期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数式中的绝对值化简 1．已知是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D．0 2．三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 3．如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 4．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，其中，化简： 5．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 6．已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 类型二、代数式中的阴影部分 1．如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一块长为，宽为的长方形空地，要将阴影部分绿化，则阴影面积是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，将两张边长分别为5和4的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 4．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图1）按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么比大 ． 5．如图所示是一个长为、宽为的长方形． (1)根据图中尺寸大小，求图中阴影部分的面积（用含x的式子表示）； (2)当时，求阴影部分的面积． 6．一建筑物的地面结构如图所示（图中A，B，C，D均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：    (1)请用含x，y的代数式表示地面总面积； (2)若图中阴影部分的地面（B，C）需要铺地砖，且铺地砖每平方米的平均费用为80元，当时，求铺地砖的总费用为多少元？ 类型三、代数式中的规律 1．如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（    ） A．2024 B．6072 C．6075 D．6078 2．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 3．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 4．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 5． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 6．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 类型四、数轴上的重合问题 1．如图所示，圆的周长是4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周长的字母A对应的点与数轴上的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动（无滑动），那么数轴上的所应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合 A．A B．B C．C D．D 2．小明将画在纸上的数轴上对折，把表示点与表示1的点重合．此时与表示的点重合的数是（　　）    A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 3．如图，数轴上，两点表示的数分别为，，是线段上的一个动点将数轴沿点向左对折，点的对应点落在数轴上的处 （1）线段的长为 ； （2）若点与点重合，则线段的长为 ，若，则点表示的数是 ． 4．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是 ．    5．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 6．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 类型五、绝对值1与-1的化简 1．若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，则的值为（ ） A．1 B．或1 C． D．或1 3．已知，，则的值是 ． 4．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 5．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，则__________；当时，则__________． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，，时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是______； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，则的值． 类型六、算24 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 2．CCTV﹣2由王小丫主持的，《开心词典》节目同学们一定都喜欢看，其中有一个算24点游戏，它的规则是这样的：任取4个1﹣13之间的正整数，将这4个数（每个数只允许使用一次）进行加，减，乘，除混合运算，使结果为24，例如1，2，3，4可做运算（1+2+3）×4＝24（注意上述运算与4×（1+2+3）＝24视为相同的运算）；受该节目的启发，现有4个有理数3，4，﹣6，10，请你运用上述规则写出三种不同的运算式子，使其结果都为24． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少? 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最小值为 ． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少? 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最大值为 ． （3）从中取出4张卡片，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算使其结果等于24，如何抽取？写出运算式子（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片是 、 、 、 ， 算24的式子为 ． 4．（本题满分6分，）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下面各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子（一种即可） 答：（1）我抽取的2张卡片是____________ 、____________ 、 乘积的最大值为____________ ． （2）我抽取的4张卡片是___________ 、____________ 、___________ 、____________ ， 算24的式子为__________________________________________． 5．数学游戏题： （1）下图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； （2）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，12 ；请你写出一个算式使其结果为24； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. 6．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，乘积的最小值为 ； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子． （写出一种即可）算24的式子为 ． 类型七、收费问题 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 2．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2元/ 3元/ 4元/ (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某户月用水量为n立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）； (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户用水量超过但不超过，设甲用户这个月用水，求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示） 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米 超出10立方米的部分 8元/米 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 4．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用点量 单价（元/度） 不超过240度的部分 0.5 超过240度但不超过400度的部分 0.6 超过400度的部分 0.8 小刚家上半年的用电情况如下（以240度为标准，超出240度记为正、低于240度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)求小刚家二月份应交纳的电费； (3)若小刚家七月份用电量为度），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示并化简）． 5．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）： 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)若该用户居民4、5两个月共用水（5月份用水量超过了4月份），设5月份用水，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简） 类型八、代数式中的新定义 1．定义：若，则称与是关于1的平衡数． (1)5与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． (3)若与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求与关于1的平衡数． 2．若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 3．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为．如，．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个． 4．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 5．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中，是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)小丁说：若是“共生有理数对”，则一定是“共生有理数对”，小丁的说法是 的．（填“对”或“错”） 6．【阅读理解】 对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，． 【问题解答】 (1)直接写出的值为______； (2)对72进行如下操作： ，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1； (3)先化简，再求值：，其中． 类型九、数轴动点求t 1．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ；数轴上表示x和两点之间的距离为 ； (2)若的最小值为4，则 ； (3)已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为、0、3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位的速度从点O向左运动，设t分钟后，（不包括）时点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，请求出t值． 2．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 3．已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 4．结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 5．如图，在数轴上点表示数a，点表示数b，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足．    (1)________，________，________； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；（用含t的代数式表示） (3)在（2）基础上，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 6．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 类型十、探索并完成任务 1．某数学兴趣小组利用假期对某奶茶店元旦期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务． 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 某款奶茶每杯原价15元． 素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．配送方式：自取． 素材3 网上下单优惠方案：奶茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满450元可用，面额60元．配送方式：自取． 问题解决 任务1 若通过门店下单方式购买34杯奶茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这34杯奶茶至少花费多少元？ 任务2 若可以通过多订单组合订购这34杯奶茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单） 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80即元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的八折付款． 素材2： 学校计划添置100张课桌和把椅子． 问题解决 【任务1】（1）若，请计算哪种方案划算； 【任务2】（2）若，请用含的代数式分别表示出两种方案的费用； 【任务3】在（2）的条件下，按哪种方案购买更省钱； 【任务4】若，如果两种方案可以同时使用，请你帮助学校设计一种最省钱的方案． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何规划游玩路线？ 素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：） 素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车． 素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈． 问题解决 分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元． 任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费． 确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由． 4．每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动．今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠？ 素材1 纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．活动二：所有商品打折．              注：两种活动不能同时参加． 素材2 小明家用的两种纸巾信息（超市标价）．      规格：每袋12包   规格：每箱12包 素材3 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． 问题解决 任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）． 任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程． 5．根据以下素材，探索完成任务， 如何设计简单的幻圆？ 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图1是一个简单的二阶幻圆模型，将1，2，3，4，5，6，7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等． 图1 素材2 在一个幻圆中，每个圆周上的数字之和，或横线上的数字之和，或竖线上的数字之和都叫做幻和，例如上图1中的幻和的个数是4个，它们都等于18．计算幻和的方法是将图中所有数字之和的两倍，再除以相应幻和个数． 例如图1的幻和计算方法． 素材3 类似地，数学兴趣小组尝试将数这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和（幻和）都相等，部分数字已填入，如图2所示． 图2 问题解决 任务1 根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是______个，它们都等于______． 任务2 请将素材3中“六角幻星”空缺的数字填写完整． 任务3 设计一个简单的二阶幻圆，根据任务1、2的经验，把这8个数填入图3中，设计一个二阶幻圆． 图3 6．阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： ，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为 ① ，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是 ② ． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ． (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出： ； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律： ． (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，…的计算结果，请用代数式表示你发现的规律： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数式中的绝对值化简 1．已知是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减，数轴性质的应用是解题关键． 根据数轴得出各部分的取值，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图得，， ，，， ． 故选：C． 2．三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故选D． 3．如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】根据数轴上有理数的位置，绝对值的化简，合并同类项，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的化简，合并同类项，熟练掌握数绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，其中，化简： 【答案】 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，先判断，，再化简绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∵， ∴， 则原式． 故答案为： 5．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 6．已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算： （1）根据数轴可得，据此逐一判断即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，再利用整式的加减计算法则化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ∴ ． 类型二、代数式中的阴影部分 1．如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式表达式以及整式的加减运算，根据面积等于底乘高进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，上的高，即 ，即 图中阴影部分的面积为 故选：A 2．如图是一块长为，宽为的长方形空地，要将阴影部分绿化，则阴影面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，用长方形的面积减去圆的面积即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 3．如图，将两张边长分别为5和4的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查图象变换与面积的关系，理解图形变换中边与边的和与差的关系是解题的关键．由，，图①中阴影部分的面积为， ②中阴影部分面积为，且，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为 ∴，且，，， ∴； 如图所示，图②中阴影部分面积为 ∴，且，，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 4．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图1）按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么比大 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查整式的加减的运用，做此类题要善于观察，在第2个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果． 此题要先设小长方形的长为，宽为，再结合图形分别得出图形2的阴影周长和图形3的阴影周长，比较后即可求出答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为，长为， ∴图2的阴影周长为：， ∴图3下面阴影的周长为：， 图3上面阴影的总周长为：， ∴图3阴影的总周长为：， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．如图所示是一个长为、宽为的长方形． (1)根据图中尺寸大小，求图中阴影部分的面积（用含x的式子表示）； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、代数式求值． （1）根据长方形的面积减去两个三角形的面积，分别用代数式表示即可； （2）把代入求值即可． 理解题意，列出代数式是正确解答的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 阴影部分的面积为：； 即：阴影部分的面积为； （2）当时，， 答：当时，阴影部分的面积为． 6．一建筑物的地面结构如图所示（图中A，B，C，D均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：    (1)请用含x，y的代数式表示地面总面积； (2)若图中阴影部分的地面（B，C）需要铺地砖，且铺地砖每平方米的平均费用为80元，当时，求铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)平方米； (2)6080元． 【分析】（1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用为80元，即可得出结论． 【详解】（1）地面总面积为： 平方米； （2）阴影部分的地面面积为： 平方米， 当时, 阴影部分的地面面积为： （平方米）， ∵铺地砖每平方米的平均费用为80元， ∴铺地砖的总费用为: (元) 答：铺地砖的总费用为 6080元. 【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用图示数据表示出相应的长方形的边长是解题的关键． 类型三、代数式中的规律 1．如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（    ） A．2024 B．6072 C．6075 D．6078 【答案】D 【分析】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒； ∵第2024个图案中木棒的根数为： 故选：D． 2．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 3．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意可知：最里面的三角形的棋子数是，由内到外依次比前面一个多个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， …， 第个图形一共有颗棋子， 故答案为：． 4．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ， ， ， 则， ， 故答案为：210． 5． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 6．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律探究，有理数的混合运算； （1）根据题目中的规律,写出答案即可； （2）根据题目中的规律，推论答案即可 （3）利用规律通式，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2）由题意可得，， 故答案为：； （3） ． 类型四、数轴上的重合问题 1．如图所示，圆的周长是4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A、B、C、D，先将圆周长的字母A对应的点与数轴上的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动（无滑动），那么数轴上的所应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合 A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】本题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．圆每转动一周，A、B、C、D循环一次，与1之间有2024个单位长度，即转动，从而可得答案． 【详解】解：， 而， 所以数轴上的所对应的点与圆周上字母A所对应的点重合． 故选：A． 2．小明将画在纸上的数轴上对折，把表示点与表示1的点重合．此时与表示的点重合的数是（　　）    A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】C 【分析】先求出折痕处的点表示的数，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：∵将画在纸上的数轴上对折，表示点与表示1的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∴与表示的点重合的数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 3．如图，数轴上，两点表示的数分别为，，是线段上的一个动点将数轴沿点向左对折，点的对应点落在数轴上的处 （1）线段的长为 ； （2）若点与点重合，则线段的长为 ，若，则点表示的数是 ． 【答案】 ； ； 或． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）先求出的中点表示的数，设点表示的数为，再分两种情况：当点在的中点的右侧时，当点在的中点的左侧时，分别列出方程求解，即可． 本题主要考查数轴上点表示的数以及一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间的距离求法以及根据等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（）∵，两点表示的数分别为，， ∴， 故答案为：； （）当点与点重合时，即为中点， ∴， 故答案为：； ∵数轴上，两点表示的数分别为，， ∴的中点表示的数为， 设点表示的数为， 当点在的中点的右侧时， ∵与关于点对称， ∴表示的数为：， ∴，解得：； 当点在的中点的左侧时，则，解得：， 综上所述：点表示的数为或， 故答案为：或． 4．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是 ．    【答案】或 【分析】设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，且， 分类讨论即得． 【详解】设点C表示的数为x， ∵点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴，， ∵， ∴，， 或，． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，分类讨论． 5．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 【答案】（1）6；（2）1；或；（3）；（4）①；②a，b的值为， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据绝对值的意义进行求解作答即可； （3）由题意知，对称点为，进而可得4对应的点与对应的点重合； （4）①由题意知，对称点为，根据8对应的点和对应的点重合，计算求解即可；②由题意知，点A、点B到对称点的距离相等，且为，然后根据点A表示的数为，点B表示的数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1；或． （3）解：∵折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合， ∴对称点为， ∴4对应的点与对应的点重合， 故答案为：； （4）①解：∵折叠纸面，4对应的点和对应的点重合， ∴对称点为， ∴8对应的点和对应的点重合， 故答案为：； ②解：∵两点间的距离为，且A，B两点经折叠后重合， ∴点A、点B到对称点的距离相等，且为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴a，b的值为，． 6．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 类型五、绝对值1与-1的化简 1．若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的运用，有理数乘除运算，熟知绝对值都为非负数并且运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意分以下四种情况，①当、同为正数时，②当、同为负数时，③当为正数、为负数时，④当为负数、为正数时，结合绝对值意义和有理数乘除法法则讨论求解，即可解题． 【详解】解：，， ①当、同为正数时， ， ②当、同为负数时， ， ③当为正数、为负数时， ， ④当为负数、为正数时， ， 综上所述，代数式的取值共有2个， 故选：B． 2．若，则的值为（ ） A．1 B．或1 C． D．或1 【答案】D 【分析】根据，分，，与，，两种情况，运用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数去绝对值符号，约分后加减，即得． 本题主要考查了有理数的运算．熟练掌握有理数乘法、去绝对值、有理数的除法的符号运算法则，分类讨论，是解决问题的关键． 【详解】∵， ∴当，时， ， 当，时， ． ∴的值为或1． 故选：D． 3．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 4．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 5．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，则__________；当时，则__________． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解； （2）由可得，，，根据进而可求解． 【详解】（1）解：当时，则， 当，则， 故答案为：1，； （2）解：已知a，b，c是有理数，，， 所以，，，且a，b，c中两正一负， 所以． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，，时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是______； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，则的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)0 【分析】（1）根据得出，即可求解； （2）根据题意可得a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，然后进行分类讨论即可； （3）由，且，可得，，不同号，且都不为0，则，，为两正一负，或一正两负，再分情况解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则a、b异号， ∴； 故答案为：0； （2）解：∵， ∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负， 当a、b、c中两正一负时：； 当a、b、c均为负数时：； 综上：的值为1或； （3）解：∵，且， ∴，，不同号，且都不为0， ∴，，为两正一负，或一正两负， 当，，为两正一负时， 不妨设，，，则， ， 当，，为一正两负时， 不妨设，，，则， ， 综上：的值为0． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，乘除运算的符号确定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 类型六、算24 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 2．CCTV﹣2由王小丫主持的，《开心词典》节目同学们一定都喜欢看，其中有一个算24点游戏，它的规则是这样的：任取4个1﹣13之间的正整数，将这4个数（每个数只允许使用一次）进行加，减，乘，除混合运算，使结果为24，例如1，2，3，4可做运算（1+2+3）×4＝24（注意上述运算与4×（1+2+3）＝24视为相同的运算）；受该节目的启发，现有4个有理数3，4，﹣6，10，请你运用上述规则写出三种不同的运算式子，使其结果都为24． 【答案】①10﹣4﹣3×（﹣6）＝24；②4﹣（﹣6）÷3×10＝24；③3×（4﹣6+10）＝24． 【分析】由题意根据有理数的混合运算法则把3，4，﹣6，10四个数用“+，﹣，×，÷“符合连接起来，使得最后结果等于24即可． 【详解】解：①10﹣4﹣3×（﹣6）＝24； ②4﹣（﹣6）÷3×10＝24； ③3×（4﹣6+10）＝24． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，读懂题意并熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少? 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最小值为 ． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少? 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最大值为 ． （3）从中取出4张卡片，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算使其结果等于24，如何抽取？写出运算式子（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片是 、 、 、 ， 算24的式子为 ． 【答案】（1）-6、10、-60；（2）3、10、；（3）例如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等． 【详解】试题分析：（1）观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数，所以选﹣6和10； （2）2张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所以就要选10和3，且3为分母； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等． 试题解析：（1）﹣6×10=－60；我抽取的2张卡片是）-6、10，乘积的最大值为－60； （2）10÷3=；我抽取的2张卡片是3、10，商的最大值为； （3）方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等． 考点：1．有理数的混合运算；2．图表型． 4．（本题满分6分，）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下面各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子（一种即可） 答：（1）我抽取的2张卡片是____________ 、____________ 、 乘积的最大值为____________ ． （2）我抽取的4张卡片是___________ 、____________ 、___________ 、____________ ， 算24的式子为__________________________________________． 【答案】（1）1． -3 -5, 15 （2）2．     -3  -5    +3   +4, -3×4×（-5+3）等（列式不唯一） 【详解】试题分析：（1）根据有理数的乘法法则即可确定；（2）根据有理数的混合运算法则即可确定． 试题解析：（1）1．    -3  -5,   15   2分 （2）2．     -3  -5    +3   +4, -3×4×（-5+3）等（列式不唯一）…．6分 考点：有理数的加减． 5．数学游戏题： （1）下图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； （2）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，12 ；请你写出一个算式使其结果为24； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. 【答案】（1）由题意得： （2）①或或 ②或. 【详解】试题分析：首根据已知条件求出3个数字的和，然后再进行填空；算24点，只要结果正确即可. 试题解析：（1）填右边表格 （2）、①、（12－4）×（9－6）；或4×（9－6）+12；或（4+12）×（9÷6） ②、（－5+6÷3）×（－8）；或[6×（－8）]÷（－5+3） 考点：有理数的计算 6．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，乘积的最小值为 ； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子． （写出一种即可）算24的式子为 ． 【答案】(1)-20； (2)不唯一，如 【分析】（1）要找乘积最小的就要找符号相异且绝对值最大的数，观察这五个数，所以选+4和-5；（2）答案不唯一，用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）+4×（﹣5）=-20，∴最大值是：-20； （2）． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是平时强化计算能力的训练，提高计算的速度和技巧． 类型七、收费问题 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 【答案】(1)15，38 (2)，， (3)该户居民 5 月份共交水费元 【分析】（1）按照收费标准，列出算式计算即可； （2）根据收费标准，列出代数式即可； （3）根据收费标准，列出代数式即可． 【详解】（1）解：（元），（元）； 故答案为：15，38； （2）另一部分的用水量为，应收水费为元；4月份总共应收水费元； 故答案为：，，； （3）元； 答：该户居民5月份共交水费元． 【点睛】本题考查整式加减的实际应用．解题的关键是掌握收费标准，正确的列出代数式． 2．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 2元/ 3元/ 4元/ (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某户月用水量为n立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）； (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户用水量超过但不超过，设甲用户这个月用水，求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示） 【答案】(1)35元 (2)元 (3)元 【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算，即可得出其应缴纳的水费； （2）根据用水量，代入不同的单价进行计算，即可得出其应缴纳的水费； （3）先判乙用户的用水量大致范围，再进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：（元）， ∴该用户这个月应缴纳的水费35元； （2）解：∵， ∴该用户应缴纳的水费为：元； （3）解：∵两用户一个月共用水，甲用户用水量超过但不超过， ∴乙用户用水量超过但不超过， 设甲用户这个月用水， 则甲用户水费， 乙用户水费为， ∴两个用户一共缴纳水费（元）． 【点睛】本题考查了列代数式，求出两用户用水范围是解决问题的关键． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米 超出10立方米的部分 8元/米 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)8 (2)元 (3)当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接根据收费标准进行列式计算即可； （2）直接根据收费标准进行列式计算即可； （3）分当时，则，当时，则，两种情况分别计算出4月和5月的费用，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元， 故答案为：8； （2）解：元， ∴该用户3月份应交水费元； （3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份）， ∴4月份的用水量少于6立方米， ∵4月份用水x立方米， ∴5月份用水立方米， 当时，则， ∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元， ∴该户居民4，5月份共交水费元； 当时，则， 此时4月份的费用为，5月份的费用为元， ∴该户居民4，5月份共交水费元； 综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元． 4．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用点量 单价（元/度） 不超过240度的部分 0.5 超过240度但不超过400度的部分 0.6 超过400度的部分 0.8 小刚家上半年的用电情况如下（以240度为标准，超出240度记为正、低于240度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)求小刚家二月份应交纳的电费； (3)若小刚家七月份用电量为度），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示并化简）． 【答案】(1)五，276 (2)138元 (3)答案见详解 【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费； （3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费． 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度， 故答案为：五，276； （2）小刚家二月份用电：（度， 小刚家二月份应交纳电费：（元， 答：二月份需要交138元； （3）当时，电费为元； 当时，电费为元； 当时，电费为 元． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 5．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 【答案】(1)二， (2)元 (3)141元 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式求值的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）将代入（2）中的代数式，即可求解； 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 二月份用电量最多， （度）， 故答案：二，； （2）解：由题意得 （元）， 答：小刚家七月份应交纳的电费为元； （3）解：由(2)知，小刚家七月份应交纳的电费为元， 当时， （元）. 答：小刚家七月份应交纳电费约141元. 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）： 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)若该用户居民4、5两个月共用水（5月份用水量超过了4月份），设5月份用水，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简） 【答案】(1)应收水费元． (2)应收水费为元； (3)当，该户居民4、5两个月共缴水费元； 当时，该户居民4、5两个月共缴水费元． 【分析】（1）2月份用水，则按第一档缴费； （2）水费=用水单价为2元的水费+单价为4元的超过的水费，再列式即可； （3）分类讨论：当，则，当时，则，然后根据各段的缴费列代数式． 【详解】（1）该户居民2月份用水，应缴水费（元）； （2）∵某户居民3月份用水（其中），则 ， ∴应收水费为元； （3）该用户居民4、5两个月共用水（5月份用水量超过了4月份），设5月份用水，则， 当，则， ∴该户居民4、5两个月共缴水费元； 当时，则， 该户居民4、5两个月共缴水费元． 【点睛】本题考查列代数式．本题（3）并没有限定4、5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出．需注意分类讨论思想的应用． 类型八、代数式中的新定义 1．定义：若，则称与是关于1的平衡数． (1)5与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． (3)若与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求与关于1的平衡数． 【答案】(1)， (2)与是关于1的平衡数，见解析 (3)与关于1的平衡数是或10 【分析】（1）根据平衡数的定义直接求解即可； （2）根据平衡数的定义判断是否等于2； （3）先根据定义求解、的值，再求出的值，然后根据定义求解． 【详解】（1）解： ； 故答案是， （2）解： ， 故与是关于1的平衡数． （3）解：∵与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， ∴， ∴或， ∴或， ， ∴与关于1的平衡数是或． 【点睛】本题考查整式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减法运算法则． 2．若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 【答案】(1)326不是“顺利数”，875是“顺利数”．理由见解析 (2)224 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算．整式加减的应用,关键是理解新定义. （1）根据“顺利数”的定义代入计算即可得出答案． （2）由“顺利数”的定义得出，再根据定义得出，能被11整除，是整数，再结合n，p，m的取值范围讨论判断即可． 【详解】（1）解：326不是“顺利数”，875是“顺利数”． 理由：∵， ∴326不是顺利数 ∵， ∴875是顺利数； （2）解：∵（，且 m，n，p 均为整数）是“顺利数“； ∴， ∴， ∵， ∴，且能被11整除，是整数， ∵， 当时，，此时能被11整除，此时，即； 当时，，此时能被11整除，此时（舍去）； 当时，无整数 p； 当时，无整数 p． ∴所有符合题意的S的值为224． 3．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为．如，．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个． 【答案】(1)， (2)①12，97都与23“模二相加不变”；②38 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）分别求出，，，，再求出，，， ，，，即可求解； （3）根据模二结果数分别为10，11，01，00分别讨论可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）①，，，， ，，， ，，， ，， 12，97都与23“模二相加不变”． ②模二结果是10有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，96，18，38，58，78，98，10，30，50，70，90共25个， 它们与模二数的和是11， 12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，10，30，50，70满足题意； 模二结果是11的有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，95，17，37，57，77，97，19，39，59，79，99，共25个， 它们与模二数23的和是100， 77，97，79，99满足题意； 模二结果是01的有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，69，81，83，85，87，89共20个， 它们与模二数23的和是10， 27，29，47，49，67，69满足题意； 模二结果是00的有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80，82，84，86，88，共20个， 它们与模二数23的和是01， 20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66满足题意； 共有38个． 故答案为：38． 【点睛】本题考查定义新运算，数字的变化规律，理解定义内容，能将定义与已学内容相结合是解题的关键． 4．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）多项式A可以是；；；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可； （2）根据“二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可． 【详解】解：（1）若，则： ； 若，则： ； 若，则： ； 综上分析可知，多项式A可以是；；． （2）若，则： ， ∴， 由得：， 由得：， ∴， ∴舍去， ∴； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时，． 5．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中，是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)小丁说：若是“共生有理数对”，则一定是“共生有理数对”，小丁的说法是 的．（填“对”或“错”） 【答案】(1) (2) (3)对 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“共生有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“共生有理数对”的定义是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴不是“共生有理数对”， ∵， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：； （2）解：是“共生有理数对”， ∴， ， ． （3）∵是“共生有理数对”， ∴， ∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：对． 6．【阅读理解】 对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，． 【问题解答】 (1)直接写出的值为______； (2)对72进行如下操作： ，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)三 (3)， 【分析】（1）先确定的取值范围，再根据定义求解即可； （2）根据题中的步骤，对依次进行运算，求解即可； （3）根据整式的加减运算进行化简，再求得的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 根据题中的定义，可得 故答案为： （2）解：， 对进行三次操作后可变为1 故答案为：三 （3）解：， ∵ ∴ ∴ 将代入得，原式 【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法． 类型九、数轴动点求t 1．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ；数轴上表示x和两点之间的距离为 ； (2)若的最小值为4，则 ； (3)已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为、0、3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位的速度从点O向左运动，设t分钟后，（不包括）时点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，请求出t值． 【答案】(1)3； (2)3或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值方程，正确理解数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）由题意可知，表示的点在表示a的点与表示的点之间，进而得出表示a的点与表示的点的距离为4，再结合数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据题意可知P表示的数为，进而得到，，再根据点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示2和的两点之间的距离为3； 数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为， 故答案为：3；； （2）解：∵的最小值为4， ∴表示的点在表示a的点与表示的点之间， ∴表示a的点与表示的点的距离为4， ∴或； 故答案为：3或； （3）解：根据题意，P表示的数为， ∴，， ∵点P到N的距离为点P到M的距离的4倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴t的值为或． 2．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 3．已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；1；6 (2)8 (3)不变；3 【分析】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； （3）根据题意，用表示出，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点A表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点P在B、C间运动， ∴， ∴； （3）解：不变，理由如下： 根据题意，当经过秒钟过后， 点A表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，， ∴， ∴的值不变，． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、化简绝对值、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及数轴上动点问题等知识，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 4．结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 5．如图，在数轴上点表示数a，点表示数b，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足．    (1)________，________，________； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；（用含t的代数式表示） (3)在（2）基础上，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)，，5 (2)，， (3)3 【分析】（1）根据为最大的负整数可得出的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出的值; （2）根据运动的方向和速度结合的值，即可找出秒后点分别表示的数； （3）利用两点间的距离先表示出，，再代入中，整理式子，让即可求出最终结果． 【详解】（1）解：是最大的负整数 故答案为：． （2）解：，点以每秒1个单位长度的速度向左运动 ，点以每秒2个单位长度的速度向右运动 ，点分别以每秒3个单位长度的速度向右运动 （3）解： ，即 的值不随着时间的变化而改变时，． 【点睛】本题主要考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和速度找出点运动后代表的数是解题的关键． 6．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 类型十、探索并完成任务 1．某数学兴趣小组利用假期对某奶茶店元旦期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务． 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 某款奶茶每杯原价15元． 素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．配送方式：自取． 素材3 网上下单优惠方案：奶茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满450元可用，面额60元．配送方式：自取． 问题解决 任务1 若通过门店下单方式购买34杯奶茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这34杯奶茶至少花费多少元？ 任务2 若可以通过多订单组合订购这34杯奶茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单） 【答案】任务一：门店下单花费465元  网上下单花费450元； 任务二：第一个订单：线上订购30杯费用为390元， 第二个订单：线上订购2杯费用为27元， 第三个订单：线上订购2杯费用为27元， 总费用：444元． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 任务一：根据线上和线下两种优惠方案，列出算式进行计算即可； 任务二：在线上下单三次，用掉3张优惠券，最优惠，列式计算即可． 【详解】解：任务一：线下需花费：元； ∵元， ∴线上可用一张60元的优惠券， ∴线上需花费：元； 任务二：先在线上够买30杯，用一张60元的优惠券，需花费元， 再在线上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：， 然后再在上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：， 共需花费：元． 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80即元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的八折付款． 素材2： 学校计划添置100张课桌和把椅子． 问题解决 【任务1】（1）若，请计算哪种方案划算； 【任务2】（2）若，请用含的代数式分别表示出两种方案的费用； 【任务3】在（2）的条件下，按哪种方案购买更省钱； 【任务4】若，如果两种方案可以同时使用，请你帮助学校设计一种最省钱的方案． 【答案】（1）方案一划算；（2）方案一、方案二的费用分别为：元、元；（3）当时，两种方案一样花费一样，当时，方案二省钱，当时，方案一省钱；（4）先按方案一购买张桌子，同时送把椅子；再按方案二购买把椅子最省． 【分析】本题考查了列代数式，整式加减、有理数的混合运算等知识，理解两种优惠方案，从而正确写出代数式是解决问题的关键． （1）分别按两种方案结合已知数据计算、比较即可得到结论； （2）分别根据两种方案列出对应的表达式并化简即可； （3）分三种情况讨论即可求解； （4）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子. 【详解】（1）当时， 按方案一购买所需费用为：（元）； 按方案二购买所需费用为：（元）， ∵， ∴方案一划算； （2）当时， 按方案一购买所需费用为：（元）； 按方案二购买所需费用为：（元）， 答：方案一、方案二的费用为：元、元； （3）， 当时，，两种方案一样花费一样， 当时，，方案二省钱， 当时，，方案一省钱， （4）当时， ①全按方案一购买：（元）； ②全按方案二购买：（元）； ③先按方案一购买张课桌，同时送把椅子；再按方案二购买把椅子， （元）， ∵， ∴先按方案一购买张桌子，同时送把椅子；再按方案二购买把椅子最省． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何规划游玩路线？ 素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：） 素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车． 素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈． 问题解决 分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元． 任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费． 确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由． 【答案】任务1：；；任务2：元；任务3：最远游玩站点是科技城，理由见解析 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， 任务1：依据题意，根据所给素材1进行计算可以得解； 任务2：依据题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算可以得解； 任务3：依据题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，从而每人元，起步价元可乘，元可乘，故可求出最远可行公里数，进而可以判断得解； 正确理解题意列出算式并熟练运用运算法则是解题的关键． 【详解】解：任务1：由题意， 从新桥站到桐岭站为：， 此时单人单程乘坐需车费：（元）， 故答案为：；； 任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算： 从新桥站到三坪湿地站的里程为：， ∴需要车费为：（元）； ∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费； 任务3：最远游玩站点是科技城． 理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车， ∴一家三口每人元， ∵起步价元可乘， ∴元可乘， ∴最远可行， ∵向桐岭方向里程为， ∴向瑶溪方向：， 即最远游玩站点是科技城． 4．每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动．今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠？ 素材1 纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．活动二：所有商品打折．              注：两种活动不能同时参加． 素材2 小明家用的两种纸巾信息（超市标价）．      规格：每袋12包   规格：每箱12包 素材3 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． 问题解决 任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）． 任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程． 【答案】任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱；任务2： ；任务3：选择活动一的购物满100元送25元券或满300元送75元券更加优惠，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，理解题意，列出正确的代数式与运算式是解本题的关键． （1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱． （2）根据题意需要清风纸巾需要，4D纸巾需要，然后根据活动二计算即可得出答案． （3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较即可得出答案． 【详解】任务1 解：（包）（袋） （包）   （箱） 答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．         任务2 清风纸巾， 4D纸巾， 元， 故答案为：．             任务3 ∵清风牌纸巾已有存货1袋， ∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾． 总费用为：（元）， 参加活动一：返券情况 ①购物满100元送25元券： 实付（元）． ②满200元送50元券：实付（元）． ③满300元送75元券：实付（元）． 参加活动二：所有商品打折， 实付（元）． 所以，选择活动一的购物满100元送25元券或满300元送75元券更加优惠． 5．根据以下素材，探索完成任务， 如何设计简单的幻圆？ 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图1是一个简单的二阶幻圆模型，将1，2，3，4，5，6，7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等． 图1 素材2 在一个幻圆中，每个圆周上的数字之和，或横线上的数字之和，或竖线上的数字之和都叫做幻和，例如上图1中的幻和的个数是4个，它们都等于18．计算幻和的方法是将图中所有数字之和的两倍，再除以相应幻和个数． 例如图1的幻和计算方法． 素材3 类似地，数学兴趣小组尝试将数这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和（幻和）都相等，部分数字已填入，如图2所示． 图2 问题解决 任务1 根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是______个，它们都等于______． 任务2 请将素材3中“六角幻星”空缺的数字填写完整． 任务3 设计一个简单的二阶幻圆，根据任务1、2的经验，把这8个数填入图3中，设计一个二阶幻圆． 图3 【答案】任务1：，；任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，根据题中给出的计算幻和的方法进行分析求解． 【详解】解：任务1，根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是6个，它们都等于， 故答案为：，； 任务2，“六角幻星”如下图： 任务3：二阶幻圆如下图 6．阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： ，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为 ① ，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是 ② ． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ． (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出： ； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律： ． (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，…的计算结果，请用代数式表示你发现的规律： ． 【答案】(1)①，②25 (2)①5625；② (3) 【分析】（1）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； （2）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； （3）根据题目中的解题方法进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①，②； （2）解：①； ②设两位数的十位数字为a，则这个两位数为：10a+5， 所以； 故答案为：①5625；② （3）解：设相乘的两数的十位数字为a-1（其中a为正整数），则算式为：， 根据题意，可知 ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数字变化规律，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$