点存在定理的条件满 足时 （即 f （ x ）在区间 ［ a ， b ］ 上的图象是 连续不断的， 且 f （ a ） f （ b ） ＜0 ）， 给定近似的 精确度 ε ， 用二分法求零点 x 0 的近似值 x 1 ， 使得 |x 1 -x 0 |＜ε 的一般步骤如下： 第一步， 检查 |b-a|＜2ε 是否成立， 如果 成立， 取 x 1 = a+b 2 ， 计算结束 ； 如果不成 立， 转到第二步 . 第二步， 计算区间 ［ a ， b ］ 的中点 a+b 2 对应的函数值， 若 f a+b 2 - 2 =0 ， 取 x 1 = a+b 2 ， 计算结束； 若 f a+b 2 - 2 ≠0 ， 转到第三步 . 第三步， 若 f （ a ） f a+b 2 - 2 ＜0 ， 将 a+b 2 的 值赋给 b 用 a+b 2 →b 表示， 下 下 2 同 ， 回到第 一步； 否则必有 f a+b 2 - 2 f （ b ） ＜0 ， 将 a+b 2 的 值赋给 a ， 回到第一步 . 解： 设 f （ x ） =x 2 -2x-1. ∵f （ 2 ） =-1＜0 ， f （ 3 ） =2＞0 ， 又 ∵ f （ x ）在（ 2 ， 3 ）内递增， ∴ 在区间（ 2 ， 3 ）内， 方程 x 2 -2x-1=0 有 唯一实数根， 记为 x 0 . 取区间（ 2 ， 3 ）的中点 x 1 =2.5 ， ∵f （ 2.5 ） = 0.25＞0 ， ∴x 0 ∈ （ 2 ， 2.5 ） . 再取区间 （ 2 ， 2.5 ） 的中点 x 2 =2.25 ， ∵f （ 2.25 ） =-0.437 5＜0 ， ∴x 0 ∈ （ 2.25 ， 2.5 ） . 同理可得， x 0 ∈ （ 2.375 ， 2.5 ） . x y O -3 -2 -1 1 2 3 4 3 2 1 y=a y=2｜x-1｜+x 图 3-2-4 85 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∵|2.375-2.5|=0.125＜0.2 ， 故方程 x 2 -2x-1=0 的一个精确度为 0.1 的近似正数解可取为 2.375+2.5 2 =2.437 5. 变式训练 3 若 f （ x ） =x 3 +x 2 -2x-2 的一个正数零点附近 的函数值用二分法逐次计算， 数据如下表： 那么方程 x 3 +x 2 -2x-2=0 的一个近似根 （精确到 0.1 ） 为 （ ） A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D． 1.5 例 4 已知函数 f （ x ） =2x 3 -1 （ x∈R ） . （ 1 ） 证明： 函数 f （ x ）在（ 0.5 ， 1 ）内有一 个零点； （ 2 ） 求出 f （ x ）在区间（ 0.5 ， 1 ）内零点的 近似解 . （精确度为 0.1 ） 分析 可利用零点存在定理证明函数 在某个区间内是否存在一个零点 . 利用二分 法求方程的近似解 . 解： （ 1 ） 函数 f （ x ） =2x 3 -1 是 R 上的 增函数 ， 且在区间［ 0.5 ， 1 ］上连续 . 又 ∵ f （ 1 ） =2-1=1＞0 ， f （ 0.5 ） = 1 4 -1＜0 ， ∴ 函数 f （ x ）在（ 0.5 ， 1 ）内有一个零点 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ 0.5 ） ＜0 ， 又 ∵ f （ 1 ） ＞ 0 ， ∴ 方程 2x 3 -1=0 在（ 0.5 ， 1 ）内有实数根 . 如此继续下去， 得到方程的一个实数根 所在的区间， 如下表： ∵|0.75-0.875|=0.125＜0.2 ， ∴ 方程 2x 3 -1=0 的一个近似解可取为 0.75+0.875 2 =0.812 5. 变式训练 4 在用二分法求方程 x 3 -2x-1=0 的一个近 似解时， 现在已经将一根锁定在 （ 1 ， 2 ） 内， 则下一步可断定该根所在的区间为 （ ） A． （ 1.4 ， 2 ） B． （ 1 ， 1.4 ） C． （ 1 ， 1.5 ） D． （ 1.5 ， 2 ） 数 学 文 化 例 北京时间 2018 年 4 月 10 日 18 时 19 分智利发生 6.0 级地震， 震源深度 50 km. 地震发生后， 停水断电， 交通受阻 . 已知 A 地到 B 地的电话线路发生故障 （假设线路只 有一处发生故障）， 这是一条 10 km 长的线 路， 每隔 50 m 有一根电线杆， 如何迅速查 出故障所在？ 解： 如图 3-2-5 ， 可首先从中点 C 开始 检查， 若 AC 段正常， 则故障在 BC 段； 再 到 BC 段中点 D 检查， 若 CD 段正常， 则故 障在 BD 段； 再到 BD 段中点 E 检查， …； 如此这般， 每检查一次就可以将待查的线路 长度缩短一半， 经过 7 次查找， 可将故障范 围缩小到 50～100 m 之间， 即可迅速找到故 障所在 . f （ 1 ） =-2 f （ 1.5 ） =0.625 f （ 1.25 ） =-0.984 f （ 1.375 ） =-0.260 f （ 1.438 ） =0.165 f （ 1.406 5 ） =-0.052 （ a ， b ） （ a ， b ） 的中点 f （ a ） f （ b ） f a+b 2 2 # （ 0.5 ， 1 ） 0.75 f （ 0.5 ） <0 f （ 1 ） >0 f （ 0.75 ） <0 （ 0.75 ， 1 ） 0.875 f （ 0.75 ） <0 f （ 1 ） >0 f （ 0.875 ） >0 A BC D E 图 3-2-5 86