数轴动点专题练习2024-2025学年人教版数学七年级上册

数轴动点专题 目录 专题1 绝对值思想入门数轴动点 1 专题2 数轴动点常规运动问题 4 专题3 数轴动点往返变速问题 7 专题4 数轴动点动态定值问题 10 专题5 数轴动点材料问题 14 专题1 绝对值思想入门数轴动点 【知识应用】 1. 绝对值性质：若|a|=|b|，则a=b或者a+b=0 2. 数轴上两点的距离公式 【引例】（1）若数轴上有两点A和B，点A代表数-2，点B代表数4，则点A和点B的距离AB= （2）若数轴上有两点A和B，点A代表数16，点B代表数3，则点A和点B的距离AB= （3）已知数轴上有两点A和B，点A代表数a，点B代表数b： ①若a＞b，则点A和点B的距离AB= ②若a＜b，则点A和点B的距离AB= ③若a与b的大小未知，则点A和点B的距离AB= 【实战探究】 【例1】已知A,B两点在数轴上对应的有理数分别是,且满足:.数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上所对应的数; 【例2】已知a=-4，b=3．这两数在数轴上所对应的点A、B，数轴上有一点C到A、B两点的距离之和为13，求点C在数轴上所对应的数； 【过关训练】 1. 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是[A，B]的“妙点”．如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4． （1）数3 　 　（填“是”或“不是”）[M，N]的“妙点”，数2 　 　（填“是”或“不是”）[N，M]的“妙点”． （2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是[N，M]的妙点，求x的值． 2. 数轴上A、B两点所对应的数分别为为-4和3．数轴上有一点C，点C到A、B两点的距离和为11，求点C在数轴上所对应的数 3. 已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为数轴原点，数轴上有一点C使得AC＋OC＝BC，求出点C所对应的数。 专题2 数轴动点常规运动问题 【知识应用】 1. 数轴上点的运动公式 2. 数轴上中点公式 3. 数轴动点四步法： 第一步：设，设运动时间或者速度 第二步：表，用时间t表示动点和中点对应的数 第三步：表，用时间t表示两点之间的距离 第四步：列，利用距离关系列方程或者代数式 【引例1】（1）数轴上点A代表数-3，若有一动点P从A出发，运动速度为2，当P点向左运动的时间为5，则运动后的P点代表的数为 ；当P点向右运动的时间为4，则运动后的P点代表的数为 ； （2）数轴上点A代表数a，若有一动点P从A出发，运动速度为v，当P点向左运动的时间为t，则运动后的P点代表的数为 ；当P点向右运动的时间为t，则运动后的P点代表的数为 ； 【引例2】（1）若数轴上有两点A和B，点A代表-2，点B代表4，C是AB中点，则点C代表的数为 （2）若数轴上有两点A和B，点A代表16，点B代表3，C是AB的中点，则点C代表的数为 （3）已知数轴上有两点A和B，点A代表a，点B代表b，C是AB的中点，则点C代表的数为 【实战探究】 【例1】已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求： （1） 当点运动多少秒时，点与点相遇，并求出相遇点所对应的数？ （2） 当点运动多少秒时，点与点间的距离为2个单位长度？ （3） 当点运动多少秒时，点P到点B的距离是点Q到点A距离的两倍？ 【例2】如图①，已知数轴上有三点A，B，C，AC＝2AB，点A对应的数为400． （1） 若AB＝600，求点C到原点的距离； （2）在（1）的条件下，动点P，Q，R分别从C，A同时出发，其中P，Q向右运动，R向左运动．如图②，已知点Q的速度是点R的速度的2倍少5个单位长度/秒，点P的速度是点R的速度的3倍，经过20秒，点P，Q之间的距离与点Q，R之间的距离相等，求动点Q的运动速度； 【例3】如图，数轴上三点A、B、C对应的数是分别是a、b、c，且b＞a，|a﹣16|+|c+8|＝0，若用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，则AC＝6AB． （1）求b的值． （2）若动点P以每秒2个单位长度的速度从点C向右出发运动，则动点P运动多少秒时，动点P到A、B两点的距离之和为12？ 【例4】如图，已知数轴上有三点A，B，C，若AC＝120，点B为线段AC的中点，且点C对应的数为40． （1）点A对应的数为 　 　，点B对应的数为 　 　； （2）动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P，Q，R的速度分别为每秒2个单位长度、每秒5个单位长度、每秒1个单位长度．若点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，运动多少秒时恰好满足MR＝RN？ 【过关训练】 1. 在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 2. 已知在数轴上，两点对应数分别为，20． （1）若点为线段的中点，求点对应的数． （2）若点、点同时分别以2个单位长度秒的速度相向运动，点点在原点）同时以4个单位长度秒的速度向右运动． ①几秒后点到点、点的距离相等？求此时对应的数． ②是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． ③若P是AM中点，Q是BM中点，几秒后PQ=AB？ 专题3 数轴动点动态定值问题 【知识应用】 数轴动点中的动态定值问题是指，在运动过程中，不管运动时间为多少，某一个距离或者距离的和差比为定值。解决这类问题需要注意两点： ①两点之间的距离在表示过程中，尽量判断动点代表数的大小，直接用大减小，不要加绝对值； ②与运动时间无关，我们将含有时间的式子进行合并，让时间的系数为0即可。 【引例】（1）证明：多项式12t+6-3(5+4t)的值与t无关 （2）若式子at-3t+5的取值与t无关，则a= （3）若式子ax-3y+4x+by-5的取值与x和y无关，则a= ，b= 【实战探究】 【例1】数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　 　，b＝　 　，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【例2】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40． （1）若AC＝2AB，求点C到原点的距离； （2）如图2，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点，证明的值不变． 【例3】已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且|a+1|+|b﹣3|＝0．若点P所表示的数为8，点P以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为t秒，2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变，求m的值． 【例4】已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，A、B之间的距离记作AB，且|a+4|+（b﹣10）2＝0． （1）求线段AB的长； （2）如图，M、N两点分别从O、B出发以v1、v2的速度同时沿数轴负方向运动（M在线段AO上，N在线段BO上），P是线段AN的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有PM为定值，下列结论：①的值不变；②v1+v2的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【过关训练】 1. 在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且|a＋6|＋|b－10|＝0，记AB＝|a－b| (1) 求AB的长度 (2) 如图，点P、Q分别从点A、B出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度．点M从对应－8的点出发沿数轴向左运动，速度是每秒4个单位长度，在运动过程中，MP＋MC－3MQ的值是否为定值？若是，求出其值，若不是，请说明理由 2. 如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． 若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 3. 已知点A,B,C在数轴上对应的数分别是a,b,c,其中a,c满足,a，b互为相反数，如图,若点A,B,C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和(<4)个单位长度向左运动，假设经过秒后，点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间距离表示为AC.若ABAC的值始终保持不变，求的值. 4. 若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，a=5，b=-2．如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QNBN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 专题4 数轴动点往返变速问题 【知识应用】 数轴动点问题中，速度变化的位置以及往返的位置至关重要。核心的处理方法是将变速的位置以及往返的位置看作是动点全新的起点，利用全新的速度和运动方法进行表示动点全新的位置，在表示过程中，新的时间一定要减去之前运动的时间。 【引例1】数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后速度变为原来的两倍继续往前运动.设P的运动时间为t秒 （1） 若t=3，则P点对应的数为 （2） 若t=8，则P点对应的数为 （3） 若P点运动时间为t秒，求P点对应的数（用t表示） 【引例2】数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回.返回到A后又立即返回。设P的运动时间为t秒 （1）若t=3，则P点对应的数为 （2）若t=8，则P点对应的数为 （3）若t=12，则P点对应的数为 （4）若P点运动时间为t秒，求P点对应的数（用t表示） 【实战探究】 【例1】已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，点P沿数轴从A出发向右匀速运动，点P的速度为5个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒,点Q从数轴上对应的数为-11的点C出发向右匀速运动，P、Q同时出发，若点P、Q运动到点B，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，P又折返向点B运动，点Q运动至点C后停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动，在点P开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为1？请说明理由。 【例2】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问： （1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？ （2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少； （3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【过关训练】 1. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20 （1） 数轴上点B表示的数 　　； （2）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 2. 在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b是方程|x﹣1|＝9的两个解（a＜b）． 规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点B之间的距离表示为AB． （1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　． （2）点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动，且每次返回的速度比前一次速度每秒增加3个单位长度，设运动时间为t秒．当点P，Q之间的距离为7个单位长度时，求t的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/11/15 18:08:50；用户：初高数学；邮箱：15671676624；学号：43304205 3. 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问： 专题5 数轴动点材料问题 【知识应用】 数轴动点的材料问题，主要分两类： ①新定义问题，本质上还是动点的和差倍比问题，将新的概念名词转换为距离的关系问题即可。 ②跳跃规律问题，这一类问题总体而言就是两个公式的应用，以运动次数的奇偶进分类讨论，掌握运动规律的公式即可。 【引例1】（1）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．已知点A表示数4，点B表示数10，P为数轴上一个动点：若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是多少？ （2）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”，如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m的值是 　 　； 【引例2】设P点从数轴上的m开始， 左1，右2，左3，右4，......，第n次跳跃后到达Q点： ①n=5时，Q对应的数为 （用m表示） ②n=8时，Q对应的数为 （用m表示） ③若n为奇数，则Q对应的数为： （用m和n表示） ④若n为偶数。则Q对应的数为： （用m和n表示） 【实战探究】 【例1】如图，数轴上有、两点对应的数分别是、，已知点到原点的距离为5，且、两点间的距离为12． （1）则　 　，　 　； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度到达点，第二次从点向右运动2个单位长度到达点，第三次从点向左运动3个单位长度到达点，第四次从点向右运动4个单位长度到达点、，点按此规律不断地左右运动； ①当点运动2023次后到达点A2023时，求点A2023所对应的有理数； ②当点运动次后到达点时，求点所对应的有理数为正奇数，用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，点经过若干次运动到达点，点到点的距离是点到点的距离的3倍，请你求出点对应的有理数，并指出是点第几次运动结束时；若不存在满足条件的点，也请说明理由． 【例2】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”． （1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是　 　； （2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点， ①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数； ②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数． 【过关训练】 1. 在数轴上，，两点对应的数分别为，8，有一动点从点出发第一次向左运动1个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动2个单位；在此位置做第三次运动，向左运动3个单位，按照如此规律不断左右运动． （1）当做第2022次运动后，点对应的数为　　． （2）如果点在某次运动后到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的4倍，此时点的运动次数为多少？ 2. 已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”． （1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少； （2）①若点P运动到原点O时，此时点P　　关于A→B的“好点”（填是或者不是）； ②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间； （2） 若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 3. 已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”．例如，若点C表示的数为0，有AC+BC＝3+3＝6，则称点C为点A、B的“6节点”．（题中AC表示点A与点C之间的距离，BC表示点B与点C之间的距离） 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为4，则n＝　 　； （2）若点D是数轴上点A、B的“9节点”，请你直接写出点D表示的数为 　 　； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的两倍，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值． 第 3 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$