精品解析：广东省肇庆市香山中学2025届高三上学期学业水平考试（春季高考）10月月考数学科试题

肇庆市香山中学2025届高三广东学业水平考试（春季高考）10月月考数学科试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 把函数的图象向左平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 10. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）. A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 12. 已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（ ）名 A. 10000 B. 8000 C. 4000 D. 3500 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 函数的定义域是_____________． 14. 若角的终边经过点，则的值为_____________． 15. 函数（且）的图象必过定点__________. 16. 在中，若，，，则___________． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 18. 函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是________________． 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 20. 函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为， （1）求函数的解析式； （2）设，则，求的值 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 22. 电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本） （2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市香山中学2025届高三广东学业水平考试（春季高考）10月月考数学科试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的含义即可. 【详解】由题意得. 故选：D. 2. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可. 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的定义域可得A错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由奇函数的性质可得C错误；由正弦函数的单调性可得D错误； 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数， 又恒成立，所以在上为减函数，故B正确； 定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 由正弦函数的单调性可得在为增函数， 又， 所以在区间上是严格增函数，故D错误； 故选：B. 5. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B. 6. 已知，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上单调递增比较和的大小，根据和的大小比较和的大小，根据在上单调递减比较与的大小，根据与的大小比较和的大小. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 8. 把函数的图象向左平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可. 【详解】把函数的图象向左平移个单位后，， 再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得. 故选：C 9. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 10. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型分析求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张， 总共包含，这10个基本事件， 抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中这3个基本事件， 所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为. 故选：D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）. A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 12. 已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（ ）名 A. 10000 B. 8000 C. 4000 D. 3500 【答案】B 【解析】 【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案. 【详解】由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 14. 若角的终边经过点，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义先求，再结合正切二倍角公式求出的值即可. 【详解】角的终边经过点， ， . 故答案为：． 15. 函数（且）的图象必过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（且）， 令，得，， 所以（且）的图象必过定点. 故答案为：. 16. 在中，若，，，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先由三角形内角和，得到，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为在中，，， 所以， 由正弦定理可得：，即， 解得. 故答案为： 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数有求参数，再由奇函数性质求函数值即可. 【详解】由题意，，则时有， 所以. 故答案为： 18. 函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是________________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，利用补形法，可以将所求封闭的平面图形，转化为一个边长分别为2和的矩形，可求面积. 【详解】根据题意作图如下： 由余弦函数的性质可知，图形与，与分别是两组对称图形， 则有，，阴影部分面积等于矩形的面积， 根据图形可知：，，矩形的面积为. 即封闭图形的面积为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据同角三角函数关系即可求解； (2)根据二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 . ， ∴. 20. 函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为， （1）求函数的解析式； （2）设，则，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期， ∴f（x）=2sin（2x-）+1 （2），f（）=2 ∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，= 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 22. 电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本） （2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当2018年产量为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元 【解析】 【分析】（1）利用题中给定分段函数及利润等于销售额减去成本即可求解； （2）利用二次函数及基本不等式求出各段的最大值，再比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据题意，当时， ； 当时，； 故； 【小问2详解】 根据题意，当时，， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立，则有； 由，故； 故当时，即当2018年产量为为100百辆时， 该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $