3.3.2指数函数的图象和性质第2课时 指数函数y=a^x(0＜a＜1)的图象和性质导学案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修 第一册

第2课时　指数函数y=ax(0<a<1)的图象和性质 ◆ 知识点一　指数函数的图象和性质 函数 y=ax(a>1) y=ax(0<a<1) 图象 性 质 定义域 R 值域 　　　  过定点 　　　  单调性 在R上为　　  在R上为　　　  函数值 变化 当x>0时,y>1 当x>0时,　　　  当x<0时,0<y<1 当x<0时,　　　  ◆ 知识点二　指数函数y=ax与y=bx(0<a<b<1)的特点 如图. (1)当x<0时,ax>bx>1; (2)当x=0时,ax=bx=1; (3)当x>0时,0<ax<bx<1. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)将函数y=的图象向右平移1个单位长度,即得到函数y=的图象. (　 ) (2)<. (　 ) (3)若a2<a-1(a>0,且a≠1),则y=ax在R上为减函数. (　 ) ◆ 探究点一　比较大小 例1 (1)已知a=0.92,b=270.8,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c (2)比较下列各组中两个数的大小: ①0.8-0.1与0.8-0.2;②与. 变式 (多选题)[2024·江西赣州高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=0.20.8,则 (　 ) A.b>a B.a>b C.a>c D.ab>c [素养小结] 对于两个相同底数的式子,要利用相应指数函数的单调性,通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小;当两个式子不能化为相同底数时,我们可以找到一个中间值,将这两个数分别与中间值进行比较,常用的中间值有0,1等. 拓展 (1)关于x的不等式10·->16的解集为　　　　.  (2)如果a-5x>ax+7(0<a<1),那么x的取值范围为　　　　.  ◆ 探究点二　指数函数图象的识别与应用 例2 函数y=3x,y=5x,y=在同一平面直角坐标系中的大致图象是 (　 ) 变式 已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的大致图象为 (　 ) A B C D [素养小结] (1)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是:在y轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大;在y轴左侧的图象从下到上相应的底数由大变小. (2)对于指数函数y=ax(a>0,a≠1),其图象一定出现在x轴上方.若指数型函数的图象出现在x轴下方或与x轴相切,则可以通过平移变换和对称变换实现. 拓展 直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是　　　　.  第2课时　指数函数y=ax(0<a<1)的图象和性质 【课前预习】 知识点一 (0,+∞)　(0,1)　增函数　减函数　0<y<1　y>1 知识点二 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)函数y=的图象向右平移1个单位长度得到函数y=的图象. (2)当x>0时,有>;当x=0时,有==1;当x<0时,有<. (3)因为2>-1,a2<a-1(a>0,且a≠1),所以0<a<1,y=ax在R上为减函数. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)A　[解析] 因为y=3x为增函数,所以c==>32.4=270.8=b,即b<c.又a=0.92<0.90=1=270<270.8=b,即a<b,所以a<b<c.故选A. (2)解:①因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数,又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2. ②因为<1,>1,所以<. 变式　ACD　[解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a,c=0.20.8<0.20=1,且c>0,所以b>a>1>c>0,且ab>c.故选ACD. 拓展　(1)(-3,-1)　(2)　[解析] (1)由题知-10·+16<0,整理得-10·+16<0,即<0,可得2<<8,即<<,解得-3<x<-1. (2)当0<a<1时,y=ax在R上是减函数,∵a-5x>ax+7,∴-5x<x+7,解得x>-, 即x的取值范围是. 探究点二 例2　B　[解析] 函数y=3x,y=5x是R上的增函数,其图象都是上升的,排除C,D;在第一象限内,底数越大的指数函数的图象越靠近y轴,排除A.故选B. 变式　A　[解析] y2=3x与y4=10x在R上为增函数,y1=与y3=10-x=在R上为减函数.在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数,则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10,3,,,故选A. 拓展　0<a<　[解析] 当a>1时,在同一平面直角坐标系中作出直线y=2a和函数y=|ax-1|的图象(如图①),由图象可知,直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象只能有一个公共点,此时不满足题意.当0<a<1时,作出直线y=2a和函数y=|ax-1|的图象(如图②),若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个交点,则由图象可知0<2a<1,所以0<a<.故实数a的取值范围是0<a<. 学科网（北京）股份有限公司 $$